安徽省銅陵市銅都雙語學校2022-2023學年數(shù)學高三第一學期期末教學質量檢測試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面直角坐標系中，若不等式組所表示的平面區(qū)域內存在點，使不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，則滿足A∪C＝B的集合C的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．13．已知復數(shù)滿足，則=（）A． B．C． D．4．已知集合．為自然數(shù)集，則下列表示不正確的是（）A． B． C． D．5．若x,y滿足約束條件的取值范圍是A．[0,6] B．[0,4] C．[6, D．[4,6．復數(shù)的共軛復數(shù)為（）A． B． C． D．7．趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家，大約公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，又稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的，如圖（1）），類比“趙爽弦圖”，可類似地構造如圖（2）所示的圖形，它是由個全等的三角形與中間的一個小正六邊形組成的一個大正六邊形，設，若在大正六邊形中隨機取一點，則此點取自小正六邊形的概率為（）A． B．C． D．8．已知等差數(shù)列的公差為-2，前項和為，若，，為某三角形的三邊長，且該三角形有一個內角為，則的最大值為（）A．5 B．11 C．20 D．259．在鈍角中，角所對的邊分別為，為鈍角，若，則的最大值為（）A． B． C．1 D．10．已知集合，，則等于（）A． B． C． D．11．設，則““是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必條件12．已知整數(shù)滿足，記點的坐標為，則點滿足的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數(shù)，且由的最大值是_________14．已知多項式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，則a4＝________，a5＝________．15．，則f（f（2））的值為____________．16．設，則除以的余數(shù)是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某工廠生產一種產品的標準長度為，只要誤差的絕對值不超過就認為合格，工廠質檢部抽檢了某批次產品1000件，檢測其長度，繪制條形統(tǒng)計圖如圖：（1）估計該批次產品長度誤差絕對值的數(shù)學期望；（2）如果視該批次產品樣本的頻率為總體的概率，要求從工廠生產的產品中隨機抽取2件，假設其中至少有1件是標準長度產品的概率不小于0.8時，該設備符合生產要求.現(xiàn)有設備是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求時，生產一件產品為標準長度的概率的最小值.18．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于、兩點，求的面積.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調性；（2）已知在處的切線與軸垂直，若方程有三個實數(shù)解、、（），求證：.20．（12分）已知函數(shù)（I）當時，解不等式.（II）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍21．（12分）如圖，已知，分別是正方形邊，的中點，與交于點，，都垂直于平面，且，，是線段上一動點.（1）當平面，求的值；（2）當是中點時，求四面體的體積.22．（10分）已知.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

依據線性約束條件畫出可行域，目標函數(shù)恒過，再分別討論的正負進一步確定目標函數(shù)與可行域的基本關系，即可求解【詳解】作出不等式對應的平面區(qū)域，如圖所示：其中，直線過定點，當時，不等式表示直線及其左邊的區(qū)域，不滿足題意；當時，直線的斜率，不等式表示直線下方的區(qū)域，不滿足題意；當時，直線的斜率，不等式表示直線上方的區(qū)域，要使不等式組所表示的平面區(qū)域內存在點，使不等式成立，只需直線的斜率，解得.綜上可得實數(shù)的取值范圍為，故選：B.【點睛】本題考查由目標函數(shù)有解求解參數(shù)取值范圍問題，分類討論與數(shù)形結合思想，屬于中檔題2、A【解析】

由可確定集合中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4種情況，所以選A項.【點睛】考查集合并集運算，屬于簡單題.3、B【解析】

利用復數(shù)的代數(shù)運算法則化簡即可得到結論.【詳解】由，得，所以，.故選：B.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，屬于基礎題.4、D【解析】

集合．為自然數(shù)集，由此能求出結果．【詳解】解：集合．為自然數(shù)集，在A中，，正確；在B中，，正確；在C中，，正確；在D中，不是的子集，故D錯誤．故選：D．【點睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關系、集合與集合的關系等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5、D【解析】解：x、y滿足約束條件，表示的可行域如圖：目標函數(shù)z=x+2y經過C點時，函數(shù)取得最小值，由解得C（2，1），目標函數(shù)的最小值為：4目標函數(shù)的范圍是[4，+∞）．故選D．6、D【解析】

直接相乘，得，由共軛復數(shù)的性質即可得結果【詳解】∵∴其共軛復數(shù)為.故選：D【點睛】熟悉復數(shù)的四則運算以及共軛復數(shù)的性質.7、D【解析】

設，則，小正六邊形的邊長為，利用余弦定理可得大正六邊形的邊長為，再利用面積之比可得結論.【詳解】由題意，設，則，即小正六邊形的邊長為，所以，，，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，大正六邊形的邊長為，所以，小正六邊形的面積為，大正六邊形的面積為，所以，此點取自小正六邊形的概率.故選：D.【點睛】本題考查概率的求法，考查余弦定理、幾何概型等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．8、D【解析】

由公差d=-2可知數(shù)列單調遞減，再由余弦定理結合通項可求得首項，即可求出前n項和，從而得到最值.【詳解】等差數(shù)列的公差為-2，可知數(shù)列單調遞減，則，，中最大，最小，又，，為三角形的三邊長，且最大內角為，由余弦定理得，設首項為，即得，所以或，又即,舍去，，d=-2前項和.故的最大值為.故選：D【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應用，考查求前n項和的最值問題，同時還考查了余弦定理的應用.9、B【解析】

首先由正弦定理將邊化角可得，即可得到，再求出，最后根據求出的最大值；【詳解】解：因為，所以因為所以，即，，時故選：【點睛】本題考查正弦定理的應用，余弦函數(shù)的性質的應用，屬于中檔題.10、A【解析】

進行交集的運算即可．【詳解】，1，2，，，，1，．故選：．【點睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義，考查了交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎題．11、B【解析】

解出兩個不等式的解集，根據充分條件和必要條件的定義，即可得到本題答案.【詳解】由，得，又由，得，因為集合，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B【點睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷，其中涉及到絕對值不等式和一元二次不等式的解法.12、D【解析】

列出所有圓內的整數(shù)點共有37個，滿足條件的有7個，相除得到概率.【詳解】因為是整數(shù)，所以所有滿足條件的點是位于圓（含邊界）內的整數(shù)點，滿足條件的整數(shù)點有共37個，滿足的整數(shù)點有7個，則所求概率為.故選：.【點睛】本題考查了古典概率的計算，意在考查學生的應用能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將其轉化為幾何意義，然后根據最值的條件求出最大值【詳解】由化簡得，又實數(shù)，圖形為圓，如圖:，可得，則由幾何意義得，則，為求最大值則當過點或點時取最小值，可得所以的最大值是【點睛】本題考查了二元最值問題，將其轉化為幾何意義，得到圓的方程及斜率問題，對要求的二元二次表達式進行化簡，然后求出最值問題，本題有一定難度。14、164【解析】

只需令x＝0，易得a5，再由(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3，可得a4＝＋2＋.【詳解】令x＝0，得a5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，而(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)3[(x＋1)2＋2(x＋1)＋1]＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3；則a4＝＋2＋＝5＋8＋3＝16.故答案為：16,4.【點睛】本題主要考查了多項式展開中的特定項的求解，可以用賦值法也可以用二項展開的通項公式求解，屬于中檔題.15、1【解析】

先求f（1），再根據f（1）值所在區(qū)間求f（f（1））.【詳解】由題意，f（1）=log3（11–1）=1，故f（f（1））=f（1）=1×e1–1=1，故答案為：1．【點睛】本題考查分段函數(shù)求值，考查對應性以及基本求解能力.16、1【解析】

利用二項式定理得到，將89寫成1+88，然后再利用二項式定理展開即可.【詳解】，因展開式中后面10項均有88這個因式，所以除以的余數(shù)為1.故答案為：1【點睛】本題考查二項式定理的綜合應用，涉及余數(shù)的問題，解決此類問題的關鍵是靈活構造二項式，并將它展開分析，本題是一道基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據題意即可寫出該批次產品長度誤差的絕對值的頻率分布列，再根據期望公式即可求出；（2）由（1）可知，任取一件產品是標準長度的概率為0.4，即可求出隨機抽取2件產品，都不是標準長度產品的概率，由對立事件的概率公式即可得到隨機抽取2件產品，至少有1件是標準長度產品的概率，判斷其是否符合生產要求；當不符合要求時，設生產一件產品為標準長度的概率為，可根據上述方法求出，解，即可得出最小值.【詳解】（1）由柱狀圖，該批次產品長度誤差的絕對值的頻率分布列為下表：00.010.020.030.04頻率0.40.30.20.0750.025所以的數(shù)學期望的估計為.（2）由（1）可知任取一件產品是標準長度的概率為0.4，設至少有1件是標準長度產品為事件，則，故不符合概率不小于0.8的要求.設生產一件產品為標準長度的概率為，由題意，又，解得，所以符合要求時，生產一件產品為標準長度的概率的最小值為.【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的期望的求法，相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式的應用，對立事件的概率公式的應用，解題關鍵是對題意的理解，意在考查學生的數(shù)學建模能力和數(shù)學運算能力，屬于基礎題．18、（1），；（2）.【解析】

（1）在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程，在曲線的極坐標方程兩邊同時乘以，結合可將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）計算出直線截圓所得弦長，并計算出原點到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1）由得，故直線的普通方程是.由，得，代入公式得，得，故曲線的直角坐標方程是；（2）因為曲線的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，則弦長.又到直線的距離為，所以.【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程之間的轉化，同時也考查了直線與圓中三角形面積的計算，考查計算能力，屬于中等題.19、（1）①當時，在單調遞增,②當時，單調遞增區(qū)間為,,單調遞減區(qū)間為（2）證明見解析【解析】

（1）先求解導函數(shù)，然后對參數(shù)分類討論，分析出每種情況下函數(shù)的單調性即可；（2）根據條件先求解出的值，然后構造函數(shù)分析出之間的關系，再構造函數(shù)分析出之間的關系，由此證明出.【詳解】（1），①當時，恒成立，則在單調遞增②當時，令得，解得，又，∴∴當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.（2）依題意得，，則由（1）得，在單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增∴若方程有三個實數(shù)解，則法一：雙偏移法設，則∴在上單調遞增，∴，∴，即∵，∴，其中，∵在上單調遞減，∴，即設，∴在上單調遞增，∴，∴，即∵，∴，其中，∵在上單調遞增，∴，即∴.法二：直接證明法∵，，在上單調遞增，∴要證，即證設，則∴在上單調遞減，在上單調遞增∴，∴，即（注意：若沒有證明，扣3分）關于的證明：（1）且時，（需要證明），其中∴∴∴（2）∵，∴∴，即∵，，∴，則∴【點睛】本題考查函數(shù)與倒導數(shù)的綜合應用，難度較難.（1）對于含參函數(shù)單調性的分析，可通過分析參數(shù)的臨界值，由此分類討論函數(shù)單調性；（2）利用導數(shù)證明不等式常用方法：構造函數(shù)，利用新函數(shù)的單調性確定函數(shù)的最值，從而達到證明不等式的目的.20、（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】試題分析：（1）根據零點分區(qū)間法，去掉絕對值解不等式；（2）根據絕對值不等式的性質得，因此將問題轉化為恒成立，借此不等式即可．試題解析：（Ⅰ）由得，，或，或解得：所以原不等式的解集為