考試點(diǎn)2014考研數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)輕松過關(guān)數(shù)三

第一 隨機(jī)事件和概率 第二 隨量及其分 第三 為隨量及其分布 第四 隨量的數(shù)字特 第五大數(shù)定律和中心極限定第六數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念第七參數(shù)估計(jì)《概率統(tǒng)計(jì)》輕松過第三部 概率論與數(shù)理統(tǒng)第一 隨機(jī)事件和概隨機(jī)事件與樣本空間，事件的關(guān)系與運(yùn)算，完備事件組，概率的概念，概率的基本性質(zhì)古典型概率，幾何型概率，條件概率，概率的基本公式，事件的獨(dú)立性，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．理 隨機(jī)事件的概念，概率，條件概率的概念，事件獨(dú)立性的概念，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念掌握 事件的關(guān)系及運(yùn)算，概率的基本性質(zhì)，概率的加法公式，減法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯（Ｂａｙｅｓ）公式，用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算，計(jì)算有關(guān)事件概率的方法了 樣本空間（基本事件空間）的概念 計(jì)算古典型概率和幾何型概率全概率公式及貝葉斯公式，概率及條件概率，古典型概率，概率的基本公式第一 樣本空間、事件的關(guān)系及運(yùn)—、隨機(jī)試驗(yàn)的概具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱之為隨機(jī)試驗(yàn)（１）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是已知的或是可以確定的（２）每次試驗(yàn)將要發(fā)生什么樣的結(jié)果是事先無法預(yù)知的隨機(jī)試驗(yàn)又依其可否在相同條件下重復(fù)進(jìn)行分為：可重復(fù)試驗(yàn)及不可重復(fù)試驗(yàn)二、樣本空間和隨機(jī)事試驗(yàn)所有可能結(jié)果的全體構(gòu)成樣本空間；稱試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果為樣本點(diǎn)，樣本空間為全體樣本點(diǎn)的集合；隨機(jī)事件是對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)的某些現(xiàn)象或某種情況的陳述；它可以用試驗(yàn)的某些可能結(jié)果加以描述，因而是樣本空間的子集．往后也簡(jiǎn)稱隨機(jī)事件為事件．三、事件的關(guān)隨機(jī)事件之間有如下四種關(guān)系（１）包含關(guān) 稱Ａ蘊(yùn)含了Ｂ，如果Ａ發(fā)生必導(dǎo)致Ｂ發(fā)生，且記之為Ａ（２）相等關(guān) 稱Ａ與Ｂ相等，如果ＡＢ，ＢＡ同時(shí)成立，且記之為Ａ＝１考試點(diǎn)（ｗｗｗ．ｋａｏｓｈｉｄｉａｎ．ｃｏｍ）名師精品課 ：４００６８８５３６５（３）互斥關(guān) 稱Ａ與Ｂ互斥，如果Ａ，Ｂ不能在一次試驗(yàn)中同時(shí)發(fā)生（４）互補(bǔ)關(guān) 稱Ａ與Ｂ互補(bǔ)，如果Ａ，Ｂ在一次試驗(yàn)中必發(fā)生一個(gè)且只能發(fā)生一個(gè)四、事件的運(yùn)隨機(jī)事件之間有如下三種運(yùn)算（１）并的運(yùn) Ａ與Ｂ的并產(chǎn)生這樣一個(gè)事件，即Ａ，Ｂ至少發(fā)生一個(gè)，記之為（２）交的運(yùn) Ａ與Ｂ的交產(chǎn)生這樣一個(gè)事件，即Ａ，Ｂ同時(shí)發(fā)生，記之為Ｂ（３）差的運(yùn) Ａ與Ｂ的差產(chǎn)生這樣一個(gè)事件，即Ａ發(fā)生且Ｂ不發(fā)生，記之為Ａ－五、事件的運(yùn)算交換律：Ａ∪＝Ｂ∪Ａ＝結(jié)合律：（Ｂ∪＝ＡＢＣ；（∩Ｂ∩＝ＡＢＣ分配律：（Ｂ∩＝（Ｃ∪ＢＣ；（∩Ｂ∪＝（∪Ｃ∩ＢＣ）對(duì)偶律：Ａ∪＝ＢＡ∩＝例１．１． （１）Ａ發(fā)生，Ｂ與Ｃ都不發(fā)生（２）Ａ，Ｂ，Ｃ中恰有兩個(gè)發(fā)生（３）Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一個(gè)發(fā)生（４）Ａ，Ｂ，Ｃ中至多有兩個(gè)發(fā)生（５）Ａ，Ｂ，Ｃ不都發(fā)生思路點(diǎn)撥利用事件的運(yùn)算關(guān)系表示事件，關(guān)鍵是要正確理解事件的運(yùn)算和事件的關(guān)系．理解的思路不同，得到的表達(dá)式也不盡一樣，但只要思路正確，所得到不同表達(dá)式相互等價(jià)．特別是在復(fù)合事件中常用“恰有”、“只有”、“不多于”、“至少”、“至多”、“都發(fā)生”和“不都發(fā)生”等詞描述，必須弄清楚這些詞語的確切含義． （１）“事件Ａ發(fā)生，Ｂ與Ｃ都不發(fā)生”等同于“Ａ，Ｂ，Ｃ三個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”，所以“Ａ發(fā)生，ＢＣ都不發(fā)生”可表示為事件也可以把“Ｂ與Ｃ都不發(fā)生”看作一個(gè)整體，那么它的對(duì)立事件就是“Ｂ、Ｃ至少有一個(gè)發(fā)生”ＢＣ那么“Ｂ與Ｃ都不發(fā)生”等價(jià)于ＢＣ所以Ａ發(fā)生Ｂ與Ｃ都不發(fā)生也可表示為事件（Ｃ（２）“ＡＢＣ中恰有兩個(gè)發(fā)生”的等價(jià)事件是“ＡＢ都發(fā)生Ｃ不發(fā)生ＡＣ都發(fā)生Ｂ不發(fā)生ＢＣ都發(fā)生Ａ不發(fā)生”以它可以表示為ＡＢＣＡＢＣ．另外件“ＡＢＣ中恰有兩個(gè)發(fā)生”也等價(jià)于“Ａ，Ｂ同時(shí)發(fā)生，或Ａ，Ｃ同時(shí)發(fā)生，或Ｂ，Ｃ同時(shí)發(fā)生ＡＢＣ不同時(shí)發(fā)生”以“Ａ，Ｂ，Ｃ中恰有兩個(gè)發(fā)生”也可表示為（Ｂ∪Ｃ∪－ＡＢＣ或（ＢＣ∪Ｃ）（３）“ＡＢＣ中不多于一個(gè)發(fā)生”等價(jià)于“Ａ發(fā)生ＢＣ都不發(fā)生；或Ｂ發(fā)生，而Ａ，Ｃ都不發(fā)生；或Ｃ發(fā)生ＡＢ都不發(fā)生ＡＢＣ都不發(fā)生”可表示為ＡＢＣＣＢＣＢＣ．２《概率統(tǒng)計(jì)》輕松過“ＡＢＣ中不多于一個(gè)發(fā)生”也等價(jià)于“ＡＢＣ中至少有兩個(gè)都不發(fā)生”，所以它也可表示成Ａ∪Ｃ∪Ｂ另外，“Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一個(gè)發(fā)生”的對(duì)立事件是“Ａ，Ｂ，Ｃ中至少有兩個(gè)發(fā)生”，所以也可以把“ＡＢＣ中不多于一個(gè)發(fā)生”表示為事件Ｂ∪∪Ａ．（４）“ＡＢＣ中至多有兩個(gè)發(fā)生”等價(jià)于“ＡＢＣ中至少有一個(gè)不發(fā)生”此它可表示為ＢＣ．也可把“ＡＢＣ中至多有兩個(gè)發(fā)生”分解成三個(gè)事件“Ａ，Ｂ，Ｃ三個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生”，“Ａ，Ｂ，Ｃ三個(gè)事件恰好有一個(gè)發(fā)生”ＡＢＣ三個(gè)事件恰好有兩個(gè)發(fā)生”的和事件么它可表示為ＡＢＣＢＣ∪ＢＣＢＣ∪ＣＣ∪此外ＡＢＣ中至多有兩個(gè)發(fā)生”的對(duì)立事件為“Ａ，Ｂ，Ｃ三個(gè)事件都發(fā)生”，從而也可表示為ＡＢＣ．（５）“Ａ，Ｂ，Ｃ不都發(fā)生”等價(jià)于“Ａ，Ｂ，Ｃ三個(gè)事件至少有一個(gè)不發(fā)生”，或者等價(jià)于“Ａ，Ｂ，Ｃ不能同時(shí)發(fā)生”它可表示為ＢＣ或ＡＢＣ．【注】 ①“兩個(gè)事件的差”可用對(duì)立事件來表示，如Ａ－Ｂ＝ＡＢ，Ａ－ＢＣ＝ＡＢＣ．②易犯錯(cuò)誤是，誤將ＡＢ與ＡＢ等同起來．事實(shí)上，ＡＢ＝ＡＢＡＢ．又如ＡＢＣ＝ＡＢＣＣ．③誤以為Ｓ＝Ｂ∪Ｃ．如將ＡＢＣ寫成Ｂ－ＡＢＣ．事實(shí)上，Ｓ－（∪ＢＣ）可能不等，一般地，Ａ∪Ｂ∪ＣＳ．④誤將Ｓ成必然事件的概率１．如將事件Ａ，Ｂ，Ｃ中至少有一個(gè)發(fā)生的對(duì)立事件寫成１－（Ａ∪Ｂ∪Ｃ）的錯(cuò)誤結(jié)果．例１．１． 以事件Ａ表示“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則其對(duì)立事件Ａ為 ）Ａ．“甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷 Ｂ．“甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷Ｃ．“甲種產(chǎn)品滯銷 Ｄ．“甲種產(chǎn)品滯銷，或乙種產(chǎn)品暢銷思路點(diǎn)撥 運(yùn)用事件的的關(guān)系及運(yùn)算，把復(fù)合事件分解成基本事件，并用字母表示，然后在運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行推演．解因?yàn)槭录帘硎尽凹追N產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，設(shè)Ｂ表示“甲種產(chǎn)品暢銷”，Ｃ表示“乙種產(chǎn)品暢銷”，所以Ａ＝ＢＣ．于是Ａ＝ＢＣ＝Ｂ∪，即Ａ的對(duì)立事件表示“甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”應(yīng)選Ｄ．例１１３在電爐上安裝了４個(gè)溫控器，其顯示溫度的誤差是隨機(jī)的．在使用過程中，只要有兩個(gè)溫控器的顯示溫度不低于臨界溫度ｔ０，電爐就斷電．以事件Ｅ表示“電爐斷電”，而Ｔ（１）≤Ｔ２）≤Ｔ３）Ｔ４）為４個(gè)溫控器顯示的按遞增序列排列的溫度值，則事件Ｅ等于 ）Ａ．（Ｔ（１）≥ Ｂ．（Ｔ（２）≥Ｃ．（Ｔ（３）≥ Ｄ．（Ｔ（４）≥解由已知條件，（Ｔ（ｉ）≥ｔ）表示４個(gè)溫控器中有４－（ｉ－１）個(gè)溫控器的顯示溫度不低于臨界溫度ｔ０，因?yàn)橹灰袃蓚€(gè)溫控器的顯示溫度不低于臨界溫度ｔ０，電爐就斷電，即事件Ｅ發(fā)生，所以事件Ｅ等價(jià)于事件（Ｔ（３）≥ｔ）應(yīng)選Ｃ．例１．１． 設(shè)Ａ，Ｂ為兩個(gè)隨機(jī)事件，則（Ｂ（ＡＢ）（Ｂ（Ｂ 思路點(diǎn) 根據(jù)事件運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行推演 應(yīng)填３考試點(diǎn)（ｗｗｗ．ｋａｏｓｈｉｄｉａｎ．ｃｏｍ）名師精品課 ：４００６８８５３６５由（Ｂ（Ｂ＝（∩∪＝∪Ｂ＝（∪Ｂ（Ｂ＝（Ａ∩）∪＝∪Ｂ＝Ｂ，所以（Ｂ（Ｂ（Ｂ（Ｂ＝Ｂ＝例１．１． 設(shè)Ａ，Ｂ，Ｃ為三個(gè)事件，則（Ａ－Ｂ）∪Ｂ－Ｃ）＝ ）Ａ．Ａ－Ｃ Ｂ．Ａ∪Ｂ－Ｃ） Ｃ．（Ｂ－Ｃ Ｄ．（Ｂ－ＢＣ 應(yīng)選Ｄ．由（Ａ－Ｂ）∪Ｂ－Ｃ）＝ＡＢ（Ｂ－ＢＣ＝（Ｂ∩ＢＣ）＝（Ｂ∩＝ＡＢＣＢＣ＝ＡＢＣ＝ＡＢＡＢＣＢＣ）∪＝（ＡＢＢＣ）∪ＢＣ∪Ｃ）＝ＡＢ所（Ａ－Ｂ）∪Ｂ－Ｃ）＝（Ｂ－第二 古典概率與幾何概—、概率的概概率是隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性大小，因而是隨機(jī)事件不確定性的度量概率的統(tǒng)計(jì)定義揭示了隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，即概率是頻率的穩(wěn)定值，在實(shí)際應(yīng)用中可用作概率的近似計(jì)算．二、古典概型及概率的確稱有以下兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型：１．（有限性）試驗(yàn)的可能結(jié)果只有有限個(gè)；２．（等可能性）各個(gè)可能結(jié)果出現(xiàn)是等可能的；其事件的概率的計(jì)算公式為：Ｐ（Ａ）＝有利于Ａ的樣本點(diǎn)數(shù)＝樣本點(diǎn)總數(shù) 三、幾何概型及概率的確幾何概型是古典概型的推廣，即保留等可能性而去掉有限性的限制，即容許試驗(yàn)可能結(jié)果有無窮多個(gè)．其計(jì)算概率的公式為Ｐ（Ａ） ４《概率統(tǒng)計(jì)》輕松過其中Ｓ為所有可能試驗(yàn)結(jié)果所處的某空間區(qū)域，ＳＡ是Ｓ的一個(gè)子區(qū)域，為事件Ａ的樣本點(diǎn)在區(qū)Ｓ中的相對(duì)位置四、概率的公理化定義及性１．公理化定滿足以下三個(gè)公理的一個(gè)集函數(shù)Ｐ（·）稱之為概率：公理１（非負(fù)性）對(duì)每一事件Ａ，０Ａ）１公理２（規(guī)范性）Ｐ（Ｓ）＝ 公理３（完全可加性）對(duì)任意一列兩兩互斥事件ＡＡＰ（∪）＝∑Ａｎ）ｎ ｎ２．性（１）Ｐ（）＝（２）Ｐ（Ａ）＝１－Ｐ（Ａ）（３）Ｐ（Ｂ＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（（４）若ＡＢ，則Ｐ（Ｂ－Ａ）＝Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ）且Ｐ（Ａ）ＰＢ）（５）若ＡＡ…，Ａｎ是兩兩互不相容的事件，則Ｐ（Ａ１∪∪…Ａ）＝Ｐ（Ａ１）＋Ｐ（Ａ２）＋…＋Ｐ（Ａｎ）例１．２． 若Ｐ（Ａ）＝０．５，Ｐ（Ｂ）＝０．４，Ｐ（Ａ－Ｂ）＝０．３，求Ｐ（Ｂ和Ｐ（ＡＢ） 由Ｐ（Ａ－Ｂ）＝Ｐ（Ａ－ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）－Ｐ（ＡＢ）那么由已知條件Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）－Ｐ（Ａ－Ｂ）＝０．５－０．３＝０．于Ｐ（Ｂ＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）＝０．５＋０．４－０．２＝０．Ｐ（Ｂ＝Ｐ（ＡＢ）＝１－Ｐ（ＡＢ）＝１－０．２＝０．例１．２．２設(shè)隨機(jī)事件Ａ，Ｂ及其和事件∪的概率分別是０．４，０．３和０．６．若Ｂ表示Ｂ的對(duì)立事件，那么積事件ＡＢ的概率Ｐ（ＡＢ）＝ 應(yīng)填０．因Ｐ（Ｂ＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）那么由已知條件Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（/r