高中全程復習方略配套8.8直線與圓錐曲線人教B版·數(shù)學理山東專用公開課一等獎省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎課件

第八節(jié)直線與圓錐曲線三年7考高考指數(shù):★★1.掌握處理直線與橢圓、拋物線位置關系思想方法.2.了解圓錐曲線簡單應用.3.了解數(shù)形結(jié)合思想.1.直線與橢圓、拋物線位置關系是高考重點，經(jīng)常與平面向量、三角函數(shù)、函數(shù)性質(zhì)、不等式等知識交匯命題；2.直線與圓錐曲線相交，求其弦長、中點、定點、定值、最值、面積、對稱、存在性等問題是高考熱點；3.以解答題形式出現(xiàn)，多屬于中、高檔題目，重點考查學生分析問題、處理問題能力.1.直線與圓錐曲線位置關系判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個變量得到關于x(或y)一元方程：ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).(1)當a≠0，可考慮一元二次方程判別式Δ，有①Δ＞0?直線與圓錐曲線______；②Δ=0?直線與圓錐曲線_______；③Δ＜0?直線與圓錐曲線_______.相交相切相離(2)當a=0，b≠0時，即得到一個一元一次方程，則直線l與圓錐曲線E相交，且只有一個交點，①若E為雙曲線，則直線l與雙曲線漸近線位置關系是______；②若E為拋物線，則直線l與拋物線對稱軸位置關系是___________.平行平行或重合【即時應用】(1)思索：直線與圓錐曲線有一個公共點是直線與圓錐曲線相切什么條件？提醒：必要不充分條件.因為當直線與圓錐曲線相切時，直線與圓錐曲線有一個公共點；當直線與圓錐曲線有一個公共點時，直線與圓錐曲線不一定相切，如與拋物線對稱軸平行(或重合)直線與拋物線只有一個公共點，此時直線與拋物線相交；與雙曲線漸近線平行直線與雙曲線只有一個公共點，此時直線與雙曲線相交.(2)直線y=mx+1與橢圓x2+4y2=1有且只有一個交點，則m2=_____.【解析】直線y=mx+1與橢圓x2+4y2=1聯(lián)立，消去y得：(1+4m2)x2+8mx+3=0.又因為其Δ=(8m)2-12(1+4m2)=16m2-12=0，解得：m2=答案：

2.圓錐曲線弦長設斜率為k(k≠0)直線l與圓錐曲線C相交于A、B兩點，A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=_______________=_____________________==_______________________.【即時應用】(1)拋物線y2=4x被直線y=2x+k截得弦長為則k值為____.(2)過橢圓左焦點且傾斜角為直線被橢圓所截得弦長為_____.【解析】(1)直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y得：4x2-4(1-k)x+k2=0，所以x1+x2=1-k，x1x2=依題意得：即9=(x1+x2)2-4x1x2=(1-k)2-k2，解得：k=-4.(2)設直線與橢圓交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2).由橢圓方程得：a=3，b=1，所以c=所以，直線方程為：與橢圓聯(lián)立，消去y得：則x1+x2=x1x2=所以答案：(1)-4(2)2直線與圓錐曲線位置關系確實定及應用【方法點睛】1.代數(shù)法研究直線與圓錐曲線位置關系用直線方程與圓錐曲線方程組成方程組解個數(shù)，能夠研究直線與圓錐曲線位置關系，即用代數(shù)法研究幾何問題，這是解析幾何主要思想方法.直線與圓錐曲線有沒有公共點或有幾個公共點問題，實際上是研究方程組解個數(shù)問題.2.直線與圓錐曲線相交兩個問題及求解方法(1)與弦中點相關問題,常利用“點差法”求解；(2)與拋物線焦點弦長相關問題,要注意應用拋物線定義.【提醒】在研究方程組是否有實數(shù)解或?qū)崝?shù)解個數(shù)問題時，要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合思想方法.【例1】(1)(·濟南模擬)過橢圓右焦點作一條斜率為2直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB面積為_______.(2)已知拋物線方程為y2=4x,直線l過定點P(-2,1)，斜率為k，k為何值時，直線l與拋物線y2=4x只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點？【解題指南】(1)由故只需求出|yA-yB|即可；(2)直線與拋物線公共點個數(shù)問題，即為直線方程與拋物線方程組成方程組解個數(shù)問題，可將兩方程聯(lián)立求解.【規(guī)范解答】(1)設直線方程為y=2(x-1).設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1+y2=y1y2=∴|y1-y2|=∴答案：(2)由題意，得直線l方程為y-1=k(x+2)，由得ky2-4y+4(2k+1)=0(*)(ⅰ)當k=0時，由方程(*)得y=1,方程組有一個解,此時，直線與拋物線只有一個公共點.(ⅱ)當k≠0時，方程(*)判別式為Δ=-16(2k2+k-1).①由Δ=0，即2k2+k-1=0，解得k=-1或k=∴當k=-1或k=時，方程組有一個解，此時，直線與拋物線只有一個公共點.②由Δ＞0,得2k2+k-1＜0，解得-1＜k＜∴當-1＜k＜且k≠0時，方程組有兩個解，此時，直線與拋物線有兩個公共點.③由Δ＜0，得2k2+k-1＞0,解得k＜-1或k＞∴當k＜-1或k＞時，方程組無解,此時直線與拋物線沒有公共點.綜上，當k=-1或k=0或k=時，直線與拋物線只有一個公共點；當-1＜k＜且k≠0時，直線與拋物線有兩個公共點；當k＜-1或k＞時，直線與拋物線沒有公共點.【互動探究】本例(2)條件不變，求k為何值時直線與拋物線相交、相切、相離？【解析】①直線與拋物線相交,即直線與拋物線有兩個公共點或直線與拋物線對稱軸平行(或重合),此時直線與拋物線有一個公共點,即由直線方程與拋物線方程聯(lián)立所得方程二次項系數(shù)不為0且Δ＞0或二次項系數(shù)為0,由本例解法知-1＜k＜②直線與拋物線相切,即直線與拋物線有一個公共點,且直線與拋物線對稱軸不平行(或不重合),即由直線方程與拋物線方程聯(lián)立所得方程二次項系數(shù)不為0且Δ=0,由本例解法知k=-1或③直線與拋物線相離,即直線與拋物線沒有公共點,由本例解法知k＜-1或k＞綜上可知:當-1＜k＜時,直線與拋物線相交,當k=-1或k=時,直線與拋物線相切,當k＜-1或k＞時,直線與拋物線相離.【反思·感悟】1.直線與圓錐曲線公共點有零個、一個、兩個和直線與圓錐曲線相離、相切、相交不是等價關系.2.在直線與圓錐曲線所組成方程組消元后，要注意所得方程二次項系數(shù)是否含有參數(shù).若含參數(shù)，需按二次項系數(shù)是否為零進行討論，只有二次項系數(shù)不為零時，方程才是一元二次方程，后面才能夠利用判別式符號來判斷方程解個數(shù)，進而說明直線與圓錐曲線位置關系.【變式備選】已知中心在原點，一個焦點為F(0,)橢圓截直線y=3x-2所得弦中點橫坐標為求橢圓方程.【解析】因為橢圓中心在原點，一個焦點為F(0,)，所以可設橢圓標準方程為其中a＞b＞0，且有a2-b2=50，把直線方程代入橢圓方程，消去y得：(9b2+a2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0.設弦兩個端點A(x1,y1)、B(x2,y2)，則由根與系數(shù)之間關系有：又AB中點橫坐標為所以解得a2=3b2，與a2-b2=50聯(lián)立得：a2=75，b2=25，所以橢圓方程為圓錐曲線中存在性問題【方法點睛】1.處理存在性問題方法及注意事項(1)方法：存在性問題,先假設存在,推證滿足條件結(jié)論,若結(jié)論正確則存在,若結(jié)論不正確則不存在.(2)注意：當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論.2.存在性問題解題步驟(1)先假設存在,引入?yún)⒆兞?依據(jù)題目條件列出關于參數(shù)方程或不等式(組).(2)解此方程或不等式(組),若有解即存在,若無解則不存在.【例2】已知：向量O為坐標原點，動點M滿足：(1)求動點M軌跡C方程；(2)已知直線l1、l2都過點B(0,1)，且l1⊥l2，l1、l2與軌跡C分別交于點D、E，試探究是否存在這么直線使得△BDE是等腰直角三角形.若存在，指出這么直線共有幾組(無需求出直線方程)；若不存在，請說明理由.【解題指南】(1)由橢圓定義可知，點M軌跡為橢圓，只需再確定a、c即可.(2)可先假設存在，由題意知兩條直線斜率存在且不為零，可分別設為k、由等腰直角三角形滿足條件求出其值，或經(jīng)計算得知其值不存在，從而得出結(jié)論.【規(guī)范解答】(1)方法一：設A′(-3,0)，則∴動點M軌跡為以A、A′為焦點，長軸長為4橢圓.由c=2a=4，得a=2,b==1.∴動點M軌跡C方程為方法二:設點M(x,y),則∴點M軌跡C是以(,0)，(,0)為焦點，長軸長為4橢圓.∴a=2,c=,∴∴動點M軌跡C方程為(2)軌跡C是橢圓點B(0,1)是它上頂點，設滿足條件直線l1、l2存在，由題意知兩直線斜率存在且不為零，不妨設直線l1方程為y=kx+1(k＞0)①則直線l2方程為②將①代入橢圓方程并整理得：(1+4k2)x2+8kx=0，可得則將②代入橢圓方程并整理得：(4+k2)x2-8kx=0，可得則由△BDE是等腰直角三角形得|BD|=|BE|?k3+4k=1+4k2?k3-1=4k2-4k?(k-1)(k2+k+1)=4k(k-1)③∴k=1或k2-3k+1=0④∵方程④判別式Δ=5＞0，即方程④有兩個不相等實根，且不為1.∴方程③有三個互不相等實根.即滿足條件直線l1、l2存在，共有3組．【反思·感悟】1.本題第(1)問是利用定義法求軌跡方程，處理本題關鍵是對轉(zhuǎn)化與了解.2.第(2)問探索存在性問題，這類問題普通是先假設存在，依據(jù)題設條件及假設結(jié)論進行邏輯推理、論證，若得出矛盾，則說明不存在；不然就存在.【變式訓練】(·寧德模擬)在直角坐標系xOy中，點P到兩點(0，-)，(0，)距離之和等于4，設點P軌跡為C.(1)求曲線C方程；(2)過點(0，)作兩條相互垂直直線l1、l2分別與曲線C交于A、B和E、D，以線段AB為直徑圓能否過坐標原點，若能，求直線AB斜率；若不能，說明理由.【解析】(1)設P(x,y)，由橢圓定義可知，點P軌跡C是以(0，-)，(0，)為焦點，長半軸為2橢圓.它短半軸故曲線C方程為(2)設直線l1：y=kx+(經(jīng)檢驗當l1,l2與坐標軸平行或重合時不合題意，舍去),分別交曲線C于A(x1,y1),B(x2,y2),其坐標滿足

故若以線段AB為直徑圓過坐標原點，則即x1x2+y1y2=0.而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+3,于是x1x2+y1y2化簡得-4k2+11=0,所以即以線段AB為直徑圓能過坐標原點，所求直線AB斜率為【變式備選】已知橢圓右焦點為F2(1,0)，點N(1,)在橢圓上.(1)求橢圓方程；(2)點M(x0,y0)在圓O：x2+y2=b2上，且在第一象限，過M作圓x2+y2=b2切線交橢圓于P、Q兩點，問|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否為定值？假如是，求出定值;假如不是，說明理由.【解析】(1)∵右焦點為F2(1,0)，∴c=1.左焦點為F1(-1,0)，又∵點N(1,)在橢圓上,∴2a=|NF1|+|NF2|∴a=2,所以橢圓方程為(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2),則(|x1|≤2).|PF2|2=(x1-1)2+=(x1-1)2+3(1-)=(x1-4)2,∴|PF2|=(4-x1)=2-x1.連接OM，OP，由相切條件知：|PM|2=|OP|2-|OM|2=∴|PM|=x1.∴|PF2|+|PM|=2-x1+x1=2.同理可求|QF2|+|QM|=2-x2+x2=2.所以|F2P|+|F2Q|+|PQ|=2+2=4為定值.圓錐曲線中最值問題【方法點睛】圓錐曲線中常見最值問題及解題方法(1)圓錐曲線中最值問題大致可分為兩類：①包括距離、面積最值以及與之相關一些問題；②求直線或圓錐曲線中幾何元素最值以及這些元素存在最值時確定與之相關一些問題.(2)求最值常見解法有兩種：①幾何法,若題目標條件和結(jié)論能顯著表達幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來處理，②代數(shù)法,若題目標條件和結(jié)論能表達一個明確函數(shù)關系，則可先建立起目標函數(shù)，再求這個函數(shù)最值.【提醒】求最值問題時，一定要注意特殊情況討論,如直線斜率不存在情況，二次三項式最高次項系數(shù)討論等.【例3】(·新課標全國卷)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,-1)，B點在直線y=-3上，M點滿足∥M點軌跡為曲線C.(1)求C方程；(2)P為C上動點，l為C在P點處切線，求O點到l距離最小值.【解題指南】(1)可設點M坐標為(x,y)，依已知等式即可得出曲線C方程.(2)可先設點P坐標，求出切線，然后利用點到直線距離公式求出距離解析式，求其最值即可.【規(guī)范解答】(1)設M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1),所以=(-x,-1-y),=(0,-3-y),=(x,-2).再由可知：即(-x,-4-2y)·(x,-2)=0.所以曲線C方程為(2)設P(x0,y0)為曲線C：上一點，因為y′=x,所以l斜率為所以直線l方程為y-y0=x0(x-x0)，即x0x-2y+2y0-=0.則O點到l距離又所以當且僅當x0=0時取等號，所以O點到l距離最小值為2.【反思·感悟】1.本題第(1)問是求軌跡方程，采取是直接法求軌跡方程，依據(jù)題設中等式求解即可；2.第(2)問是求點到直線距離最值，處理這類問題普通是依據(jù)題設條件得出函數(shù)解析式，利用函數(shù)單調(diào)性或求導數(shù)或利用均值不等式求得最值.【變式訓練】已知橢圓C：經(jīng)過點M(1，)，其離心率為(1)求橢圓C方程；(2)設直線l與橢圓C相交于A、B兩點，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓C上，O為坐標原點，求O到直線l距離最小值.【解析】(1)由已知,所以3a2=4b2,①又點M(1,)在橢圓C上,所以②由①②解得a2=4,b2=3.故橢圓C方程為(2)當直線l有斜率時,設y=kx+m,則由消去y整理得,(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)>0,③設A、B、P點坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x0,y0),則:x0=x1+x2=y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=因為點P在橢圓C上，所以從而化簡得4m2=3+4k2,經(jīng)檢驗滿足③式.又點O到直線l距離為:當且僅當k=0時等號成立.當直線l無斜率時，由對稱性知，點P一定在x軸上，從而P點為(-2，0)，(2，0)，直線l為x=±1,所以點O到直線l距離為1，所以點O到直線l距離最小值為【滿分指導】直線與圓錐曲線綜合問題規(guī)范解答【典例】(12分)(·湖南高考)已知平面內(nèi)一動點P到點F(1，0)距離與點P到y(tǒng)軸距離差等于1．(1)求動點P軌跡C方程；(2)過點F作兩條斜率存在且相互垂直直線l1，l2,設l1與軌跡C相交于點A,B，l2與軌跡C相交于點D,E，求最小值．【解題指南】(1)依題設可知，利用直接法求軌跡方程；(2)先設直線l1斜率為k，依題設條件可求出關于k解析式，利用均值不等式求最值.【規(guī)范解答】(1)設動點P坐標為(x,y)，由題意得……………2分化簡得y2=2x+2|x|,當x≥0時，y2=4x;當x＜0時，y=0.所以動點P軌跡C方程為y2=4x(x≥0)和y=0(x＜0).……5分(2)由題意知，直線l1斜率存在且不為0，設為k，則l1方程為y=k(x-1)．由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.……7分設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程兩個實根，于是x1+x2=2+,x1x2=1．因為l1⊥l2，所以l2斜率為設D(x3,y3),E(x4,y4),則同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.……9分=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1…………11分故當且僅當即k=±1時，取最小值，即16.……12分【閱卷人點撥】經(jīng)過高考中閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們能夠得到以下失分警示和備考提議：失分警示解答本題時有以下兩點輕易造成失分:(1)在第(1)問求軌跡方程時，點P到y(tǒng)軸距離易寫成x，從而結(jié)果犯錯；(2)不會轉(zhuǎn)化為從而思緒受阻，解題不完整，造成失分.備考建議處理直線與圓錐曲線綜合問題時，要注意以下幾點：(1)注意點到兩坐標軸距離，兩點所在直線與坐標軸平行時距離；(2)包括平面向量運算時，一定要注意平面幾何性質(zhì)利用，如垂直、中點等.1.(·廣東高考)設圓C與圓x2+(y-3)2=1外切，與直線y=0相切，則C圓心軌跡為()(A)拋物線 (B)雙曲線 (C)橢圓 (D)圓【解析】選A．依題意得，C圓心到點(