推理與證明第三十八講推理與證明

專題十三 推理與證明第三十八講 推理與證明2019年2019年8.（2019全國I理4）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底 的長度之比是 51 （51≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如22此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是 51．若某人滿2足上述兩個黃金分割比例，且腿長為 105cm，頭頂至脖子下端的長度為 26cm，則其身高 可能是A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm8解析頭頂至脖子下端的長度為26cm，說明頭頂?shù)窖屎淼拈L度小于26cm，由頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是5-10.6182可得咽喉至肚臍的長度小于26，，0.618 由頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是 5-1，可得肚臍至足底的長度小2 42+260.618=110，即有該人的身高小于 110 68178cm，又肚臍至足底的長度大于 105cm，可得頭頂至肚臍的長度大于 1050.618≈65cm，即該人的身高大于65+105=170cm.綜上可得身高在170cm-178cm之間．故選 B．（2019全國II理4）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面1軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就.實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行．L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質(zhì)量為M，月球質(zhì)量為M，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和１２萬有引力定律，r滿足方程：M12M22M .( )Rr31設(R r)rR 3r3 ，由于 的值很小，因此在近似計算中34，則r的近似值為33R(1A．)M B．2R 2M12M2RMC．313M2R M12D．3M R3M21M19解析解法一（直接代換運算）：由M22M122M2M ，1(R r)rrM及()31 可得R R rR2(1)RM2(1)RM2rM)31[(1)1]M3R2(33)M23.(13321rR(15R11R22)2因為(1)22(1)2MM3r3MrMR3M4，所以3211rr，32R.(1)222 R R，則32rR3M313M1故選D.r解法二（由選項結構特征入手）：因為，所以 r R，Rr滿足方程：M12M22M ．1()Rr3所以MM21(Rr)3334r5R33(1)2，2所以32故選D.rR3M12010-2018年一、選擇題1．(2018浙江)已知1234ln(123)a，a，a，a成等比數(shù)列，且aaaa234a a a．若1a ，則11A．a(chǎn) a，

a

a1324B．

a

a，

a132

a4C．a(chǎn) a，

a

a1324a

a，

a

a1324D．2．(2018

北京)設集合

A{(x,y)|x

y≥1,ax

y

4,x

ay

≤

2},

則A．對任意實數(shù)

a，

(2,1)AC．當且僅當

a

0時，(2,1)AB．對任意實數(shù)

a，

(2,1)AD．當且僅當3a≤時，(2,1)A23．（2017新課標Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同學一起去問老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有 2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給 丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則 A．乙可以知道四人的成績 C．乙、丁可以知道對方的成績B．丁可以知道四人的成績 D．乙、丁可以知道自己的成績4．（2017浙江）如圖，已知正四面體 D ABC（所有棱長均相等的三棱錐），P，Q，R分別為 AB，BC，CA上的點，AP PB，BQCR2QCRA，分別記二面角 D PRQ，D PQ R，DQR P的平面角為 ， ，，則DAPA．<<R BQ CB．<< C．< <D． <<5．(2016北京)某學校運動會的立定跳遠和 30秒跳繩兩個單項比賽分成預賽和決賽兩個階段．下表為 10名學生的預賽成績，其中有三個數(shù)據(jù)模糊 .學生序號12345678910立定跳遠（單位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩（單位：次）63a7560637270a?1b65在這10名學生中，進入立定跳遠決賽的有 8人，同時進入立定跳遠決賽和 30秒跳繩決 賽的有 6人，則A．2號學生進入 30秒跳繩決賽 C．8號學生進入 30秒跳繩決賽B．5號學生進入 30秒跳繩決賽 D．9號學生進入 30秒跳繩決賽6．(2015廣東)若集合 Ε{p,q,r,s0≤p s≤4,0≤q s≤4,0≤r≤4，且pqrs,,,用cardΧA．200 ，F(xiàn) t,u,v,w0≤t u≤4,0≤v w≤4且t,u,v,w}表示集合 Χ中的元素個數(shù)，則card，cardFD．50B．150C．1007．（2014北京）學生的語文、數(shù)學成績均被評定為三個等級，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”三種．若學生甲的語文、數(shù)學成績都不低于學生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學生甲比學生乙成績好”，如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學成績也相同的兩個學生，那么這組學生最多有A．2人B．3人C．4人D．5人8．（2014山東）用反證法證明命題“設 a,b為實數(shù)，則方程 x3 ax0至少有一個實根”4時，要做的假設是3A．方程 xax b 0沒有實根B．方程x3 ax b 0至多有一個實根33C．方程 xax b 0至多有兩個實根 D．方程xax b 0恰好有兩個實根9．（2011江西）觀察下列各式: 5 3125，5615625，57 78125，5，則52011的末四位數(shù)字為 A．312510．（2010山東）觀察2B．56254C．06253D．8125(x) 2x，(x) 4x，(cosx) sinx，由歸納推理可得：若定義在 R上的函數(shù) f(x)滿足f(x) f(x)，記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則 g(x)=A．f(x)二、填空題11．(2018江蘇)已知集合 A{x|x 2n1,nN*}，B{x|x 2n,nN*}．將AUB的所有元素從小到大依次排列構成一個數(shù)列 {a}．記 S為數(shù)列 {}na的前n項和，則使得nnB． f(x)C．g(x)D．g(x)S a 成立的 n的最小值為12nn1．12．（2017北京）三名工人加工同一種零件， 他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點 Ai的橫、縱坐標分別為第 i名工人上午的工作時間和加工的零件數(shù)，點B的橫、縱坐標分i別為第i名工人下午的工作時間和加工的零件數(shù)，i=1，2，3．①記Q為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù)，則Q，Q，Q中最大的是____．i123②記 p為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數(shù)，則 p， p， p中最大的i123是______．13．(2016新課標Ⅱ)有三張卡片，分別寫有 1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡 片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是 1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是 5”，則甲的卡片上的數(shù)字是14．（2016山東）觀察下列等式：．π22π (sin；2(sin)3π(sin))3124π(sin)2 5423 3 ；3π(sin)222 555π2π3π(sin)(sin)(sin)222 777π2π3π22232π(sin)6π4(sin)342 ；738π4 ；2(sin)9??(sin9)(sin9)(sin9)345照此規(guī)律，(sin2n1)22π(sin2n1)23π(sin2n1)22nπ(sin2 _______．)2n115．（2015陜西）觀察下列等式：1－112211111－1 234341－1111111123456456??據(jù)此規(guī)律，第 n個等式可為______________________．616．（2015山東）觀察下列各式：C1 4；00C3 C3 4；011C C C50515242CC C C7071727343??照此規(guī)律，當nN*時，C02n1C12n1C22n1Cn1．2n117．（2014安徽）如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC22，過點A作BC的垂線，垂足為 A；過點AC的垂線，垂足為11

A作

AC

的垂線，垂足為

A；過點

A作221A

；?，依此類推，設

BA

a，

AA

a，

AA

a，?，

AA a，則a __．31121235677AA2A4BA1CA318．(2014福建)若集合{a,b,c,d}{1,2,3,4},且下列四個關系：①a1；②b1；③c

2；④d

4有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數(shù)組

(a,b,c,d)

的個數(shù)是____．

19．(2014

北京)顧客請一位工藝師把

A、

B兩件玉石原料各制成一件工藝品，工藝師帶一位徒弟完成這項任務，每件原料先由徒弟完成粗加工， 再由工藝師進行精加工完成制作， 兩件工藝品都完成后交付顧客，兩件原料每道工序所需時間（單位：工作日）如下：工序時間原料原料A粗加工精加工915原料B則最短交貨期為6721個工作日．x20．(2014陜西)已知f(x)1xx0，若f(x) f(x),f1n()(()),xffxnN，則1nf()的表達式為________．2014x21．(2014陜西)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體 三棱錐 五棱錐立方體面數(shù)（ F）566頂點數(shù)（V)668棱數(shù)（E)91012猜想一般凸多面體中，F(xiàn)，V，E所滿足的等式是_________．22．(2013陜西)觀察下列等式:1211222 321 2 3 6221 2 3 4 102222?照此規(guī)律,第n個等式可為．23．(2013湖北)古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù) 1，3，6，10，?，第 n個三角形數(shù)為11

221．記第

n個

k邊形數(shù)為nnn2n2Nn,kk3k邊形數(shù)中第11Nn,3 n

nn

個數(shù)的表達式： ，以下列出了部分三角形數(shù)222正方形數(shù)Nnn,4231,5五邊形數(shù)Nnnn222六邊形數(shù)Nnnn,622??可以推測 Nn,的表達式，由此計算N10,2424．(2012陜西)觀察下列不等式8．11 2112321325 ，3311 32211272??，

442

照此規(guī)律，第．五．個．不等式為

．25．(2012

湖南)設

N

2n(nN*,n

?2)

，將

N個數(shù)

x1,x2,,xN依次放入編號為1,2，?，N的N個位置，得到排列Pxxx．將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)012N取出，并按原順序依次放入對應的前N2N2

和個

后位置

，得到排列NP

xx113

x

xxN124

x，將此操作稱為

C變換，將NP

分成兩段，每段個數(shù)，并N對每段作C變換，得到個數(shù)，并對2iP；當2剟in 2時，將 P分成2i段，每段2i每段C變換，得到 P，例如，當 N=8時，P2 x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x位于P中i172的第4個位置.（1）當N=16時， x位于 P中的第72個位置；個位置.（2）當N 2n（n?8）時， x位于P中的第173426．(2011陜西)觀察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49??照此規(guī)律，第 n個等式為 27．(2010浙江)設．2,,(21)(31)aaxaxaxnnNxnxn0122，將nn2311,T0,T345a(0kn)的最小值記為T，則T0,Tkn11 ,,552332T,n323其中T= ．28．(2010福建)觀察下列等式：9cos2=2cos21；cos4=8cos48cos2+1；cos6=32cos648cos4+18cos21；cos8=128cos8256cos6+160cos432cos2+1；cos10=mcos101280cos8+1120cos6+ncos4+pcos21．可以推測， m n p=三、解答題29．（2018北京）設 n為正整數(shù)，集合 A={| (t,t,L,t),t12n．{0,1},k1,2,L,n}．對kn于集合 A中的任意元素(y,y,L,y)，記M(,)12 (x,x,L,x)和12n1[(x y |x y|) (x y |x y|)L (x y |x y|)] ．11112222nnnn2(1)當n3時，若(1,1,0)，(0,1,1)，求M和M(,)的值；(2)當n 4時，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素,，當,相同時，M(,)是奇數(shù)；當,不同時， M(,)是偶數(shù)．求集合 B中元素個數(shù)的最大值；(3)給定不小于 2的n，設B是A的子集，且滿足：對于 B中的任意兩個不同的元素，M(,)0．寫出一個集合B，使其元素個數(shù)最多，并說明理由．30．(2018江蘇)設nN*，對1，2，···，n的一個排列iiLi，如果當st時，有ii，12nst則稱(i,i)是排列iiLi的一個逆序，排列 iiLi的所有逆序的總個數(shù)稱為其逆序st12n12n數(shù)．例如：對 1，2，3的一個排列 231，只有兩個逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數(shù)為 2．記f(k)為1，2，···，n的所有排列中逆序數(shù)為 k的全部排列的個數(shù)．n(1)求 f3(2),f4(2)的值；(2)求f(2)(n≥5)的表達式(用n表示)．n31．（2017江蘇）對于給定的正整數(shù) k，若數(shù)列{a}滿足na ank1nk

a1

a1nn

a1 a

2kanknkn

對任意正整數(shù)

n(n

k)總成立，則稱數(shù)列

{}a是“

P(k)

數(shù)列”．（1）證明：等差數(shù)列{a}是“P(3)數(shù)列”；（2）若數(shù)列{a}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{a}是等差數(shù)列．nn32．（2017北京）設{a}和是兩個等差數(shù)列，記nncmax{ban,ban,,ban}(n1,2,3,)，n1122nn其中max{x1,x2,示（Ⅰ）若 an n，xs}表xxx這s個數(shù)中最大的數(shù)．1,2,,s211,2,3n，求ccc的值，并證明{c}是等差數(shù)列；nn（Ⅱ）證明：或者對任意正數(shù) M，存在正整數(shù) m，當n≥m時，n正整數(shù) m，使得 c,c ,c,mm1m2c M；或者存在 n是等差數(shù)列．33．(2016江蘇)記U 1,2,L,100．對數(shù)列a（nN*）和U的子集T，若T，定義n；若0T1,2,,kS at

atL

a．例如：

T

1,3,66

時，

Tt12kT

ttLt

，定義S a

a a．現(xiàn)設

a

（

nN*

）是公比為

3的等比數(shù)列，且當

T2,4時，

．T1366n30ST(1)求數(shù)列的通項公式；n(2)對任意正整數(shù) k（1≤k≤100），若T 1,2,L,k，求證： S a ；Tk1(3)設CU，DU， S≥S，求證： S SCDCCDI2S≥D34．(2016浙江)設函數(shù) f(x)=x3(1) f(x)≥1x x；21 1x．x[0,1]．證明：33(2)() fx≤．42nnn135．(2015湖北)已知數(shù)列{a}的各項均為正數(shù)，b n(1)na(nN)，