簡單計數(shù)問題課件

北海市第七中學(xué)高二數(shù)學(xué)組王美玉選修2-3第一章

1.4簡單計數(shù)問題北海市第七中學(xué)選修2-3第一章

1.4簡單計數(shù)問題11.能用分類加法計數(shù)或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題.2.能利用排列組合知識解決排列問題、組合問題以及排列組合的綜合應(yīng)用問題.3.培養(yǎng)分類討論思想和合理選用知識解決問題的能力.1.能用分類加法計數(shù)或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實2分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別分類加法計數(shù)原理針對的是

問題完成一件事要分為若干類,各類的方法相互

,各類中的各種方法也相互

,用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事。而分步乘法計數(shù)原理針對的是

問題,完成一件事要分為若干步,各個步驟相互

,單獨(dú)完成任何其中的一步都

完成該件事,只有當(dāng)各個步驟都完成后,才算完成這件事?！胺诸悺币华?dú)立“分步”依存不能獨(dú)立“分類”“分步”應(yīng)注意什么？不重不漏步驟完整分析問題時要分清楚先“分類”還是“分步”?。?！分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別“分類”一獨(dú)立“分步3排列、組合二1.如何區(qū)分一個問題是排列問題還是組合問題？關(guān)鍵是看它有無順序，有順序就是排列問題，無順序就是組合問題。判定它是否有順序的方法是先將元素取出來，看交換元素的順序?qū)Y(jié)果有無影響，有影響就是有序，也就是排列問題；沒影響就是無序，也就是組合問題。2.排列數(shù)公式:

組合數(shù)公式:排列、組合二1.如何區(qū)分一個問題是排列問題還是組合問題？關(guān)鍵4某項化學(xué)實驗，要把2種甲類物質(zhì)和3種乙類物質(zhì)按照先放甲類物質(zhì)后放乙類物質(zhì)的順序，依次放入某種液體中，觀察反應(yīng)結(jié)果。現(xiàn)有符合條件的3種甲類物質(zhì)和5種乙類物質(zhì)可供使用。問：這個實驗一共要進(jìn)行多少次，才能得到所有的實驗結(jié)果？1分析：由于要把2種甲類物質(zhì)和3種乙類物質(zhì)按照先甲后乙的順序依次放入某種液體中，因此需要分步計數(shù)。由于同一類物質(zhì)不同的放入順序，反應(yīng)結(jié)果可能不同，這是一個排列問題。解：第一步：放入甲類物質(zhì)，有種方案。第二步：放入乙類物質(zhì)，有種方案。根據(jù)分步乘法原理，共有種方案。某項化學(xué)實驗，要把2種甲類物質(zhì)和3種乙類物質(zhì)按照先放甲類物質(zhì)5在100個零件中有80個正品，20個次品，從中任意選2個進(jìn)行檢測，其中至少有一個次品的選法有多少種？分析：由于次品不加區(qū)別，這是一個組合問題。2個零件中至少一個次品的情況有兩種：只有一個次品或兩個次品。解：分類計數(shù)。第一類：只有一個次品，則另一個是正品。有種選法。第二類：兩個都是次品。有種選法。根據(jù)加法原理，其中至少由一個次品的選法共有

種選法。有沒有別的解題方法？2直接法間接法無限制條件時，從100件中選2件共有種選法。沒有次品時，有種選法。分析：“至少有一個次品”的反面是“沒有次品”。故用無限制條件的所有組合數(shù)減去沒有次品的組合數(shù)，即得“至少有一個次品”的組合數(shù)。則“至少有一個次品”的選法有種。在100個零件中有80個正品，20個次品，從中任意選2個進(jìn)行6排列計數(shù)的應(yīng)用例1.有3名男生，4名女生照相，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)：（1）選其中5人排成一排；（用排列數(shù)作答）（2）排成前后兩排，前排3人，后排4人；（用排列數(shù)作答）（3）全體排成一排，甲不站在排頭，也不站在排尾；（用排列數(shù)作答）（4）全體排成一排，女生必須站在一起；（用排列數(shù)作答）（5）全體排成一排，男生互不相鄰；（用排列數(shù)作答）（6）全體排成一排，甲、乙、丙三人自左向右的順序不變;（不一定相鄰）；（用數(shù)字作答）（7）全體排成一排，甲不在排頭，乙不在排尾。（用數(shù)字作答）無限制條件特殊優(yōu)先考慮捆綁法插空法定序問題特殊優(yōu)先考慮，分類討論（6）分步，先給甲在中間5個位置中選一個，其他人任意排分步，先把4個女生“捆綁”在一起，和其他3名男生排列，有種排法再把女生的“小集團(tuán)”內(nèi)部排列，有種排法。要想男生互不相鄰，先排女生，然后將3個男生插入到女生站位的空里排列即可。用無限制條件的排列數(shù)，除以特殊元素的全排列數(shù)。分析：甲不在排頭，說明甲可以在排尾或者中間。分類討論。第一類：甲在排尾，則其他人任意排列。有種排法。第二類：甲不在排尾，先給甲在中間選一個位置，再給乙在除了排尾的位置選一個位置，其他人任意排列。有種排法。則共有720+3000=3720種排法。排列計數(shù)的應(yīng)用例1.有3名男生，4名女生照相，在下列不同要7變式訓(xùn)練一（組數(shù)問題）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（）A.144個B.120個C.96個D.72個分析：分類。一類萬位上的數(shù)字為4，一類萬位上的數(shù)字為5.解：第一類，當(dāng)萬位上的數(shù)字為4時，先給個位選數(shù)字，有0、2兩種選擇，十位、百位、千位在剩下的4個數(shù)里選3個排列。有個數(shù)。第二類，當(dāng)萬位上的數(shù)字為5時，先給個位選數(shù)字，有0、2、4三種選擇，十位、百位、千位在剩下的4個數(shù)里選3個排列。

有個數(shù)。

由分類加法計數(shù)原理，則比40000大的偶數(shù)共有48+72=120個。B變式訓(xùn)練一（組數(shù)問題）分析：分類。一類萬位上的數(shù)字為4，一類87組合計數(shù)的應(yīng)用例2.某批產(chǎn)品中有一等品100個，二等品80個，三等品30個。從其中任取10個進(jìn)行檢驗。那么（用組合數(shù)表示）（1）一共有多少種抽取結(jié)果？（2）全部抽到一等品的結(jié)果有多少種？（3）抽不到一等品的結(jié)果有多少種？（4）恰抽到5個一等品的結(jié)果有多少種？（5）恰抽到1個一等品、2個二等品的結(jié)果有多少種？（6）至少抽到1個一等品的結(jié)果有多少種？解“至少”或“至多”含有幾個元素的問題時，當(dāng)用直接法分類較多時，可用間接法處理。先從一等品里抽取5個，再從二、三等里面抽取5個。7組合計數(shù)的應(yīng)用例2.某批產(chǎn)品中有一等品100個，二等品89變式訓(xùn)練二：我校開設(shè)9門課程供學(xué)生選修，其中A、B、C三門由于上課時間相同，至多選一門。學(xué)校規(guī)定，每名同學(xué)選修4門，共有種不同選修方案。（用數(shù)字作答）75分析：分類。一類為選擇了A、B、C其中一門，一類為不選A、B、C。解：第一類，若選擇了A、B、C其中一門，有3種選法，再從剩下的6門課程中選3門，有種選法。則此類有種選法。第二類，若沒有選擇A、B、C，則有種選法。由分類加法計數(shù)原理，共有60+15=75種不同的選修方案。變式訓(xùn)練二：75分析：分類。一類為選擇了A、B、C其中一門10排列組合的綜合應(yīng)用例3.現(xiàn)有4個不同的小球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)。（1）共有幾種放法？（2）恰有1個空盒，有幾種放法？（3）恰有2個空盒，有幾種放法？每個球有4種選擇，共有種放法。解：（2）若恰有1個空盒，可先選出一個空盒。剩下的盒子可分類討論，其中有一個盒子放兩個球。第一個盒子有2個球，有種選法，第二個盒子有一個球，有種選法，第三個盒子有種選法。第一個盒子有1個球，有種選法，第二個盒子有兩個球，有種選法，第三個盒子有種選法。第一個盒子有1個球，有種選法，第二個盒子有一個球，有種選法，第三個盒子有兩個球，有種選法。則共有種選法。（3）若恰有2空盒，可先選出兩個空盒。剩下的盒子可分類討論。84種放法排列組合的綜合應(yīng)用例3.現(xiàn)有4個不同的小球，4個不同的盒子11變式訓(xùn)練三：

一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人，現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有________種192解排列組合的綜合問題的一般思路是“先選后排”，也就是先把符合題意的元素都選出來，再對元素或位置進(jìn)行排列。變式訓(xùn)練三：

一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人，現(xiàn)從中選12（2017浙江）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有一名女生，共有種不同的選法。（用數(shù)字作答）（2015廣東）某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了

條畢業(yè)留言。（用數(shù)字作答）鏈接高考156055（2017浙江）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長13（2014遼寧）6把椅子擺成一排，3人機(jī)就坐，任何兩個人不相鄰的坐法種數(shù)為（）A.144B.120C.72D.24鏈接高考D（2014遼寧）6把椅子擺成一排，3人機(jī)就坐，任何兩個人不14題4課堂小結(jié)1.解排列組合的問題時，首先要認(rèn)真審題，把握問題的實質(zhì)，分清是排列還是組合問題，再注意結(jié)合分類與分步兩個原理，按元素的性質(zhì)確立分類的標(biāo)準(zhǔn)，按事情的發(fā)生過程確定分布的順序。2.解決排列組合的綜合問題，應(yīng)遵循三大原則：先特殊后一般，先分組后排列，現(xiàn)分類后分步的原則。3.相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插空法，定序問題先排后除，若直接法類別較多，可考慮間接法。課后作業(yè):活頁（七）基礎(chǔ)鞏固再見~~題4課堂小結(jié)1.解排列組合的問題時，首先要認(rèn)真審題，把握問題15北海市第七中學(xué)高二數(shù)學(xué)組王美玉選修2-3第一章

1.4簡單計數(shù)問題北海市第七中學(xué)選修2-3第一章

1.4簡單計數(shù)問題161.能用分類加法計數(shù)或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題.2.能利用排列組合知識解決排列問題、組合問題以及排列組合的綜合應(yīng)用問題.3.培養(yǎng)分類討論思想和合理選用知識解決問題的能力.1.能用分類加法計數(shù)或分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實17分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別分類加法計數(shù)原理針對的是

問題完成一件事要分為若干類,各類的方法相互

,各類中的各種方法也相互

,用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事。而分步乘法計數(shù)原理針對的是

問題,完成一件事要分為若干步,各個步驟相互

,單獨(dú)完成任何其中的一步都

完成該件事,只有當(dāng)各個步驟都完成后,才算完成這件事?！胺诸悺币华?dú)立“分步”依存不能獨(dú)立“分類”“分步”應(yīng)注意什么？不重不漏步驟完整分析問題時要分清楚先“分類”還是“分步”?。?！分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別“分類”一獨(dú)立“分步18排列、組合二1.如何區(qū)分一個問題是排列問題還是組合問題？關(guān)鍵是看它有無順序，有順序就是排列問題，無順序就是組合問題。判定它是否有順序的方法是先將元素取出來，看交換元素的順序?qū)Y(jié)果有無影響，有影響就是有序，也就是排列問題；沒影響就是無序，也就是組合問題。2.排列數(shù)公式:

組合數(shù)公式:排列、組合二1.如何區(qū)分一個問題是排列問題還是組合問題？關(guān)鍵19某項化學(xué)實驗，要把2種甲類物質(zhì)和3種乙類物質(zhì)按照先放甲類物質(zhì)后放乙類物質(zhì)的順序，依次放入某種液體中，觀察反應(yīng)結(jié)果。現(xiàn)有符合條件的3種甲類物質(zhì)和5種乙類物質(zhì)可供使用。問：這個實驗一共要進(jìn)行多少次，才能得到所有的實驗結(jié)果？1分析：由于要把2種甲類物質(zhì)和3種乙類物質(zhì)按照先甲后乙的順序依次放入某種液體中，因此需要分步計數(shù)。由于同一類物質(zhì)不同的放入順序，反應(yīng)結(jié)果可能不同，這是一個排列問題。解：第一步：放入甲類物質(zhì)，有種方案。第二步：放入乙類物質(zhì)，有種方案。根據(jù)分步乘法原理，共有種方案。某項化學(xué)實驗，要把2種甲類物質(zhì)和3種乙類物質(zhì)按照先放甲類物質(zhì)20在100個零件中有80個正品，20個次品，從中任意選2個進(jìn)行檢測，其中至少有一個次品的選法有多少種？分析：由于次品不加區(qū)別，這是一個組合問題。2個零件中至少一個次品的情況有兩種：只有一個次品或兩個次品。解：分類計數(shù)。第一類：只有一個次品，則另一個是正品。有種選法。第二類：兩個都是次品。有種選法。根據(jù)加法原理，其中至少由一個次品的選法共有

種選法。有沒有別的解題方法？2直接法間接法無限制條件時，從100件中選2件共有種選法。沒有次品時，有種選法。分析：“至少有一個次品”的反面是“沒有次品”。故用無限制條件的所有組合數(shù)減去沒有次品的組合數(shù)，即得“至少有一個次品”的組合數(shù)。則“至少有一個次品”的選法有種。在100個零件中有80個正品，20個次品，從中任意選2個進(jìn)行21排列計數(shù)的應(yīng)用例1.有3名男生，4名女生照相，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)：（1）選其中5人排成一排；（用排列數(shù)作答）（2）排成前后兩排，前排3人，后排4人；（用排列數(shù)作答）（3）全體排成一排，甲不站在排頭，也不站在排尾；（用排列數(shù)作答）（4）全體排成一排，女生必須站在一起；（用排列數(shù)作答）（5）全體排成一排，男生互不相鄰；（用排列數(shù)作答）（6）全體排成一排，甲、乙、丙三人自左向右的順序不變;（不一定相鄰）；（用數(shù)字作答）（7）全體排成一排，甲不在排頭，乙不在排尾。（用數(shù)字作答）無限制條件特殊優(yōu)先考慮捆綁法插空法定序問題特殊優(yōu)先考慮，分類討論（6）分步，先給甲在中間5個位置中選一個，其他人任意排分步，先把4個女生“捆綁”在一起，和其他3名男生排列，有種排法再把女生的“小集團(tuán)”內(nèi)部排列，有種排法。要想男生互不相鄰，先排女生，然后將3個男生插入到女生站位的空里排列即可。用無限制條件的排列數(shù)，除以特殊元素的全排列數(shù)。分析：甲不在排頭，說明甲可以在排尾或者中間。分類討論。第一類：甲在排尾，則其他人任意排列。有種排法。第二類：甲不在排尾，先給甲在中間選一個位置，再給乙在除了排尾的位置選一個位置，其他人任意排列。有種排法。則共有720+3000=3720種排法。排列計數(shù)的應(yīng)用例1.有3名男生，4名女生照相，在下列不同要22變式訓(xùn)練一（組數(shù)問題）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（）A.144個B.120個C.96個D.72個分析：分類。一類萬位上的數(shù)字為4，一類萬位上的數(shù)字為5.解：第一類，當(dāng)萬位上的數(shù)字為4時，先給個位選數(shù)字，有0、2兩種選擇，十位、百位、千位在剩下的4個數(shù)里選3個排列。有個數(shù)。第二類，當(dāng)萬位上的數(shù)字為5時，先給個位選數(shù)字，有0、2、4三種選擇，十位、百位、千位在剩下的4個數(shù)里選3個排列。

有個數(shù)。

由分類加法計數(shù)原理，則比40000大的偶數(shù)共有48+72=120個。B變式訓(xùn)練一（組數(shù)問題）分析：分類。一類萬位上的數(shù)字為4，一類237組合計數(shù)的應(yīng)用例2.某批產(chǎn)品中有一等品100個，二等品80個，三等品30個。從其中任取10個進(jìn)行檢驗。那么（用組合數(shù)表示）（1）一共有多少種抽取結(jié)果？（2）全部抽到一等品的結(jié)果有多少種？（3）抽不到一等品的結(jié)果有多少種？（4）恰抽到5個一等品的結(jié)果有多少種？（5）恰抽到1個一等品、2個二等品的結(jié)果有多少種？（6）至少抽到1個一等品的結(jié)果有多少種？解“至少”或“至多”含有幾個元素的問題時，當(dāng)用直接法分類較多時，可用間接法處理。先從一等品里抽取5個，再從二、三等里面抽取5個。7組合計數(shù)的應(yīng)用例2.某批產(chǎn)品中有一等品100個，二等品824變式訓(xùn)練二：我校開設(shè)9門課程供學(xué)生選修，其中A、B、C三門由于上課時間相同，至多選一門。學(xué)校規(guī)定，每名同學(xué)選修4門，共有種不同選修方案。（用數(shù)字作答）75分析：分類。一類為選擇了A、B、C其中一門，一類為不選A、B、C。解：第一類，若選擇了A、B、C其中一門，有3種選法，再從剩下的6門課程中選3門，有種選法。則此類有種選法。第二類，若沒有選擇A、B、C，則有種選法。由分類加法計數(shù)原理，共有60+15=75種不同的選修方案。變式訓(xùn)練二：75分析：分類。一類為選擇了A、B、C其中一門25排列組合的綜合應(yīng)用例3.現(xiàn)有4個不同的小球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)。（1）共有幾種放法？（2）恰有1個空盒，有幾種放法？（3）恰有2個空盒，有幾種放法？每個球有4種選擇，共有種放法。解：（2）若恰有1個空盒，可先選出一個空盒。剩下的盒子可分類討論，其中有一個盒子放兩個球。第一個盒子有2個球，有種選法，第二個盒子有一個球，有種選法，第三個盒子有種選法。第一個盒子有1個球，有種選法，第二個盒子有兩個球，有種選法，第三個盒子有種選法。第一個盒子有1個球，有種選法，第二個盒子有一個球，有種選法，第三個盒子有兩個球，有種選法。則共有