2020年高考復習：機械波點點清專題4 機械波的周期性和多解問題

機械波點點清專題4波傳播的周期性和多解性問題波動問題多解的主要因素周期性時間周期性：時間間隔At與周期T的關(guān)系不明確.每經(jīng)過nT,質(zhì)點完成n次全振動回到原來的狀態(tài)，在時間上形成多解，多解通式為t=nT+At.空間周期性：波傳播的距離Ax與波長入的關(guān)系不明確.在波形圖上，相距n入的質(zhì)點振動狀態(tài)完全一致，在空間上形成多解，多解通式為x=n入+Ax.雙向性傳播方向雙向性：波的傳播方向不確定.只告訴波速不指明波的傳播方向，應考慮沿兩個方向傳播的可能，即沿x軸正方向或沿X軸負方向傳播。振動方向雙向性：質(zhì)點位移、速度方向不確定.質(zhì)點達到最大位移處，則有正向和負向最大位移兩種可能，質(zhì)點在某一確定位置，振動速度方向有向上、向下(或向左、向右)兩種可能；波形的不確定：在波動問題中，往往只給出完整波形的一部分，或給出幾個特殊點，波形就有多種情況，形成波動問題的多解性。求解波的多解問題一般思路根據(jù)題設(shè)條件結(jié)合多解的主要因素判斷是唯一解還是多解根據(jù)周期性、雙向性、波形的隱含性，采用從特殊到一般的思維方法，即找出一個周期內(nèi)滿足條件的關(guān)系A(chǔ)t或Ax，確定時間t和距離x的關(guān)系通式。若此關(guān)系為時間，則t=nT+At(n=0,l,2,…)；若此關(guān)系為距離，貝則x=n入+Ax(n=0,l,2,…).Ax入根據(jù)波速公式v=亍或v=〒=入f求波速。題型1波形的不確定性形成多解【典例1】(2013年重慶卷)(多選)一列簡諧橫波沿直線傳播，某時刻該列波上正好經(jīng)過平衡位置的兩質(zhì)點相距6m,且這兩質(zhì)點之間的波峰只有一個，則該簡諧波可能的波長為()4m、6m和8mB.6m、8m和12m4m、6m和12mD.4m、8m和12m【解析】根據(jù)題意，有以下三種情況符合要求：m.入ab=m.入ab=6m,即虧=6m,入］=12cd=6m,即卩入=6m.2ef=6m,即2入3=6m,入3=4m,故C正確，A、B、D錯誤.【答案】C題型2雙向性形成多解【典例2】（雙向性）一列簡諧橫波在t=0時刻的波形如圖中的實線所示，t=0.02s時刻的波形如圖中虛線所示。若該波的周期T大于0.02s,則該波的傳播速度可能是（）A．2m/sB．3m/sC．4m/sD．5m/s解析這類問題通常要設(shè)出波的傳播方向：（1）設(shè)波向右傳播，則在0時刻x=4cm處的質(zhì)點向上振動，t=0.02s時刻該質(zhì)點運動到1入0.08波峰的位置，由題意知T〉0.02s,貝9t=［T,即T=0.08s,v=T=0~08m/s=1m/s。（2）設(shè)波向左傳播，則在0時刻x=4cm處的質(zhì)點向下振動，t=0.02s時刻該質(zhì)點運動到波峰的位置，由于T〉0.02s,貝吐=未，即T=°y8s，v=*=0~0|m/s=3m/s。"I-綜上所述，只有B選項正確。答案B題型3波傳播的周期性形成的多解【典例3】（多選）］（空間周期性）一列簡諧橫波沿x軸的正向傳播，振幅為2cm，周期為T。已知為t=0時刻波上相距50cm的兩質(zhì)點a、b的位移都是1cm,但運動方向相反，其中質(zhì)點a沿y軸負向運動，如圖所示，下列說法正確的是（）該列簡諧橫波波長可能為150cm該列簡諧橫波波長可能為12cmti30當質(zhì)點b的位移為+2cm時，質(zhì)點a的位移為負ti305T在t=T7時刻質(zhì)點b速度最大質(zhì)點a、質(zhì)點b的速度始終大小相等，方向相反［解析］根據(jù)質(zhì)點的振動方程：x=Asinst,設(shè)質(zhì)點的起振方向向上，且a、b中間的n距離小于1個波長，則b點：l=2sinet所以et廠石，a點振動的時間比b點長，所1165n5nn2n以由1=2sinet2,得①七2=〒，a、b兩個質(zhì)點振動的時間差：人七=七2-七］=6広一6広=3^TtA1=§,所以a、b之間的距離：Ax=vAt=vF=~3。則通式為n+§2=50cm,n=0,1,2,3,…；150則波長可以為2=3n+1cm（n=0,1,2,3,…）；當*=0時，2=150cm，由于n是整數(shù)，所以A不可能為12cm,故A正確，B錯誤。當質(zhì)點b的位移為+2cm時，即b到達波峰時，_nnT結(jié)合波形知，質(zhì)點a在平衡位置下方，位移為負，故C正確。由et］=石，得t廠喬二正，T5T當七=2一七］=正時質(zhì)點b到達平衡位置處，速度最大，故D正確。由題意及以上分析可知，a、b兩質(zhì)點間的距離不可能是半波長的整數(shù)倍，則兩質(zhì)點的速度不可能始終大小相等、方向相反，故E錯誤。［答案］ACD【典例4】（2018?武漢華中師大附中模擬）（時間周期性）一列簡諧橫波沿直線傳播，在傳播方向上有P、Q兩個質(zhì)點，它們相距為0.8m，當t=0時，P、Q兩點的位移恰好是正最大值，且P、Q間只有一個波谷，t=0.6s末時，P、Q兩點正好都處在平衡位置，且P、Q兩2點間只有一個波峰和一個波谷，且波峰距Q點的距離為才，試求：⑴若波由p傳至Q,波的周期；（2）若波由Q傳至P,波的速度；（3）若波由Q傳至P,從t=0時開始觀察，哪些時刻P、Q間（P、Q除外）只有一個質(zhì)點的位移大小等于振幅？解析：（1）若波由p傳到Q,由題結(jié)合波形得到，34t2.4t=n+4T，得T=jn+3=4n+3sar,1,2,…）。（2）若波由Q傳到p,由題結(jié)合波形得到，t=n+4T,2.4得T=zn+rs。又由題意可得波長2=0.8m，21則波速v=〒=3（4n+1）m/s（n=0,1,2,…）。（3）從t=0開始，波形每隔半個周期時，P、Q間（P、Q除外）只有一個波峰或波谷，即只有一個質(zhì)點的位移等于振幅，…T1.2m/、貝9t=m?2=4n+is（m=1,2,3,…；n=0,1,2,…）。2.4答案：（1）4^3s（n=0,1,2,…）（2）3（4n+1）m/s（n=0,1,2,…）/、1.2m（3）4卄1s（m=1,2,3,…；n=0,1,2,…）【典例5】（2018?河北唐山一模）（多選）（時空周期性）如圖10所示為一列向左傳播的橫波的圖象，圖中實線表示t時刻的波形，虛線表示又經(jīng)At=0.2s時刻的波形，已知波長為2m,下列說法正確的是（）圖10波的周期的最大值為2s2波的周期的最大值為9s波的速度的最小值為9m/s這列波不能發(fā)生偏振現(xiàn)象這列波遇到直徑r=1m的障礙物會發(fā)生明顯的衍射現(xiàn)象解析0.2m=11o入，因波向左傳播，則由圖象可知波向左傳播的距離為［n+衞入（n=0、1、2…），所以0.2s=［n+￡jT（n=0、1、2…），n=0時，周期最大，最大值為［=彳s,波入速最小，最小值為v=T=9m/s，所以選項A錯誤，B、C正確；橫波可以發(fā)生偏振現(xiàn)象,minTm選項D錯誤；因為障礙物的直徑r=1m〈入=2m,則這列波遇到此障礙物可以發(fā)生明顯的

衍射現(xiàn)象，選項E正確。答案BCE題型4波傳播的雙向性和周期性形成的多解【典例6】（2018?唐山模擬）（多選）（雙向性和時空周期性）一列橫波在某時刻的波形圖如圖中實線所示，經(jīng)2X10-2s后的波形圖如圖中虛線所示，則該波的波速v和頻率f可能是（）v為5m/sB.v為35m/sC.f為50Hzf為37.5Hz【答案】ABD【解析】由波形圖可以讀出：若波向右傳播時波傳播的最小距離為0.1m；若波向左傳播時，波傳播的最小距離為0.3m，入=0.4m,考慮到波形圖的時間、空間周期性知，這列波向右、向左可能傳播的距離分別是x=（n入+0.1）m=（0.4n+0.1）m,（n=0,1，2,…）右x=（n入+0.3）m=（0.4n+0.3）m,（n=0，1，2,…）左向右、向左傳播對應的周期分別為T右、T左，貝y：右左At=2X10-2s=nT+~T（n=0,1,2,…）右4右或At=nT+tT(n=0,1,2,…)由vv右=i右由vv右=i右［=(20n+5)m/s,v=^■左=（20n+15）m/s,左At由f=*得，f右=（50n+12.5）Hz,f=（50n＋37.5）Hz左令n取不同的值可得A、B、D三項正確.【典例7】（雙向性和時空周期性）一列橫波沿x軸傳播，圖中實線表示某時刻的波形，虛線表示從該時刻起0.005s后的波形.如果周期大于0.005s,則當波向右傳播時，波速為多大？波向左傳播時，波速又是多大？如果周期小于0.005s,則當波速為6000m/s時，求波的傳播方向.【答案】：(1)400m/s1200m/s(2)向左傳播【解析】(1)如果周期大于0.005s,波在0.005s內(nèi)傳播的距離小于一個波長.如果波向右Ay傳播，從題圖上看出傳播的距離為2m,由此可得波速為v右==400m/s；Ax如果波向左傳播，從題圖上看出傳播的距離為6m,由此可得波速v左=心=1200m/s.(2)由題圖知波長久=8m,波的傳播距離為Ax=vAt=6000m/sx0.005s=30m=3.75久，所以波向左傳播．1.(空間周期性)(2018?高考北京卷)如圖所示，一列簡諧橫波向右傳播，P、Q兩質(zhì)點平衡位置相距0.15m.當P運動到上方最大位移處時，Q剛好運動到下方最大位移處，則這列波的波長可能是()??PQA.0.60mB.0.30mC.0.20mD.0.15m【答案】B【解析】可以畫出PQ之間的最簡單的波形，如圖所示：由于P、Q之間可以含有多個完整的波形，則xpQ=(n+1)A(n=0,1,2,...)整理可以得到：久=2X?1(n=O，1，2，…)當n=0時，久=0.3m當n=1時，久=0.1m,故選項B正確，A、C、D錯誤.2.(2019?吉林長春模擬)(時間周期性)一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，t時刻波形圖如圖中的實線所示，此時波剛好傳到P點，t+0.6s時刻的波形如圖中的虛線所示，a、b、c、P、Q是介質(zhì)中的質(zhì)點，則下列說法正確的是()這列波的波速可能為50m/s質(zhì)點a在這段時間內(nèi)通過的路程一定小于30cm質(zhì)點c在這段時間內(nèi)通過的路程可能為60cm若周期T=0.8s,則在t+0.5s時刻，質(zhì)點b、P的位移相同若周期T=0.8s從t+0.4!時刻開始計時，貝質(zhì)點c的振動方程為x=0.1sin/(m)【答案】：ACD32.4【解析】：由波形圖可知波長久=40m,且0.6s=nT+4T(n=0,1,2,…)，解得周期T=4^2s(n=0,1,2，...)?當n=0時，T=0.8s，波速v=T=50m/s，選項A正確；由傳播方向沿x

軸正方向可知質(zhì)點a在t時刻向上運動，當n=0時，T=0.8s,則質(zhì)點a在這段時間內(nèi)通過的路程小于30cm，當n=l時，T=^s，質(zhì)點a在這段時間內(nèi)通過的路程大于30cm，選2417T項B錯誤；若n=1，則T=70s,波傳播到c點所用時間為4^0.6s斗，質(zhì)點c振動的時7l3間為卩―卩=2匚故在這段時間內(nèi)質(zhì)點c通過的路程為6A=60cm,選項C正確；若T=0.8s，t+0.5s時刻，質(zhì)點b、P的位移均為負值，大小相等，選項D正確；若T=0.8s,在t+0.4s時刻,c點處于波峰，從t+0.4s時刻開始計時，質(zhì)點c的振動方程為y=0.1?cos|n（m）,選項E錯誤.（多選）（時空周期性）[]A、B兩列簡諧橫波均沿x軸正向傳播，在某時刻的波形分別如圖中甲、乙所示，經(jīng)過時間t（t小于A波的周期TA）,這兩列簡諧橫波的波形分別變?yōu)閳D中A丙、丁所示，則A、B兩列波的波速vA、vB之比可能是（）ABA?l：lB2:1C?l：2D.3:1E.l：3解析：選ACE由題圖讀出，A波波長為入A=24cm,甲圖到丙圖一定相隔半個周期，A所以周期TA=21；B波波長為入B=12cm,乙圖與丁圖的波形圖相同，經(jīng)過的時間一定是整ABt/、、亠、士入0.240.12入0.120?12n數(shù)個周期，所以周期TB=n（n=1,2,3,…）,波速VA=tA=2t=~t~，vB=TB=~t~=t，AB—n得到vA：vB=1：n,所以A、B兩列波的波速vA、vB之比可能是A、C、E,不可能是B、D。ABAB（2016?四川）（多選）（時空周期性）簡諧橫波在均勻介質(zhì)中沿直線傳播，P、Q是傳播方向上相距10m的兩質(zhì)點，波先傳到P,當波傳到Q時開始計時，p、q兩質(zhì)點的振動圖像如圖所示.貝y（）質(zhì)點Q開始振動的方向沿y軸正方向該波從P傳到Q的時間可能為7s該波的傳播速度可能為2m/s該波的波長可能為6m【答案】AD【解析】讀圖可知，從0時刻開始，質(zhì)點Q的起振方向沿y軸正方向，A項正確.由題可知，簡諧橫波的傳播方向從P到Q,由圖可知，周期T=6s，質(zhì)點Q的振動圖像向左平移4s后與P點的振動圖像重合，意味著Q比P的振動滯后了4s,即P傳到Q的時間At可能為4s,同時由周期性可知，從P傳到Q的時間At為(4+nT)s,n=0,l,2,…，即At=4s,10s,16s,…，Ax所以B項錯誤.由v=a［，速度v可能為2.5m/s,1m/s,0.625m/s,…，C項錯誤.同理，考慮周期性，由入=vT可得，波長可能為15m,6m,3.75m,…，D項正確.(多選)(時空周期性)一列橫波在t=0時刻的波形如圖中實線所示，在t=ls時的波形如圖中虛線所示。由此可以判定此波的()波長一定是4cm周期一定是4s振幅一定是2cm傳播速度一定是1cm/s解析解波的圖象的題目，一般可分為兩類：一類是讀圖，可以直接從圖上讀出振幅和波長，此題便可讀出波長是4cm，振幅是2cm，故選項A、C正確；另一類是根據(jù)圖象給定的條件,去計算波速、周期，判定波傳播的方向，判定某一質(zhì)點的運動情況及判定某一時刻的波形圖由題可知nT+彳t=1s(n=0,1,2,3,…)是不確定解，因此選項B錯誤；同理傳播速度v入=〒也不確定，選項D錯誤。答案AC（雙向性時空周期性）如圖14—2—27所示，一簡諧橫波在t=0時的波形是圖中實線,在t]=0.2s時的波形是圖中虛線，P為介質(zhì)中x=4m處的質(zhì)點，貝9（）圖14—2—27該波一定沿x軸正方向傳播該波的傳播速度可能為5m/s從t=0開始，質(zhì)點P經(jīng)過0.2s沿x軸正方向運動1mt=0.4s時，質(zhì)點P的位置y=4cm解析：當波向左傳播時，傳播的距離x=n入十4入=4n+3,0.2s=nT+#T，波速v=（20n+15）m/s，T=4nq83（n=0，1，2，3,…）.當波向右傳播時，傳播的距離x=n入+[入=4n+1,0.2s=nT+[T，波速v=（20n+5）m/s,丁二厶口十]（n=0,1，2，3,…）.由于波傳播方向的不確定性，所以據(jù)波形圖與時間無法判斷該波的傳播方向，故A錯誤；據(jù)以上分析可知，當波向右傳播時，該波的波速可能為5m/s,故B正確；據(jù)波傳播特點可知,各質(zhì)點并不隨波遷移，而是在平衡位置附近做簡諧運動，故C錯誤；據(jù)波的圖象可知，t=0.4s時，質(zhì)點P的位置y=0,故D錯誤.答案：B（波形的不確定）如圖甲所示，在均勻介質(zhì)中P、Q兩質(zhì)點相距d=0.4m，質(zhì)點P的振動圖像如圖乙所示，已知t=0時刻，P、Q兩質(zhì)點都在平衡位置，且P、Q之間只有一個波峰。求：波的傳播速度；質(zhì)點Q下一次出現(xiàn)在波谷的時間。解析：(1)由圖乙可得該波的周期T=0.2s若P、Q間沒有波谷，P、Q間距離等于半個波長，入即入=0.8m,波速v=t=4m/s若p、Q間有一個波谷，p、Q間距離等于一個波長,入即入=0.4m,波速v=〒=2m/s若P、Q間有兩個波谷，貝￡入=0.4m,即入=罟m,、、入4波速v="T=3m/s。(2)t=0時刻，質(zhì)點P向下振動，經(jīng)過0.05s到波谷處，經(jīng)過0.15s到波峰處若P、Q間距為一個波長，P、Q同時出現(xiàn)在波谷處，則質(zhì)點Q下一次出現(xiàn)在波谷的時間是t=0.05s若P、Q間距為半波長的1倍或3倍，質(zhì)點Q在波谷時，質(zhì)點P在波峰，則質(zhì)點Q下一次出現(xiàn)在波谷的時間是t=0.15s。答案：(1)4m/s、2m/s或m/s(2)0.05s或0.15s&(空間周期性)如圖所示，t=0時，位于原點0處的波源，從平衡位置(在x軸上)開始沿y軸正方向做周期T=0.2s、振幅A=4cm的簡諧振動。該波源產(chǎn)生的簡諧橫波沿x軸正方向傳播，當平衡位置坐標為(9m,0)的質(zhì)點P剛開始振動時，波源剛好位于波谷。

質(zhì)點P在開始振動后的At=1.05s內(nèi)通過的路程是多少？該簡諧波的最大波速是多少？若該簡諧波的波速為v=12m/s,質(zhì)點Q的平衡位置坐標為(12m,0)(圖中未畫出)。請寫出以t=1.05s時刻為新的計時起點的質(zhì)點Q的振動方程。解析：(1)由于質(zhì)點P從平衡位置開始振動，且At=1.05s=54T，故在At=1.05s內(nèi)質(zhì)點P通過的路程s=21A=84cm。(2)設(shè)該簡諧波的波速為v,兩質(zhì)點0、P間的距離為Ax由題意可得Ax=[n+4j入=9m(n=0,1,2,…)入180入180所以v=〒=4n+3m/s(n=0,1,2,…)當n=0時，該簡諧波的波速最大，v=60m/s。m(3)簡諧波從波源傳到(12m,0)點所用時間12121212s=1再經(jīng)t2=t—t廠0.05s[即再經(jīng)4)