最新高中物理運(yùn)動(dòng)學(xué)專題

運(yùn)動(dòng)學(xué)第一講根本知識(shí)介紹一．根本概念1．質(zhì)點(diǎn)2．參照物3．參照系——固連于參照物上的坐標(biāo)系〔解題時(shí)要記住所選的是參照系，而不僅是一個(gè)點(diǎn)〕4．絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)：v絕=v相+v牽二．運(yùn)動(dòng)的描述1．位置：r=r(t)2．位移：Δr=r(t+Δt)－r(t)3．速度：v=limΔt→0Δr/Δt.在大學(xué)教材中表述為：v=dr/dt,表示r對(duì)t求導(dǎo)數(shù)

４．加速度a=an+aτ。an:法向加速度，速度方向的改變率，且an=v2/ρ,ρ叫做曲率半徑，〔這是中學(xué)物理競(jìng)賽求曲率半徑的唯一方法〕aτ:切向加速度，速度大小的改變率。a=dv/dt5．以上是運(yùn)動(dòng)學(xué)中的根本物理量，也就是位移、位移的一階導(dǎo)數(shù)、位移的二階導(dǎo)數(shù)。可是三階導(dǎo)數(shù)為什么不是呢？因?yàn)榕ｎD第二定律是F=ma,即直接和加速度相聯(lián)系?！瞐對(duì)t的導(dǎo)數(shù)叫“急動(dòng)度〞。〕6．由于以上三個(gè)量均為矢量，所以在運(yùn)算中用分量表示一般比擬好三．等加速運(yùn)動(dòng)v(t)=v0+atr(t)=r0+v0t+1/2at2一道經(jīng)典的物理問題：二次世界大戰(zhàn)中物理學(xué)家曾經(jīng)研究，當(dāng)大炮的位置固定，以同一速度v0沿各種角度發(fā)射，問：當(dāng)飛機(jī)在哪一區(qū)域飛行之外時(shí)，不會(huì)有危險(xiǎn)？〔注：結(jié)論是這一區(qū)域?yàn)橐粧佄锞€，此拋物線是所有炮彈拋物線的包絡(luò)線。此拋物線為在大炮上方h=v2/2g處，以v0平拋物體的軌跡?！尘毩?xí)題：一盞燈掛在離地板高l2,天花板下面l1處。燈泡爆裂，所有碎片以同樣大小的速度v朝各個(gè)方向飛去。求碎片落到地板上的半徑〔認(rèn)為碎片和天花板的碰撞是完全彈性的，即切向速度不變，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非彈性的，即碰后靜止?！乘模畡傮w的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1．我們講過的圓周運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)而不是轉(zhuǎn)動(dòng)2．角位移φ=φ〔t〕,角速度ω=dφ/dt,角加速度ε=dω/dt3．有限的角位移是標(biāo)量，而極小的角位移是矢量4．同一剛體上兩點(diǎn)的相對(duì)速度和相對(duì)加速度兩點(diǎn)的相對(duì)距離不變，相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，VA=VB+VAB,在AB連線上投影：[VA]AB=[VB]AB,aA=aB+aAB,aAB=,anAB+,aτAB,,aτAB垂直于AB,,anAB=VAB2/AB例：A，B，C三質(zhì)點(diǎn)速度分別VA，VB，VC求G的速度。五．課后習(xí)題：一只木筏離開河岸，初速度為V，方向垂直于岸邊，航行路線如圖。經(jīng)過時(shí)間T木筏劃到路線上標(biāo)有符號(hào)處。河水速度恒定U用作圖法找到在2T，3T，4T時(shí)刻木筏在航線上確實(shí)切位置。五、處理問題的一般方法〔1〕用微元法求解相關(guān)速度問題例1：如下圖，物體A置于水平面上，A前固定一滑輪B，高臺(tái)上有一定滑輪D，一根輕繩一端固定在C點(diǎn)，再繞過B、D，BC段水平，當(dāng)以恒定水平速度v拉繩上的自由端時(shí)，A沿水平面前進(jìn)，求當(dāng)跨過B的兩段繩子的夾角為α?xí)r，A的運(yùn)動(dòng)速度?！瞯A＝〕〔2〕拋體運(yùn)動(dòng)問題的一般處理方法平拋運(yùn)動(dòng)斜拋運(yùn)動(dòng)常見的處理方法〔1〕將斜上拋運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的豎直上拋運(yùn)動(dòng)〔2〕將沿斜面和垂直于斜面方向作為x、y軸，分別分解初速度和加速度后用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解題〔3〕將斜拋運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的斜向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和自由落體運(yùn)動(dòng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，用矢量合成法那么求解例2：在擲鉛球時(shí)，鉛球出手時(shí)距地面的高度為h，假設(shè)出手時(shí)的速度為V0，求以何角度擲球時(shí)，水平射程最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)射程為多少？〔α=、x=〕第二講運(yùn)動(dòng)的合成與分解、相對(duì)運(yùn)動(dòng)〔一〕知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)撥力的獨(dú)立性原理：各分力作用互不影響，單獨(dú)起作用。運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理：分運(yùn)動(dòng)之間互不影響，彼此之間滿足自己的運(yùn)動(dòng)規(guī)律力的合成分解：遵循平行四邊形定那么，方法有正交分解，解直角三角形等運(yùn)動(dòng)的合成分解：矢量合成分解的規(guī)律方法適用位移的合成分解B.速度的合成分解C.加速度的合成分解參考系的轉(zhuǎn)換：動(dòng)參考系，靜參考系相對(duì)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于靜參考系統(tǒng)〔通常指固定于地面的參考系〕的運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)：動(dòng)參考系相對(duì)于靜參考系的運(yùn)動(dòng)〔5〕位移合成定理：SA對(duì)地=SA對(duì)B+SB對(duì)地速度合成定理：V絕對(duì)=V相對(duì)+V牽連加速度合成定理：a絕對(duì)=a相對(duì)+a牽連〔二〕典型例題〔1〕火車在雨中以30m/s的速度向南行駛，雨滴被風(fēng)吹向南方，在地球上靜止的觀察者測(cè)得雨滴的徑跡與豎直方向成21。角，而坐在火車?yán)锍丝涂吹接甑蔚膹桔E恰好豎直方向。求解雨滴相對(duì)于地的運(yùn)動(dòng)。提示：矢量關(guān)系入圖答案：83.7m/s〔2〕某人手拿一只停表，上了一次固定樓梯，又以不同方式上了兩趟自動(dòng)扶梯，為什么他可以根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)來計(jì)算自動(dòng)扶梯的臺(tái)階數(shù)？提示：V人對(duì)梯=n1/t1V梯對(duì)地=n/t2V人對(duì)地=n/t3V人對(duì)地=V人對(duì)梯+V梯對(duì)地答案：n=t2t3n1/〔t2-t3〕t1(3)某人駕船從河岸A處出發(fā)橫渡，如果使船頭保持跟河岸垂直的方向航行，那么經(jīng)10min后到達(dá)正對(duì)岸下游120m的C處，如果他使船逆向上游，保持跟河岸成а角的方向航行，那么經(jīng)過12.5min恰好到達(dá)正對(duì)岸的B處，求河的寬度。提示：120=V水*600D=V船*600答案：200m〔4〕一船在河的正中航行，河寬l=100m，流速u=5m/s，并在距船s=150m的下游形成瀑布，為了使小船靠岸時(shí)，不至于被沖進(jìn)瀑布中，船對(duì)水的最小速度為多少？提示：如圖船航行答案：1.58m/s〔三〕同步練習(xí)1.一輛汽車的正面玻璃一次安裝成與水平方向傾斜角為β1=30°，另一次安裝成傾角為β2=15°。問汽車兩次速度之比為多少時(shí)，司機(jī)都是看見冰雹都是以豎直方向從車的正面玻璃上彈開？〔冰雹相對(duì)地面是豎直下落的〕2、模型飛機(jī)以相對(duì)空氣v=39km/h的速度繞一個(gè)邊長2km的等邊三角形飛行，設(shè)風(fēng)速u=21km/h，方向與三角形的一邊平行并與飛機(jī)起飛方向相同，試求：飛機(jī)繞三角形一周需多少時(shí)間？v1v23.圖為從兩列蒸汽機(jī)車上冒出的兩股長幅氣霧拖尾的照片〔俯視〕。兩列車沿直軌道分別以速度v1=50km/h和v2v1v24、細(xì)桿AB長L，兩端分別約束在x、y軸上運(yùn)動(dòng)，〔1〕試求桿上與A點(diǎn)相距aL〔0＜a＜1)的P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡；〔2〕如果vA為，試求P點(diǎn)的x、y向分速度vPx和vPy對(duì)桿方位角θ的函數(shù)。〔四〕同步練習(xí)提示與答案1、提示：利用速度合成定理，作速度的矢量三角形。答案為：3。2、提示：三角形各邊的方向?yàn)轱w機(jī)合速度的方向〔而非機(jī)頭的指向〕；第二段和第三段大小相同。參見右圖，顯然：v2=+u2－2v合ucos120°可解出v合=24km/h。答案：0.2hour〔或12min.〕。3、提示：方法與練習(xí)一類似。答案為：34、提示：〔1〕寫成參數(shù)方程后消參數(shù)θ。〔2〕解法有講究：以A端為參照，那么桿上各點(diǎn)只繞A轉(zhuǎn)動(dòng)。但鑒于桿子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情形如右圖，應(yīng)有v牽=vAcosθ，v轉(zhuǎn)=vA，可知B端相對(duì)A的轉(zhuǎn)動(dòng)線速度為：v轉(zhuǎn)+vAsinθ=。P點(diǎn)的線速度必為=v相所以vPx=v相cosθ+vAx，vPy=vAy－v相sinθ答案：〔1〕+=1，為橢圓；〔2〕vPx=avActgθ，vPy=〔1－a〕vA第四局部曲線運(yùn)動(dòng)萬有引力第一講根本知識(shí)介紹一、曲線運(yùn)動(dòng)1、概念、性質(zhì)2、參量特征二、曲線運(yùn)動(dòng)的研究方法——運(yùn)動(dòng)的分解與合成1、法那么與對(duì)象2、兩種分解的思路a、固定坐標(biāo)分解〔適用于勻變速曲線運(yùn)動(dòng)〕建立坐標(biāo)的一般模式——沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐標(biāo)；提高思想——根據(jù)解題需要建直角坐標(biāo)或非直角坐標(biāo)。b、自然坐標(biāo)分解〔適用于變加速曲線運(yùn)動(dòng)〕根本常識(shí)：在考查點(diǎn)沿軌跡建立切向τ、法向n坐標(biāo)，所有運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量均沿這兩個(gè)方向分解。動(dòng)力學(xué)方程，其中改變速度的大小〔速率〕，改變速度的方向。且=m，其中ρ表示軌跡在考查點(diǎn)的曲率半徑。定量解題一般只涉及法向動(dòng)力學(xué)方程。三、兩種典型的曲線運(yùn)動(dòng)1、拋體運(yùn)動(dòng)〔類拋體運(yùn)動(dòng)〕關(guān)于拋體運(yùn)動(dòng)的分析，和新課教材“平跑運(yùn)動(dòng)〞的分析根本相同。在坐標(biāo)的選擇方面，有靈活處理的余地。2、圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的處理：運(yùn)動(dòng)學(xué)參量v、ω、n、a、f、T之間的關(guān)系，向心力的尋求于合成；臨界問題的理解。變速圓周運(yùn)動(dòng)：使用自然坐標(biāo)分析法，一般只考查法向方程。四、萬有引力定律1、定律內(nèi)容2、條件a、根本條件b、拓展條件：球體〔密度呈球?qū)ΨQ分布〕外部空間的拓展----對(duì)球體外一點(diǎn)A的吸引等效于位于球心的質(zhì)量為球的質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)A的吸引；球體〔密度呈球?qū)ΨQ分布〕內(nèi)部空間的拓展“剝皮法那么〞-----對(duì)球內(nèi)任一距球心為r的一質(zhì)點(diǎn)A的吸引力等效于質(zhì)量與半徑為r的球的質(zhì)量相等且位于球心的質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)A的吸引；球殼〔密度呈球?qū)ΨQ分布〕外部空間的拓展----對(duì)球殼外一點(diǎn)A的吸引等效于位于球心的質(zhì)量為球殼的質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)A的吸引；球體〔密度呈球?qū)ΨQ分布〕內(nèi)部空間的拓展-----對(duì)球殼內(nèi)任一位置上任一質(zhì)點(diǎn)A的吸引力都為零；并且根據(jù)以為所述，由牛頓第三定律，也可求得一質(zhì)點(diǎn)對(duì)球或?qū)η驓さ奈?。c、不規(guī)那么物體間的萬有引力計(jì)算——分割與矢量疊加3、萬有引力做功也具有只與初末位置有關(guān)而與路徑無關(guān)的特征。因而相互作用的物體間有引力勢(shì)能。在任一慣性系中，假設(shè)規(guī)定相距無窮遠(yuǎn)時(shí)系統(tǒng)的萬有引力勢(shì)能為零，可以證明，當(dāng)兩物體相距為r時(shí)系統(tǒng)的萬有引力勢(shì)能為EP=－G五、開普勒三定律天體運(yùn)動(dòng)的本來模式與近似模式的差距，近似處理的依據(jù)。六、宇宙速度、天體運(yùn)動(dòng)1、第一宇宙速度的常規(guī)求法2、從能量角度求第二、第三宇宙速度萬有引力勢(shì)能EP=－G3、解天體運(yùn)動(dòng)的本來模式時(shí)，應(yīng)了解橢圓的數(shù)學(xué)常識(shí)第二講重要模型與專題一、小船渡河物理情形：在寬度為d的河中，水流速度v2恒定。岸邊有一艘小船，保持相對(duì)河水恒定的速率v1渡河，但船頭的方向可以選擇。試求小船渡河的最短時(shí)間和最小位移。模型分析：小船渡河的實(shí)際運(yùn)動(dòng)〔相對(duì)河岸的運(yùn)動(dòng)〕由船相對(duì)水流速度v1和水相對(duì)河岸的速度v2合成。可以設(shè)船頭與河岸上游夾角為θ〔即v1的方向〕，速度矢量合成如圖1〔學(xué)生活動(dòng)〕用余弦定理可求v合的大小v合=〔學(xué)生活動(dòng)〕用正弦定理可求v合的方向。令v合與河岸下游夾角為α，那么α=arcsin1、求渡河的時(shí)間與最短時(shí)間由于合運(yùn)動(dòng)合分運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，故渡河時(shí)間既可以根據(jù)合運(yùn)動(dòng)求，也可以根據(jù)分運(yùn)動(dòng)去求。針對(duì)這一思想，有以下兩種解法解法一：t=其中v合可用正弦定理表達(dá)，故有t==解法二：t===此外，結(jié)合靜力學(xué)正交分解的思想，我們也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐標(biāo)x、y，然后先將v1分解〔v2無需分解〕，再合成，如圖2所示。而且不難看出，合運(yùn)動(dòng)在x、y方向的分量vx和vy與v1在x、y方向的分量v1x、v1y以及v2具有以下關(guān)系vy=v1yvx=v2-v1x由于合運(yùn)動(dòng)沿y方向的分量Sy≡d，故有解法三：t===t(θ)函數(shù)既已得出，我們不難得出結(jié)論當(dāng)θ=90°時(shí)，渡河時(shí)間的最小值tmin=〔從“解法三〞我們最容易理解t為什么與v2無關(guān)，故tmin也與v2無關(guān)。這個(gè)結(jié)論是意味深長的?！?、求渡河的位移和最小位移在上面的討論中，小船的位移事實(shí)上已經(jīng)得出，即S合===但S合〔θ〕函數(shù)比擬復(fù)雜，尋求S合的極小值并非易事。因此，我們可以從其它方面作一些努力。將S合沿x、y方向分解成Sx和Sy，因?yàn)镾y≡d，要S合極小，只要Sx極小就行了。而Sx〔θ〕函數(shù)可以這樣求——解法一：Sx=vxt=〔v2-v1x〕=〔v2–v1cosθ〕為求極值，令cosθ=p，那么sinθ=，再將上式兩邊平方、整理，得到這是一個(gè)關(guān)于p的一元二次方程，要p有解，須滿足Δ≥0，即≥整理得≥所以，Sxmin=，代入Sx〔θ〕函數(shù)可知，此時(shí)cosθ=最后，Smin==d此過程仍然比擬繁復(fù)，且數(shù)學(xué)味太濃。結(jié)論得出后，我們還不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題：當(dāng)v2＜v1時(shí)，Smin＜d，這顯然與事實(shí)不符?！苍斐蛇@個(gè)局面的原因是：在以上的運(yùn)算過程中，方程兩邊的平方和開方過程中必然出現(xiàn)了增根或遺根的現(xiàn)象〕所以，此法給人一種玄乎的感覺。解法二：純物理解——矢量三角形的動(dòng)態(tài)分析從圖2可知，Sy恒定，Sx越小，必有S合矢量與下游河岸的夾角越大，亦即v合矢量與下游河岸的夾角越大〔但不得大于90°〕。我們可以通過v1與v2合成v合矢量圖探討v合與下游河岸夾角的最大可能。先進(jìn)行平行四邊形到三角形的變換，如圖3所示。當(dāng)θ變化時(shí)，v合矢量的大小和方向隨之變化，具體情況如圖4所示。從圖4不難看出，只有當(dāng)v合和虛線半圓周相切時(shí)，v合與v2〔下游〕的夾角才會(huì)最大。此時(shí)，v合⊥v1，v1、v2和v合構(gòu)成一個(gè)直角三角形，αmax=arcsin并且，此時(shí)：θ=arccos有了αmax的值，結(jié)合圖1可以求出：S合min=d最后解決v2＜v1時(shí)結(jié)果不切實(shí)際的問題。從圖4可以看出，當(dāng)v2＜v1時(shí)，v合不可能和虛線半圓周相切〔或αmax=arcsin無解〕，結(jié)合實(shí)際情況，αmax取90°即：v2＜v1時(shí)，S合min=d，此時(shí)，θ=arccos結(jié)論：假設(shè)v1＜v2，θ=arccos時(shí)，S合min=d假設(shè)v2＜v1，θ=arccos時(shí)，S合min=d二、滑輪小船物理情形：如圖5所示，岸邊的汽車用一根不可伸長的輕繩通過定滑輪牽引水中的小船，設(shè)小船始終不離開水面，且繩足夠長，求汽車速度v1和小船速度v2的大小關(guān)系。模型分析：由于繩不可伸長，滑輪右邊繩子縮短的速率即是汽車速度的大小v1，考查繩與船相連的端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況，v1和v2必有一個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成與分解的問題。〔學(xué)生活動(dòng)〕如果v1恒定不變，v2會(huì)恒定嗎？假設(shè)恒定，說明理由；假設(shè)變化，定性判斷變化趨勢(shì)。結(jié)合學(xué)生的想法，介紹極限外推的思想：當(dāng)船離岸無窮遠(yuǎn)時(shí)，繩與水的夾角趨于零，v2→v1。當(dāng)船比擬靠岸時(shí)，可作圖比擬船的移動(dòng)距離、繩子的縮短長度，得到v2＞v1。故“船速增大〞才是正確結(jié)論。故只能引入瞬時(shí)方位角θ，看v1和v2的瞬時(shí)關(guān)系。〔學(xué)生活動(dòng)〕v1和v2定量關(guān)系假設(shè)何？是否可以考慮用運(yùn)動(dòng)的分解與合成的知識(shí)解答？針對(duì)如圖6所示的兩種典型方案，初步評(píng)說——甲圖中v2=v1cosθ，船越靠岸，θ越大，v2越小，和前面的定性結(jié)論沖突，必然是錯(cuò)誤的。錯(cuò)誤的根源分析：和試驗(yàn)修訂本教材中“飛機(jī)起飛〞的運(yùn)動(dòng)分析進(jìn)行了不恰當(dāng)?shù)芈?lián)系。仔細(xì)比擬這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的差異，并聯(lián)系“小船渡河〞的運(yùn)動(dòng)合成等事例，總結(jié)出這樣的規(guī)律——合運(yùn)動(dòng)是顯性的、軌跡實(shí)在的運(yùn)動(dòng)，分運(yùn)動(dòng)是隱性的、需要分析而具有人為特征〔無唯一性〕的運(yùn)動(dòng)。解法一：在圖6〔乙〕中，當(dāng)我們挖掘、分析了滑輪繩子端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)后，不難得出：船的沿水面運(yùn)動(dòng)是v2合運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)參與繩子的縮短運(yùn)動(dòng)v1和隨繩子的轉(zhuǎn)動(dòng)v轉(zhuǎn)，從而肯定乙方案是正確的。即：v2=v1/cosθ解法二：微元法。從考查位置開始取一個(gè)極短過程，將繩的運(yùn)動(dòng)和船的運(yùn)動(dòng)在圖7〔甲〕中標(biāo)示出來，AB是繩的初識(shí)位置，AC是繩的末位置，在AB上取=得D點(diǎn)，并連接CD。顯然，圖中BC是船的位移大小，DB是繩子的縮短長度。由于過程極短，等腰三角形ACD的頂角∠A→0，那么底角∠ACD→90°，△CDB趨于直角三角形。將此三角放大成圖7〔乙〕，得出：S2=S1/cosθ。鑒于過程極短，繩的縮短運(yùn)動(dòng)和船的運(yùn)動(dòng)都可以認(rèn)為是勻速的，即：S2=v2t，S1=v1t。所以：v2=v1/cosθ三、斜拋運(yùn)動(dòng)的最大射程物理情形：不計(jì)空氣阻力，將小球斜向上拋出，初速度大小恒為v0，方向可以選擇，試求小球落回原高度的最大水平位移〔射程〕。模型分析：斜拋運(yùn)動(dòng)的常規(guī)分析和平拋運(yùn)動(dòng)完全相同。設(shè)初速度方向與水平面夾θ角，建立水平、豎直的x、y軸，將運(yùn)動(dòng)學(xué)參量沿x、y分解。針對(duì)拋出到落回原高度的過程0=Sy=v0yt+〔-g〕t2Sx=v0xt解以上兩式易得：Sx=sin2θ結(jié)論：當(dāng)拋射角θ=45°時(shí)，最大射程Sxmax=〔學(xué)生活動(dòng)〕假設(shè)v0、θ確定，試用兩種方法求小球到達(dá)的最大高度。運(yùn)動(dòng)學(xué)求解——考查豎直分運(yùn)動(dòng)即可；能量求解——注意小球在最高點(diǎn)應(yīng)具備的速度v0x，然后對(duì)拋出到最高點(diǎn)的過程用動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒。結(jié)論：Hm=。四、物體脫離圓弧的討論物理情形：如圖8所示，長為L的細(xì)繩一端固定，另一端系一小球。當(dāng)小球在最低點(diǎn)時(shí)，給球一個(gè)vo=2的水平初速，試求所能到達(dá)的最大高度。模型分析：用自然坐標(biāo)分析變速圓周運(yùn)動(dòng)的典型事例。能量關(guān)系的運(yùn)用，也是對(duì)常規(guī)知識(shí)的復(fù)習(xí)?！矊W(xué)生活動(dòng)〕小球能否形成的往復(fù)的擺動(dòng)？小球能否到達(dá)圓弧的最高點(diǎn)C？通過能量關(guān)系和圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)，得出：小球運(yùn)動(dòng)超過B點(diǎn)、但不能到達(dá)C點(diǎn)〔vC≥〕，即小球必然在BC之間的某點(diǎn)脫離圓弧?！矊W(xué)生活動(dòng)〕小球會(huì)不會(huì)在BC之間的某點(diǎn)脫離圓弧后作自由落體運(yùn)動(dòng)？盡管對(duì)于本問題，能量分析是可行的〔BC之間不可能出現(xiàn)動(dòng)能為零的點(diǎn)，那么小球脫離圓弧的初速度vD不可能為零〕，但用動(dòng)力學(xué)的工具分析，是本模型的重點(diǎn)——在BC階段，只要小球還在圓弧上，其受力分析必如圖9所示。沿軌跡的切向、法向分別建τ、n坐標(biāo)，然后將重力G沿τ、n分解為Gτ和Gn分量，T為繩子張力。法向動(dòng)力學(xué)方程為T+Gn=ΣFn=man=m由于T≥0，Gn＞0，故v≠0。〔學(xué)生活動(dòng)：假設(shè)換一個(gè)v0值，在AB階段，v=0是可能出現(xiàn)的；假設(shè)將繩子換成輕桿，在BC階段v=0也是可能出現(xiàn)的?！诚旅嫦冉饷撾x點(diǎn)的具體位置。設(shè)脫離點(diǎn)為D，對(duì)應(yīng)方位角為θ，如圖8所示。由于在D點(diǎn)之后繩子就要彎曲，那么此時(shí)繩子的張力T為零，而此時(shí)仍然在作圓周運(yùn)動(dòng)，故動(dòng)力學(xué)方程仍滿足Gn=Gsinθ=m①在再針對(duì)A→D過程，小球機(jī)械能守恒，即〔選A所在的平面為參考平面〕：m+0=mg(L+Lsinθ)+m②代入v0值解①、②兩式得：θ=arcsin，〔同時(shí)得到：vD=〕小球脫離D點(diǎn)后將以vD為初速度作斜向上拋運(yùn)動(dòng)。它所能到達(dá)的最高點(diǎn)〔相對(duì)A〕可以用兩種方法求得。解法一：運(yùn)動(dòng)學(xué)途徑。先求小球斜拋的最大高度，hm==代入θ和vD的值得：hm=L小球相對(duì)A的總高度：Hm=L+Lsinθ+hm=L解法二：能量途徑小球在斜拋的最高點(diǎn)仍具有vD的水平分量，即vDsinθ=。對(duì)A→最高點(diǎn)的過程用機(jī)械能守恒定律〔設(shè)A所在的平面為參考平面〕，有m+0=+mgHm容易得到：Hm=L五、萬有引力的計(jì)算物理情形：如圖9所示，半徑為R的均質(zhì)球質(zhì)量為M，球心在O點(diǎn)，現(xiàn)在被內(nèi)切的挖去了一個(gè)半徑為R/2的球形空腔〔球心在O′〕。在O、O′的連線上距離O點(diǎn)為d的地方放有一個(gè)很小的、質(zhì)量為m的物體，試求這兩個(gè)物體之間的萬有引力。模型分析：無論是“根本條件〞還是“拓展條件〞，本模型都很難直接符合，因此必須使用一些特殊的處理方法。本模型除了照應(yīng)萬有引力的拓展條件之外，著重介紹“填補(bǔ)法〞的應(yīng)用?？涨焕铿F(xiàn)在雖然空無一物，但可以看成是兩個(gè)半徑為R/2的球的疊加：一個(gè)的質(zhì)量為+M/8，一個(gè)的質(zhì)量為－M/8。然后，前者正好填補(bǔ)空腔——和被挖除后剩下的局部構(gòu)成一個(gè)完整的均質(zhì)球A；注意后者，雖然是一個(gè)比擬特殊的物體〔質(zhì)量為負(fù)值〕，但仍然是一個(gè)均質(zhì)的球體，命名為B。既然A、B兩物均為均質(zhì)球體，他們各自和右邊小物體之間的萬有引力，就可以使用“拓展條件〞中的定勢(shì)來計(jì)算了。只是有一點(diǎn)需要說明，B物的質(zhì)量既然負(fù)值，它和m之間的萬有“引力〞在方向上不再表現(xiàn)為吸引，而應(yīng)為排斥——成了“萬有斥力〞了。具體過程如下FAm=GFBm=G=－G最后，兩物之間的萬有引力F=FAm+FBm=G－G需要指出的是，在一局部同學(xué)的心目中，可能還會(huì)存在另一種解題思路，那就是先通過力矩平衡求被挖除物體的重心〔仍然要用到“填補(bǔ)法〞、負(fù)質(zhì)量物體的重力反向等〕，它將在O、O′的連線上距離O點(diǎn)左側(cè)R/14處，然后“一步到位〞地求被挖除物與m