實(shí)驗(yàn)一微分學(xué)基礎(chǔ)

-.z.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)報(bào)告學(xué)院：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院班級：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)3班**：4：康萍時(shí)間：實(shí)驗(yàn)一微分學(xué)根底一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模簩W(xué)習(xí)使用Mathematica的一些根本功能來驗(yàn)證或觀察得出微積分學(xué)的幾個(gè)根本理論。函數(shù)應(yīng)用及圖像數(shù)e積分與自然對數(shù)調(diào)和數(shù)列雙曲函數(shù)實(shí)驗(yàn)環(huán)境基于Windows環(huán)境下的Mathematica7.0軟件。實(shí)驗(yàn)的根本理論與方法使用Mathematica4.0軟件可繪制函數(shù)圖像。實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容和步驟及得到的結(jié)果和分析實(shí)驗(yàn)1函數(shù)及其圖像1.1Taylor級數(shù)〔1〕實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：在同一坐標(biāo)系中畫出同一個(gè)區(qū)間上的函數(shù)圖像的圖像，觀察哪一條與正弦函數(shù)的圖像最接近。〔2〕實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下：Plot[{Sin[*],0.8*,*,1.2*},{*,-Pi,Pi}]〔3〕實(shí)驗(yàn)結(jié)果：〔4〕結(jié)果分析：在具有不同斜率k的過原點(diǎn)的直線中，時(shí)的直線與正弦曲線在原點(diǎn)附近最接近；且從原點(diǎn)出發(fā)沿直線前進(jìn)與沿正弦曲線前進(jìn)的方向是一致的，在原點(diǎn)附近很小的一段旅程內(nèi)兩條線路幾乎看不出任何差異，但繼續(xù)下去，兩條線路就分道揚(yáng)鑣了：直線沿原來的方向繼續(xù)前進(jìn)，而正弦曲線則開場轉(zhuǎn)彎，兩條線路越離越遠(yuǎn)?！?〕實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：在同一坐標(biāo)系中做出區(qū)間上正弦函數(shù)圖像及多項(xiàng)式的圖像，觀察這些多項(xiàng)式函數(shù)的圖像逼近正弦曲線的情況?！?〕實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下：Plot[{Sin[*],*-*3/6,*-*3/6+*5/120,*-*3/3!+*5/5!-*7/7!},{*,-Pi,Pi}]curve1=Plot[Sin[*],{*,-Pi,Pi},PlotStyle{RGBColor[1,0,0]}];curve2=Plot[*-*3/6+*5/120,{*,-Pi,Pi},PlotStyle{RGBColor[1,0,1]}];curve3=Plot[*-*3/3!+*5/5!-*7/7!,{*,-Pi,Pi}];Show[curve1,curve2,curve3]〔3〕實(shí)驗(yàn)結(jié)果：〔4〕結(jié)果分析：通過圖像可以看出，次數(shù)越來越高的多項(xiàng)式函數(shù)的圖像越來越好的逼近正弦函數(shù)的圖像，這些多項(xiàng)式是的泰勒級數(shù)的前假設(shè)干項(xiàng)組成的。1.2函數(shù)的升降、零點(diǎn)和極值〔1〕實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：在同一坐標(biāo)系中做出函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的圖像，觀察〔ⅰ〕當(dāng)時(shí)y的圖像的升降情況及當(dāng)時(shí)，y是否有極大值或極小值；〔ⅱ〕觀察得出方程的根的近似值a,比方a=2.5,最后求出在*=2.5附近的根的更準(zhǔn)確的近似值。實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下：Plot[{*-*3/6,1-*2/2},{*,-4,4}]；FindRoot[*-*^3/6,{*,2.5}]〔3〕實(shí)驗(yàn)結(jié)果：{*2.44949}結(jié)果分析：當(dāng)時(shí)，y的圖像在區(qū)間上升，在區(qū)間上下降；當(dāng)，在區(qū)間上上升，在區(qū)間上下降。觀察得出的根近似的有。通過編程得出，在*=2.5附近的根的更準(zhǔn)確的近似值為2.44949.〔1〕實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：設(shè)對n=3，4，5，6，7依次求出在*=3附近的零點(diǎn)，觀察：隨著n的增加，所求出的零點(diǎn)有何變化趨勢？有何道理？實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下：f[*_,n_]:=Sum[(-1)^k**^(2*k+1)/((2*k+1)!),{k,0,n}];Do[Print[FindRoot[f[*,n],{*,3.0}]],{n,3,7}]實(shí)驗(yàn)結(jié)果：{*3.07864}{*3.14869}{*3.14115}{*3.14161}{*3.14159}結(jié)果分析：隨著n的增加，所求出的零點(diǎn)越來月穩(wěn)定于3.141附近，因?yàn)殡S著n的增加的圖像越來越接近于的圖像，因此由求得的根也就越來越接近與的根。1.3正弦函數(shù)的疊加〔1〕實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：分別畫出區(qū)間上的函數(shù)其中2m-1可以試驗(yàn)從小到大不同的值。比方2m-1=9,19,519等。分別觀察所得的函數(shù)圖像隨著這個(gè)n值的增加的變化情況和變化趨勢。實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下：f[*_,n_]:=Sum[Sin[k**]/k,{k,1,n,2}]；‘f[*_,n_]:=表示定義一個(gè)以*,n為自變量的函數(shù)。Plot[f[*,9],{*,-2Pi,Pi}]f[*_,n_]:=Sum[Sin[k**]/k,{k,1,n,2}];Plot[f[*,519],{*,-2Pi,Pi}]實(shí)驗(yàn)結(jié)果：〔4〕結(jié)果分析：由于每一項(xiàng)都是以為周期，經(jīng)過求和之后的函數(shù)當(dāng)然還是以為周期。觀察圖像可知，當(dāng)n值很大時(shí)，圖像越來越接近于"方形〞的波。一般的，由于函數(shù)都以為周期，他們的實(shí)系數(shù)線性組合〔也就是實(shí)數(shù)倍之和〕仍以為周期。改變各個(gè)系數(shù)就得到各種不同形狀的圖像，只要不要太連續(xù)，就能得到所有的以為周期的函數(shù)的圖像。1.3.2(1)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：分別取n=30,300,3000,在同一坐標(biāo)系中畫出區(qū)間上函數(shù)的圖像。觀察當(dāng)n增加時(shí)向逼近的現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下：fgsin=Plot[Sin[*],{*,-4Pi,4Pi},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}];p[*_,n_]:=**Product[1-*^2/((k*Pi)^2),{k,1,n}];fgproduct=Plot[p[*,30],{*,-4Pi,4Pi}];Show[fgsin,fgproduct]可得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.fgsin=Plot[Sin[*],{*,-4Pi,4Pi},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}];p[*_,n_]:=**Product[1-*^2/((k*Pi)^2),{k,1,n}];fgproduct=Plot[p[*,300],{*,-4Pi,4Pi}];Show[fgsin,fgproduct]可得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.fgsin=Plot[Sin[*],{*,-4Pi,4Pi},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}];p[*_,n_]:=**Product[1-*^2/((k*Pi)^2),{k,1,n}];fgproduct=Plot[p[*,3000],{*,-4Pi,4Pi}];Show[fgsin,fgproduct]可得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.實(shí)驗(yàn)結(jié)果：n=30n=300n=3000〔4〕結(jié)果分析：由圖像可知：當(dāng)增加時(shí)，向逐漸逼近，當(dāng)足夠大時(shí)，的圖像與完全重合.1.4無極限的函數(shù)列〔1〕實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：在區(qū)間[-1,1]上做出函數(shù)的圖像，觀察圖像當(dāng)時(shí)的變化情況。在的附近仍然看不清楚，可以再放大，將區(qū)間改為[-0.01,0.01]甚至[-0.001，0.001]。實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下：Plot[Sin[1/*],{*,-1,1}]Plot[Sin[1/*],{*,-0.01,0.01}]實(shí)驗(yàn)結(jié)果：結(jié)果分析：看得出當(dāng)時(shí)曲線在和之間振蕩，越接近于0就振蕩的越快，越"瘋狂〞。在的附近仍然看不清楚，可以再放大，將區(qū)間改為[-0.01,0.01]甚至[-0.001，0.001]，可以看出區(qū)間越小，曲線震蕩的越"瘋狂〞，圖像更加一塌糊涂?！?〕實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：從以上曲線中取一局部點(diǎn)，比方令，則當(dāng)k增加時(shí)*向0趨近，相應(yīng)的y值分別是，。這樣就在曲線上取出了3000個(gè)點(diǎn)。將這3000個(gè)點(diǎn)畫在同一個(gè)坐標(biāo)系中，看它們組成的圖形是什么樣子？能否區(qū)分出哪些點(diǎn)組成一條曲線？實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下：T=Table[{1/k,Sin[k]},{k,1,3000}];P=ListPlot[T]d=44;T1=Table[{1/k,Sin[k]},{k,3,3000,d}];T2=Table[{1/k,Sin[k]},{k,6,3000,d}];P1=ListPlot[T1,PlotJoinedTrue,PlotStyle{RGBColor[1,0,0]}];P2=ListPlot[T2,PlotJoinedTrue,PlotStyle{RGBColor[1,0,0]}];Show[P,P1,P2]實(shí)驗(yàn)結(jié)果：圖一圖二結(jié)果分析：圖一不但不是一塌糊涂、雜亂無章，反而很有規(guī)律，呈現(xiàn)出一些美麗的圖案組成的網(wǎng)。通過利用祖沖之說的近似值〔約率〕，從而44約等于的7倍，接近，從*一個(gè)開場的一連串點(diǎn)組成圖一的曲線中的一條。實(shí)驗(yàn)2數(shù)e2.1.1〔1〕實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：觀察當(dāng)n趨于無窮大時(shí)數(shù)列的變化趨勢。實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下：Do[Print[{(1.0+1/10^n)^(10^n),(1.0+1/10^n)^(10^n+1)}],{n,1,7}]實(shí)驗(yàn)結(jié)果：{2.59374,2.85312}{2.70481,2.73186}{2.71692,2.71964}{2.71815,2.71842}{2.71827,2.7183}{2.71828,2.71828}{2.71828,2.71828}(4)結(jié)果分析：當(dāng)n趨于無窮大時(shí)數(shù)列都趨近于2.71828，最后穩(wěn)定于2.71828.〔1〕實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：在同一坐標(biāo)系中畫出下面三個(gè)函數(shù)的圖像，觀察當(dāng)增大時(shí)圖像的走向。實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下：Plot[{(1+10^(-*))^(10^*),(1+10^(-*))^(10^*+1),E},{*,1,4}]Plot[{(1+10^(-*))^(10^*),(1+10^(-*))^(10^*+1),E},{*,2,4}]Plot[{(1+10^(-*))^(10^*),(1+10^(-*))^(10^*+1),E},{*,3,5}]實(shí)驗(yàn)結(jié)果：結(jié)果分析：通過觀察可以看到，當(dāng)n增大時(shí)，嚴(yán)格單調(diào)遞減。隨著n的無窮增大，無限接近，趨于共同的極限e=2.70828....以這個(gè)為底的自然對數(shù)。〔1〕實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：計(jì)算的近似值，準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后30位。實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下：Do[Print[N[1+Sum[1/(k!),{k,1,n}],30]],{n,5,30}]實(shí)驗(yàn)結(jié)果：2.72.62.52.42.72.52.02.22.12.32.72.32.52.12.42.72.32.72.72.12.82.62.52.52.52.5結(jié)果分析：上面的對數(shù)表反映了自然對數(shù)的產(chǎn)生過程。在科學(xué)中廣泛應(yīng)用以e為底的的自然對數(shù)的更直接的理由是：它使涉及到對數(shù)的微積分和積分公式變得更為簡單。2.2.1(1)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：通過運(yùn)行Mathematica語句，計(jì)算當(dāng)，時(shí)，的值。觀察當(dāng)*趨于0時(shí)，是否趨于*一極限值實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下：Do[Print[Log[10,1.0+10.0^(-n)]/(10^(-n))],{n,1,7}]實(shí)驗(yàn)結(jié)果：0.4139270.4321370.4340770.4342730.4342920.4342940.434294結(jié)果分析：當(dāng)*趨于0時(shí)，越來越趨近于0.43429附近，最后穩(wěn)定于0.434294.2.2.2(1)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：通過運(yùn)行Mathematica語句，計(jì)算當(dāng)，時(shí)，的值。觀察當(dāng)*趨于0時(shí)，是否趨于*一極限值〔2〕實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下：Do[Print[Log[1.0+10.0^(-n)]/(10^n)],{n,1,7}]實(shí)驗(yàn)結(jié)果：0.009531020.00009950339.995×10-79.9995×10-99.99995×10-119.99999×10-131.×10-14結(jié)果分析：當(dāng)*趨于0時(shí)，趨于極限值1.×10-14實(shí)驗(yàn)3積分與自然對數(shù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：畫出函數(shù)在區(qū)間[0.1，10]上的圖像，觀察圖像的形狀，看他像是什么函數(shù)的圖像，求出函數(shù)的參數(shù)。實(shí)驗(yàn)步驟：在Mathematica7.0輸入語句如下：S[*_]:=NIntegrate[1/t,{t,1,*}];Plot[S[*],{*,0.1,10}]在求這個(gè)對數(shù)的底時(shí)，它應(yīng)滿足條件S〔b〕=1,從圖像上可以看出b比3稍小一些，從而以3作為初始值，利用牛頓切線法，用遞推關(guān)系式求出近似值。輸入語句如下：g[a_]:=a-(S[a]-1)aNestList[g,3,4]實(shí)驗(yàn)結(jié)果：{3,2.70416,2.71825,2.71828,2.71828}結(jié)果分析：觀察可以看出，圖中所畫圖像很像是對數(shù)函數(shù)的圖像。計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)b恰是自然對數(shù)的底e。實(shí)驗(yàn)四調(diào)和數(shù)列實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：將坐標(biāo)的點(diǎn)依次連接成光滑曲線，觀察曲線的形狀，它與什么函數(shù)的圖