導(dǎo)數(shù)系列：一類以自然指數(shù)對數(shù)為背景的導(dǎo)數(shù)壓軸題解法教師版

自然指數(shù)和對數(shù)為背景的壓軸題解法注:本文以目前數(shù)學(xué)成績在一本線上下的學(xué)子的數(shù)學(xué)水準(zhǔn)，進(jìn)行展開講解。根據(jù)“遺傳學(xué)規(guī)律”明年全國乙卷再次考到的可能性極大，打出來給學(xué)生將保準(zhǔn)學(xué)生橫掃此類壓軸題！源于課本：1-1課本99頁B組1題或課本2-2第32頁B組1題的習(xí)題：利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過函數(shù)圖像直觀驗證： ex 1 x；【探究拓展】探究1：證明不等式ex1x*變式1：設(shè)f(x)exxa，其中aR,若對于任意xR，f(x)0恒成立，則參數(shù)a的取值范圍是_________a1變式2：設(shè)f(x)exax1，其中aR，若對于任意xR，f(x)0恒成立，則參數(shù)a的取值范圍是_________a1變式3：設(shè)f(x)aexx1，其中aR，若對于任意xR，f(x)0恒成立，則參數(shù)a的取值范圍是_________a1點評：太巧了：增之一分則太肥，減之一分則太瘦......探究2：不等式ex1x*有哪些等價變形并在坐標(biāo)系中畫圖變形1：ex1x變形2：ex1x1x1變形3：ln(1x)x(x1)變形4：lnxx1(x0)*變形5：ln1x1(x0)x變形6：lnx11(x0)x歸一：我們只要通過畫圖并記住ex1x*,lnxx1(x0)*即可，考試出現(xiàn)了其它變形換元轉(zhuǎn)化為這2個不等式即可。探究3：觀察：“插中”不等式（當(dāng)然是我編的名字）變形4：lnxx1(x0)*變形6：lnx10)*1(xx兩式相加除以2，試比較：左邊lnx還是右邊1(x1)的大小并證明：2x結(jié)論：“插中”不等式*:若0x1，則lnx1x1.；若x1,則lnx1x1;2x2x請在坐標(biāo)系中畫出圖像：這個圖像很漂亮，容易記住。點評：數(shù)學(xué)很美，插中不等式很明顯是加強，更加精準(zhǔn)了，在高考中經(jīng)常考到，往后看 ...總結(jié)： ex 1 x*, lnx x 1(x 0)* “插中”不等式*，以上三式都是將自然指數(shù)和對數(shù)放縮為我們更加熟悉的一次函數(shù)或者反比例函數(shù)進(jìn)行放縮處理。題型一：化歸為指數(shù)型

ex

1 x放縮例1（2010年全國）設(shè)函數(shù)

f x

ex

1 x

ax2。（1）若

a

0

，求

f

x

的單調(diào)區(qū)間；（2）若

x

0時f x

0，求

a的取值范圍。（提示：

ex

x 1）解：（1）a當(dāng)x ( ,0)

0時，時，

f(x)f'(x)

ex 10；當(dāng)

x，x (0,

f

'(x) ex)時，

1.f'(x)

0.故

f(x)

在(

,0)

單調(diào)減少，在

(0,

)單調(diào)增加（2）

f'(x)

ex

1 2ax由（I）知ex 1 x，當(dāng)且僅當(dāng) x 0時等號成立.故f'(x)x2ax(12a)x，從而當(dāng)12a0，即a10)，而f(0)0，時，f'(x)0(x2于是當(dāng)x0時，f(x)0.由ex 1 x(x 0)可得ef'(x) ex 1 2a(e

x1x(x0).從而當(dāng)a1時，2x1)ex(ex1)(ex2a)，故當(dāng)x (0,ln2a)時，f'(x) 0，而f(0) 0，于是當(dāng)x (0,ln2a)時，f(x) 0.1綜合得a的取值范圍為 ( , ].2練習(xí)1：（2012年全國）已知函數(shù)fxf'1ex1f0x1x2，（1）求fx的解析式及單調(diào)區(qū)間；12（2）若fxx2axb,求a1b的最大值。（很簡單，省略）2練習(xí)2：（2013年全國）已知函數(shù) f x ex lnx m.當(dāng)m 2時，證明 f x 0.（很簡單，省略）練習(xí)3：（2016年廣一模）已知函數(shù)fxexmx3,gxlnx12。1）若曲線yfx在點0,f0處的切線斜率為1，求實數(shù)m的值。2）當(dāng)m1時，證明：fxgxx3。（2016年廣二模也有用到）練習(xí)4：已知函數(shù) f(x) ex ax 1(a 0,e為自然對數(shù)的底數(shù) ).⑴求函數(shù)f(x)的最小值；⑵若f(x)≥0對任意的xR恒成立，求實數(shù)a的值；⑶在⑵的條件下，證明：(1)n(2)n(n1)n(n)ne(其中nN*).nnnne1解：（1）由題意a0,f(x)exa，由f(x)exa0得xlna.當(dāng)x(,lna)時,f(x)0；當(dāng)x(lna,)時，f(x)0.∴f(x)在(,lna)單調(diào)遞減，在(lna,)單調(diào)遞增.即f(x)在xlna處取得極小值，且為最小值，其最小值為f(lna)elnaalna1aalna1.2f(x)≥0對任意的xR恒成立，即在xR上，f(x)min≥0.（）由（1），設(shè)g(a)aalna1.，所以g(a)≥0.由g(a)1lna1lna0得a1.∴g(a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞減，∴g(a)在a1處取得極大值g(1)0.因此g(a)≥0的解為a1，∴a1.（3）由（2）知，因為a1，所以對任意實數(shù)x均有exx1≥0，即1x≤ex.kkk令x(nN*,k0,1,2,3,?,n1)，則01k≤en.∴(1k)n≤(en)nek.nnn1n2n?n1nnn(n1)e(n2)?e2e111en1e()()()()≤e1e11e1e1.∴nnnn練習(xí)5：已知函數(shù)f(x)=eaxx，其中a≠0.（1）若對一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合.（2）在函數(shù)f(x)的圖像上取定兩點A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))(x1x2)，記直線AB的斜率為K，問：是否存在x0∈（x1，x2），使f(x0)k成立若存在，求x0的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）若a0，則對一切x0，f(x)eaxx1，這與題設(shè)矛盾，又a0，故a0.而f(x)aeax1,令f(x)0,得x1ln1.11aa1111當(dāng)x(x)時，f(x)aln時，f0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xln0,f(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)xlnaaaaa時，f(x)取最小值f(1ln1)11ln1.aaaaa于是對一切xR,f(x)1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)11ln11.①aaa令g(t)ttlnt,則g(t)lnt.當(dāng)0t1時，g(t)0,g(t)單調(diào)遞增；當(dāng)t1時，g(t)0,g(t)單調(diào)遞減.故當(dāng)t1時，g(t)取最大值g(1)1.因此，當(dāng)且僅當(dāng)11即a1時，①式成立.a綜上所述，a的取值集合為1.（2）由題意知，kf(x2)f(x1)eax2eax11.x2x1x2x1令(x)f(x)kaxeax2eax1,則aex2x1(x1)eax1a(x2x1)a(x2x1)1,x2ex1(x2)eax2a(x1x2)a(x1x2)1.x2x1e令F(t)ett1，則F(t)et1.當(dāng)t0時，F(xiàn)(t)0,F(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t0時，F(xiàn)(t)0,F(t)單調(diào)遞增.故當(dāng)t0，F(xiàn)(t)F(0)0,即ett10.a(x2x1)a(x2a(x1x2)a(x1x2)eax10,eax20,從而ex1)10，e10,又x2x2x1x1所以(x1)0,(x2)0.因為函數(shù)y(x)在區(qū)間x1,x2上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在x0(x1,x2)使(x0)0,(x)2ax0,(x)單調(diào)遞增，故這樣的c是唯一的，且c1eax2eax1.故當(dāng)且僅當(dāng)aelna(x2x1)ax(1lneax2eax1,x2)時，f(x0)k.aa(x2x1)x0(x1,x2)使f(x0)1eax2eax1,x2).綜上所述，存在k成立.且x0的取值范圍為(lnx1)aa(x2【點評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化與劃歸思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出f(x)取最小值111111恒成立轉(zhuǎn)化為f(x)min1，從而得出a的取值集合；第二問f(ln)aln.對一切x∈R，f(x)aaaa在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個函數(shù)的單調(diào)性及最值來進(jìn)行分析判斷 .練習(xí)4：（2012年山東）已知函數(shù)flnxkfx在點1,f1處的切線與x軸平行。1）xex，曲線y求k的值；2）求fx的單調(diào)區(qū)間；3）設(shè)gxx2xf'x,其中f'x為fx的導(dǎo)函數(shù)，證明：對任意x0,g(x)1e2。（答案略）例2、(2011年湖北）已知函數(shù)fxlnxx1,x0,.求函數(shù)的最大值；2）設(shè)ak,bkk1,2,...,n均為正數(shù)，證明：若a1b1a2b2...anbnb1b2...bn，則a1b1a2b2...anbn1（提示：lnxx1）解：（1）f(x)的定義域為(0,)，令f/(x)110x1，xf(x)在(0,1)上遞增，在(1,)上遞減，故函數(shù)f(x)在x1處取得最大值f(1)0（2）由（Ⅰ）知當(dāng) x (0, )時有f(x) f(1) 0即lnx x 1，∵ak,bk0，∴bknlnakbknlnakbk(ak1),(k1,2,n)bk(ak1)k1k1∵nakbknbk∴nlnakbk0即ln(a11a22ann)0a11a22ann1bbbbbbk1k1k1練習(xí)1:（2006年全國）函數(shù)fxx1lnx1，若對所有的x1都有fxax成立，求實數(shù)a的取值范圍。（很簡單，省略）練習(xí)2：已知函數(shù)f(x)(x1)lnxx1.（1）若xf'(x)x2ax1，求a的取值范圍；（2）證明：(x1)f(x)0.解：（Ⅰ）f(x)x1lnx1lnx1，xxf(x)xlnx1,題設(shè)xf(x)2ax1等價于lnxxa.x令g(x)lnxx，則g(x)11x當(dāng)0＜x＜1，g'(x)＞0；當(dāng)x≥1時，g'(x)≤0，x1是g(x)的最大值點，g(x)≤g(1)1綜上，a的取值范圍是1,.(Ⅱ)有（Ⅰ）知，g(x)≤g(1)1即lnxx1≤0.當(dāng)0＜x＜1時，f(x)(x1)lnxx1xlnx(lnxx1)≤0；當(dāng)x≥1時，f(x)lnx(xlnxx1)lnxx(lnx11)xlnxx(ln111)xx0練習(xí)3：（2014年陜西）設(shè)函數(shù) f x ln1 x,gx xf'x,x 0,其中f'x是f x的導(dǎo)函數(shù)。若xagx恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。（很簡單，省略）練習(xí)4：（2011浙江理22,替換構(gòu)造）已知函數(shù)f(x)2aln(1x)x(a0).⑴求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；lgelgelge(1n)n(n1)(nN*).⑵求證：4lgelgenn23n解：⑴定義域為1,,f'(x)2a1.1x令f'(x)01x2a1，令f'(x)0x2a1故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為1,2a1，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為2a1,f(x)的極大值為2aln2a2a1lgelgelge(1n)n⑵證明：要證4lgelgenn23n(n1)(1n)n(1n)nnn111nn即證4111lge(n1)，即證4lne1)(n23nlge23n即證11113ln(n1)(11)n23nn1(0,)上遞減，故f(x)f(0)0令a，由⑴可知f(x)在21(n1)lnn11即ln(1x)x，令xN*)，故ln(1ln(n1)lnnnnnn累加得，ln(n1)111123nln(11)1ln(11)n1(11)ne3nnnn1113ln(n1)1)n，得證故13n(12n法二：(11n=01121n12111n)CnCnnCnn2Cnnn2!3!n!1111122(12n1)13，其余相同證法2222n13212n12練習(xí)5：已知函數(shù)f(x)ln(x1)k(x1)1.（1）求函數(shù) f(x)的極值點。（2）若f(x) 0恒成立，試確定實數(shù) k的取值范圍。（3）證明：ln2ln3ln4lnn(n4)(n1)(nN,n1).3815n216解：(1)f(x)的定義域為（1+∞），f/(x)1k.，x1當(dāng)k0時，x1,f/(x)0，則f(x)在（1，+∞）上是增函數(shù)。f(x)在（1，+∞）上無極值點.當(dāng)k0時，令f/()0，則x1.x1k1)時，f/(x)1k1k0所以當(dāng)x(1,1x111，kk1∴f(x)在(1,11)上是增函數(shù)，k當(dāng)x(11,)f/(x)1k1k0時，x111，k1k∴f(x)在(11,)上是減函數(shù)。1k∴x1時，f(x)取得極大值。k綜上可知，當(dāng)k0時，f(x)無極值點；當(dāng)k0時，f(x)有唯一極值點x11.k(2)由(1)可知，當(dāng)k 0時，f(2) 1 k 0，f(x) 0不成立.故只需考慮k 0.由(1)知，f(x)maxf(11lnk，)k1)若f(x)0恒成立，只需f(x)maxf(1lnk0即可，,[1+k.∞）化簡得：k1所以k的取值范圍是，(3)由(2)知，當(dāng)k1時理解得：lnxx1，x1.∴l(xiāng)nn3n31(n1)(n2n1)(n1)(n1)2.∴l(xiāng)nnn1(nN,n1)n213ln2ln3ln4lnn1(345n1)3815n2131(3n1)(n1)(n4)(n1)(nN,n1)326練習(xí)6：已知函數(shù) f(x) ln(x 1) k(x 1) 1.⑴求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；⑵若f(x)≤0恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍；⑶證明：①當(dāng)x2時，ln(x1)x2；②nlnin(n1)(nN*,n1).i1i14解：⑴函數(shù)的定義域為(1,)中，f(x)1k.1x當(dāng)k≤0時，f(x)0，則f(x)在(1,)上是增函數(shù).當(dāng)k0時，f(x)在(1,11)上是增函數(shù)，在(11,)上是減函數(shù).kk⑵由⑴知，當(dāng)k≤0時，f(x)在(1,)上是增函數(shù).而f(2)1k0，f(x)≤0不成立.當(dāng)k0時，由⑴知ymaxf(11)lnk，要使f(x)≤0恒成立，則lnk≤0，解得k≥1.k⑶①由⑵知當(dāng)k1時，有f(x)在(1,)上恒成立，且f(x)在(2,)是減函數(shù).又f(2)0，∴當(dāng)x2時，f(x)f(2)0，即ln(x1)x2.②令x12則lnn2n2即2lnn(n1)(n1)，從而lnnn1.n,1,n12ln2ln3ln4lnn123n1n(n1)∴345n12222成立.4例3、（2010湖北）已知函數(shù) （fx）ax b （ca 0）的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為 y x 1.x⑴用a表示出b、c；⑵若f(x)≥lnx在[1， )上恒成立，求a的取值范圍；⑶證明：111ln(n1)n(n1).23n2(n1)解：本題主要考察函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，同事考察綜合運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理論證的能力和分類討論的思想。⑴f'(x)ab，則有f(1)abc0ba1.，解得⑵由⑴知，f(x)axa112a，xa1令g(x)f(x)lnxax12alnx，x1,則g(1)0，xg'(x)aa11ax2x(a1)a(x1)(x1aa)x2xx2x2①當(dāng)oa11a1，a2若1x1a，則g'(x)0，g(x)是減函數(shù)，所以g(x)g(l)oaf(x)lnx，故f(x)lnx在1,上恒不成立。11a②a時，12a若f(x)lnx，故當(dāng)x1時，f(x)lnx。a的取值范圍為1綜上所述，所求,2⑶由⑵知：當(dāng)a1f(x)lnx(x1).時，有211(x1lnx(x1)令a，有f(x))22x當(dāng)x1時，11lnx.(x)2xk1k11k1k11)(11令x，有l(wèi)n2kk1(1kk)kk21即ln(k1)lnk/r/