經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課件2

第2章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.2導(dǎo)數(shù)的運算2.3微分第2章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.1導(dǎo)數(shù)的概念

2.1.1引例

引例1(變速直線運動的速度)設(shè)一物體做變速直線運動，運動方程為s=s(t)，現(xiàn)求其在某一時刻t0的瞬時速度v0.

設(shè)時間t由t0變化到t0+Δt，則時間t的增量為Δt.相應(yīng)地，路程增量為Δs=s(t0+Δt)－s(t0).于是，這段時間內(nèi)的平均速度為.顯然，當時間增量Δt很小時，平均速遞就可以近似地表示物體在t0時刻的瞬時速度，并且Δt越小，近似的精確度越高.因此，當Δt→0時，如果極限

存在，則這個極限就表示了物體在t0時刻的瞬時速度，即2.1導(dǎo)數(shù)的概念

2.1.1例1已知物體做自由落體運動，運動方程為

s=(1/2)gt2

求任意時刻t0的瞬時速度v0.

解給時間t在t0時刻以增量Δt，則相應(yīng)的路程增量為于是，這段時間內(nèi)的平均速度為令Δt→0，則t0時刻的瞬時速度為例1已知物體做自由落體運動，運動方程為

引例2(平面曲線的切線斜率)設(shè)曲線y=f(x)上有一定點M0(x0，y0)，求曲線在該點的切線斜率.

如圖2-1所示，在曲線y=f(x)上任取一動點M(x0+Δx，y0+Δy)，作割線M0M，當動點M沿著曲線無限趨近于定點M0時，割線M0M的極限位置M0T就定義為曲線在點M0處的切線，過M0且與切線垂直的直線稱為曲線在點M0處的法線.由于割線M0M的斜率為故令Δx→0，則過點M0的切線斜率為引例2(平面曲線的切線斜率)設(shè)曲線y=f(x)上有一圖2-1圖2-1引例3(邊際成本問題)設(shè)某產(chǎn)品的總成本C是產(chǎn)量Q的函數(shù)：C=C(Q)，求產(chǎn)量為Q0時，總成本的變化率.

當產(chǎn)量Q由Q0變化到Q0+ΔQ時，總成本的改變量為

ΔC=C(Q0+ΔQ)－C(Q0)于是總成本的平均變化率為

當ΔQ很小時，上式可近似表示總成本在Q0的變化率，并且ΔQ越小，近似程度越高，故令ΔQ→0，可得總成本的變化率為在經(jīng)濟學(xué)中，總成本的變化率也稱為邊際成本.引例3(邊際成本問題)設(shè)某產(chǎn)品的總成本C是產(chǎn)量Q的函2.1.2導(dǎo)數(shù)的概念

1.導(dǎo)數(shù)的定義

定義2.1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在點x0處取得增量Δx(≠0)時，函數(shù)f(x)有相應(yīng)的增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0).如果當Δx→0時，存在，則稱f(x)在點x0處可導(dǎo)，并將此極限稱為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′(x0)或(dy/dx)|x=x0或(df(x)/dx)|x=x0.如果

不存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處不可導(dǎo).2.1.2導(dǎo)數(shù)的概念

1.導(dǎo)數(shù)的定義

定例2求函數(shù)y=3x2－x+1在x0=2處的導(dǎo)數(shù).

解給自變量x在x0=2處以增量Δx，則函數(shù)相應(yīng)的增量為

Δy=3(2+Δx)2－(2+Δx)+1－11

=3(Δx)2+11Δx

于是

故有

即

f′(2)=11例2求函數(shù)y=3x2－x+1在x0=2處的導(dǎo)數(shù).

定義2.2如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點都可導(dǎo)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo).

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則對于任意x∈(a，b)，都有一個確定的導(dǎo)數(shù)值f′(x)與之對應(yīng)，這樣就確定了一個新函數(shù).我們稱這個新函數(shù)為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，記作y′或f′(x)或(dy/dx)或(df(x)/dx).

注函數(shù)在點x0處的導(dǎo)數(shù)等于其導(dǎo)函數(shù)在該點的函數(shù)值.

有了導(dǎo)數(shù)的概念后，2.1.1節(jié)中所講的三個引例就可以用導(dǎo)數(shù)來表示，它們分別表示了導(dǎo)數(shù)在物理、幾何、經(jīng)濟方面的意義：

導(dǎo)數(shù)的物理意義——瞬時速度，即v(t)=s′(t)；

導(dǎo)數(shù)的幾何意義——切線斜率，即k切=f′(x)；定義2.2如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的每導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟意義——邊際成本，即MC=C′(Q).

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)的一般步驟如下：

(1)求函數(shù)f(x)的增量：Δy=f(x+Δx)－f(x)；

(2)求比值：；

(3)取極限：.

例3求函數(shù)y=c(c為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).

解(1)求增量:

Δy=f(x+Δx)－f(x)=c－c=0

(2)求比值:導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟意義——邊際成本，即MC=C′(Q).

(3)取極限:

故有

c′=0

例4求函數(shù)y=x2的導(dǎo)數(shù).

解(1)求增量:

Δy=(x+Δx)2－x2=2xΔx+(Δx)2

(2)求比值:

(Δy/Δx)=2x+Δx

(3)取極限:y′＝(3)取極限:

故有

c′=故有

(x2)′=2x

一般地，對于冪函數(shù)y=xa的導(dǎo)數(shù)，有如下公式:

(xa)′=axa－1(其中a為任意常數(shù))

例5求函數(shù)y=sinx的導(dǎo)數(shù).

解(1)求增量:

Δy=sin(x+Δx)－sinx

(2)求比值:故有

(x2)′=2x

一

故有

(sinx)′=cosx

類似地，可以得到

(cosx)′=－sinx

例6求對數(shù)函數(shù)y=logax(a＞0，a≠1)的導(dǎo)數(shù).

解(1)求增量:(2)求比值:

故有

(sinx)′=cosx

(3)取極限:

故有

一般地，(3)取極限:

故有

一般地，例7(邊際利潤)在經(jīng)濟數(shù)學(xué)中，邊際利潤定義為產(chǎn)量增加一個單位時所增加的利潤.

設(shè)某產(chǎn)品產(chǎn)量為Q個單位時總利潤為L=L(Q)，當產(chǎn)量由Q變?yōu)镼+ΔQ時，總利潤函數(shù)的改變量為

ΔL=L(Q+ΔQ)－L(Q)

總利潤函數(shù)的平均變化率為

它表示產(chǎn)量由Q變到Q+ΔQ時，在平均意義下的邊際利潤.

當總利潤函數(shù)L=L(Q)可導(dǎo)時，其變化率例7(邊際利潤)在經(jīng)濟數(shù)學(xué)中，邊際利潤定義為產(chǎn)量增加表示該產(chǎn)品產(chǎn)量為Q時的邊際利潤，即邊際利潤是總利潤函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù).

類似地，在經(jīng)濟數(shù)學(xué)中，邊際成本定義為多生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的成本投入，即C′(Q)，這里C(Q)表示生產(chǎn)量為Q時的總成本投入.

2.左、右導(dǎo)數(shù)

由于導(dǎo)數(shù)本身就是極限，而極限存在的充要條件是左、右極限存在且相等，因此，極限:表示該產(chǎn)品產(chǎn)量為Q時的邊際利潤，即邊際利潤是總利潤函數(shù)關(guān)分別稱為函數(shù)y=f(x)在點x0處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，分別記為

f′－(x0)和f′+(x0).

于是，有如下定理.

定理2.1函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)的充要條件是f(x)在點x0處的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等.

例8設(shè)函數(shù)，試討論f(x)在點x=1處是否可導(dǎo).

解由于故f′(1)=2分別稱為函數(shù)y=f(x)在點x0處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，分別記為2.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

由引例2可知，函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)就是它所表示的曲線在點M0(x0，y0)處的切線MT的斜率，即k=f′(x0)

于是，曲線y=f(x)在點M0(x0，y0)處的切線方程為

y－y0=f′(x0)(x－x0)

若f′(x0)≠0，則曲線y=f(x)在點M0(x0，y0)處的法線方程為2.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

由引例2可知，函數(shù)y=f例9求拋物線y=x3在點(1，1)處的切線和法線方程.

解因為y′=3x2，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線y=x3在點(1，1)處的切線斜率為

k=y′|x=1=3

故所求切線方程為

y－1=3(x－1)

法線方程為例9求拋物線y=x3在點(1，1)處的切線和法線方程2.1.4可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，即

存在，由極限的運算法則得

由函數(shù)連續(xù)性的定義可知，f(x)在點x0處連續(xù)，故有如下結(jié)論.

定理2.2如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，那么它在點x0處一定連續(xù).反之，逆命題不一定成立.

例10討論函數(shù)

解如圖2-2所示，因為在點x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.Δy=f(0+Δx)－f(0)=|Δx|2.1.4可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點圖2-2圖2-2所以

故處連續(xù).

又因為

顯然左、右導(dǎo)數(shù)存在但不相等，故函數(shù)在點x=0處不可導(dǎo).

因此，函數(shù)連續(xù)是可導(dǎo)的必要而非充分條件.所以

故處連續(xù).

又因為

顯然左、右2.2導(dǎo)數(shù)的運算

2.2.1導(dǎo)數(shù)的四則運算法則

定理2.3如果函數(shù)u=u(x)、v=v(x)都在點x處可導(dǎo)，則函數(shù)u(x)±v(x)、u(x)v(x)、[u(x)/v(x)](v(x)≠0)也在點x處可導(dǎo)，且有

(1)[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x)；

(2)[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)；

(3)

，其中v(x)≠0.2.2導(dǎo)數(shù)的運算

2.2.1導(dǎo)例1求函數(shù)y=x2+(3/x)－lnx+sina的導(dǎo)數(shù).

解

例2求函數(shù)y=(x3+2x)cosx的導(dǎo)數(shù).

解

例3求函數(shù)y=tanx的導(dǎo)數(shù).

解即(tanx)′=sec2x

例1求函數(shù)y=x2+(3/x)－lnx+sina的導(dǎo)類似地，可得

(cotx)′=－csc2x

(secx)′=secxtanx

(cscx)′=－cscxcotx

例4

設(shè)f(x)=(ex

cosx/x2)，求f′(x).

解

類似地，可得

(cotx)′=－c2.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.4如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)x=g(y)在點y處可導(dǎo)，且g′(y)≠0，則其反函數(shù)y=f(x)在對應(yīng)點x處也可導(dǎo)，且有例5求y=ax(a>0，a≠1)的導(dǎo)數(shù).

解因為y=ax是x=logay的反函數(shù)，且有所以2.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.4如果單調(diào)即

(ax)′=axlna

特別地，當a=e時，有

(ex)′=ex

例6求y=arcsinx，x∈(－1，1)的導(dǎo)數(shù).

解因為y=arcsinx是x=siny的反函數(shù)，，且有

所以即

(ax)′=axlna

特即

，x∈(－1，1)

類似地，可得

，x∈(－1，1)

例7求y=arctanx的導(dǎo)數(shù).

解因為y=arctanx是x=tany的反函數(shù)，且有所以即

，x∈(－1，1)

即類似地，可得即類似地，可得2.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.5(復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則)設(shè)函數(shù)u=φ(x)在點x處可導(dǎo)，函數(shù)y=f(u)在相應(yīng)的點u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]在點x處也可導(dǎo)，且有

該法則可以敘述為：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于復(fù)合函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù).2.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.5(復(fù)合函數(shù)例8

求y=cos(3x+5)的導(dǎo)數(shù).

解設(shè)y=cosu，u=3x+5，則有

y′=(cosu)′(3x+5)′=－3sinu=－3sin(3x+5)

例9求

的導(dǎo)數(shù).

解設(shè)

，u=2x2+5x－3，則有例10求y=ln(tan3x)的導(dǎo)數(shù).

解設(shè)y=lnu，u=tanv，v=3x，則有例8求y=cos(3x+5)的導(dǎo)數(shù).

解設(shè)例11求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù).

解

例12

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):例11求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

解例12求2.2.4基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

前面我們利用導(dǎo)數(shù)概念、四則運算求導(dǎo)法則、反函數(shù)求導(dǎo)法則等內(nèi)容求出了部分基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.為了便于記憶和運算，下面將六類基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式歸納如下：

(1)(C)′=0(C為常數(shù))；

(2)(xa)′=axa－1(a為常數(shù))；

(3)(ax)′=axlna(a>0，a≠1)；

(4)(ex)′=ex； 2.2.4基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

前面我們利用導(dǎo)數(shù)經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課件2經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課件22.2.5高階導(dǎo)數(shù)

2.1.1節(jié)的引例1中介紹了變速直線運動的瞬時速度v(t)是路程函數(shù)s=s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)，即v(t)=s′(t).由物理學(xué)可知，速度函數(shù)v(t)對于時間t的變化率就是加速度，即a(t)=v′(t).于是，加速度a(t)就是路程函數(shù)s=s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，我們稱為路程函數(shù)s(t)對時間t的二階導(dǎo)數(shù)，記作s″(t)，即a(t)=s″(t).2.2.5高階導(dǎo)數(shù)

2.1.1節(jié)的引例1中介紹了變例13求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):

(1)y=x3+3x2+1；

(2)y=x2e2x.

解

(1)y′=3x2+6x，y″=6x+6

(2)y′=2xe2x+2x2e2x，y″=2e2x+8xe2x+4x2e2x=e2x(2+8x+4x2)

例14

設(shè)f(x)=x2lnx，求f'''(x)、f(2).

解由f′(x)=2xlnx+x，f″(x)=2lnx+3得故

f'''(2)=1例13求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):

(1)y=x3例15求y=sinx的n階導(dǎo)數(shù).

解由于故以此類推，可得…例15求y=sinx的n階導(dǎo)數(shù).

解由于故2.3微分

2.3.1微分的概念

1.微分的概念

引例一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由x0變到x0+Δx，如圖2-3所示，求此薄片的面積改變量.

分析設(shè)正方形金屬薄片的邊長為x，面積為A，則A=x2，薄片受溫度變化影響時，面積A的改變量為

ΔA=(x0+Δx)2－x20=2x0Δx+(Δx)22.3微分

2.3.1微分圖2-3圖2-3上式包含兩個部分:第一部分2x0Δx是Δx的線性函數(shù)，即圖中帶有斜線的兩個矩形面積之和；第二部分(Δx)2在圖中是空白的小正方形的面積，因為

，即第二部分(Δx)2是比Δx高階的無窮小.由此可見，如果邊長x的改變量Δx的絕對值很小，第二部分(Δx)2就可以忽略不計，面積增量ΔA可近似地用第一部分代替，即

ΔA≈2x0Δx

又因為

故有

ΔA≈A′(x0)Δx上式包含兩個部分:第一部分2x0Δx是Δx的線性函數(shù)，即定義2.3設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，則稱f′(x0)Δx為函數(shù)y=f(x)在點x0處的微分，記作dy，即

dy=f′(x0)Δx

如引例中，函數(shù)A=x2在點x0處的微分為

dA=2x0Δx

注函數(shù)y=f(x)在任意點x處的微分稱為函數(shù)的微分，記作

dy=f′(x)Δx

由于對于函數(shù)y=x而言，dy=dx=(x)‘Δx=Δx，這說明自變量的微分dx就等于它的改變量Δx，故而函數(shù)的微分可以寫成

dy=f′(x)dx

給上式兩邊同除以dx，可得定義2.3設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，則稱f′例1求函數(shù)y=x2在x0=2、Δx=0.01時的改變量與微分.

解

例1求函數(shù)y=x2在x0=2、Δx=0.01時的改變2.微分的幾何意義

在直角坐標系中，函數(shù)y=f(x)的圖形是一條曲線，如圖2-4所示，設(shè)曲線上有一定點M0(x0，y0)，當自變量x有微小增量Δx時，得到曲線上另一動點M(x0+Δx，y0+Δy)，過點M0作曲線的切線M0T，它的傾斜角為α，則切線的斜率為

tanα=f′(x0)

又由圖中可得tanα=(NT/M0N)，M0N=Δx，于是

NT=M0N·tanα=f′(x0)·Δx

即

dy=NT

由此可見，函數(shù)微分的幾何意義是：在曲線上某一點處，當自變量x取得微小改變量Δx時，曲線在該點處的切線上縱坐標的改變量.2.微分的幾何意義

在直角坐標系中，函數(shù)y=f(圖2-4圖2-42.3.2微分的計算

由于函數(shù)的微分dy=f′(x)dx，故只需計算出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)便可求出其微分.于是，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)運算法則，便可得到相應(yīng)的函數(shù)微分公式和運算法則.

1.微分的基本公式

(1)d(C)=0;

(2)d(xa)=axa－1dx(a為常數(shù));

(3)d(ax)=axlnadx;

(4)d(ex)=exdx;

(5)d(logax)=(1/xlna)dx;

(6)d(lnx)=1/xdx;

(7)d(sinx)=cosxdx;

(8)d(cosx)=－sinxdx;2.3.2微分的計算

由于函數(shù)的微分dy=f′(x(9)d(tanx)=sec2xdx;

(10)d(cotx)=－csc2xdx;

(11)d(secx)=secxtanxdx;

(12)d(cscx)=－cscxcotxdx;

(13)

(14)

(15)

(16)(9)d(tanx)=sec2xdx;

(10)d(2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則

(1)d(u±v)=du±dv;

(2)d(uv)=vdu+u

dv;

(3)d(cu)=cdu(c為常數(shù));

(4)d(u/v)=(vdu－udv)/v2(v≠0).2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則

(1)3.微分形式的不變性

對于函數(shù)y=f(u)，如果u僅為自變量，函數(shù)y=f(u)的微分是

dy=f′(u)du如果u不是自變量，而是x的可導(dǎo)函數(shù)u=φ(x)，則由于復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]的導(dǎo)數(shù)為

y′=f′(u)φ′(x)

所以函數(shù)的微分為

dy=f′(u)φ′(x)dx

又由于中間變量u的微分為

du=φ′(x)dx

所以

dy=f′(u)du3.微分形式的不變性

對于函數(shù)y=f(u)例2設(shè)y=sin2(2x+1)，求dy.

解方法1:因為

y′=2sin(2x+1)cos(2x+1)·2=2sin(4x+2)

所以

dy=2sin(4x+2)dx

方法2:

dy=2sin(2x+1)dsin(2x+1)

=2sin(2x+1)cos(2x+1)d(2x+1)

=2sin(4x+2)dx例2設(shè)y=sin2(2x+1)，求dy.

解例3

設(shè)y=lncos2x，求dy.

解方法1:因為

所以

dy=－2tan2xdx

方法2:=－2tan2xdx

例3設(shè)y=lncos2x，求dy.

解方2.3.3微分在近似計算中的應(yīng)用

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在，且當|Δx|很小時，由微分概念可得Δy≈f′(x0)Δx(函數(shù)增量Δy的近似計算公式)

又Δy=f(x0+Δx)－f(x0)，上式可變?yōu)?/p>

f(x0+Δx)－f(x0)≈f′(x0)Δx

即

f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx

(函數(shù)在點x0附近某一點函數(shù)值的近似計算公式)2.3.3微分在近似計算中的應(yīng)用

如果函數(shù)y=f(例4一種金屬圓片，半徑為20cm，加熱后其半徑增大0.05cm，則該金屬圓片的面積增大了多少？

解圓面積公式為S=πr2，令r0=20cm，Δr=0.05cm，則面積增量為

ΔS=2πr0·Δr≈2×3.14×20×0.05=6.28cm2

例5計算的近似值.

解設(shè)，令x0=1，Δx=－0.03，則由函數(shù)在點x0附近某一點函數(shù)值的近似計算公式可得例4一種金屬圓片，半徑為20cm，加熱后其半徑增大第2章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.2導(dǎo)數(shù)的運算2.3微分第2章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.1導(dǎo)數(shù)的概念

2.1.1引例

引例1(變速直線運動的速度)設(shè)一物體做變速直線運動，運動方程為s=s(t)，現(xiàn)求其在某一時刻t0的瞬時速度v0.

設(shè)時間t由t0變化到t0+Δt，則時間t的增量為Δt.相應(yīng)地，路程增量為Δs=s(t0+Δt)－s(t0).于是，這段時間內(nèi)的平均速度為.顯然，當時間增量Δt很小時，平均速遞就可以近似地表示物體在t0時刻的瞬時速度，并且Δt越小，近似的精確度越高.因此，當Δt→0時，如果極限

存在，則這個極限就表示了物體在t0時刻的瞬時速度，即2.1導(dǎo)數(shù)的概念

2.1.1例1已知物體做自由落體運動，運動方程為

s=(1/2)gt2

求任意時刻t0的瞬時速度v0.

解給時間t在t0時刻以增量Δt，則相應(yīng)的路程增量為于是，這段時間內(nèi)的平均速度為令Δt→0，則t0時刻的瞬時速度為例1已知物體做自由落體運動，運動方程為

引例2(平面曲線的切線斜率)設(shè)曲線y=f(x)上有一定點M0(x0，y0)，求曲線在該點的切線斜率.

如圖2-1所示，在曲線y=f(x)上任取一動點M(x0+Δx，y0+Δy)，作割線M0M，當動點M沿著曲線無限趨近于定點M0時，割線M0M的極限位置M0T就定義為曲線在點M0處的切線，過M0且與切線垂直的直線稱為曲線在點M0處的法線.由于割線M0M的斜率為故令Δx→0，則過點M0的切線斜率為引例2(平面曲線的切線斜率)設(shè)曲線y=f(x)上有一圖2-1圖2-1引例3(邊際成本問題)設(shè)某產(chǎn)品的總成本C是產(chǎn)量Q的函數(shù)：C=C(Q)，求產(chǎn)量為Q0時，總成本的變化率.

當產(chǎn)量Q由Q0變化到Q0+ΔQ時，總成本的改變量為

ΔC=C(Q0+ΔQ)－C(Q0)于是總成本的平均變化率為

當ΔQ很小時，上式可近似表示總成本在Q0的變化率，并且ΔQ越小，近似程度越高，故令ΔQ→0，可得總成本的變化率為在經(jīng)濟學(xué)中，總成本的變化率也稱為邊際成本.引例3(邊際成本問題)設(shè)某產(chǎn)品的總成本C是產(chǎn)量Q的函2.1.2導(dǎo)數(shù)的概念

1.導(dǎo)數(shù)的定義

定義2.1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當自變量x在點x0處取得增量Δx(≠0)時，函數(shù)f(x)有相應(yīng)的增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0).如果當Δx→0時，存在，則稱f(x)在點x0處可導(dǎo)，并將此極限稱為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′(x0)或(dy/dx)|x=x0或(df(x)/dx)|x=x0.如果

不存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處不可導(dǎo).2.1.2導(dǎo)數(shù)的概念

1.導(dǎo)數(shù)的定義

定例2求函數(shù)y=3x2－x+1在x0=2處的導(dǎo)數(shù).

解給自變量x在x0=2處以增量Δx，則函數(shù)相應(yīng)的增量為

Δy=3(2+Δx)2－(2+Δx)+1－11

=3(Δx)2+11Δx

于是

故有

即

f′(2)=11例2求函數(shù)y=3x2－x+1在x0=2處的導(dǎo)數(shù).

定義2.2如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點都可導(dǎo)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo).

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則對于任意x∈(a，b)，都有一個確定的導(dǎo)數(shù)值f′(x)與之對應(yīng)，這樣就確定了一個新函數(shù).我們稱這個新函數(shù)為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，記作y′或f′(x)或(dy/dx)或(df(x)/dx).

注函數(shù)在點x0處的導(dǎo)數(shù)等于其導(dǎo)函數(shù)在該點的函數(shù)值.

有了導(dǎo)數(shù)的概念后，2.1.1節(jié)中所講的三個引例就可以用導(dǎo)數(shù)來表示，它們分別表示了導(dǎo)數(shù)在物理、幾何、經(jīng)濟方面的意義：

導(dǎo)數(shù)的物理意義——瞬時速度，即v(t)=s′(t)；

導(dǎo)數(shù)的幾何意義——切線斜率，即k切=f′(x)；定義2.2如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的每導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟意義——邊際成本，即MC=C′(Q).

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)的一般步驟如下：

(1)求函數(shù)f(x)的增量：Δy=f(x+Δx)－f(x)；

(2)求比值：；

(3)取極限：.

例3求函數(shù)y=c(c為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).

解(1)求增量:

Δy=f(x+Δx)－f(x)=c－c=0

(2)求比值:導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟意義——邊際成本，即MC=C′(Q).

(3)取極限:

故有

c′=0

例4求函數(shù)y=x2的導(dǎo)數(shù).

解(1)求增量:

Δy=(x+Δx)2－x2=2xΔx+(Δx)2

(2)求比值:

(Δy/Δx)=2x+Δx

(3)取極限:y′＝(3)取極限:

故有

c′=故有

(x2)′=2x

一般地，對于冪函數(shù)y=xa的導(dǎo)數(shù)，有如下公式:

(xa)′=axa－1(其中a為任意常數(shù))

例5求函數(shù)y=sinx的導(dǎo)數(shù).

解(1)求增量:

Δy=sin(x+Δx)－sinx

(2)求比值:故有

(x2)′=2x

一

故有

(sinx)′=cosx

類似地，可以得到

(cosx)′=－sinx

例6求對數(shù)函數(shù)y=logax(a＞0，a≠1)的導(dǎo)數(shù).

解(1)求增量:(2)求比值:

故有

(sinx)′=cosx

(3)取極限:

故有

一般地，(3)取極限:

故有

一般地，例7(邊際利潤)在經(jīng)濟數(shù)學(xué)中，邊際利潤定義為產(chǎn)量增加一個單位時所增加的利潤.

設(shè)某產(chǎn)品產(chǎn)量為Q個單位時總利潤為L=L(Q)，當產(chǎn)量由Q變?yōu)镼+ΔQ時，總利潤函數(shù)的改變量為

ΔL=L(Q+ΔQ)－L(Q)

總利潤函數(shù)的平均變化率為

它表示產(chǎn)量由Q變到Q+ΔQ時，在平均意義下的邊際利潤.

當總利潤函數(shù)L=L(Q)可導(dǎo)時，其變化率例7(邊際利潤)在經(jīng)濟數(shù)學(xué)中，邊際利潤定義為產(chǎn)量增加表示該產(chǎn)品產(chǎn)量為Q時的邊際利潤，即邊際利潤是總利潤函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù).

類似地，在經(jīng)濟數(shù)學(xué)中，邊際成本定義為多生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品所增加的成本投入，即C′(Q)，這里C(Q)表示生產(chǎn)量為Q時的總成本投入.

2.左、右導(dǎo)數(shù)

由于導(dǎo)數(shù)本身就是極限，而極限存在的充要條件是左、右極限存在且相等，因此，極限:表示該產(chǎn)品產(chǎn)量為Q時的邊際利潤，即邊際利潤是總利潤函數(shù)關(guān)分別稱為函數(shù)y=f(x)在點x0處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，分別記為

f′－(x0)和f′+(x0).

于是，有如下定理.

定理2.1函數(shù)f(x)在點x0處可導(dǎo)的充要條件是f(x)在點x0處的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等.

例8設(shè)函數(shù)，試討論f(x)在點x=1處是否可導(dǎo).

解由于故f′(1)=2分別稱為函數(shù)y=f(x)在點x0處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，分別記為2.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

由引例2可知，函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)就是它所表示的曲線在點M0(x0，y0)處的切線MT的斜率，即k=f′(x0)

于是，曲線y=f(x)在點M0(x0，y0)處的切線方程為

y－y0=f′(x0)(x－x0)

若f′(x0)≠0，則曲線y=f(x)在點M0(x0，y0)處的法線方程為2.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

由引例2可知，函數(shù)y=f例9求拋物線y=x3在點(1，1)處的切線和法線方程.

解因為y′=3x2，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線y=x3在點(1，1)處的切線斜率為

k=y′|x=1=3

故所求切線方程為

y－1=3(x－1)

法線方程為例9求拋物線y=x3在點(1，1)處的切線和法線方程2.1.4可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，即

存在，由極限的運算法則得

由函數(shù)連續(xù)性的定義可知，f(x)在點x0處連續(xù)，故有如下結(jié)論.

定理2.2如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，那么它在點x0處一定連續(xù).反之，逆命題不一定成立.

例10討論函數(shù)

解如圖2-2所示，因為在點x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.Δy=f(0+Δx)－f(0)=|Δx|2.1.4可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點圖2-2圖2-2所以

故處連續(xù).

又因為

顯然左、右導(dǎo)數(shù)存在但不相等，故函數(shù)在點x=0處不可導(dǎo).

因此，函數(shù)連續(xù)是可導(dǎo)的必要而非充分條件.所以

故處連續(xù).

又因為

顯然左、右2.2導(dǎo)數(shù)的運算

2.2.1導(dǎo)數(shù)的四則運算法則

定理2.3如果函數(shù)u=u(x)、v=v(x)都在點x處可導(dǎo)，則函數(shù)u(x)±v(x)、u(x)v(x)、[u(x)/v(x)](v(x)≠0)也在點x處可導(dǎo)，且有

(1)[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x)；

(2)[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)；

(3)

，其中v(x)≠0.2.2導(dǎo)數(shù)的運算

2.2.1導(dǎo)例1求函數(shù)y=x2+(3/x)－lnx+sina的導(dǎo)數(shù).

解

例2求函數(shù)y=(x3+2x)cosx的導(dǎo)數(shù).

解

例3求函數(shù)y=tanx的導(dǎo)數(shù).

解即(tanx)′=sec2x

例1求函數(shù)y=x2+(3/x)－lnx+sina的導(dǎo)類似地，可得

(cotx)′=－csc2x

(secx)′=secxtanx

(cscx)′=－cscxcotx

例4

設(shè)f(x)=(ex

cosx/x2)，求f′(x).

解

類似地，可得

(cotx)′=－c2.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.4如果單調(diào)連續(xù)函數(shù)x=g(y)在點y處可導(dǎo)，且g′(y)≠0，則其反函數(shù)y=f(x)在對應(yīng)點x處也可導(dǎo)，且有例5求y=ax(a>0，a≠1)的導(dǎo)數(shù).

解因為y=ax是x=logay的反函數(shù)，且有所以2.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.4如果單調(diào)即

(ax)′=axlna

特別地，當a=e時，有

(ex)′=ex

例6求y=arcsinx，x∈(－1，1)的導(dǎo)數(shù).

解因為y=arcsinx是x=siny的反函數(shù)，，且有

所以即

(ax)′=axlna

特即

，x∈(－1，1)

類似地，可得

，x∈(－1，1)

例7求y=arctanx的導(dǎo)數(shù).

解因為y=arctanx是x=tany的反函數(shù)，且有所以即

，x∈(－1，1)

即類似地，可得即類似地，可得2.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.5(復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則)設(shè)函數(shù)u=φ(x)在點x處可導(dǎo)，函數(shù)y=f(u)在相應(yīng)的點u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]在點x處也可導(dǎo)，且有

該法則可以敘述為：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于復(fù)合函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù).2.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理2.5(復(fù)合函數(shù)例8

求y=cos(3x+5)的導(dǎo)數(shù).

解設(shè)y=cosu，u=3x+5，則有

y′=(cosu)′(3x+5)′=－3sinu=－3sin(3x+5)

例9求

的導(dǎo)數(shù).

解設(shè)

，u=2x2+5x－3，則有例10求y=ln(tan3x)的導(dǎo)數(shù).

解設(shè)y=lnu，u=tanv，v=3x，則有例8求y=cos(3x+5)的導(dǎo)數(shù).

解設(shè)例11求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù).

解

例12

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):例11求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

解例12求2.2.4基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

前面我們利用導(dǎo)數(shù)概念、四則運算求導(dǎo)法則、反函數(shù)求導(dǎo)法則等內(nèi)容求出了部分基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.為了便于記憶和運算，下面將六類基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式歸納如下：

(1)(C)′=0(C為常數(shù))；

(2)(xa)′=axa－1(a為常數(shù))；

(3)(ax)′=axlna(a>0，a≠1)；

(4)(ex)′=ex； 2.2.4基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

前面我們利用導(dǎo)數(shù)經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課件2經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課件22.2.5高階導(dǎo)數(shù)

2.1.1節(jié)的引例1中介紹了變速直線運動的瞬時速度v(t)是路程函數(shù)s=s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)，即v(t)=s′(t).由物理學(xué)可知，速度函數(shù)v(t)對于時間t的變化率就是加速度，即a(t)=v′(t).于是，加速度a(t)就是路程函數(shù)s=s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，我們稱為路程函數(shù)s(t)對時間t的二階導(dǎo)數(shù)，記作s″(t)，即a(t)=s″(t).2.2.5高階導(dǎo)數(shù)

2.1.1節(jié)的引例1中介紹了變例13求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):

(1)y=x3+3x2+1；

(2)y=x2e2x.

解

(1)y′=3x2+6x，y″=6x+6

(2)y′=2xe2x+2x2e2x，y″=2e2x+8xe2x+4x2e2x=e2x(2+8x+4x2)

例14

設(shè)f(x)=x2lnx，求f'''(x)、f(2).

解由f′(x)=2xlnx+x，f″(x)=2lnx+3得故

f'''(2)=1例13求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):

(1)y=x3例15求y=sinx的n階導(dǎo)數(shù).

解由于故以此類推，可得…例15求y=sinx的n階導(dǎo)數(shù).

解由于故2.3微分

2.3.1微分的概念

1.微分的概念

引例一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由x0變到x0+Δx，如圖2-3所示，求此薄片的面積改變量.

分析設(shè)正方形金屬薄片的邊長為x，面積為A，則A=x2，薄片受溫度變化影響時，面積A的改變量為

ΔA=(x0+Δx)2－x20=2x0Δx+(Δx)22.3微分

2.3.1微分圖2-3圖2-3上式包含兩個部分:第一部分2x0Δx是Δx的線性函數(shù)，即圖中帶有斜線的兩個矩形面積之和；第二部分(Δx)2在圖中是空白的小正方形的面積，因為

，即第二部分(Δx)2是比Δx高階的無窮小.由此可見，如果邊長x的改變量Δx的絕對值很小，第二部分(Δx)2就可以忽略不計，面積增量ΔA可近似地用第一部分代替，即

ΔA≈2x0Δx

又因為

故有

ΔA≈A′(x0)Δx上式包含兩個部分:第一部分2x0Δx是Δx的線性函數(shù)，即定義2.3設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，則稱f′(x0)Δx為函數(shù)y=f(x)在點x0處的微分，記作dy，即

dy=f′(x0)Δx

如引例中，函數(shù)A=x2在點x0處的微分為

dA=2x0Δx

注函數(shù)y=f(x)在任意點x處的微分稱為函數(shù)的微分，記作

dy=f′(x)Δx

由于對于函數(shù)y=x而言，dy=dx=(x)‘Δx=Δx，這說明自變量的微分dx就等于它的改變量Δx，故而函數(shù)的微分可以寫成

dy=f′(x)dx

給上式兩邊同除以dx，可得定義2.3設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo)，則稱f′例1求函數(shù)y=x2在x0=2、Δx=0.01時的改變量與微分.

解

例1求函數(shù)y=x2在x0=2、Δx=0.01時的改變2.微分的幾何意義

在直角坐標系中，函數(shù)y=f(x)的圖形是一條曲線，如圖2-4所示，設(shè)曲線上有一定點M0(x0，y0)，當自變量x有微小增量Δx時，得到曲線上另一動點M(x0+Δx，y0+Δy)，過點M0作曲線的切線M0T，它的傾斜角為α，則切線的斜率為

tanα=f′(x0)

又由圖中可得tanα=(NT/M0N)，M0N=Δx，于是

NT=M0N·tanα=f′(x0)·Δx

即