2023屆福建師范大學大附屬中學數(shù)學高三第一學期期末調(diào)研模擬試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．上世紀末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進的數(shù)學水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當日正午太陽光線）與春秋分日光（當日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角.由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應的年代如下表：黃赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是()A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年2．“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學難題之一，其內(nèi)容是：一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)(素數(shù))之和，也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學家哥德巴赫提出的，我國數(shù)學家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中做出相當好的成績.若將6拆成兩個正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為（）A． B． C． D．3．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，D是AB的中點，若，且，則面積的最大值是()A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)f（x）＝sin2x+sin2（x），則f（x）的最小值為（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列是公比為的正項等比數(shù)列，若、滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知復數(shù)，則的虛部是（）A． B． C． D．18．已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點且MN為過焦點的弦，若，，則的面積為（）A． B． C． D．9．從某市的中學生中隨機調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)頻率分布直方圖，可知這部分男生的身高的中位數(shù)的估計值為A． B．C． D．10．已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則（）A．2 B．3 C．-2 D．-311．已知雙曲線的焦距為，過左焦點作斜率為1的直線交雙曲線的右支于點，若線段的中點在圓上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．已知集合，則為（）A．[0，2) B．(2，3] C．[2，3] D．(0，2]二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，棱長為2的正方體中，點分別為棱的中點，以為圓心，1為半徑，分別在面和面內(nèi)作弧和，并將兩弧各五等分，分點依次為、、、、、以及、、、、、．一只螞蟻欲從點出發(fā)，沿正方體的表面爬行至，則其爬行的最短距離為________．參考數(shù)據(jù)：；；）14．已知實數(shù)，對任意，有，且，則______.15．的展開式中，若的奇數(shù)次冪的項的系數(shù)之和為32，則________．16．高三（1）班共有56人，學號依次為1，2，3，…，56，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣本，已知學號為6，34，48的同學在樣本中，那么還有一個同學的學號應為．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：過點，過坐標原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于，兩點.（1）證明：當取得最小值時，橢圓的離心率為.（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.18．（12分）在銳角三角形中，角的對邊分別為．已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列．（1）求的值；（2）若的面積為求的值．19．（12分）已知動圓經(jīng)過點，且動圓被軸截得的弦長為，記圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的標準方程；（2）設點的橫坐標為，，為圓與曲線的公共點，若直線的斜率，且，求的值．20．（12分）已知拋物線:，點為拋物線的焦點，焦點到直線的距離為，焦點到拋物線的準線的距離為，且.（1）求拋物線的標準方程；（2）若軸上存在點，過點的直線與拋物線相交于、兩點，且為定值，求點的坐標.21．（12分）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等腰直角三角形，平面．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值．22．（10分）已知，均為正項數(shù)列，其前項和分別為，，且，，，當，時，，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先理解題意，然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形，在利用三角函數(shù)的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，即可得到正確選項．【詳解】解：由題意，可設冬至日光與垂直線夾角為，春秋分日光與垂直線夾角為，則即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：則，，．，估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年．故選：．【點睛】本題考查利用三角函數(shù)解決實際問題的能力，運用了兩角和與差的正切公式，考查了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學建模思想，以及數(shù)學運算能力，屬中檔題．2、A【解析】

列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子，找到加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的只有，利用古典概型求解即可.【詳解】6拆成兩個正整數(shù)的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有(3,3),根據(jù)古典概型知，所求概率為.故選：A.【點睛】本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于容易題.3、A【解析】

根據(jù)正弦定理可得，求出，根據(jù)平方關(guān)系求出.由兩端平方，求的最大值，根據(jù)三角形面積公式，求出面積的最大值.【詳解】中，，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，得.D是AB的中點，且，，即，即，，當且僅當時，等號成立.的面積，所以面積的最大值為.故選：.【點睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題.4、B【解析】

由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】函數(shù)，可得，時，，單調(diào)遞增，∵，故不等式的解集等價于不等式的解集．．∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.5、A【解析】

先通過降冪公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再求最值.【詳解】已知函數(shù)f（x）＝sin2x+sin2（x），=，=，因為，所以f（x）的最小值為.故選：A【點睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.6、B【解析】

利用等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)冪的運算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得再根據(jù)此范圍求的最小值．【詳解】數(shù)列是公比為的正項等比數(shù)列，、滿足，由等比數(shù)列的通項公式得，即，，可得，且、都是正整數(shù)，求的最小值即求在，且、都是正整數(shù)范圍下求最小值和的最小值，討論、取值.當且時，的最小值為.故選：B．【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)冪的運算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學運算求解能力和分類討論思想，是中等題．7、C【解析】

化簡復數(shù)，分子分母同時乘以，進而求得復數(shù)，再求出，由此得到虛部.【詳解】，，所以的虛部為.故選：C【點睛】本小題主要考查復數(shù)的乘法、除法運算，考查共軛復數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)可知,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.【詳解】由題意可知拋物線方程為,設點點,則由拋物線定義知,,則.由得,則.又MN為過焦點的弦,所以,則,所以.故選：A【點睛】本題考查拋物線的方程應用,同時也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.9、C【解析】

由題可得，解得，則，，所以這部分男生的身高的中位數(shù)的估計值為，故選C．10、B【解析】

根據(jù)求出再根據(jù)也在直線上，求出b的值，即得解.【詳解】因為，所以所以，又也在直線上，所以，解得所以.故選：B【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.11、C【解析】

設線段的中點為，判斷出點的位置，結(jié)合雙曲線的定義，求得雙曲線的離心率.【詳解】設線段的中點為，由于直線的斜率是，而圓，所以.由于是線段的中點，所以，而，根據(jù)雙曲線的定義可知，即，即.故選：C【點睛】本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.12、B【解析】

先求出，得到，再結(jié)合集合交集的運算，即可求解.【詳解】由題意，集合，所以，則，所以.故選：B.【點睛】本題主要考查了集合的混合運算，其中解答中熟記集合的交集、補集的定義及運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)空間位置關(guān)系，將平面旋轉(zhuǎn)后使得各點在同一平面內(nèi)，結(jié)合角的關(guān)系即可求得兩點間距離的三角函數(shù)表達式.根據(jù)所給參考數(shù)據(jù)即可得解.【詳解】棱長為2的正方體中，點分別為棱的中點，以為圓心，1為半徑，分別在面和面內(nèi)作弧和.將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，如下圖所示：則，所以；將平面繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，將繞旋轉(zhuǎn)至與平面共面的位置，如下圖所示：則，所以；因為，且由誘導公式可得，所以最短距離為，故答案為：.【點睛】本題考查了空間幾何體中最短距離的求法，注意將空間幾何體展開至同一平面內(nèi)求解的方法，三角函數(shù)誘導公式的應用，綜合性強，屬于難題.14、-1【解析】

由二項式定理及展開式系數(shù)的求法得，又，所以，令得：，所以，得解．【詳解】由，且，則，又，所以，令得：，所以，故答案為：．【點睛】本題考查了二項式定理及展開式系數(shù)的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．15、【解析】試題分析：由已知得，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項分別為，，，，，其系數(shù)之和為，解得．考點：二項式定理．16、20【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義將56人按順序分成4組，每組14人，則1至14號為第一組，15至28號為第二組，29號至42號為第三組，43號至56號為第四組.而學號6,34,48分別是第一、三、四組的學號，所以還有一個同學應該是15+6-1=20號,故答案為20.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）存在，【解析】

（1）將點代入橢圓方程得到，結(jié)合基本不等式，求得取得最小值時，進而證得橢圓的離心率為.（2）當直線的斜率不存在時，根據(jù)橢圓的對稱性，求得到直線的距離.當直線的斜率存在時，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，利用，則列方程，求得的關(guān)系式，進而求得到直線的距離.根據(jù)上述分析判斷出所求的圓存在，進而求得定圓的方程.【詳解】（1）證明：∵橢圓經(jīng)過點，∴，∴，當且僅當，即時，等號成立，此時橢圓的離心率.（2）解：∵橢圓的焦距為2，∴，又，∴，.當直線的斜率不存在時，由對稱性，設，.∵，在橢圓上，∴，∴，∴到直線的距離.當直線的斜率存在時，設的方程為.由，得，.設，，則，.∵，∴，∴，∴，即，∴到直線的距離.綜上，到直線的距離為定值，且定值為，故存在定圓：，使得圓與直線總相切.【點睛】本小題主要考查點和橢圓的位置關(guān)系，考查基本不等式求最值，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查點到直線的距離公式，考查分類討論的數(shù)學思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】

(1)根據(jù)成等差數(shù)列與三角形內(nèi)角和可知,再利用兩角和的正切公式,代入化簡可得,同理根據(jù)三角形內(nèi)角和與余弦的兩角和公式與等比數(shù)列的性質(zhì)可求得,聯(lián)立即可求解求的值.(2)由(1)可知,再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系與正弦定理可求得,再結(jié)合的面積為利用面積公式求解即可.【詳解】解：成等差數(shù)列,可得而,即,展開化簡得,因為,故①又成等比數(shù)列,可得,即,可得聯(lián)立解得（負的舍去）,可得銳角；由可得,由為銳角,解得,因為為銳角,故可得,由正弦定理可得,又的面積為可得,解得．【點睛】本題主要考查了等差等比中項的運用以及正切的和差角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系等.同時也考查了正弦定理與面積公式在解三角形中的運用,屬于中檔題.19、見解析【解析】

（1）設，則點到軸的距離為，因為圓被軸截得的弦長為，所以，又，所以，化簡可得，所以曲線的標準方程為．（2）設，，因為直線的斜率，所以可設直線的方程為，由及，消去可得，所以，，所以．設線段的中點為，點的縱坐標為，則，，所以直線的斜率為，所以，所以，所以．易得圓心到直線的距離，由圓經(jīng)過點，可得，所以，整理可得，解得或，所以或，又，所以．20、（1）（2）【解析】

（1）先分別表示出，然后根據(jù)求解出的值，則的標準方程可求；（2）設出直線的方程并聯(lián)立拋物線方程得到韋達定理形式，然后根據(jù)距離公式表示出并代入韋達定理形式，由此判斷出為定值時的坐標.【詳解】（1）由題意可得，焦點，，則，，∴解得.拋物線的標準方程為（2）設，設點，，顯然直線的斜率不為0.設直線的方程為聯(lián)立方程，整理可得，，∴，∴要使為定值，必有，解得，∴為定值時，點的坐標為【點睛】本題考查拋物線方程的求解以及拋物線中的定值問題，難度一般.（1）處理直線與拋物線相交對應的定值問題，聯(lián)立直線方程借助韋達定理形式是常用方法；（2