向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、教學(xué)要求：.理解向量（平面向量、空間向量）的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念，掌握向量的加法、減法，掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件。了解向量的基本定理，掌握向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用向量的數(shù)量積處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直問題，理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影等概念。.理解向量（平面向量、空間向量）的坐標(biāo)的概念，掌握向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算及兩點(diǎn)間的距離公式。.掌握線線的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并掌握平移公式。二、知識(shí)串講：平面向量及其運(yùn)算（一）向量的基本運(yùn)算.有關(guān)概念（1）向量一一既有大小又有方向的量叫做向量。常用有向線段表示向量八曰一由/［方向向量一要素<［長(zhǎng)度—,—,（2）向量的模一有向線段的長(zhǎng)度IABI,IaI—^長(zhǎng)度等于—^長(zhǎng)度等于1的向量叫做單位向量，a0f

a

f

IaI-f-f-f零向量0（0的方向不定），I0I=0（3）共線向量（平行向量）一一方向相同或相反的向量叫做平行向量或共線向量。（4（4）相等的向量長(zhǎng)度相等f(wàn)f方向相同a二bff規(guī)定：0=0向量可以在平面（或空間）平行移動(dòng)而不變。規(guī)定：零向量與任一向量平行。.向量有三種形式（或三種表示）幾何表示<——>幾何運(yùn)算代數(shù)表示<——>代數(shù)運(yùn)算

坐標(biāo)表示<——>坐標(biāo)運(yùn)算.向量的加法、減法與數(shù)乘(1)向量的加法一一三角形法則或平行四邊形法則如圖：向量加法的多邊形法則->->—>如圖，求(2)向量的減法：—>—>—>―>―>—>a-b=a+{-b),即向量a加上b的相反向量。二二的箭頭指向被減向量)(3)實(shí)數(shù)與向量的乘積—>―>長(zhǎng)度I九aI=|X|*\a\―>X>0時(shí)與〃同向X<0時(shí)與〃反向\\X<0時(shí)與〃反向\\aIIa―>—>―>―>―>—>※匕〃a（awO）o存在唯一實(shí)數(shù)入，使Z?=入a.向量的運(yùn)算法則（加、減、數(shù)乘）―>—>—>設(shè)向量a,b,c及實(shí)數(shù)入，內(nèi)則：TTTT@a+b=b+a―>—>―>―>―>—>(2)(a+b)+c=a+(b+c)TOC\o"1-5"\h\z―>—>—>③(九+|Li)a=Xa+|Lia―>—>―>—>④入(a+Z?)=Xa+XZ?->—>⑤I九aI=|X|,IaIffffff@1al-lb\<\a±bl<la\+\b\（此不等式表示三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，也稱為三角不等式。）.平面向量基本定理（向量的分解定理）TOC\o"1-5"\h\z->―>_>e,e是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)任一向量a,存在12唯一實(shí)數(shù)對(duì)入，1―>唯一實(shí)數(shù)對(duì)入，1X,使得a=Xe+九e

21122（這個(gè)定理表明：平面內(nèi)的任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量分解為唯對(duì)向量的―>—>―>―>―>—>和。入e+入e叫做向量e，e的線性組合，e，e叫做表這一平面內(nèi)所11221212有向量的一組基底。'①基底不唯一，關(guān)鍵是不共線、、②基底給定，分解形式唯一>應(yīng)用：—>—>設(shè)。4,3不共線，點(diǎn)o在直線上（即A、B、0三點(diǎn)共線）―>—>—>0。尸=入04+|1108且入+N=1（九，N"（二）向量的坐標(biāo)運(yùn)算底，則該平面內(nèi)任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,稱（x,y）叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a=示。（如圖，當(dāng)把向量〃的起點(diǎn)移至原點(diǎn)時(shí)，（X,坐標(biāo)，即A（r,y）,X,y是向量W在X,y軸上的射影也相同。）丁11y?應(yīng)；一iy,使得a=xi+yj,（x,y）,即為向量的坐標(biāo)表y）是向量〃=。4終點(diǎn)A的->,與。相等的向量的坐標(biāo)1.在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與X軸，y軸同方向的兩個(gè)單位向量i,J作為基ffff2.向量的坐標(biāo)運(yùn)算已知a=(x,y),bii—>—>——貝U：(1)a+b=(%二Q工——((2)a一b=\x一x,12———(BA-a-b=Xx一x,y12'1AB1-Ai|l(x-xJ2+(y-%12L9T、一三，工、工二(x,y),XeR22>—>—>—>+yj)+(xi+yj)122+x)z+(y+y)j121\2+x，y+31212y-y)，設(shè)AI,y)B(x,y)121122v-y)12y}2(3)Xa-xC,y)=Qxii(三)平面向量的數(shù)量積->—>ZAOB=->—>ZAOB=0叫做向量a與b的夾角。記作―>—>―>—>設(shè)向量OA-a,OB=b,TOC\o"1-5"\h\z―>—>―>—><a,b>,0°<<a,b><180°―>—>―>―>―>—>(1)數(shù)量IaI,IbIcos0叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a-b―>—>―>—>即a,b=\a\?\bIcos0(2)數(shù)量積的幾何意義:TOC\o"1-5"\h\z—^—^—^—^—^—^—^a,b等于a的模IaI與b在a的方向上的射影IbIcos0的乘積。.數(shù)量積的運(yùn)算法則—夕—夕—夕—夕—夕—夕—夕—夕a,b=b?a,a-0=0-a=0>>>>>>(2)(九a)?b二九(a,b)=a?(九b)\XeR)——————————————(3)(a+b)?c=a?c+b?c注意：數(shù)量積不滿足結(jié)合律！——————=Q,y)?Q,y)=xx+yy(a?b=Q,y)?Q,y)=xx+yy113.重要性質(zhì)———————e=IaI?cos0(1)設(shè)e是單位向量，———————————(3)a〃boa——b=0ox?x+y?y=0b=IaI?IbI或12———a?b=-IaI?oxy1-xy=021(4)T2oxy1-xy=021(4)T2

a(5)cos0=o）a唯一確定）（四）定比分點(diǎn)與平移1.線段的定比分點(diǎn)1，yJ，1，yJ，P2y2）'分點(diǎn)Py)設(shè)P,P是l上兩點(diǎn)，P點(diǎn)在/上且12X+X+入X

21十九■y