《金新學(xué)案》高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 32 等差數(shù)列 （文） 全國.重慶專

第二節(jié)等差數(shù)列編輯ppt編輯ppt1．等差數(shù)列的相關(guān)問題(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第

項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于

，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的

．同一個(gè)常數(shù)公差2編輯ppt(2)等差中項(xiàng)在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)(有窮數(shù)列最后一項(xiàng)除外)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an＝

(n∈N且n≥2)．a(chǎn)n－1＋an＋1編輯ppt三數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，一般設(shè)為a－d，a，a＋d；四數(shù)成等差數(shù)列呢？【提示】設(shè)為a－d，a，a＋d，a＋2d或a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.編輯ppt(3)等差數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是

數(shù)列．當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是

．當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是

數(shù)列．遞增常數(shù)列遞減編輯ppt2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是用

求得的．注意這種思想方法在數(shù)列求和中的應(yīng)用．(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝

及前n項(xiàng)和公式Sn＝

＝

，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其三就能求另二．倒序相加法a1＋(n－1)d編輯ppt編輯ppt等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n、m∈N)．(2)若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，特別：若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.編輯ppt(3)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差數(shù)列，公差為kd.(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)數(shù)列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差數(shù)列，其中c、p、q均為常數(shù)，{bn}是等差數(shù)列．編輯ppt1．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝6，a3＝4，則公差d等于()A．1 C．2 D．3編輯ppt【解析】設(shè){an}首項(xiàng)為a1，公差為d，則S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝6，a3＝a1＋2d＝4，∴a1＝0，d＝2.【答案】C編輯ppt編輯ppt【解析】根據(jù)題意得a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，∴a1＝1.又∵a3＝a1＋2d＝0，∴d＝－.【答案】B編輯ppt編輯ppt【答案】B編輯ppt4．設(shè)等差數(shù)列{am}的前n項(xiàng)和為Sm，若a5＝5a3，則＝______.【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，首項(xiàng)為a1，【答案】9編輯ppt5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a6＝S3＝12，則{an}的通項(xiàng)an＝________.【答案】2n

編輯ppt編輯ppt 在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a15＝33，a45＝153，求a61；(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；【思考點(diǎn)撥】在等差數(shù)列中，五個(gè)重要的量，只要已知三個(gè)量，就可求出其他兩個(gè)量，其中a1和d是兩個(gè)最基本量，利用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，先求出a1和d.編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt (1)證明等差數(shù)列的方法有定義法、通項(xiàng)公式法、等差中項(xiàng)法、前n項(xiàng)和法(前n項(xiàng)和公式的形式是不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù))，但最規(guī)范的方法為定義法．我們?cè)谧C明等差數(shù)列時(shí)，一般就用定義法．(2)用定義證明等差數(shù)列時(shí)，常采用的兩個(gè)式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d的意義不同，后者必須加上“n≥2”，否則n＝1時(shí)，a0無定義．編輯ppt 1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝pn2＋qn(p、q∈R，且p、q為常數(shù))．(1)當(dāng)p和q滿足什么條件時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列？(2)求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)p和q，數(shù)列{an＋1－an}是等差數(shù)列．編輯ppt【解析】(1)an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，要使{an}是等差數(shù)列，則2pn＋p＋q應(yīng)是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，所以只有2p＝0，即p＝0.故當(dāng)p＝0時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列．(2)證明：∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p為一個(gè)常數(shù)．∴{an＋1－an}是等差數(shù)列．編輯ppt

在等差數(shù)列{an}中，(1)若a1＝20，前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn最大，并求出它的最大值；(2)若a1＜0，S9＝S12，則該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最??？編輯ppt【解析】(1)由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－.∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13，∴a13＝0.∵公差d＜0，a1＞0，∴a1，a2，…，a11，a12均為正數(shù)，而a14及以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)．∴當(dāng)n＝12或n＝13時(shí)，Sn有最大值為S12＝S13＝130.編輯ppt編輯ppt 等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題除了用二次函數(shù)求解外，還可用下面的方法討論：編輯ppt 2．設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1及公差d都為整數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn.(1)若a11＝0，S14＝98，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．編輯ppt【解析】(1)由S14＝98得2a1＋13d＝14，又a11＝a1＋10d＝0，故解得d＝－2，a1＝20.因此，{an}的通項(xiàng)公式是an＝22－2n，編輯ppt編輯ppt又d∈Z，故d＝－1.④將④代入①②得10＜a1≤12.又a1∈Z，故a1＝11或a1＝12.所以，所有可能的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝12－n和an＝13－n.編輯ppt編輯ppt本節(jié)主要以考查通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式為主，同時(shí)考查等差數(shù)列的性質(zhì)，在計(jì)算中，常有一些方程思想，題型各種形式都有出現(xiàn)，其難度為中、低檔題．1．(2009年安徽卷)已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn達(dá)到最大值的n是()A．21 B．20C．19 D．18編輯ppt【解析】

∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，∴99－105＝3d.∴d＝－2.又∵a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.＝－(n－20)2＋400. ∴當(dāng)n＝20時(shí)，Sn有最大值．【答案】B編輯ppt2．(2009年全國卷Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S9＝72，則a2＋a4＋a9＝______.【解析】設(shè)等差數(shù)列的