任意角的概念 省優(yōu)獲獎?wù)n件

1.1.1任意角的概念1.1.1任意角的概念11、角的概念初中是如何定義角的？從一個點出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形.

這種概念的優(yōu)點是形象、直觀、容易理解，但它是從圖形形狀來定義角，因此角的范圍是[0o,360o)，這種定義稱為靜態(tài)定義，其弊端在于“狹隘”.1、角的概念初中是如何定義角的？2

生活中很多實例不在該范圍。體操運動員轉(zhuǎn)體720o，跳水運動員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體1080o；經(jīng)過1小時，時針、分針、秒針各轉(zhuǎn)了多少度？這些例子不僅不在范圍[0o,360o)，而且方向不同，有必要將角的概念推廣到任意角，想想用什么辦法才能推廣到任意角？關(guān)鍵是用運動的觀點來看待角的變化。生活中很多實例不在該范圍。32．角的概念的推廣⑴“旋轉(zhuǎn)”形成角一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角α．旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角α的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角α的終邊，射線的端點O叫做角α的頂點．2．角的概念的推廣⑴“旋轉(zhuǎn)”形成角4⑵．“正角”與“負角”、“0o角”我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，把按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負角，如圖，以O(shè)A為始邊的角α=210°，β=－150°，γ=660°，⑵．“正角”與“負角”、“0o角”5

特別地，當一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，我們也認為這時形成了一個角，并把這個角叫做零度角（0o）．角的記法：角α或可以簡記成∠α.特別地，當一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，我們也認6⑶角的概念擴展的意義：用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地擴大了①角有正負之分;如：=210,

=150,

=660.②角可以任意大;

實例：體操動作：旋轉(zhuǎn)2周（360×2=720）3周（360×3=1080）③還有零角,一條射線，沒有旋轉(zhuǎn).⑶角的概念擴展的意義：用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地擴7

角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負角和零角．要注意，正角和負角是表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量，它的正負規(guī)定純屬于習慣，就好象與正數(shù)、負數(shù)的規(guī)定一樣，零角無正負，就好象數(shù)零無正負一樣．角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負角8用旋轉(zhuǎn)來描述角，需要注意三個要素（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量）（2）旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)變換的方向分為逆時針和順時針兩種，這是一對意義相反的量，根據(jù)以往的經(jīng)驗，我們可以把一對意義相反的量用正負數(shù)來表示，那么許多問題就可以解決了；（1）旋轉(zhuǎn)中心：作為角的頂點.用旋轉(zhuǎn)來描述角，需要注意三個要素（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量9（3）旋轉(zhuǎn)量：當旋轉(zhuǎn)超過一周時，旋轉(zhuǎn)量即超過360o，角度的絕對值可大于360o.于是就會出現(xiàn)720o，－540o等角度.（3）旋轉(zhuǎn)量：103．“象限角”

為了研究方便，我們往往在平面直角坐標系中來討論角。角的頂點重合于坐標原點，角的始邊重合于x軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象限）例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，

300、60是第Ⅳ象限角，

585、1300是第Ⅲ象限角，

135

、2000是第Ⅱ象限角等3．“象限角”為了研究方便，我們往往在平面直114．終邊相同的角

⑴觀察：390，330角，它們的終邊都與30角的終邊相同.⑵探究：終邊相同的角都可以表示成一個0到360的角與k(k∈Z)個周角的和：

390=30+360(k=1),

330=30360

(k=－1)

30=30+0×360(k=0),1470=30+4×360(k=4)

1770=305×360(k=－5)4．終邊相同的角⑴觀察：390，330角，它們的12⑶結(jié)論：所有與終邊相同的角連同在內(nèi)可以構(gòu)成一個集合：{β|β=α+k·360o}(k∈Z)

即：任何一個與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和⑶結(jié)論：13⑷注意以下四點：①k∈Z；②

是任意角；③k·360o與之間是“+”號，如k·360o－30o,應(yīng)看成k·360o+(－30o)；④終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360o的整數(shù)倍.⑷注意以下四點：14例1.在0o到360o范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個象限的角.(1)－120o；(2)640o；(3)－950o12′.解：⑴∵－120o=－360o+240o，∴240o的角與－120o的角終邊相同，它是第三象限角．⑵∵640o=360o+280o，∴280o的角與640o的角終邊相同，它是第四象限角．例1.在0o到360o范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角15⑶∵－950o12’=－3×360o+129o48’，∴129o48’的角與－950o12’的角終邊相同，它是第二象限角．⑶∵－950o12’=－3×360o+129o48’，16例2.寫出終邊在y軸上的角的集合.例3.寫出終邊在直線y=x上的角的集合S，

并把S中適合不等式－360o≤β≤720o的

元素β寫出來.例2.寫出終邊在y軸上的角的集合.例3.寫出終邊在直17課堂練習1．銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于90o的角是銳角嗎？區(qū)間(0o,90o)內(nèi)的角是銳角嗎？答：銳角是第一象限角；第一象限角不一定是銳角；小于90o的角可能是零角或負角，故它不一定是銳角；區(qū)間(0o,90o)內(nèi)的角是銳角．課堂練習1．銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？182．已知角的頂點與坐標系原點重合，始邊落在x軸的正半軸上，作出下列各角，并指出它們是哪個象限的角？(1)420o，(2)－75o，(3)855o，(4)－510o．答：(1)第一象限角；

(2)第四象限角，

(3)第二象限角，

(4)第三象限角.2．已知角的頂點與坐標系原點重合，始邊落在x軸的正半軸上，作193、已知α,β角的終邊相同，那么α－β的終邊在（）

Ax軸的非負半軸上By軸的非負半軸上

Cx軸的非正半軸上Dy軸的非正半軸上A4、終邊與坐標軸重合的角的集合是（）

A{β|β=k·360o(k∈Z)}B{β|β=k·180o(k∈Z)}C{β|β=k·90o(k∈Z)}D{β|β=k·180o+90o(k∈Z)}C3、已知α,β角的終邊相同，那么α－β的終邊在（205、已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是()A第一象限角B第一、二象限角

C第一、三象限角D第一、四象限角C6、若α是第四象限角，則180o－α是（）

A第一象限角B第二象限角

C第三象限角D第四象限角C5、已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是(217、在直角坐標系中，若α與β終邊互相垂直，那么α與β之間的關(guān)系是（）

A.β=α+90o

Bβ=α±90oCβ=k·360o+90o+α,k∈ZDβ=k·360o±90o+α,k∈ZD8、若90o<β<α<135o，則α－β的范圍是__________，α+β的范圍是___________;(0o,45o)(180o,270o)7、在直角坐標系中，若α與β終邊互相垂直，那么α與β之間的關(guān)229、若β的終邊與60o角的終邊相同，那么在[0o,360o]范圍內(nèi)，終邊與角的終邊相同的角為______________;解：β=k·360o+60o，k∈Z.所以=k·120o+20o，k∈Z.當k=0時，得角為20o，當k=1時，得角為140o，當k=2時，得角為260o.9、若β的終邊與60o角的終邊相同，那么在[0o,360o]23作業(yè)課本P9A組第1、2、3題

P10A組第5題作業(yè)課本P9A組第1、2、3題

P10A組第24第二章有理數(shù)及其運算有理數(shù)的加減混合運算第二章有理數(shù)的加減混合運算25問題：下圖是一條河流在枯水期的水位圖.此時小康橋面距水面的高度為多少米?

你知道小穎和小明分別是怎么想的嗎?他們的結(jié)果為什么相同?減法可以轉(zhuǎn)化為加法問題：下圖是一條河流在枯水期的水位圖.此時小康橋面你26議一議:一架飛機作特技表演,起飛后的高度變化如下表:高度變化記作上升4.5米+4.5千米下降3.2米－3.2千米上升1.1米+1.1千米下降1.4米－1.4千米此時,飛機比起飛點高了多少千米?比較以上兩種解法，你發(fā)現(xiàn)了什么？議一議:一架飛機作特技表演,起飛后的高度變化如下表:高度變27議一議:一架飛機作特技表演,起飛后的高度變化如下表:高度變化記作上升4.5米+4.5千米下降3.2米－3.2千米上升1.1米+1.1千米下降1.4米－1.4千米此時,飛機比起飛點高了多少千米?)4.1(1.1)2.3(5.4-++-+4.11.12.35.4-+-?議一議:一架飛機作特技表演,起飛后的高度變化如下表:高度變28議一議:一架飛機作特技表演,起飛后的高度變化如下表:高度變化記作上升4.5米+4.5米下降3.2米－3.2米上升1.1米+1.1米下降1.4米－1.4米此時,飛機比起飛點高了多少千米?)4.1(1.1)2.3(5.4-++-+4.11.12.35.4-+-省略了加號和括號把4.5－3.2＋1.1－1.4看作為4.5，－3.2，1.1，－1.4的和，也叫“代數(shù)和”．議一議:一架飛機作特技表演,起飛后的高度變化如下表:高度變29例題解析：例1計算：;

717271

)72(71

)1(

=+-=---解：說明：將加減統(tǒng)一成加法并寫成省略

加號和括號的和的形式.例題解析：例1計算：;717271)72(71)1(30例題解析：例1計算：.

565452545153)54(51)53(

)2(

-=--=-+-=-++-第（2）題還可以怎樣計算？.

56515453545153)54(51)53(

-=+--=-+-=-++-解:解:說明：把正數(shù)與負數(shù)分別相加，可使運算簡便．但要注意交換加數(shù)的位置時，要連同前面的符號一起交換．例題解析：例1計算：.565452545153)54(51311．有理數(shù)的加減法可統(tǒng)一成加法．2．因為有理數(shù)加減法可統(tǒng)一成加法，所以在加減運算時，適當運用加法運算律，把正數(shù)與負數(shù)分別相加，可使運算簡便．但要注意交換加數(shù)的位置時，要連同前面的符號一起交換．課堂小結(jié)：1．有理數(shù)的加減法可統(tǒng)一成加法．課堂小結(jié)：32隨堂練習1．計算：(1)3-8；

(2)-4+7；

(3)-6-9；

(4)8-12；(5)-15+7；

(6)0-2；

(7)-5-9+3；

(8)10-17+8；(9)-3-4+19-11；

(10)-8+12-16-23．2．計算：(1)-4.2+5.7-8.4+10；

(2)6.1-3.7-4.9+1.8；3．計算：(1)-216-157+348+512-678；

(2)81.26-293.8+8.74+111；作業(yè)示例演練P47—50隨堂練習1．計算：作業(yè)示例演練P47—5033隨堂練習4．計算：(1)12-(-18)+(-7)-15；

(2)-40-28-(-19)+(-24)-(-32)；5．計算：(1)(+12)-(-18)+(-7)-(+15)；(2)(-40)-(+28)-(-19)+(-24)-(32)；(3)(+4.7)-(-8.9)-(+7.5)+(-6)；作業(yè)P66—68習題2.7隨堂練習4．計算：作業(yè)P66—68習題2.7341.1.1任意角的概念1.1.1任意角的概念351、角的概念初中是如何定義角的？從一個點出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形.

這種概念的優(yōu)點是形象、直觀、容易理解，但它是從圖形形狀來定義角，因此角的范圍是[0o,360o)，這種定義稱為靜態(tài)定義，其弊端在于“狹隘”.1、角的概念初中是如何定義角的？36

生活中很多實例不在該范圍。體操運動員轉(zhuǎn)體720o，跳水運動員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體1080o；經(jīng)過1小時，時針、分針、秒針各轉(zhuǎn)了多少度？這些例子不僅不在范圍[0o,360o)，而且方向不同，有必要將角的概念推廣到任意角，想想用什么辦法才能推廣到任意角？關(guān)鍵是用運動的觀點來看待角的變化。生活中很多實例不在該范圍。372．角的概念的推廣⑴“旋轉(zhuǎn)”形成角一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角α．旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角α的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角α的終邊，射線的端點O叫做角α的頂點．2．角的概念的推廣⑴“旋轉(zhuǎn)”形成角38⑵．“正角”與“負角”、“0o角”我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，把按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負角，如圖，以O(shè)A為始邊的角α=210°，β=－150°，γ=660°，⑵．“正角”與“負角”、“0o角”39

特別地，當一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，我們也認為這時形成了一個角，并把這個角叫做零度角（0o）．角的記法：角α或可以簡記成∠α.特別地，當一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，我們也認40⑶角的概念擴展的意義：用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地擴大了①角有正負之分;如：=210,

=150,

=660.②角可以任意大;

實例：體操動作：旋轉(zhuǎn)2周（360×2=720）3周（360×3=1080）③還有零角,一條射線，沒有旋轉(zhuǎn).⑶角的概念擴展的意義：用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地擴41

角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負角和零角．要注意，正角和負角是表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量，它的正負規(guī)定純屬于習慣，就好象與正數(shù)、負數(shù)的規(guī)定一樣，零角無正負，就好象數(shù)零無正負一樣．角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負角42用旋轉(zhuǎn)來描述角，需要注意三個要素（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量）（2）旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)變換的方向分為逆時針和順時針兩種，這是一對意義相反的量，根據(jù)以往的經(jīng)驗，我們可以把一對意義相反的量用正負數(shù)來表示，那么許多問題就可以解決了；（1）旋轉(zhuǎn)中心：作為角的頂點.用旋轉(zhuǎn)來描述角，需要注意三個要素（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量43（3）旋轉(zhuǎn)量：當旋轉(zhuǎn)超過一周時，旋轉(zhuǎn)量即超過360o，角度的絕對值可大于360o.于是就會出現(xiàn)720o，－540o等角度.（3）旋轉(zhuǎn)量：443．“象限角”

為了研究方便，我們往往在平面直角坐標系中來討論角。角的頂點重合于坐標原點，角的始邊重合于x軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象限）例如：30、390、330是第Ⅰ象限角，

300、60是第Ⅳ象限角，

585、1300是第Ⅲ象限角，

135

、2000是第Ⅱ象限角等3．“象限角”為了研究方便，我們往往在平面直454．終邊相同的角

⑴觀察：390，330角，它們的終邊都與30角的終邊相同.⑵探究：終邊相同的角都可以表示成一個0到360的角與k(k∈Z)個周角的和：

390=30+360(k=1),

330=30360

(k=－1)

30=30+0×360(k=0),1470=30+4×360(k=4)

1770=305×360(k=－5)4．終邊相同的角⑴觀察：390，330角，它們的46⑶結(jié)論：所有與終邊相同的角連同在內(nèi)可以構(gòu)成一個集合：{β|β=α+k·360o}(k∈Z)

即：任何一個與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和⑶結(jié)論：47⑷注意以下四點：①k∈Z；②

是任意角；③k·360o與之間是“+”號，如k·360o－30o,應(yīng)看成k·360o+(－30o)；④終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360o的整數(shù)倍.⑷注意以下四點：48例1.在0o到360o范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個象限的角.(1)－120o；(2)640o；(3)－950o12′.解：⑴∵－120o=－360o+240o，∴240o的角與－120o的角終邊相同，它是第三象限角．⑵∵640o=360o+280o，∴280o的角與640o的角終邊相同，它是第四象限角．例1.在0o到360o范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角49⑶∵－950o12’=－3×360o+129o48’，∴129o48’的角與－950o12’的角終邊相同，它是第二象限角．⑶∵－950o12’=－3×360o+129o48’，50例2.寫出終邊在y軸上的角的集合.例3.寫出終邊在直線y=x上的角的集合S，

并把S中適合不等式－360o≤β≤720o的

元素β寫出來.例2.寫出終邊在y軸上的角的集合.例3.寫出終邊在直51課堂練習1．銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于90o的角是銳角嗎？區(qū)間(0o,90o)內(nèi)的角是銳角嗎？答：銳角是第一象限角；第一象限角不一定是銳角；小于90o的角可能是零角或負角，故它不一定是銳角；區(qū)間(0o,90o)內(nèi)的角是銳角．課堂練習1．銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？522．已知角的頂點與坐標系原點重合，始邊落在x軸的正半軸上，作出下列各角，并指出它們是哪個象限的角？(1)420o，(2)－75o，(3)855o，(4)－510o．答：(1)第一象限角；

(2)第四象限角，

(3)第二象限角，

(4)第三象限角.2．已知角的頂點與坐標系原點重合，始邊落在x軸的正半軸上，作533、已知α,β角的終邊相同，那么α－β的終邊在（）

Ax軸的非負半軸上By軸的非負半軸上

Cx軸的非正半軸上Dy軸的非正半軸上A4、終邊與坐標軸重合的角的集合是（）

A{β|β=k·360o(k∈Z)}B{β|β=k·180o(k∈Z)}C{β|β=k·90o(k∈Z)}D{β|β=k·180o+90o(k∈Z)}C3、已知α,β角的終邊相同，那么α－β的終邊在（545、已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是()A第一象限角B第一、二象限角

C第一、三象限角D第一、四象限角C6、若α是第四象限角，則180o－α是（）

A第一象限角B第二象限角

C第三象限角D第四象限角C5、已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是(557、在直角坐標系中，若α與β終邊互相垂直，那么α與β之間的關(guān)系是（）

A.β=α+90o

Bβ=α±90oCβ=k·360o+90o+α,k∈ZDβ=k·360o±90o+α,k∈ZD8、若90o<β<α<135o，則α－β的范圍是__________，α+β的范圍是___________;(0o,45o)(180o,270o)7、在直角坐標系中，若α與β終邊互相垂直，那么α與β之間的關(guān)569、若β的終邊與60o角的終邊相同，那么在[0o,360o]范圍內(nèi)，終邊與角的終邊相同的角為______________;解：β=k·360o+60o，k∈Z.所以=k·120o+20o，k∈Z.當k=0時，得角為20o，當k=1時，得角為140o，當k=2時，得角為260o.9、若β的終邊與60o角的終邊相同，那么在[0o,360o]57作業(yè)課本P9A組第1、2、3題

P10A組第5題作業(yè)課本P9A組第1、2、3題

P10A組第58第二章有理數(shù)及其運算有理數(shù)的加減混合運算第二章有理數(shù)的加減混合運算59問題：下圖是一條河流在枯水期的水位圖.此時小康橋面距水面的高度為多少米?

你知道小穎和小明分別是怎么想的嗎?他們的結(jié)果為什么相同?減法可以轉(zhuǎn)化為加法問題：下圖是一條河流在枯水期的水位圖.此時小康橋面你60議一議:一架飛機作特技表演,起飛后的高度變化如下表:高度變化記作上升4.5米+4.5千米下降3.2米－3.2千米上升1.1米+1.1千米下降1.4米－1.4千米此時,飛機比起飛點高了多少千米?比較以上兩種解法，你發(fā)現(xiàn)了什么？議一議:一架飛機作特技表演,起飛后的高度變化如下表:高度變61議一議:一架飛機作特技表演,起飛后的高度變化如下表:高度變化記作上升4.5米+4.5千米下降3.2米－3.2千米上升1.1米+1.1千米下降1.4米－1.4千米此時,飛機比起飛點高了多少千米?)4.1(1.1)2.3(5.4-++-+4.11.12.35.4-+-?議一議:一架飛機作特技表演,起飛后的高度變化如下表:高度變62議一議:一架飛機作特技表演,起飛后的高度變化如下表:高度變化記作上升4.5米+4.5米下降3.2米－3.2米上升1.1米+1.1米下降1.4米－1.4米此時,飛機比起飛點高了多少千米?)4.1(1.1)