課件-第九章一、泰勒級(jí)數(shù)

一、

級(jí)數(shù)(Taylor)中值定理

如果函數(shù)xf)(在含有x0)1階(的導(dǎo)數(shù),則

xx0

)(的一個(gè)的某個(gè)開(kāi)區(qū)間當(dāng)x

在

ba),內(nèi)(

時(shí),ba),內(nèi)(

具有直到

n

xf)(可以表示為n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)xR)(之和:n2!xRxnx()()fx()n

()0n!(

n1)fx()000xx

)(20)(

)00fx(f)x()f

nn1(n

1)!

(

x

x0

)

(f

(

)n其中R

(

x)

x

x在

0

與

之間).林(Maclaurin)公式

)10n

1)(!!2)0(xn1n1()

x)(n)(x

2f

)0x()0()(f

x

f

fxnn!f

)0(

fn!f

(

n)

(0)2!f

(0)2nxx

f

(

x)

f

(0)

f

(0)

x

O(

xn

)如果

xf)(在點(diǎn)x0

處任意階可導(dǎo),則冪級(jí)數(shù)nn!0

xx)(0n

)(

xf

)(n

0數(shù).xf)(在稱(chēng)為

xx0

處的

級(jí)nf

()n

(0)x

稱(chēng)為

f

()x

的n!n

0林級(jí)數(shù).定義定理

1

如果函數(shù)

f

(

x)在U

(

x0

,

)

內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),且在U

(x0

,

)內(nèi)能展開(kāi)成(x

x0

)的冪級(jí)數(shù),即nf

(

x)

0a

(

x

x

)

nn

0則其系數(shù)a10(

x

)

(n

0,1,2,)(

n)

fn!n且展開(kāi)式是唯一的.定理

2

f

(

x)在點(diǎn)x0

的

級(jí)數(shù),在U

(

x0

,

)

內(nèi)收n斂于f

(x)

在U

(x0

,

)內(nèi)lim

Rn

(x)

0.二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1.直接法(級(jí)數(shù)法)n!f

(

n)

(

x

)步驟:

(1)

求an

0

;nn(2) lim

R

0

或f

(n)(x)

M

,則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收斂于f

(x).例1

將f

(

x)

ex展開(kāi)成冪級(jí)數(shù).解f

(

n)

(

x)

e

x

,

f

(

n)

(0)

1.(n

0,1,2,)f

(

n)

(0)

1n!n!

an

M

0,在[Mf(n)

(

x)

ex

e

M(n

0,1,2,)ex

1

x

1

x2

1

xn

2!

n!由于M的任意性,即得x

(,)e

x

1

x

1

x

2

1

xn

2!

n!例2

將f冪級(jí)數(shù).

sin)(展開(kāi)成解f

(

n)

(

x)

sin(

x

n),2

2f

(

n)

(0)

sin

n

,

f

(

2n)

(0)

0,f

(

2n1)

(0)

(1)n

,

(n

0,1,2,)2且

f

(

n)

(

x)

sin(

x

n)

1

sin

x

x3!1

1n

1)(!2x3

5!x

(,)21nx

(,)2.間接法根據(jù)唯一性,利用常見(jiàn)展開(kāi)式,通過(guò)變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等方法,求展開(kāi)式.例如cos

x

(sin

x)sin

x

xcos

x

112!(2n)!x2

4!2nx

(,)

3!121n1

1n

1)(!2x3

5!arctan

x

x02dx1

x

n

12n121513x

[xdxx

(n0

1

x13n2ln(1

x)

12例：將f的冪級(jí)數(shù).例：將f

(

1)的冪級(jí)數(shù)林展開(kāi)式例：求函數(shù)ln(2

7

x

6x2

)的（即將其展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)）。1+x例：將函數(shù)f(x)=(1-x)3展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)。212-x0例：求e

dx例44

x將

xf)(

x

1

在x

1處展開(kāi)成 級(jí)數(shù)解(展開(kāi)成x

1的冪級(jí)數(shù))并求f

(n)(1).1

14

x

3

(

x

1),33(1

x

1)1

1)n

]3333

1[1

x

1

3

x

4

(

x

1)

3

13n

1)n3332(x

1

3n!于是3n故f

(n)(1)

n!.3n

,f

(

n)

(1)

1練習(xí)：將函數(shù)f(x)=ln(2+x-x2

)展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)。三、

公式復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):(u1

iv1

)

(u2

iv2

)

(un

ivn

)

其中un,vn

(n

1,2,3,)為實(shí)常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù).

若u

un

,

v

vn

,n1

n1n1則稱(chēng)級(jí)數(shù)(un

ivn

)收斂,且其和為u

iv

.若1

1

2

2

n

nu2u2

u2

v

2

v

2

v

2

收斂,

則un

,vn

絕對(duì)收斂,稱(chēng)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.n1

n1三個(gè)基本展開(kāi)式復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的概念

1

,n2!!ex53x3sin

x

x

,

(

x

)(2n)!2!

4!cos

x

1

2

n(

x

)(

x

)由e

x的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式eix

1

ix

1

(ix)2

1

(ix)n

2!

n!

)n

1)(!213!

i(

x

12n

12

(1

x

1)(

)x2nn

2!

(2n)!

cos

x

cos

x

i

sin

xsin

xeix

cos

x

i

sin

xsin

x

2eix

e

ixcos

x

eix

e

ix2i又e

ix

cos

x

i

sin

x公式e

x

iy

e

x

(cos

y

i

sin

y)揭示了三角函數(shù)和復(fù)變數(shù)指數(shù)函數(shù)之間的一種關(guān)系.三、小結(jié)如何求函數(shù)的

級(jí)數(shù);級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)的條件;函數(shù)展開(kāi)成

級(jí)數(shù)的方法.公式思考題什么叫冪級(jí)數(shù)的間接展開(kāi)法？思考題解答從已知的展開(kāi)式出發(fā),通過(guò)變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等辦法,求出給定函數(shù)展開(kāi)式的方法稱(chēng)之.2、(1

x)ln(1

x);1、a

x

；3、arcsin

x

；練習(xí)題一、將下列函數(shù)展開(kāi)成x

的冪級(jí)數(shù),并求展開(kāi)式成立的區(qū)間:4、(1

x)31

x.二、將函數(shù)f

(x)x

3

展開(kāi)成(x

1)的冪級(jí)數(shù),并求展開(kāi)式成立的區(qū)間.三、將函數(shù)f

(x)數(shù).

3

x

21x

2展開(kāi)成(x

4)的冪級(jí)四、將級(jí)數(shù)2n1(1)n1

x

2n1(2n

1)!的和函數(shù)展開(kāi)成(

x

1)n1的冪級(jí)數(shù).練習(xí)題答案一、1、(

x

)；n!n0(ln

a)nxn2、n(n

1)(1)n1n1x

(1

x

1)；x

3、2x

n1(n!)

(2n

1)

22(2n)!

xn12n1(

)

(1

x

1)；(1,1).4、

n2

xn1n1二、31

(

x

1)

2(0

x

2).)n0n

2(1)n

(2n)!

3

(

x