偏微分方程在計算流體中的應用

偏微分方程在計算流體中的應用——pb06001032張凌肖這學期我選了一門研究生課——計算流體力學，在學習這門課的過程中，我充分感覺到了偏微分方程的重要，因為無論哪一章，都滲透著偏微分方程的思想，沒有偏微分方程，計算流體這門課顯得支離破碎。下面我就拿一個特殊的計算流體方程舉例子。因為計算流體這門課的教材是英文的，所以有些專有名詞我將只寫出英文，還請多包涵。

我要說的是Shallow-waterequation，它是典型的雙曲線方程，它是源于Navier-Stokesequation，形如（1.1）和（1.2），——（1.1）——（1.2）它模擬了海峽，湖泊，河流以及海水中水流的流動形式。大氣和海洋中的流體的核心模型是由Shallow-waterequation組成的。接下來我將分六個方面說明偏微分方程在Shallow-waterequation中的應用。一、Shallow-waterequation中的控制方程對于一維的Shallow-waterequation來說（1.1）和（1.2）可以簡化成（1.3）和（1.4）?！?.3）——（1.4）U是流體的平均深度，d是水深，g表示重力加速度，H是底部的高度，而C是Chezy摩擦系數(shù)。二、Shallow-waterequation的分類（1.3）和（1.4）可以轉(zhuǎn)化成（1.5），——（1.5），其中，，，而（1.5）的性質(zhì)體現(xiàn)在特征值問題（1.6）?！?.6）我們有——(1.7)，如果——（1.8）成立。由于我們已經(jīng)找到兩個實線性獨立向量，系統(tǒng)（1.5）是雙曲線型的。而且，特征向量可以通過線性運算簡化成——（1.9）三、Shallow-waterequation的特征線在thefrozencoefficient的情形下，有wave-likesolution，其中和由于沿著曲線，，且，時，W=const。而上面的曲線就是特征線，這與偏微教材第一章所介紹的特征線在概念和性質(zhì)上是統(tǒng)一的。四、Shallow-waterequation的對角化我們先引入新的變量Z，使得，我們令，則（1.5）變形成（2.1），——（2.1）這樣，是一個對角陣，使得（2.1）變成一個獨立的方程組。我們在選取矩陣B是有技巧的，令B等于F的特征向量的組合，，，而且Z滿足等式，進而，我們得到，——（2.2），所以（2.1）變形成（2.3）——（2.3）五、Shallow-waterequation的波動性我們先假設H是恒定的，并忽略摩擦力作用，這樣（2.3）就變成了（2.4）——（2.4）因此沿著特征線，，=const，而且沿著特征線，，=const。我們稱變量和是黎曼不變量。我們不妨把和看作擁有速度和的信號。是由重力引起的。其中，叫做celerity，叫做Froudenumber。接下來，我們來考慮調(diào)和波，=const,這是（2.5）的解，如果。如果，那么存在非零解。之后，引入了很多波動性的新的概念，解釋起來很麻煩，就不在這里一一介紹了。六、Shallow-waterequation的初邊值條件Shallow-waterequation的初邊值條件的討論與《偏微分方程》中第四十頁到第四十一頁所討論的內(nèi)容是完全一致的，在那里，引入了“影響區(qū)域”，“決定區(qū)域”，還有“依賴區(qū)域”的概念，本文就不一一介紹了。其實，關(guān)于Shallow-waterequation的內(nèi)容并沒有介紹完，因為后面的內(nèi)容涉及到偏微分方程數(shù)值解和有限元的理論，所以，就不在這里詳細闡述。不過，由上面的六個方面可以看出，Shallow-waterequation的基礎是建立在偏微分方程知識的熟練