身邊的數(shù)學(xué)-高中數(shù)學(xué)-校本課程教案

目錄序言 1第一講世界數(shù)學(xué)難題欣賞——四色猜想 2第二講世界數(shù)學(xué)難題欣賞——哥尼斯堡七橋問題 4第三講電冰箱溫控器調(diào)節(jié) 6第四講賭馬中的數(shù)學(xué)問題 10第五講對稱——自然美的基礎(chǔ) 12第七講斐波那契數(shù)列 14第八講蜂房中的數(shù)學(xué) 17第九講龜背上的學(xué)問 18第十講Music與數(shù)學(xué) 20第十一講e和銀行業(yè) 21第十二講幾何就在你的身邊 23第十三講巧用數(shù)學(xué)看現(xiàn)實 24第十四講商品調(diào)價中的數(shù)學(xué)問題 25第十五講煤商怎樣進(jìn)煤利潤高 27第十六講把握或然，你會更聰明 29第十七講順?biāo)浦郏恕皵场敝聞佟劮醋C法的應(yīng)用 33第十八講抽屜原理和六人集會問題 33第十九講數(shù)獨游戲與數(shù)學(xué) 33第二十講集合與生活 33第二十一講生活中的立體幾何 33第二十二講生活中的排列組合 33第二十三講算法妙用 33序言數(shù)學(xué)是打開知識大門的鑰匙，是整個科學(xué)的基礎(chǔ)知識。創(chuàng)新教學(xué)的先行者里斯特伯先生指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要解決生活問題，只有極少數(shù)人才能攻關(guān)艱深的高級數(shù)學(xué)問題，我們不能只為了培養(yǎng)尖端人才而忽略或者犧牲大多數(shù)學(xué)生的利益，所以數(shù)學(xué)首先應(yīng)該是生活概念?！痹谏钪袑W(xué)數(shù)學(xué)，以學(xué)生生活中實實在在的鮮活材料來吸引學(xué)生對科學(xué)的興趣。我們選取的都是從學(xué)生生活實踐中取材，將數(shù)學(xué)知識巧妙地運用于生活之中，增加了學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，實現(xiàn)新課改所倡導(dǎo)的情感體驗，培養(yǎng)良好的科學(xué)態(tài)度和正確價值觀的目標(biāo)。數(shù)學(xué)校本課程的開發(fā)要滿足學(xué)生已有的興趣和愛好，又要激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生新的興趣和愛好，要要求和鼓勵學(xué)生投入生活，親身實踐體驗。選題要尊重學(xué)生的實際、學(xué)生的探究本能和興趣，給與每個學(xué)生主體性發(fā)揮的廣闊空間，從而更好的培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的素質(zhì)和能力。使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，學(xué)有興趣，習(xí)有方法，必有成功。學(xué)生的個性在社會活動中得以健康發(fā)展，學(xué)生的潛能在自學(xué)自育中得到充分開發(fā)。

第一講世界數(shù)學(xué)難題欣賞——四色猜想平面內(nèi)至多可以有四個點構(gòu)成每兩個點兩兩連通且連線不相交?？捎梅柋硎荆篕（n)，n=、<4。四色原理簡介：這是一個拓?fù)鋵W(xué)問題，即找出給球面（或平面）地圖著色時所需用的不同顏色的最小數(shù)目。著色時要使得沒有兩個相鄰（即有公共邊界線段）的區(qū)域有相同的顏色。1852年英國的格思里推測：四種顏色是充分必要的。1878年英國數(shù)學(xué)家凱利在一次數(shù)學(xué)家會議上呼吁大家注意解決這個問題。直到1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩哈爾、哈肯和考西利用高速電子計算機(jī)運算了1200個小時，才證明了格思里的推測。20世紀(jì)80-90年代曾邦哲的綜合系統(tǒng)論（結(jié)構(gòu)論）觀將“四色猜想”命題轉(zhuǎn)換等價為“互鄰面最大的多面體是四面體”。四色問題的解決在數(shù)學(xué)研究方法上的突破，開辟了機(jī)器證明的美好前景。四色定理的誕生過程：世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一(另外兩個是費馬定理和哥德巴赫猜想)。四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯·格思里(FrancisGuthrie)來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色。”,用數(shù)學(xué)語言表示，即“將平面任意地細(xì)分為不相重迭的區(qū)域，每一個區(qū)域總可以用1，2，3，4這四個數(shù)字之一來標(biāo)記，而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相同的數(shù)字。”這個結(jié)論能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格證明呢？他和在大學(xué)讀書的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問題而使用的稿紙已經(jīng)堆了一大疊，可是研究工作沒有進(jìn)展。1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教他的老師、著名數(shù)學(xué)家德·摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，于是寫信向自己的好友、著名數(shù)學(xué)家哈密爾頓爵士請教。哈密爾頓接到摩爾根的信后，對四色問題進(jìn)行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。1872年，英國當(dāng)時最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦數(shù)學(xué)學(xué)會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn)。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認(rèn)為四色猜想從此也就解決了。肯普的證明是這樣的：首先指出如果沒有一個國家包圍其他國家，或沒有三個以上的國家相遇于一點，這種地圖就說是“正規(guī)的”（左圖）。如為正規(guī)地圖，否則為非正規(guī)地圖（右圖）。一張地圖往往是由正規(guī)地圖和非正規(guī)地圖聯(lián)系在一起，但非正規(guī)地圖所需顏色種數(shù)一般不超過正規(guī)地圖所需的顏色，如果有一張需要五種顏色的地圖，那就是指它的正規(guī)地圖是五色的，要證明四色猜想成立，只要證明不存在一張正規(guī)五色地圖就足夠了。肯普是用歸謬法來證明的，大意是如果有一張正規(guī)的五色地圖，就會存在一張國數(shù)最少的“極小正規(guī)五色地圖”，如果極小正規(guī)五色地圖中有一個國家的鄰國數(shù)少于六個，就會存在一張國數(shù)較少的正規(guī)地圖仍為五色的，這樣一來就不會有極小五色地圖的國數(shù)，也就不存在正規(guī)五色地圖了。這樣肯普就認(rèn)為他已經(jīng)證明了“四色問題”，但是后來人們發(fā)現(xiàn)他錯了。不過肯普的證明闡明了兩個重要的概念，對以后問題的解決提供了途徑。第一個概念是“構(gòu)形”。他證明了在每一張正規(guī)地圖中至少有一國具有兩個、三個、四個或五個鄰國，不存在每個國家都有六個或更多個鄰國的正規(guī)地圖，也就是說，由兩個鄰國，三個鄰國、四個或五個鄰國組成的一組“構(gòu)形”是不可避免的，每張地圖至少含有這四種構(gòu)形中的一個?？掀仗岢龅牧硪粋€概念是“可約”性?！翱杉s”這個詞的使用是來自肯普的論證。他證明了只要五色地圖中有一國具有四個鄰國，就會有國數(shù)減少的五色地圖。自從引入“構(gòu)形”，“可約”概念后，逐步發(fā)展了檢查構(gòu)形以決定是否可約的一些標(biāo)準(zhǔn)方法，能夠?qū)で罂杉s構(gòu)形的不可避免組，是證明“四色問題”的重要依據(jù)。但要證明大的構(gòu)形可約，需要檢查大量的細(xì)節(jié)，這是相當(dāng)復(fù)雜的。11年后，即1890年，數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。后來，越來越多的數(shù)學(xué)家雖然對此絞盡腦汁，但一無所獲。于是，人們開始認(rèn)識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題：先輩數(shù)學(xué)大師們的努力，為后世的數(shù)學(xué)家揭示四色猜想之謎鋪平了道路。進(jìn)入20世紀(jì)以來，科學(xué)家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。1913年，伯克霍夫在肯普的基礎(chǔ)上引進(jìn)了一些新技巧，美國數(shù)學(xué)家富蘭克林于1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國推進(jìn)到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨后又推進(jìn)到了50國?？磥磉@種推進(jìn)仍然十分緩慢。電子計算機(jī)問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對話的出現(xiàn)，大大加快了對四色猜想證明的進(jìn)程。1976年，在J.Koch的算法的支持下，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾(KennethAppel)與哈肯(WolfgangHaken)在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計算機(jī)上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。四色猜想的計算機(jī)證明，轟動了世界,當(dāng)時中國科學(xué)家也有在研究這原理。它不僅解決了一個歷時100多年的難題，而且有可能成為數(shù)學(xué)史上一系列新思維的起點。四色定理是第一個主要由計算機(jī)證明的理論，這一證明并不被所有的數(shù)學(xué)家接受，因為它不能由人工直接驗證。最終，人們必須對計算機(jī)編譯的正確性以及運行這一程序的硬件設(shè)備充分信任。缺乏數(shù)學(xué)應(yīng)有的規(guī)范成為了另一個方面；以至于有人這樣評論“一個好的數(shù)學(xué)證明應(yīng)當(dāng)像一首詩——而這純粹是一本電話簿！”由四色猜想產(chǎn)生了德·摩爾根地圖四色定理，地球區(qū)劃圖的奧秘——四色定理，宇宙萬物圖的奧秘——十六色定理，宏偉的原創(chuàng)性科學(xué)發(fā)現(xiàn)和發(fā)明——萬有圖形色數(shù)。

第二講世界數(shù)學(xué)難題欣賞——哥尼斯堡七橋問題請你做下面的游戲：一筆畫出如圖1的圖形來。規(guī)則：筆不離開紙面，每根線都只能畫一次。這就是古老的民間游戲——一筆畫。你能畫出來嗎？如果你畫出來了，那么請你再看圖2能不能一筆畫出來？雖然你動了腦筋，但我相信你肯定不能一筆畫出來！為什么我的語氣這么肯定？我們來分析一下圖2。我們把圖2看成是由點和線組成的一種集合。圖里直線的交點叫做頂點，連結(jié)頂點的線叫做邊。這個圖是聯(lián)通的，即任何二個頂點之間都有邊。很顯然，圖中的頂點有兩類：一類是有偶數(shù)條邊聯(lián)它的，另一類是有奇數(shù)條邊聯(lián)它的。一個頂點如果有偶數(shù)條邊聯(lián)它的，這點就稱為偶點；如果有奇數(shù)條邊聯(lián)它的，就稱它為奇點。我們知道，能一筆畫的圖形只有兩類：一類是所有的點都是偶點。另一類是只有二個奇點的圖形。圖2有六個奇點，四個偶點，當(dāng)然不能一筆畫出來了。為什么能一筆畫的圖形只有上述兩類呢？有關(guān)這個問題的討論，要追溯到二百年前的一個著名問題：哥尼斯堡七橋問題。十八世紀(jì)東普魯士哥尼斯堡城（今俄羅斯加里寧格勒）的普萊格爾河，它有兩個支流，在城市中心匯成大河，中間是島區(qū)，河上有7座橋，將河中的兩個島和河岸連結(jié)，如圖3所示。由于島上有古老的哥尼斯堡大學(xué)，有教堂，還有哲學(xué)家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大學(xué)生們經(jīng)常沿河過橋散步。漸漸地，愛動腦筋的人們提出了一個問題：一個散步者能否一次走遍7座橋，而且每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點。這就是七橋問題，一個著名的圖論問題。圖3這個問題看起來似乎很簡單，然而許多人作過嘗試始終沒有能找到答案。因此，一群大學(xué)生就寫信給當(dāng)時年僅20歲的大數(shù)學(xué)家歐拉。歐拉從千百人次的失敗，以深邃的洞察力猜想，也許根本不可能不重復(fù)地一次走遍這七座橋，并很快證明了這樣的猜想是正確的。歐拉是這樣解決問題的：既然陸地是橋梁的連接地點，不妨把圖中被河隔開的陸地看成4個點，7座橋表示成7條連接這4個點的線，如圖4所示。圖4圖5于是“七橋問題”就等價于圖5中所畫圖形的一筆畫問題了。歐拉注意到，如果一個圖能一筆畫成，那么一定有一個起點開始畫，也有一個終點。圖上其它的點是“過路點”——畫的時候要經(jīng)過它?，F(xiàn)在看“過路點”具有什么性質(zhì)。它應(yīng)該是“有進(jìn)有出”的點，有一條邊進(jìn)這點，那么就要有一條邊出這點，不可能是有進(jìn)無出，如果有進(jìn)無出，它就是終點，也不可能有出無進(jìn)，如果有出無進(jìn)，它就是起點。因此，在“過路點”進(jìn)出的邊總數(shù)應(yīng)該是偶數(shù)，即“過路點”是偶點。如果起點和終點是同一點，那么它也是屬于“有進(jìn)有出”的點，因此必須是偶點，這樣圖上全體點都是偶點。如果起點和終點不是同一點，那么它們必須是奇點，因此這個圖最多只能有二個奇點。現(xiàn)在對照七橋問題的圖，所有的頂點都是奇點，共有四個，所以這個圖肯定不能一筆畫成。歐拉對“七橋問題”的研究是圖論研究的開始，同時也為拓?fù)鋵W(xué)的研究提供了一個初等的例子。事實上，中國民間很早就流傳著這種一筆畫的游戲，從長期實踐的經(jīng)驗，人們知道如果圖的點全部是偶點，可以任意選擇一個點做起點，一筆畫成。如果是有二個奇點的圖形，那么就選一個奇點做起點以順利的一筆畫完?？上У氖牵艜r候沒有人對它重視，沒有數(shù)學(xué)家對它進(jìn)行經(jīng)驗總結(jié)，以及加以研究。今天學(xué)習(xí)歐拉的成果不應(yīng)是單純把它作為數(shù)學(xué)游戲，重要的是應(yīng)該知道他怎樣把一個實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題。研究數(shù)學(xué)問題不應(yīng)該為“抽象而抽象”，抽象的目的是為了更好的、更有效的解決實際產(chǎn)生的問題，歐拉對“七橋問題”的研究就是值得我們學(xué)習(xí)的一個樣板。

第三講電冰箱溫控器調(diào)節(jié)人民生活水平日益提高，許多家庭都購買了電冰箱等家用電器。但是有許多家庭并不了解電冰箱的工作原理，更不了解電冰箱溫控器的工作原理及其調(diào)節(jié)方法。不正確的使用電冰箱勢必會縮短其使用壽命，帶來了不必要的麻煩，同時也浪費了自然資源和財力。電冰箱工作了很長時間，卻一直不停機(jī)。檢查后發(fā)現(xiàn)只是溫控器調(diào)節(jié)的不正確。這使我們認(rèn)識到了冰箱溫控器對于電冰箱的重要性。因此，我們來研究一下電冰箱溫控器的正確使用方法，即如何使電冰箱的使用壽命更長。問題：如何正確調(diào)節(jié)電冰箱溫控器，使電冰箱使用壽命更長。電冰箱制冷是靠中溫低壓的液態(tài)制冷劑進(jìn)入蒸發(fā)器吸收熱量汽化為低溫低壓的氣態(tài)制冷劑，達(dá)到蒸發(fā)器周圍降溫使冰箱內(nèi)部冷卻的目的。壓縮機(jī)、冷凝器、干燥過濾器、毛細(xì)管則是幫助并保證在蒸發(fā)器中已使用過的制冷劑回復(fù)到中溫低壓的液體，能再一次送回蒸發(fā)器吸熱汽化，實現(xiàn)單向連續(xù)循環(huán)制冷。蒸發(fā)器是電冰箱中唯一制冷的器件。壓縮機(jī)把蒸發(fā)器出來的低溫低壓的汽態(tài)制冷劑經(jīng)回氣管由壓縮機(jī)吸入氣缸，被壓縮為高溫高壓的氣態(tài)進(jìn)入冷凝器，把蒸發(fā)器中吸收的熱量和壓縮機(jī)在壓縮做功時轉(zhuǎn)換的熱量，利用制冷劑與周圍介質(zhì)之間有較大的溫差，通過冷凝器全部散發(fā)到空氣中。制冷劑在冷凝器中因放熱而被液化。這高壓中溫液態(tài)制冷劑經(jīng)干燥過濾器吸收其中的水分，濾除其中的雜質(zhì)，進(jìn)入毛細(xì)管節(jié)流降壓，使高壓液態(tài)制冷劑降為低壓而能回到蒸發(fā)器重復(fù)使用。電冰箱就是這樣由各種制冷劑作工質(zhì)，在封閉系統(tǒng)中作單向連續(xù)循環(huán)，把冰箱內(nèi)熱量不斷的轉(zhuǎn)移到箱外而達(dá)到制冷目的。電冰箱壓縮機(jī)是開開停停間歇工作的。電冰箱達(dá)到箱內(nèi)的設(shè)定溫度是通過溫度控制器控制壓縮機(jī)的開、停機(jī)來完成的。壓縮機(jī)運轉(zhuǎn)時間長，即制冷時間長，則箱內(nèi)溫低；反之箱溫就高。溫度控制器二個觸點串聯(lián)在壓縮機(jī)電路中，當(dāng)箱內(nèi)溫度低到某一設(shè)定溫度時則溫控器觸點跳開，壓縮機(jī)停轉(zhuǎn)，暫停制冷，隨后箱內(nèi)溫度逐漸提高，在箱內(nèi)溫度高到另一設(shè)定溫度時則溫控器觸點閉合，壓縮機(jī)又運轉(zhuǎn)制冷……如此循環(huán)。使箱內(nèi)溫度保持在一定范圍內(nèi)。電冰箱溫控器中的感溫包感受蒸發(fā)器的溫度，當(dāng)溫度升高或降低時，感溫元件中感溫劑膨脹或收縮，使非剛性元件感溫腔（波紋管或膜盒）推進(jìn)或退縮，從而改變感溫元件與彈簧片之間的作用力通過溫控器中機(jī)械傳力放大，使感溫腔微小形變產(chǎn)生的微小位移放大，控制電觸點，使其閉合或斷開電路。溫控器指向的數(shù)字，并不表示確切的溫度，而是表示控制溫度高低的程度趨向，數(shù)字小表示控制在較高溫度，數(shù)字大則表示控制在較低溫度。

我們認(rèn)為，壓縮機(jī)的使用壽命在很大程度上決定了電冰箱的使用壽命。而影響壓縮機(jī)工作時間的因素主要有：外界溫度、溫控器檔位、冷凍室食品量、開關(guān)冰箱門習(xí)慣。當(dāng)電冰箱工作穩(wěn)定后，冷凍室食品量對其影響十分微小，但不可以忽略不計。無論是在寒冷的冬季，還是在炎熱的夏季，冰箱中的食品都是在不斷的吸熱和放熱。當(dāng)冰箱內(nèi)冷汽散失時，食品吸熱；當(dāng)電冰箱制冷吸熱時，食品放熱。這在夏季時最為明顯：當(dāng)電冰箱停機(jī)時，冰箱內(nèi)食品越多其停機(jī)時間越長，因為如果假設(shè)食品的平均比熱容不變，那么根據(jù)物理學(xué)關(guān)于熱能的公式Q=M×C×ΔT可知食品量與停機(jī)時間成反比。其中Q為食品熱量變化，C為食品平均比熱，ΔT食品溫度變化量。因此，冰箱內(nèi)食品量的多少也是十分重要的。實際上，外界溫度隨季節(jié)變化而變化，溫控器檔位靠人工調(diào)節(jié)，冰箱內(nèi)的食品量和如何開關(guān)門對于一個家庭來講變化不會很大，因為已經(jīng)形成了習(xí)慣。但是，使用時如果壓縮機(jī)長時間連續(xù)工作，壓縮機(jī)溫度就會升高，就會造成熱沖擊。過多的熱沖擊會縮短壓縮機(jī)的使用壽命。因此，我們只要調(diào)節(jié)溫控器檔位，使電冰箱冷凍室溫度不低于某一溫度，而且壓縮機(jī)在非長時間連續(xù)工作的條件下（不超過一個小時），工作時間與工作、停機(jī)的時間和的比值最小（如工作10分鐘，停機(jī)10分鐘，則比值為0.5)，即壓縮機(jī)的使用壽命更長，就可以使電冰箱的使用壽命更長。同時，電冰箱的耗電量也降低了。這樣，一臺電冰箱在使用過程中既省電，又可以延長使用壽命，當(dāng)然十分經(jīng)濟(jì)。通過電冰箱生產(chǎn)廠家的電話咨詢，專業(yè)技術(shù)人員肯定了我們的上述看法。于是我們就此進(jìn)行了一些實驗，并通過電話咨詢得到了一些準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。在北京等中國北方城市，冬季的供暖由市區(qū)縣的各供暖單位負(fù)責(zé)保證。政府規(guī)定，冬季居民室內(nèi)的溫度不得低于16攝氏度。北京市的供暖單位現(xiàn)在一般能夠保證這個溫度在18攝氏度左右，最高溫可達(dá)20攝氏度，最低溫絕不低于16攝氏度。因此，可以認(rèn)為我國北方冬季家庭室內(nèi)溫度在18攝氏度左右。又因為，我國北方春秋季節(jié)家庭室內(nèi)溫度也在18攝氏度左右，偏冷的地區(qū)依然有暖汽等供暖，甚至常年不斷。所以，可以認(rèn)為，我國北方春秋冬三季的家庭室內(nèi)溫度均在18攝氏度左右。就一般家庭而言，熟食一般現(xiàn)吃現(xiàn)買，生食一般只放幾個星期。電冰箱冷凍室的食品量一般占冷凍室容積的五分之三左右，且一般變化不是很大。就是說，一般家庭的食品量對冰箱的影響基本相同。

綜上所述，我們理想化的實驗條件是我國北方春秋冬三季一般家庭的電冰箱。在研究這個問題時可以把食品量和室內(nèi)溫度作為常數(shù)來考慮。由于每次開冰箱門時都會使冰箱內(nèi)食品吸熱升溫，所以不同人的開門習(xí)慣和速度會影響到冰箱的制冷效果。比如說：老人可能手腳不是很利落，而且拿一件東西要想一下；年輕人可能一只手開門，另一只手就把東西拿出來了。為了簡便計算，我們可以認(rèn)為，在一個家庭中不考慮老人與青年人的分別，只考慮平均到每個家庭成員的使用效果，那么各個家庭的情況基本相同。結(jié)果是，我們在計算過程中可以忽略這一因素的影響。我們想利用家用電冰箱來進(jìn)行一次實驗。于是我們選用了長嶺阿里斯頓——BCD208型電冰箱，在保持室溫為18攝氏度且食品量始終占冷凍室有效容積五分之三不變的情況下，測定了一些數(shù)據(jù)。這種電冰箱屬于中等檔次的家用電器，制冷效果屬于一般水平。目前許多家庭使用的電冰箱的制冷效果和保溫能力都與其相差無幾。這些滿足了本論文前面交代的實驗條件，可以作為該條件下的一個例子，來解決這個問題。于是我們開始了實驗。實驗進(jìn)行了一個多星期，每組數(shù)據(jù)（既一個檔位）間間隔二個小時，讓電冰箱進(jìn)行調(diào)節(jié)，以保證數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。

這臺冰箱的溫控器旋鈕有六個檔位，分別是從零到五。第零檔為停機(jī)檔，既電冰箱壓縮機(jī)停止工作，不會啟動；第五檔為速凍檔，即壓縮機(jī)一直啟動，不會停機(jī)。因此，我們不能選第零檔，因為冰箱不會制冷；不能選第五檔，因為冰箱持續(xù)工作，即浪費電能，又會造成熱沖擊，還有可能凍壞食品。我們設(shè)工作時間與工作、停機(jī)的時間和的比值為y，設(shè)電冰箱溫控器檔位為x。則自變量x的取值范圍為（0，5）。在平面直角坐標(biāo)系中描點作圖，為了便于計算，且不影響結(jié)果的正確，我們在計算時把原ｙ值擴(kuò)大了100倍。這樣可以方便計算，也能方便作圖。觀察散點的分布，我們認(rèn)為這些點極有可能是在一條拋物線上，因此設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)為。我們在后面附有實驗數(shù)據(jù)列表和用繪圖工具《幾何畫板》作出的函數(shù)圖象。其中，表格包含五組數(shù)據(jù)，在測定時每組數(shù)據(jù)之間至少間隔兩個小時，因為電冰箱需要約一個小時來調(diào)整。函數(shù)圖象有一個大致的輪廓。圖中的空心圓點表示描點，實心圓點表示當(dāng)x為4.5時函數(shù)圖象上的點。

我們分別以三組數(shù)據(jù)為一組，把五組數(shù)據(jù)分成了十組。設(shè)五組數(shù)據(jù)對應(yīng)函數(shù)圖象上的點從左至右依次為A、B、C、D、E，則將五組數(shù)據(jù)分組為：ABC、ABD、ABE、ACD……BDE、CDE。每組可分別解出一個函數(shù)，但都有一定誤差。其中，凡是包含數(shù)據(jù)組E的組誤差都十分大，且不太正常。我們認(rèn)為是由于壓縮機(jī)升溫且冷凝器溫度升高散熱變慢，導(dǎo)致電冰箱工作異常。這種可能性十分大，屬于正?，F(xiàn)象。通過電話咨詢，冰箱廠家的技術(shù)人員肯定了我們的想法，并告訴我們：目前一些高級的冷凝管可以大大提高散熱效率，但造價頗高，且調(diào)節(jié)溫控器就可解決問題，沒必要多花錢去生產(chǎn)。于是把數(shù)據(jù)組E舍去，只計算前四組，又可以分為四組：ABC、ABD、ACD、BCD。以這四組數(shù)據(jù)分別解出一個函數(shù)，這四組函數(shù)中也存在誤差，但是應(yīng)該保留數(shù)據(jù)組A存在誤差的那一分組。因為，溫控器調(diào)得過低后也會造成冰箱本身的問題。由于檔位越低，要求達(dá)到的溫度越高（不一定始終在設(shè)定溫度以下），所以要工作的時間就比較短，但停機(jī)時間縮短得更多。就是說，冰箱內(nèi)的食品在較長時間內(nèi)放出了熱量，在較短的時間內(nèi)又吸入了大致相同的熱量。冰箱在這時需要適度調(diào)低要求達(dá)到的溫度。這就是為什么要注意溫控器的調(diào)節(jié)。就是說，由BCD解得的函數(shù)對于點A、D的誤差屬于合理誤差。最后，只有BCD這一組的不合理誤差最小(此時A點誤差為-0.36),最后解得的函數(shù)即為所求的函數(shù)y=f(x)。由數(shù)據(jù)組BCD解函數(shù)：

當(dāng)x=2.574時,函數(shù)有最小值y=35.846；

所以,溫控器旋鈕應(yīng)指在2.574的位置。可是由于實驗中不可能消除誤差，所以應(yīng)指在2、3之間的一個位置，室溫稍低時就調(diào)低一點兒，反之就高一點兒，一般家庭不用經(jīng)常調(diào)，溫度差2到3度不會有大影響。但是不同的電冰箱性能不同，具體的食品量在變化，外界溫度也會上下浮動，每個人每一次開門造成的影響都不相同，不同品牌電冰箱溫控器控制面板也不相同。所以忽略絕大多數(shù)家庭相同的因素，只須再考慮不同的電冰箱性能不同、電冰箱溫控器控制面板也不相同。盡管不同的電冰箱性能不同，但是它們的工作原理相同，都是在不斷的吸熱、放熱。就是說，它們在那個檔位基本上都是最佳的。雖然電冰箱溫控器控制面板不相同，但是內(nèi)部旋轉(zhuǎn)多少角度能調(diào)節(jié)多少溫度，卻是同樣基本相同的。目前市場上比較多的樣式主要有：“0”到“5”，“1”到“7”和“弱”、“中”、“強(qiáng)”。由于我們實驗用的電冰箱配備的是第一種樣式的溫控器，所以對應(yīng)到其它兩種樣式分別是“3”、“4”檔之間和“中”略偏“弱”。問題解決了，是在中國北方春秋冬三季，一般家庭家用電冰箱溫控器的調(diào)節(jié)。目的是如何更經(jīng)濟(jì)的使用好電冰箱。答案就是上一段最后的幾句話。問題雖然很小，而且用的就是解方程的方法，但卻能培養(yǎng)我們從生活中尋找數(shù)學(xué)問題、運用數(shù)學(xué)知識的好習(xí)慣。這對于推行素質(zhì)教育是一個極佳的方法，它使學(xué)生因為自己的興趣而學(xué)習(xí)，知識也就更加牢固。另外，這個問題可以擴(kuò)展到其它方面。如下水道的清理問題，你必須知道什么時候清理最合理：時間早了浪費物資，晚了又極難工作。當(dāng)然牽扯的量也是相當(dāng)多的。我們相信，通過我們不斷的學(xué)習(xí)，我們將解決更多的生活中的問題。

第四講賭馬中的數(shù)學(xué)問題隨著中國的改革開放，境外許多事物漸漸被生活在大陸的人知曉諸如賭馬、六合彩等常在媒體中提及。對我們來說，了解一些原來不熟悉的東西也是必要的。其實，一些博彩游戲和古老的賭博有許多相似之處，我們可以用初等概率知識對其中的現(xiàn)象作一定的分析。

我們以賭馬問題為例。為簡便起見，假設(shè)只有兩匹馬參加比賽。通過對決定馬匹勝負(fù)的各因素的研究以及對以往賽事勝負(fù)情況的統(tǒng)計分析，我們可得出兩匹馬各自勝出的實際概率。不失一般性，設(shè)其中一匹馬勝出的實際概率為，則另一匹馬勝出的實際概率為。那么，參賭者該如何下注以最大的限度確保他們能贏得錢呢？要解決這個問題必須先弄明白莊家的賠率是如何設(shè)定的。所謂賠率，是指押注一元錢于勝方所獲得的總金額。舉例來說，若賠率為1.65元，則如押注一元的一方恰好勝出，可得收益0.65元，加上本金，一共可得1.65元。若押注負(fù)方，則會失去所押注的1元，但不須另外再輸錢?，F(xiàn)在，我們知道了馬匹勝出的實際概率，知道了莊家設(shè)定的賠率，就可以分析參賭者該如何下注。這里，設(shè)總金額為1元，并設(shè)在第一匹馬上押注元，則在第二匹馬上押注。至于具體押注多少，參賭者可以將總金額按該比例分配給這兩匹馬。于是，可得下表：馬匹第一匹第二匹勝出的實際概率莊家設(shè)定賠率（元）押注（元）如果第一匹馬贏，參賭者可得到元，再減去付出的1元，參賭者的收益為元；同理，如果第二匹馬贏，參賭者收益為元。考慮到兩匹馬勝出的實際概率分別為和，參賭者的期望收益為，其中。另外，若參賭者把所有錢都押注于第一匹馬時期望收益為；若參賭者把所有的錢都押注于第二匹馬時，期望收益為。自然，參賭者希望收益，這樣，他們才能以一個正的概率贏利。所以要求：。1）當(dāng)，且，即當(dāng)且時，不論取何值，恒大于0，且當(dāng)趨向1時，趨向于極大值。實際上，當(dāng)，即參賭者把錢全押注于第一匹馬上時，有收益，所以參賭者應(yīng)當(dāng)把錢全部押注于第一匹馬上。2）當(dāng)且，即當(dāng)且時，收益隨著的變大而變小，且當(dāng)趨于0時，趨于極大值。實際上，當(dāng)，即參賭者把錢全押注于第二匹馬上時，有收益。所以參賭者應(yīng)當(dāng)把錢全押在第二匹馬上。3）當(dāng)，時，為使，應(yīng)滿足：

。又∵，∴，即。即當(dāng)，且時，參賭者按分配賭注可期望贏利。且當(dāng)趨向于1時，收益趨于極大值。同1）情況可知，這時，參賭者應(yīng)把錢全押注于第一匹馬上，有收益。4）當(dāng)，且時。這時不論賭注如何分配，參賭者的期望收益恒為負(fù)。在這情況下，參賭者介入其中是不理智的行為。

以上是參賭者在已知勝出概率及賠率時選擇的策略。同樣，莊家在設(shè)置賠率時，一定會對實際各匹馬勝出的概率作一番認(rèn)真研究，由此設(shè)定相應(yīng)賠率。這樣，他才有可能不賠本。由此當(dāng)莊家設(shè)置一個賠率時，我們也可以反推莊家所估計的各匹馬勝出的概率。例如，莊家賠率設(shè)定為15，則我們大致可以知道該馬匹勝出概率大致應(yīng)小于。

其實，在其它涉及賠率、押注的簡單模型中，我們也可以用相應(yīng)的方法進(jìn)行分析。當(dāng)然，這只是對實際情況的一種簡化?，F(xiàn)實生活中的賭馬不會僅有兩匹，并且要求出各馬匹實際勝出的概率是件非常困難的事，在一般情況下，只能求得近似解。

第五講對稱——自然美的基礎(chǔ)在豐富多彩的物質(zhì)世界中，對于各式各樣的物體的外形，我們經(jīng)常可以碰到完美勻稱的例子。它們引起人們的注意，令人賞心悅目。每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚貝殼都使人著迷；蜂房的建筑藝術(shù)，向日葵上種子的排列，以及植物莖上葉子的螺旋狀頒都令我們驚訝。仔細(xì)的觀察表明，對稱性蘊含在上述各種事例之中，它從最簡單到最復(fù)雜的表現(xiàn)形式，是大自然形式的基礎(chǔ)。

花朵具有旋轉(zhuǎn)對稱的性征?；ǘ淅@花心旋轉(zhuǎn)適當(dāng)位置，每一花瓣會占據(jù)它相鄰花瓣原來的位置，花朵就自相重合。旋轉(zhuǎn)時達(dá)到自相重合的最小角稱為元角。不同的花這個角不一樣。例如梅花為72°，水仙花為60°?！皩ΨQ”在生物學(xué)上指生物體在對應(yīng)的部位上有相同的構(gòu)造，分兩側(cè)對稱（如蝴蝶），輻射對稱（放射蟲，太陽蟲等）。我國最早記載了雪花是六角星形。其實，雪花形狀千奇百怪，但又萬變不離其宗（六角星）。既是中心對稱，又是軸對稱。

很多植物是螺旋對稱的，即旋轉(zhuǎn)某一個角度后，沿軸平移可以和自己的初始位置重合。例如樹葉沿莖桿呈螺旋狀排列，向四面八方伸展，不致彼此遮擋為生存所必需的陽光。這種有趣的現(xiàn)象叫葉序。向日葵的花序或者松球鱗片的螺線形排列是葉序的另一種表現(xiàn)形式?！熬w閃爍對稱的光輝”，這是俄國學(xué)者費多洛夫的名言。無怪乎在古典童話故事中，奇妙的寶石交織著溫馨的幻境，精美絕倫，雍容華貴。在王冠上，以其熠熠光彩向世人炫耀，保持永久不衰的魅力。

第六講對數(shù)螺線與蜘蛛網(wǎng)曾看過這樣一則謎語:“小小諸葛亮，穩(wěn)坐軍中帳。擺下八卦陣，只等飛來將?！眲右粍幽X筋，這說的是什么呢?原來是蜘蛛，后兩句講的正是蜘蛛結(jié)網(wǎng)捕蟲的生動情形。我們知道，蜘蛛網(wǎng)既是它棲息的地方，也是它賴以謀生的工具。而且，結(jié)網(wǎng)是它的本能，并不需要學(xué)習(xí)。你觀察過蜘蛛網(wǎng)嗎?它是用什么工具編織出這么精致的網(wǎng)來的呢?你心中是不是有一連串的疑問，好，下面就讓我來慢慢告訴你吧。在結(jié)網(wǎng)的過程中，功勛最卓著的要屬它的腿了。首先，它用腿從吐絲器中抽出一些絲，把它固定在墻角的一側(cè)或者樹枝上。然后，再吐出一些絲，把整個蜘蛛網(wǎng)的輪廓勾勒出來，用一根特別的絲把這個輪廓固定住。為繼續(xù)穿針引線搭好了腳手架。它每抽一根絲，沿著腳手架，小心翼翼地向前走，走到中心時，把絲拉緊，多余的部分就讓它聚到中心。從中心往邊上爬的過程中，在合適的地方加幾根輻線，為了保持蜘蛛網(wǎng)的平衡，再到對面去加幾根對稱的輻線。一般來說，不同種類的蜘蛛引出的輻線數(shù)目不相同。絲蛛最多，42條；有帶的蜘蛛次之，也有32條；角蛛最少，也達(dá)到21條。同一種蜘蛛一般不會改變輻線數(shù)。到目前為止，蜘蛛已經(jīng)用輻線把圓周分成了幾部分，相臨的輻線間的圓周角也是大體相同的。現(xiàn)在，整個蜘蛛網(wǎng)看起來是一些半徑等分的圓周，畫曲線的工作就要開始了。蜘蛛從中心開始，用一條極細(xì)的絲在那些半徑上作出一條螺旋狀的絲。這是一條輔助的絲。然后，它又從外圈盤旋著走向中心，同時在半徑上安上最后成網(wǎng)的螺旋線。在這個過程中，它的腳就落在輔助線上，每到一處，就用腳把輔助線抓起來，聚成一個小球，放在半徑上。這樣半徑上就有許多小球。從外面看上去，就是許多個小點。好了，一個完美的蜘蛛網(wǎng)就結(jié)成了。

讓我們再來好好觀察一下這個小精靈的杰作:從外圈走向中心的那根螺旋線，越接近中心，每周間的距離越密，直到中斷。只有中心部分的輔助線一圈密似一圈，向中心繞去。小精靈所畫出的曲線，在幾何中稱之為對數(shù)螺線。

對數(shù)螺線又叫等角螺線，因為曲線上任意一點和中心的連線與曲線上這點的切線所形成的角是一個定角。大家可別小看了對數(shù)螺線:在工業(yè)生產(chǎn)中，把抽水機(jī)的渦輪葉片的曲面作成對數(shù)；螺線的形狀，抽水就均勻；在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，把軋刀的刀口彎曲成對數(shù)螺線的形狀，它就會按特定的角度來切割草料，又快又好。

第七講斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列在自然界中的出現(xiàn)是如此地頻繁，人們深信這不是偶然的。

（1）細(xì)察下列各種花，它們的花瓣的數(shù)目具有斐波那契數(shù)：延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花。

（2）細(xì)察以下花的類似花瓣部分，它們也具有斐波那契數(shù)：紫宛、大波斯菊、雛菊。

斐波那契數(shù)經(jīng)常與花瓣的數(shù)目相結(jié)合：

3………百合和蝴蝶花

5………藍(lán)花耬斗菜、金鳳花、飛燕草

8………翠雀花

13………金盞草

21………紫宛

34，55，84……………雛菊

（3）斐波那契數(shù)還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發(fā)現(xiàn)。例如，在樹木的枝干上選一片葉子，記其為數(shù)0，然后依序點數(shù)葉子（假定沒有折損），直到到達(dá)與那息葉子正對的位置，則其間的葉子數(shù)多半是斐波那契數(shù)。葉子從一個位置到達(dá)下一個正對的位置稱為一個循回。葉子在一個循回中旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)也是斐波那契數(shù)。在一個循回中葉子數(shù)與葉子旋轉(zhuǎn)圈數(shù)的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數(shù)的葉序比呈現(xiàn)為斐波那契數(shù)的比。

（4）斐波那契數(shù)有時也稱松果數(shù)，因為連續(xù)的斐波那契數(shù)會出現(xiàn)在松果的左和右的兩種螺旋形走向的數(shù)目之中。這種情況在向日葵的種子盤中也會看到。此外，你能發(fā)現(xiàn)一些連續(xù)的魯卡斯數(shù)嗎？

（5）菠蘿是又一種可以檢驗斐波那契數(shù)的植物。對于菠蘿，我們可以去數(shù)一下它表面上六角形鱗片所形成的螺旋線數(shù)。

斐波那契數(shù)列與黃金比值

相繼的斐波那契數(shù)的比的數(shù)列：

它們交錯地或大于或小于黃金比的值。該數(shù)列的極限為。這種聯(lián)系暗示了無論（尤其在自然現(xiàn)象中）在哪里出現(xiàn)黃金比、黃金矩形或等角螺線，那里也就會出現(xiàn)斐波那契數(shù)，反之亦然。

第八講蜂房中的數(shù)學(xué)蜜蜂是勤勞的,它們釀造出了最甜的蜜;蜜蜂是聰明的,它們會分工合作,還會用舞蹈的形式告訴同伴:哪里有花源,數(shù)量怎么樣。實際上,不僅如此,蜜蜂還是出色的建筑師。它們建筑的蜂房就是自然界諸多奇跡中的一個。

蜂房是正六棱柱的形狀,它的底是由三個全等的菱形組成的。達(dá)爾文稱贊蜜蜂的建筑藝術(shù),說它是:天才的工程師。法國的學(xué)者馬拉爾狄曾經(jīng)觀察過蜂房的結(jié)構(gòu),在1712年,他寫出了一篇關(guān)于蜂房結(jié)構(gòu)的論文。他測量后發(fā)現(xiàn),每個蜂房的體積幾乎都是0.25立方厘米。底部菱形的銳角是70度32分,鈍角是109度28分,蜜蜂的工作竟然是這樣的精細(xì)。物理學(xué)家列奧繆拉也曾研究了這個問題,它想推導(dǎo)出:底部的菱形的兩個互補(bǔ)的角是多大時,才能使得蜂房的容量達(dá)到最大,他沒有把這項工作進(jìn)行下去。蘇格蘭的數(shù)學(xué)家馬克勞林通過計算得出了與前面觀察完全吻合的數(shù)據(jù)。公元4世紀(jì),數(shù)學(xué)家巴普士就告訴我們:正六棱柱的蜂房是一種最經(jīng)濟(jì)的形狀,在其他條件相同的情況下,這種結(jié)構(gòu)的容積最大,所用的材料最少。他給出了嚴(yán)格的證明?？磥?我們不得不為蜜蜂的高超的建筑藝術(shù)所折服了。馬克思也高度地評價它:蜜蜂建筑蜂房的本領(lǐng)使人間的許多建筑師感到慚愧?，F(xiàn)在,許多建筑師開始模仿蜂房的結(jié)構(gòu),并把它們應(yīng)用到建筑的實踐中去。

第九講龜背上的學(xué)問傳說大禹治水時，在一次疏通河道中，挖出了一只大龜，人們很是驚訝，爭相觀看，只見龜背上清晰刻著圖1所示的一個數(shù)字方陣。這個方陣，按《孫子算經(jīng)》中籌算記數(shù)的縱橫相間制：“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng)。六不積算，五不單張?！笨勺g成現(xiàn)代的數(shù)字，如圖2所示。

方陣包括了九個數(shù)字，每一行一與列的數(shù)字和均為15，兩條對角線上的數(shù)也有相同的性質(zhì)。當(dāng)時，人們以為是天神相助，治水有望了。后來，人們稱刻在龜背上的方陣為“幻方”(國外稱為“拉丁方”)，屬于組合數(shù)學(xué)范疇。使用整數(shù)1—9構(gòu)成的3×3階“拉丁方”唯一可能的和數(shù)是15，這一點只要把這“拉丁方”中所有數(shù)加起來便可證明，1十2十3十4十5十6十7十8十9＝45，要把這幾個數(shù)分配到三行(或列)使得每行(或列)有同樣的和，那么，每行(或列)的和應(yīng)為45／3＝150

組合數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)中的一個分支，在實際生活中應(yīng)用很廣泛，請看下面的例子。

5名待業(yè)青年，有7項可供他們挑選的工作，他們是否能找到自己合適的工作呢?由于每個人的文化水平、興趣愛好及性別等原因，每個人只能從七項工作中挑選某些工種，也就是說每個人都有一張志愿表，最后根據(jù)需求和志愿找到一個合適的工作。

組合數(shù)學(xué)把每一種分配方案叫一種安排。當(dāng)然第一個問題是考慮安排的存在性，這就是存在問題；第二個問題是有多少種安排方法，這就是計數(shù)問題。接下去要考慮在眾多的安排中選擇一種最好的方案，這就是所謂的“最優(yōu)化問題”。存在問題、構(gòu)造問題、計數(shù)問題和最優(yōu)化問題就構(gòu)成了全部組合數(shù)學(xué)的內(nèi)容。如果你想了解更多的組合數(shù)學(xué)問題，那就要博覽有關(guān)書籍，你會得到許多非常有趣的知識，會給你許多的啟發(fā)和教益。

第十講Music與數(shù)學(xué)動人的音樂常給人以美妙的感受。古人云：余音繞梁，三日不絕，這說的是唱得好，也有的人五音不全，唱不成調(diào)，這就是唱得不好了。同樣是唱歌，甚至是唱同樣的歌，給人的感覺卻是迥然不同。其重要原因在于歌唱者發(fā)聲振動頻率不同。

人類很早就在實踐中對聲音是否和諧有了感受，但對諧和音的比較深入的了解只是在弦樂器出現(xiàn)以后，這是因為弦振動頻率和弦的長度存在著簡單的比例關(guān)系。近代數(shù)學(xué)已經(jīng)得出弦振動的頻率公式是W，這里，P是弦的材料的線密度；T是弦的張力，也就是張緊程度；L是弦長；W是頻率，通常以每秒一次即赫茲為單位。

那么，決定音樂和諧的因素又是什么呢？人類經(jīng)過長期的研究，發(fā)現(xiàn)它決定于兩音的頻率之比。兩音頻率之比越簡單，兩音的感覺效果越純凈、愉快與和諧。

首先，最簡單之比是２：１。例如，一個音的頻率是160、7赫茲，那么，與它相鄰的協(xié)和音的頻率應(yīng)該是2×260、7赫茲，這就是高八度音。而與頻率為2×260、7赫茲的音和諧的次一個音是4×260、7赫茲。這樣推導(dǎo)下去，我們可以得到下面一列和諧的音樂：

260、7，2×260、7，22×260、7……

我們把它簡記為C0，C1，C2，……，稱為音名。

由于我們討論的是音的比較，可暫時不管音的絕對高度（頻率），因此又可將音樂簡寫為：

C0C1C2C3……20212223……

需要說明的是，在上面的音列中，不僅相鄰的音是和諧的，而且C與C2，C與C3等等也都是和諧的。一般說來這些協(xié)和音頻率之比是2M。（其中M是自然數(shù)）

第十一講e和銀行業(yè)跟我們?nèi)粘５氖虑橛惺裁搓P(guān)系呢？事實上它在我們?nèi)粘Ｉ钪校魏我粋€特定的整數(shù)一樣，盡管人們并不總能察覺到它的出現(xiàn)。只有人知道是一個實際的數(shù)，如果問大家，可能多數(shù)人會說是英語字母表里的第5個字母。大家知道它是一個奇怪的數(shù)，這是我們通過數(shù)學(xué)講了解到的。只有少數(shù)人知道它是一個無理數(shù)和一個超越數(shù)。

在今天的銀行業(yè)里，是對銀行家最有幫助的一個數(shù)。人們可能會問，像這樣的數(shù)是怎樣又以何種方式與銀行業(yè)發(fā)生關(guān)系呢？要知道后者是專門跟“元”和“分”打交道的!假如沒有的發(fā)現(xiàn)，銀行家要計算今天的利息就要花費極其大量的時間，無論是逐日逐日地算復(fù)利，還是持續(xù)地算復(fù)利都無法避免。有幸的是，的出現(xiàn)助了一臂之力。的定義是作為數(shù)列的極限。我們通常寫為。在利息計算中怎樣借助于這個公式呢？實際的計算公式是：本利和，。這里本金，年利率，一年之內(nèi)計算利息的次數(shù)，存錢的年數(shù)。上述公式可以變形為對于的公式。當(dāng)人們投資1美元年利率為100％時，一年的本利和可達(dá)美元。開頭可能會有人以為總計會是一個天文數(shù)字，但看了下面的估計后就會知道它接近于的值。

于是，我們看到：如果我們投資1美元，年利率為100％，那么收益決不會超過2.72美元。事實上的小數(shù)點后頭22位數(shù)是＝2.7182818284590452353602。

下一個問題是怎樣對進(jìn)行工作。最好先通過嘗試來確定看。比如說我們從1000美元開始以年利8％存入銀行，讓我們看看當(dāng)按一年期計算，然后按每半年期計算，再按每三個月期計算復(fù)利時會出現(xiàn)什么。

如果逐日計算復(fù)利，可用公式。這個公式如果用手算則要花好多時間，但今天用電子計算器和專門的計算機(jī)頃刻間便能得出結(jié)果。

第十二講幾何就在你的身邊初學(xué)幾何時，你往往會感到這門學(xué)科枯燥乏味，有的知識似曾相識，似懂非懂；有的知識則似乎很“玄”，離我們很遠(yuǎn)!其實，日常生活中有幾何，幾何就在你的身邊。當(dāng)你騎自行車時，想過自行車的輪子為什么是圓形的，而不能是“雞蛋形”的呢?因為“圓”形的特性可以使自行車平穩(wěn)地前進(jìn)；自行車的輪于有大有小，可供人們選擇；兩個輪子裝的位置必須裝得恰當(dāng)，騎時會感到方便。這說明：物體的形狀、大小、位置關(guān)系與日常生活有著緊密的聯(lián)系，這也正是幾何這門學(xué)科所要研究的。當(dāng)你把一張長方形的紙裁成一個正方形時，你想過這里面有幾何知識嗎?圖1圖2圖3

何中叫“比較線段的大?。话殃幱安糠植萌?，可以看成在“長”上截取一段，使它等于“寬”，這就是幾何中的“線段作圖”；長方形的長與寬相等時，就是正方形，這更是幾何中的一個重要結(jié)論。如果把正方形折成相等的兩部分，除了圖2中所示的四種折法外，你還能想到其他的折法嗎?不妨試試：過四條折痕相交的那個點“·”，任意地折一條線，看看這樣把正方形分成的兩部分也一樣嗎?當(dāng)你走進(jìn)用磚塊鋪地的房間時，你注意到這些磚塊的形狀嗎？有的是等邊三角形的，有的是長方形或正方形的。其實，任意形狀的四邊形磚塊也能把地面拼得沒有縫隙，請看圖3。這又將告訴我們幾何中的一個重要結(jié)論(四邊形的四個角的大小之和恰好等于360度)，這個結(jié)論，與小學(xué)數(shù)學(xué)里學(xué)過的“三角形的三個角之和等于180度°又有著緊密的聯(lián)系。如果有興趣的話，請你剪兩塊同樣的直角三角形紙片，然后把兩塊紙片拼合成一個圖形，你能拼出6種不同的圖形嗎？這里又包含了許許多多的幾何知識。比如，當(dāng)你拼成一個等腰三角形時，就不難知道：等腰三角形可以分成兩個同樣的直角三角形，中間的那條線位置很特殊，今后研究等腰三角形時常常要用到它！

第十三講巧用數(shù)學(xué)看現(xiàn)實在現(xiàn)實生活中，人們的生活越來越趨向于經(jīng)濟(jì)化，合理化．但怎樣才能達(dá)到這樣的目的呢？

在數(shù)學(xué)活動組里，我就遇到了這樣一道實際生活中的問題：

某報紙上報道了兩則廣告，甲商廈實行有獎銷售：特等獎10000元1名，一等獎1000元2名，二等獎100元10名，三等獎5元200名，乙商廈則實行九五折優(yōu)惠銷售。請你想一想；哪一種銷售方式更吸引人？哪一家商廈提供給銷費者的實惠大？

面對問題我們并不能一目了然。于是我們首先作了一個隨機(jī)調(diào)查。把全組的16名學(xué)員作為調(diào)查對象，其中8人愿意去甲家，6人喜歡去乙家，還有兩人則認(rèn)為去兩家都可以。調(diào)查結(jié)果表明：甲商廈的銷售方式更吸引人，但事實是否如此呢？

在實際問題中，甲商厚每組設(shè)獎銷售的營業(yè)額和參加抽獎的人數(shù)都沒有限制。所以我們認(rèn)為這個問題應(yīng)該有幾種答案。

一、苦甲商廈確定每組設(shè)獎，當(dāng)參加人數(shù)較少時，少于213（1十2＋10＋200=213人）人，人們會認(rèn)為獲獎機(jī)率較大，則甲商廈的銷售方式更吸引顧客。

二、若甲商廈的每組營業(yè)額較多時，它給顧客的優(yōu)惠幅度就相應(yīng)的小。因為甲商廈提供的優(yōu)惠金額是固定的，共14000元（10000＋2000＋1000＋1000=14000）。假設(shè)兩商廈提供的優(yōu)惠都是14000元，則可求乙商廈的營業(yè)額為280000元（14000÷5％=280000）。

所以由此可得：

（l）當(dāng)兩商廈的營業(yè)額都為280000元時，兩家商廈所提供的優(yōu)惠同樣多。

（2）當(dāng)兩商廈的營業(yè)額都不足280000元時，乙商廈的優(yōu)惠則小于14000元，所以這時甲商廈提供的優(yōu)惠仍是14000元，優(yōu)惠較大。

（3）當(dāng)兩家的營業(yè)額都超過280000元時，乙商廈的優(yōu)惠則大于14000元，而甲商廈的優(yōu)惠仍保持14000元時，乙商廈所提供的實惠大。

像這樣的問題，我們在日常生活中隨處可見。例如，有兩家液化氣站，已知每瓶液化氣的質(zhì)和量相同，開始定的價也相同。為了爭取更多的用戶，兩站分別推出優(yōu)惠政策。甲站的辦法是實行七五折錯售，乙站的辦法是對客戶自第二次換氣以后以7折銷售。兩站的優(yōu)惠期限都是一年。你作為用戶，應(yīng)該選哪家好？

這個問題與前面的問題有很大相同之處。只要通過你所需要的罐數(shù)來分析討論，這樣，問題便可迎刃而解了。

隨著市場經(jīng)濟(jì)的逐步完善，人們?nèi)粘Ｉ钪械慕?jīng)濟(jì)活動越來越豐富多彩。買與賣，存款與保險，股票與債券，……都已進(jìn)入我們的生活．同時與這一系列經(jīng)濟(jì)活動相關(guān)的數(shù)學(xué)，利比和比例，利息與利率，統(tǒng)計與概率。運籌與優(yōu)化，以及系統(tǒng)分析和決策，都將成為數(shù)學(xué)講程中的“座上客”。

作為跨世紀(jì)的中學(xué)生，我們不僅要學(xué)會數(shù)學(xué)知識，而且要會應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去分析、解決生活中遇到的問題．這樣才能更好地適應(yīng)社會的發(fā)展和需要。

第十四講商品調(diào)價中的數(shù)學(xué)問題若將某商品先漲價10％后再降價10％，所得的價格與原先的價格相比有無變化？不少同學(xué)會不加思索脫口而出：那還用問嗎？肯定不變。果真如此嗎？

比如設(shè)這種商品原價為100元，則漲價10％后價格為100＋10=110元，再降價10％就是110-11=99元，可見比原先的價格便宜了。所以很多事情不能想當(dāng)然貿(mào)然下結(jié)論，還是動筆算一算為好，才能做到心中有“數(shù)”。請研究下例：

某商品擬作兩次調(diào)價，設(shè)p＞q＞0，有下列六種方案供選擇：

(A)選漲價p%，再降價q%；

(B)選漲價q%，再降價p%；

(C)選漲價%，再降價%;

(D)選漲價%，再降價%;

(E)選漲價%，再降價%;(F)選漲價%，再降價%;若規(guī)定兩次調(diào)價后該商品的價格最高的方案稱為好方案。請判斷其中哪一個是好方案？

分析

設(shè)某商品原價為1，采用方案(A)、(B)、(C)、(D)、(E)、(F)調(diào)價后的商品價格分別為a,b,c,d,e,f，則所以，方案（A）是好方案。

第十五講煤商怎樣進(jìn)煤利潤高日常生活中，有許多事情可采取多種方法來完成．哪種方法最好呢？比如：哪種方法最省時，或者最省錢等．如果開辦加工廠，加工某種東西，又怎樣獲得利潤最高？這都需要精打細(xì)算．比如開辦一個煤廠吧！也就是把煤沫加工成蜂窩煤，它需要以下幾個步驟：1.購買煤沫；2．摻好煤土；3．加工成品；4．銷售．雖然僅有這么簡單的四步，但也要仔細(xì)計算一下，然后再決定怎樣使煤廠利潤更高．然而，使煤廠利潤更高，會受到多種因素的影響，這里我們重點研究購買哪種煤沫利潤更高，但還要注意成品的銷售情況。煤廠現(xiàn)在可以進(jìn)購兩種煤沫，一種好些，價錢當(dāng)然貴了，可多摻黃土；另一種次些，價錢也就便宜，但摻黃土不能過多。煤廠進(jìn)哪一種煤沫利潤更高呢？這就要通過計算了，這里有三種方法。第一種，進(jìn)購好煤沫，好煤沫的進(jìn)價是每噸105元，摻上占煤沫的40％，摻水占煤土的8％，加工好的蜂窩煤售價是每噸88元，我們來計算一下進(jìn)購好煤沫10噸的利潤是多少．首先要得出10噸煤摻黃土和水后，可加工多少噸蜂窩煤，再算出總價，減去成本，求出利潤．用10噸煤沫摻上40％的黃土共是14噸煤工，再摻上占煤土的8％的水1.12噸．共是15.12噸煤，加工后可賣88××15.12=1330.56元．再來算一下成本，每噸煤沫105元，10噸共1050元，黃土每噸18元，4噸共72元，水每噸0.6元，1.12噸共0.672元，這15.12噸煤的成本為1050＋72＋0．672=1122．67元．最后算一下利潤，用總價減去成本，得1330.56-1122.672=207.888元，平均每噸煤獲利潤13.7元，這段話用式子表示為：｛88×「10＋10×40％1（10X40％）×8％]－（105X10＋18X4＋0.6XI.12)}÷15.12≈13．7元．第二種，進(jìn)購次煤沫．次煤沫的進(jìn)價是每噸85元，摻上占煤沫20%的土和占煤土8%的水，加工好的蜂窩煤的售價同樣也是每噸88元．我們同樣計算進(jìn)購10噸次煤的利潤是多少，方法與計算好煤利潤相同．用10噸煤沫摻上占它的20％的黃土，共是12噸煤土，再摻上煤土的8％的水0.96噸，共是12.96噸煤，加工后可賣88×12.96=1140.48元．我們同樣也算一下它的成本，每噸煤沫85元，10噸共850元，每噸黃土18元，2噸共36元，每噸水0.6元，0.96噸為0.576元，這12.96噸煤的成本為850+36+0。576=886.576元，它的利潤為1140.48-886.576=253.904元，平均每噸煤的利潤約為17.2元，這段話用武子表示為：{88×[10+10×2O%+(10+10×20%)×8%]-（85×IO+18×2+0.6×0.96）}÷12.96≈17．2元．第三種，進(jìn)購好次兩種煤沫，為了使煤質(zhì)好些，所以好煤與壞煤的混合比例為2：1．摻上占煤的百分之多少呢？摻水又占煤土的百分之多少呢？讓我們來計算一下．我們設(shè)摻次煤A噸，摻好煤2A噸，我們算出A噸次煤和2A噸好煤各摻多少土和水，算出土共是多少，占煤沫的多少；算出水共多少，又占煤土的百分之多少．好煤應(yīng)摻它40％的土，所以2A噸好煤應(yīng)摻2A×40％=80％A噸的土，也就是0.8A噸，這種煤土應(yīng)摻它8％的水，所以（2A十0.8A）噸煤士應(yīng)摻水（2a+0.8A）×8％=22.4％A噸，也就是0.224A噸．我們算完了2A噸好煤應(yīng)摻的土和水，再來算一下A噸次煤應(yīng)摻多少土和水．次煤應(yīng)摻的土占它的20％，所以A噸次煤應(yīng)摻A×20％=20％A的土，也就是0.2A噸，這種煤土應(yīng)摻的水仍占它的8％，所以（A＋20％A）噸的煤土應(yīng)摻水（A+20％A)×8％=9.6％A噸，也就是0.096A噸．我們現(xiàn)在可以算出好、次兩種煤共應(yīng)摻黃土(0.8A+0.2A)=A噸，占3A噸煤的，再來算一下水占煤土的百分之幾，這種摻法，水和煤土的百分之比與好次煤土所按的水一樣，仍是8％．我們知道了混合煤土所摻土和水的百分比之后，就來算一下10噸混合煤加工成煤后，它的利潤又是多少．方法與求好次煤利潤的方法相同．10噸混合煤應(yīng)是10×噸的次煤和10×噸的好煤混合成的，混合煤摻上它的的土共是噸，再摻上煤土8％的水噸，共是14.4噸，加工后可賣88×14.4=1267.7元，再算一下它的成本是噸好煤共700元，次煤共元，噸黃土共60元，噸水共元，這14.4噸煤的成本是元，利潤為元，平均每噸煤獲利潤15.5元，這段話用式子表示為：

通過計算，我們很明顯的可以看出，進(jìn)購次煤利潤會更高，但是還要注意一下銷售這個問題，因為煤廠一個冬天就要賣幾百上千噸的煤。所以僅看每噸煤的利潤是不行的，還要看一看哪種煤賣得快、賣得多。我們分析一下三種煤的銷售情況，好煤沫加工成的煤，煤質(zhì)好，大家都愿意買這種煤，混合煤沫加工后的煤，因為好煤沫多一些，煤質(zhì)就不如那兩種煤了，火苗又小燒得時間又短，大家都不愿意買這種煤，如果廠家大量加工第三種煤，就賣不出去了。而另外兩種煤，混合煤的利潤高一些，且也很受大家歡迎，所以煤廠就大批加工這種煤。

第十六講把握或然，你會更聰明車與羊三扇門概率問題：一個游戲：有3扇關(guān)閉著的門，其中2扇門后面各有一只羊，另一扇門后面有一輛車。參與者：一個游戲者和一個主持人。主持人事先知道各扇門后的物品，而游戲者不知道。游戲目的：游戲者選擇到車。分析：游戲過程：1、游戲者隨機(jī)選定一扇門；2、在不打開此扇門的情況下，主持人打開另一扇有羊的門。3、此時面對剩下2扇門，游戲者有一次更改上次選擇的機(jī)會。問題是：游戲者是否應(yīng)該改變上次的選擇，以使選到車的概率較大？答案：不改變選擇，得到車的概率是1/3。改變選擇，得到車的概率是2/3。解釋：1、若想不改變選擇選到車：第一步：概率問題：若不改變選擇，要選到車，則游戲者必須第一次就選中車。此時選中車的概率是1/3（原理詳見中學(xué)數(shù)學(xué)講本）。第二步：必然問題：因為游戲者不會改變選擇，所以，之后主持人的任何行為——開門也好關(guān)門也好敲門也好摔門也好——都與游戲者最初做出的選擇無關(guān)。最終：概率還是1/3。2、若改變選擇選到車：第一步：概率問題：若要通過改變選擇選到車，則游戲者必須第一次選中的是羊。此時選中羊的概率是2/3（原理詳見中學(xué)數(shù)學(xué)講本）。第二步：必然問題：之后，主持人會打開另一扇有羊的門。此時游戲者面對剩下的2扇門，改變選擇的方式只有一種，就是選上次沒有選的那扇門。（這之中沒有幾分之幾概率的存在。打個簡單比方，一個包子和一個饅頭放在你面前，你第一步先拿了個包子在手上；然后第二步我叫你“換一個拿”，顯然你只能選剩下的那個饅頭。在第二步中，你并沒有選擇包子或饅頭的機(jī)會。）最終：選到車的概率還是2/3。練習(xí)與思考題：1.(練習(xí)題)有3個囚犯A、B和C，被關(guān)在各自的獄室里，大家都知道他們中有一個人第二天將被處死，另外兩個人則將被赦免。只有獄長知道誰會被處死。犯人A懇求看守幫忙：“請向獄長打聽一下明天誰會被處死，然后把這個消息告訴我的朋友B和C中的一個人，讓他知道明天是上他會被赦免?！笨词赝饬?，并回來告訴A說他已經(jīng)把赦免的消息告訴B了。那么，根據(jù)以上已知的信息，A被處死的幾率有多大？（用數(shù)學(xué)方法解答這個問題，而不是扳著手指頭數(shù)）。2.思考題：路人甲贏的概率假如現(xiàn)在有兩張牌，一張正反面一樣是底面（稱為A），一張正面是joker反面是底面（稱為B），現(xiàn)在兩張牌放在一個袋子中，如果抽出來的牌是底面，那么翻面看是否為B，若為B則路人甲贏，若為A則路人乙贏；如果抽出來的牌是joker面，則放回重新抽。問：路人甲贏的概率。三類概率問題的處理方法：概率是高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，也是高考中的一個難點。如何快捷地處理概率問題，是同學(xué)們最關(guān)心的問題之一，下面本文就這個問題展開討論，介紹三類概率問題的處理辦法。1、古典概率模型中的計數(shù)問題古典概率模型是指試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件為有限個且每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等的概率模型。只有滿足條件才能采用古典概率模型的概率公式計算。例1一個盒中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的卡片各2張，從盒中任意抽取3張，每張卡片被抽出的可能性相等，求：（1）抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4的概率；（2）抽出的3張卡片中有2張上的數(shù)字是3的概率；（3）抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率。分析：分類求基本事件的個數(shù)：解：（1）設(shè)抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4的事件為A，則（2）設(shè)抽出的3張卡片中有2張卡片上的數(shù)字是3的事件為B，則（3）設(shè)其對立事件抽出的3張卡片上有2張的數(shù)字相同的事件為C，則，故所求的概率為2、相互獨立事件和對立事件的模型的概率問題事件A與事件B相互獨立是指事件A的發(fā)生不會影響事件B的發(fā)生，在計算概率時表現(xiàn)為。事件A與事件B對立是指事件A與事件B互斥，且為必然事件，在計算概率時表現(xiàn)為。例2某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對5家小型煤礦進(jìn)行安全檢查（簡稱安檢）。若安檢不合格，則必須整改。若整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，則強(qiáng)制關(guān)閉。設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的，且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5，整改后安檢合格的概率是0.8，計算：（1）恰好有2家煤礦必須整改的概率；（2）某煤礦不被關(guān)閉的概率；（3）至少關(guān)閉1家煤礦的概率（結(jié)果精確到0.01）。分析：在處理復(fù)雜事件的概率問題時，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率轉(zhuǎn)化為一些彼此互斥的事件的概率的和，這是由互斥事件概念的作用決定的；二是先求對立事件的概率，對立事件的概念為間接法求解問題提供了依據(jù)和基礎(chǔ)，解：（1）每家煤礦必須整改的概率是，且每家煤礦是否整改是相互獨立的，所以恰好有2家煤礦必須整改的概率是（2）某煤礦被關(guān)閉，即兩次檢查都不合格，被關(guān)閉的概率是，從而煤礦不被關(guān)閉的概率是0.90。（3）由（2）可知，每家煤礦不被關(guān)閉的概率是0.9，且彼此是否被關(guān)閉是相互獨立的，所以至少關(guān)閉一家煤礦的概率是3、幾何概率模型的概率問題幾何概率模型是指如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例的概率模型。在求幾何概率模型的概率問題時，長度、面積或體積的計算是解題的關(guān)鍵。例3甲、乙兩人約定在6時至7時之間在某地會面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率。分析：這類題有兩個難點，一是如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，二是計算表示事件發(fā)生的陰影部分的面積。解：以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人在6時至7時的一小時內(nèi)到達(dá)約定地點的時間，則兩人能夠會面的條件是。在如圖所示的平面直線坐標(biāo)系下，（x，y）的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形。設(shè)“兩人能會面”為事件A，則A所有可能結(jié)果由圖中陰影部分表示，從以上幾種解法可以看出，解決概率問題的步驟可歸納為三步：第一步,確定事件的性質(zhì)，例如古典概型、互斥事件、獨立事件、獨立重復(fù)試驗，然后把所給問題歸結(jié)為幾類事件中的某一種。第二步,判斷事件的運算、和事件、積事件,確定事件至少有一個發(fā)生還是同時發(fā)生,分別運用相加或相乘事件公式。第三步,運用相應(yīng)的公式計算?？傊?，正確的求解概率問題，必須要具備上述的方法步驟，能熟悉和掌握必要的“概率模型”，并會利用分類與討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想。練習(xí)與思考題1：獵人在距100米處射擊一野兔，其命中率為，如果第一次射擊未中，則獵人進(jìn)行第二次射擊，但距離為150米，如果第二次未擊中，則獵人進(jìn)行第三次射擊，并且在發(fā)射瞬間距離為200米，已知獵人命中概率與距離平方成反比，求獵人命中野兔的概率。2：設(shè)有n個人，每個人都等可能地被分配到N個房間中的任意一間去?。╪≤N）,求下列事件的概率（1）指定的n個房間各有一個人?。?）恰好有n個房間，其中各住一人3：已知某種高炮在它控制的區(qū)域內(nèi)擊中敵機(jī)制概率為0.2（1）假定有5門這種高炮控制某區(qū)域，求敵機(jī)進(jìn)入該區(qū)域后被擊中的概率。（2）要使敵機(jī)一旦進(jìn)入這個區(qū)域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門高炮？4：基本系統(tǒng)是由四個整流二極管（串、并）聯(lián)而成，已知每個二極管的可靠度為0.8（即正常工作），若要求系統(tǒng)的可靠度0.85，請你設(shè)計二極管的聯(lián)結(jié)方式。

第十七講順?biāo)浦?，克“敵”致勝——例談反證法的應(yīng)用反證法定義：中國成語中有一個“矛盾”的故事，有一個人同時販賣矛與盾，他向買家吹噓他的矛是“無堅不摧”的，盾呢，是刀槍不入的。于是，有人馬上提議他“以子之矛，攻子之盾”來驗證一下他的宣傳是否可靠，于是這人當(dāng)場弄得啞口無言。

此人采用“以子之矛，攻子之盾”的方法來反駁販賣者的說法，收到奇效，這種方法實際上就是數(shù)學(xué)上所說的反證法。我們再來看一個例子：王戎小時候，愛和小朋友在路上玩耍。一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨有王戎沒動。等到小朋友們摘了李子一嘗，原來是苦的！他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的?！边@是很著名的“道旁苦李”的故事。實質(zhì)上王戎的論述，也正是運用了反證法，我們不妨把這則故事改編成象幾何題目中的“已知、求證、證明”再和反證法的步驟進(jìn)行對比，大家就明白了。事實：樹上結(jié)滿了李子已知：樹上有李小朋友問：為什么李苦求證：李為苦李王戎：假如李子不苦證明：假設(shè)李不苦則早被路人摘光則早被路人摘光而樹上結(jié)滿李子與已知樹上有李矛盾所以一定是苦的所以李為苦李至此，反證法的思路及步驟就一目了然了。反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。具體地講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。下面，我們來歸納反證法證明問題的一般步驟：第一步是“假設(shè)命題的結(jié)論不成立”，亦可理解成假命題結(jié)論的反面成立。但此時，要考慮結(jié)論的反面可能出現(xiàn)的情況。如果結(jié)論的反面只有一種情況，那么只須否定這種情況就足以證明原結(jié)論是正確的；如果結(jié)論的反面不止一種情況，那么必須把各種可能情況全部列舉出來，并且一一加以否定后，才能肯定原結(jié)論是正確的；第二步“從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾”其中的矛盾，可以是和已知矛盾，也可以和定義、公理、定理、性質(zhì)等矛盾，這樣都足以說明假設(shè)錯誤，原命題正確。第三步由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。我們先來看兩個短時間簡單的例子：例1．求證：在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個內(nèi)角。求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個鈍角。證明：假如∠A，∠B，∠C中有兩個鈍角，不妨設(shè)∠A>900，o且∠B>900，則∠A+∠B+∠C>1800。這與三角形和定理矛盾。故∠A，∠B均大于900不成立。所以，一個三角形不可能有兩個鈍角。例2、用反證法證明:在三角形的內(nèi)角中，至少有一個角大于或等于60°.已知:∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角.求證:∠A，∠B，∠C中至少有一個角大于或等于60°.證明:假設(shè)所求證的結(jié)論不成立，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°則∠A+∠B+∠C<180°.這與三角形三個內(nèi)角的和等于180°相矛盾.所以假設(shè)不成立，所求證的結(jié)論成立.試一試：用反證法證明下述命題：某班有49位學(xué)生，證明：至少有5位學(xué)生的生日在同一個月.已知：如圖，直線a,b被直線c所截，

∠1≠∠2求證：a∥b通過上節(jié)講的學(xué)習(xí)，大家對反證法定義和證明方法有了初步的了解，我們再來回顧反證法證題的具體步驟：①反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；②歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.例1、已知a>0,b>0,且a+b>2,求證：中至少有一個小于2。證明：假設(shè)都不小于2，即≥2且≥2∵a>0,b>0∴1+b≥2a,1+a≥2b∴2+a+b≥2a+2b∴a+b≤2這與已知a+b>2矛盾所以，假設(shè)不成立，故中至少有一個小于2。已知a、b、c∈R，a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求證：a>0,b>0,c>0證明：不妨設(shè)a≤0，∵abc>0∴a<0,bc<0又∵ab+bc+ca>0∴ab+ca>-bc>0∴a(b+c)>0∵a<0∴b+c<0∴a+b+c<0這與已知a+b+c>0矛盾，所以a>0同理可證，b>0,c>0反證法一般常用于有下述特點的命題的證明：①結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)；②結(jié)論是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式；③結(jié)論涉及“存在或不存在”，“有限或無限”等形式；④直接證法比較困難的命題例2.給定實數(shù)a，a≠0且a≠1，設(shè)函數(shù)y＝(其中x∈R且x≠)，證明：①.經(jīng)過這個函數(shù)圖像上任意兩個不同點的直線不平行于x軸；②.這個函數(shù)的圖像關(guān)于直線y＝x成軸對稱圖像。(88年全國理)?！痉治觥俊安黄叫小钡姆穸ㄊ恰捌叫小?，假設(shè)“平行”后得出矛盾從而推翻假設(shè)?！咀C明】①設(shè)M(x,y)、M(x,y)是函數(shù)圖像上任意兩點，且x≠x,假設(shè)直線MM平行于x軸，則必有y＝y(tǒng)，即＝，整理得a(x－x)＝x－x∵x≠x∴a＝1，這與已知“a≠1”矛盾，因此假設(shè)不對，即直線MM不平行于x軸。②由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y(tǒng)－1,所以x＝，即原函數(shù)y＝的反函數(shù)為y＝，圖像一致。由互為反函數(shù)的兩個圖像關(guān)于直線y＝x對稱可以得到，函數(shù)y＝的圖像關(guān)于直線y＝x成軸對稱圖像?！咀ⅰ繉τ凇安黄叫小钡姆穸ㄐ越Y(jié)論使用反證法，在假設(shè)“平行”的情況下，容易得到一些性質(zhì)。第②問中，對稱問題使用反函數(shù)對稱性進(jìn)行研究，方法比較巧妙，要求對反函數(shù)求法和性質(zhì)運用熟練。反證法現(xiàn)實意義例:小華睡覺前，地上是干的，早晨起來，看見地上全濕了。小華對婷婷說：“昨天晚上下雨了?！蹦軐π∪A的判斷說出理由嗎？假設(shè)昨天晚上沒有下雨，那么地上應(yīng)是干的，這與早晨地上全濕了相矛盾，所以說昨晚下雨是正確的?，F(xiàn)在讓我們看以下例子，進(jìn)一步體會反證法思想在談話技巧上的應(yīng)用。實例1：有一天，牛頭馬面把一個高頭大馬的鬼帶進(jìn)閻王寶殿。閻羅王把驚堂木一拍：“這廝好無禮，見到本王也不會下跪叩頭。拉下，打一百棒?！薄按笸?，請原諒。我是洋鬼子，不知你們東方地獄的禮節(jié)請原諒?！薄昂茫【驮從阋淮?，你是誰？”“我是Superman?！闭驹陂惲_王旁邊的師爺馬上俯身對閻王解釋：“Superman是超人?！薄昂么蟮目跉?，蘇本梅先生你怎么會是超人？”Superman以傲慢的口氣說：“當(dāng)然是超人，我能做人類所不能做的事，我是萬能，世上沒有一件事我是不能做的?！薄昂茫∧敲茨闩e一件事是你做不出的?！盨uperman當(dāng)場呆在那里。如果他能舉出一件事，這就證明他不是萬能。如果他不