圓錐曲線(xiàn)中的探究性問(wèn)題-2021高考數(shù)學(xué)尖子生輔導(dǎo)專(zhuān)題

專(zhuān)題九圓錐曲線(xiàn)中的探究性問(wèn)題近年來(lái),在圓錐曲線(xiàn)考查的題型中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)探究性問(wèn)題.探究性問(wèn)題是ー種開(kāi)放性問(wèn)題,是指命題中缺少一定條件或無(wú)明確結(jié)論,需要經(jīng)過(guò)猜測(cè)、歸納并加以證明的題型.圓錐曲線(xiàn)的考題主要是結(jié)論探究的開(kāi)放性問(wèn)題,有探究位置關(guān)系的,有探究點(diǎn)是否存在直線(xiàn)是否存在圓是否存在的，有探究圓是否過(guò)定點(diǎn)直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)的，等等，有結(jié)論存在和結(jié)論不存在兩種情形.這類(lèi)題型在考查圓錐曲線(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)和幾何性質(zhì)的同時(shí),能很好地考查學(xué)生的運(yùn)算求解、推理論證等數(shù)學(xué)能力，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高.模塊1整理方法提升能力圓錐曲線(xiàn)中的探究性問(wèn)題的常用解題策略有2種:ー是先假設(shè)存在或結(jié)論成立,然后引進(jìn)未知數(shù)、參數(shù)并建立有關(guān)未知數(shù)、參數(shù)的等量關(guān)系，若能求出相應(yīng)的量,則表示存在或結(jié)論成立,否則表示不存在或結(jié)論不成立;另ー種方法是在假設(shè)存在或結(jié)論成立的前提下,利用特殊情況作出猜想,然后加以驗(yàn)證.?0IJ1 /IIIIII 1橢圓E:「+ぎ=1(4>6>0)的左焦點(diǎn)為耳，右焦點(diǎn)為エ,離心率6=丄.過(guò)耳的直線(xiàn)交橢圓于AヽB兩點(diǎn),且△ABF。的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)動(dòng)直線(xiàn)，：y=は+機(jī)與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線(xiàn)x=4相交于點(diǎn)Q.試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo):若不存在,說(shuō)明理由.【解析】(1)因?yàn)锳B+AFz+BF?=8,BPAFx+BFi+AF1=8,而 II「I\AF+AF=BF+BF=2〃,所以4。=8,a=2.又因?yàn)閑==>所以c=1,從=02-c2=3,所以橢圓E的方程為X2+ブ+ブ=1.a24~3(2)法1:假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿(mǎn)足條件,由對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)M必在x軸上,設(shè)M(f,O).^y=kx+m由彳x2 '[4,消去y可得4k二1+3)xSkrnx+4加+-12=0?因?yàn)橹本€(xiàn)，與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以A=64父かユ-4n4km4k則メ=一4%ー干3- my='kx+ih-（4Jt2+3）（4m2-12）=0?即4ザアガ+3=0.設(shè)P（%,%）,J所以『-4ム3ヽ,聯(lián)立三ほ+テ可得x=4Q(4,4女+〃リ.—(4k3ヽ因?yàn)镸P=|-(4kヽ

— —Iし1-t,I,MQ=(4-r,4た+m),由MP-MQ=O可得m) k(4ーリ+*.(4Z+m)=0,整理可得(4f-4)。+尸ー4f+3=0,m⑷-4=0解m /ー4f+3=0l丿 I得f=l,所以存在定點(diǎn)使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.法2:假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿(mǎn)足條件,由對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)M必在x軸上.若直線(xiàn)/為y=赤,貝リ尸（0,厠,Q（4再），以PQ為直徑的圓為x（x-4）+（、，ー/ W軸交于點(diǎn)/。,〇）和M式3,0）.下面進(jìn)行驗(yàn)證.3)(y-,消去y可得4k二1+3)xSkrnx+4加+艮艮P4ピヮガ+3=0.設(shè)尸（x0y）,.聯(lián)立，尸は+加,可得-12=0?因?yàn)橹本€(xiàn)，與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以A=64父ガー4（4ゼ+3）（4,ガー12）=0,皿0 4初4% ? ? 3而I：J4%3ヽ則^=-4P-f3- 5y=ほ+選=,所以ダー,<x=4(4k 3ゝ因?yàn)镸P=|--1,_|?陷。=（3,4ん+加）,所以3|一一“+_?（4A+りリ=0.因?yàn)閈mm\ \m\m(4k 3ゝいゝ3M,P=|二ー3「レMQ=(1,4た+m),所以1レ?31+■(4k+m)^0.綜上所述,存在定點(diǎn)A/(1,O),使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.〇0!12橢圓ニ+.二=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)離心率eJ,直線(xiàn)/的方程為x=4.a2b2 (営リ 2(1)求橢圓C的方程;(2)AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸),設(shè)直線(xiàn)AB與直線(xiàn)，相交于點(diǎn)M,記PA.PB、PM的斜率分別為ん、あ、も.問(wèn):是否存在常數(shù)ス使得ん+&=&?若存在,求那)值;若不存在，說(shuō)明理由.【解析】(1)由I在橢圓上,所以I+9=1.又因?yàn)閑=c=l,解得イ=4,?Pl, I2TOC\o"1-5"\h\zCT4戶(hù) a2l丿從=3,所以橢圓C的方程為二4 3(2)顯然直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)為ん,則直線(xiàn)A8的方程為y=k(x-1).聯(lián)立[y=k(x-l) 2 2 2 2■_ホ

消去y可得（軟+3卜-8Zx+4(Z—3）=0,設(shè)A（玉,y）,B（x2,y2）?則有4（ズー3）XX\X2=_3241+34k2+3.點(diǎn)"的坐標(biāo)為(4,3%),所以ん=い二公」.于是”3y一22kJ2+324-1

x-1x-12k-4たユ+3-I2k+1- ） +2|女+I1 2?4ピ+3 1 21XyX2一（耳+X2）+1 l丿 l丿4（パー3）4火2+38ピ—4-21—4-4ゼ+3=2んー1,又因?yàn)閗=k-1,所以k+k=2k.所以存在常數(shù)レ2符合題意.【點(diǎn)評(píng)】引進(jìn)直線(xiàn)AB的斜率え,然后用え去表示ん、あ、片,將ん+ぁ=爲(wèi)轉(zhuǎn)化為え的方程，該方程有解,則說(shuō)明實(shí)數(shù)え存在,否則ス不存在.我們也可以考慮特殊情況，讓直線(xiàn)AB的斜率え=0,則有4(-2,0),8(2,0),Af(4,0).い,k2=-,k=-,此時(shí)レ2.也就是說(shuō),要么常數(shù)/1不存在,要么常數(shù)送2.該猜測(cè)能使解題方向更為清晰明確.例3所以C、C的方程分別為【解析】（1）由題意知ピ='=ー',又因?yàn)?京"=a,a2=b2+c2,解得。=2,b=l,yy=x~—1?

1 2【證明】(2)(i)由題意知,直線(xiàn)，的斜率存在,設(shè)直線(xiàn)，的方程為ぎ=去,ん(不メ)，B(x,y2 12y+1y+1[kx+l)(Ax4-1)2XX4-(X4-X)4-1緊）淖邛MA，KMBX|ム[yX|ム[y=ktx-\曬】(ii)得ス=0或ス=た,1fy=k.x-1

標(biāo)ゼー,于是S所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為k.設(shè)直線(xiàn)MB的斜率為ー1,同理可得點(diǎn)8的橫坐12 12屮2=-1,所以MA丄M8,即MO丄ME.=1設(shè)直線(xiàn)M4的斜率為ん,則直線(xiàn)MA的方程為ざ=匕スー1,由〈,可[y=X-1.由《可22k、4y2-4=0得（1+41）ピー8Kx=0,解得x=0或x=8匕1+4だ,所以點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為8ム4+ズ，于是s2=MD?ME=1+k2-=32卜⑹肉,因此fロ?上.由題意知,匕土、富,解得れ”TOC\o"1-5"\h\z（1+4好）トス4） 邑64ダ 64年 32或紹=|.于是直線(xiàn)，的斜率為女」「!=七ー丿,解得％=土:,所以滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)，存在,4 kk 2且有兩條,其方程分別為y=1x和y==2 2模塊2練習(xí)鞏固整合提升練習(xí)!：在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線(xiàn)C：y=上與直線(xiàn)ド=履+a（a>0）交于MヽN'4兩點(diǎn).（1）當(dāng)た=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線(xiàn)方程;（2）y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有/OPM=NOPN?說(shuō)明理由.【解析】（D不妨設(shè)M（2a,a）,N（-22,a）.因?yàn)閥'=L,所以y=； =\Tギ 一在x2&處2 4的導(dǎo)數(shù)值為エ,所以C在M（流〇）處的切線(xiàn)方程為y-a=?x-2ザ,即爐yjax-y-a=0.y=ー在x=-2&4處的導(dǎo)數(shù)值為ー ,所以C在N（-22,4）處的切線(xiàn)方程為yー〃=—4G+2a),即ax+y+a=O,所以C在點(diǎn)M和N處的切線(xiàn)方程為Jax-y-a=0或まx+y+a=0.（2）存在符合題意的點(diǎn).2れ悪點(diǎn)P（。か）/噺合學(xué)意羿點(diǎn),M（ちM），N（W，%），直線(xiàn)「加、吶的斜率分別為匕、+(a—+x)fy=kx+ak?則ス+A1~一一=—— '~2.聯(lián)立I%,消去シ可得XX XXI4x2—4米一4〃=0,所以ス+x=4Z,xx=-4a?于是ム+^2=2M-4a、+(a-b)(4Q(-4〃)k（a+h}a,當(dāng)ら=ー。時(shí),有ん+&=0,則直線(xiàn)PM的傾斜角與直線(xiàn)PN的傾斜角互補(bǔ),所以/OPM=NOPN,所以P（〇,ー。）符合題意.練習(xí)2：如圖,C:karム小APPB=1ム小APPB=1成立?若存(1)求橢圓C的方程;+'=1(。＞シ＞0)的ーか頂點(diǎn)為ム、ん、B］、b2,焦點(diǎn)為ん、ん,|ムケs=2￠ ((2)設(shè)”是過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn),/是與〃垂宜相交于P點(diǎn)、與橢圓相交于A、8兩點(diǎn)的直線(xiàn),「0。二1,是否存在上述直線(xiàn)，,能在,求出直線(xiàn)，的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)由|んり卜/可得イ+從=7,由S=25B1F1B2F2可得〃ラ2cケ又因?yàn)閍=b-Pc?解得a=4,b=3,所以橢圓C的方程為+=1.4 3(2)設(shè)A(ス卜B(x)?當(dāng)/垂直于x軸時(shí),P點(diǎn)就是右焦點(diǎn)(1,0),此寸直線(xiàn)，不滿(mǎn)足條件.APPB當(dāng)/不垂直于ス軸時(shí),設(shè)，的方程為y=kx+m,由ノ與〃垂直相交于P點(diǎn)且〇=並加|由=1,即［ガニた2+1.因?yàn)锳P?PB=1且 =1,所以O(shè)ん丄08,于是ススx+x=-+JTT op 'x+x=-1ぜさy可得（3+4ド）ゼ+8hnx+4オー12=0,y=kx^-m'2 3+4ドス/2=4かー123+4ピ,于是x1x2+y%=X|X2+(は］+ni)(fcr2+ni)=化4-1x+km(x+x)+m2=(ゼ+]).4m2-123+4ド8kmヽTOC\o"1-5"\h\z, ,+m+4ズ! 丿2=0,即7m '2 '22-12爐-12=0.因?yàn)榉匠探M7オー12ズー12=0m2=k2+1無(wú)解,所以不存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)，.綜上所述,不存在直線(xiàn)/,使AP?尸8=1成立.練習(xí)3:已知定點(diǎn)A(-1,0),F(2,0),定直線(xiàn)，：x=l,不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的2距離是它到直線(xiàn)，的距離的2倍.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E,過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交E于8、C兩點(diǎn)，直線(xiàn)A8、AC分別交，于點(diǎn)M、N.(1)求E的方程;(2)試判斷以線(xiàn)段MN為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.【解析】⑴設(shè)尸(x,y),依題意有《ズ-2)氣儼 ! —=2スー,化簡(jiǎn)可得x- =1(y*0).3(2)法!!假設(shè)以線(xiàn)段MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn),由對(duì)稱(chēng)性可知該定點(diǎn)必在x軸上,設(shè)

(x=my+2。。,〇).設(shè)直線(xiàn)BC的方程為アぬ+2,由［,ザ,消去ス可得Ix~— —1I3(3オー1)ザ+12め+9=0,由題意知3オー1工().設(shè)8(x,y),C(x,y)?則y+y=_レ〃7,yy=，,因?yàn)橹本€(xiàn)AB的方程為ぎ=X(x+1),所以點(diǎn)M的坐'2 3オー13?2-1X1+1r-i43カゝ標(biāo)稅22&+1)1‘同理I22(xI＞于是DMI2~l，2(x3y3y+リ、nY的匹I 2—I.由。M.￡W=0可得Id 3 =0,即12 2（再+リノ814(xl+l)(x,+l)81(X丫9yyH =0I即|=0,=0,即+(2)4^m2yy+3加（y+y)+9](2)(9/n2 366、2ヽ4|+9|13Jガ-13オー1 )(\Y9-=0,解得f=2或，=-1,所以以線(xiàn)段MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)(2,0)和(-1,0).4法2:假設(shè)以線(xiàn)段MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn),由對(duì)稱(chēng)性可知該號(hào)點(diǎn)必在x軸上.若8C垂直于x軸,則8(2,3),直線(xiàn)A8方程為y=x+l,所以點(diǎn)M坐標(biāo)為,此時(shí)以MN為直徑122リ(0( 3丫 3ゝ的圓的方程為%-|+|y-||y+|=0,該圓與x軸交于點(diǎn)ワ(2,0)和。ユ(-l,0).下面進(jìn)行驗(yàn)證.\x=my+2 2 2設(shè)直線(xiàn)BC的方程為ス=/ny+2,由〈ブ,消去ズ可得?加ーl)y\x2