冪級(jí)數(shù)laurent級(jí)數(shù)fourier級(jí)數(shù)10市公開課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第3節(jié)解析函數(shù)孤立奇點(diǎn)與留數(shù)

留數(shù)是區(qū)分解析點(diǎn)與孤立奇點(diǎn)主要標(biāo)志；留數(shù)揭示了孤立奇點(diǎn)與圍道積分內(nèi)在聯(lián)絡(luò)。一.孤立奇點(diǎn)及其分類定義1

若在不解析，但在某一去心鄰域內(nèi)解析，則稱是孤立奇點(diǎn)。第1頁(yè)（1）為可去奇點(diǎn)：若中無負(fù)冪項(xiàng)依據(jù)Laurent級(jí)數(shù)形式分類：設(shè)為孤立奇點(diǎn),在去心鄰域內(nèi)，Laurent

展式為:孤立奇點(diǎn)可按以下兩種方式分類：第2頁(yè)（3）為本性奇點(diǎn)：若中負(fù)冪項(xiàng)有無窮多項(xiàng)（2）為(

m級(jí))極點(diǎn)：若中負(fù)冪項(xiàng)只有有限項(xiàng)(m項(xiàng))第3頁(yè)定義2依據(jù)極限分類：第4頁(yè)性質(zhì)1性質(zhì)2例1

求以下函數(shù)奇點(diǎn)，并指出其類型：解第5頁(yè)解第6頁(yè)解第7頁(yè)解第8頁(yè)以上討論了當(dāng)為有限奇點(diǎn)時(shí)，孤立奇點(diǎn)分類?，F(xiàn)討論若在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)去心鄰域內(nèi)解析（這時(shí)Laurent

展式為:Laurent

展式為:第9頁(yè)第10頁(yè)比如關(guān)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)孤立奇點(diǎn)分類能夠轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)情況或者利用已知函數(shù)展開式來判定，當(dāng)然這個(gè)展開式必須是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)去心鄰域內(nèi)Laurent展式。第11頁(yè)二.留數(shù)設(shè)為孤立奇點(diǎn),在去心鄰域內(nèi)，Laurent

展式為:第12頁(yè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處留數(shù)第13頁(yè)留數(shù)計(jì)算法：第14頁(yè)證實(shí)第15頁(yè)2.從證實(shí)過程不難看出，即使極點(diǎn)級(jí)數(shù)小于m,也可看成級(jí)數(shù)為m來計(jì)算。這是因?yàn)楸硎臼竭@不影響證實(shí)結(jié)果。系數(shù)中可能有一個(gè)或幾個(gè)為零而已，第16頁(yè)例2

求以下函數(shù)奇點(diǎn)并計(jì)算留數(shù)：解法1第17頁(yè)第18頁(yè)法2第19頁(yè)法3第20頁(yè)第21頁(yè)第22頁(yè)解第23頁(yè)第24頁(yè)解法1所以，0為三級(jí)極點(diǎn)，且法2因?yàn)?是分子一級(jí)零點(diǎn)，是分母四級(jí)零點(diǎn)，所以0是三級(jí)極點(diǎn)，取m=4,由公式2得第25頁(yè)三.留數(shù)定理定理1

設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析，L是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)一條逆時(shí)針方向簡(jiǎn)單閉曲線，那么由復(fù)合閉路定理,得利用這個(gè)定理，可將求沿封閉曲線L積分，轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在L中各孤立奇點(diǎn)處留數(shù)。第26頁(yè)定理2

假如函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)除有限個(gè)點(diǎn)）留數(shù)總和必等于零,即孤立奇點(diǎn)外解析，那么在全部各奇點(diǎn)（包含第27頁(yè)例3

計(jì)算以下積分：由留數(shù)定理1，得第28頁(yè)由留數(shù)定理1，2，得第29頁(yè)第30頁(yè)四.利用留數(shù)計(jì)