數(shù)學(xué)-ch8-31冪應(yīng)用p8.3冪級(jí)數(shù)展開(kāi)與

§8.3

冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)與應(yīng)用一.

泰勒級(jí)數(shù)已知：若

f

(

x)

在某一點(diǎn)

x0

的鄰則在該鄰域內(nèi)f

(x)的n

階泰勒公式：)(2

0

0

'()()()(''fxfxf!2n!nf

(n)

(

x0

)(

x

x0

)

Rn

(

x)

其中Rn

(x)的拉格朗日型余項(xiàng)n1x

x0

)(n1()(

)n

1)(!Rn

(

x)

則在該鄰域內(nèi)f(

在x0

與x

之間)nf

(

x)

P

(

x)0xx

)(2

0)

fx''()

000()(

ff2!x

)(nn!f

(n)

(

x0

)(

x

x0

)

其誤差為|

Rn

(x)|顯然隨著n

的增大誤差|

Rn

(x)|

越來(lái)越小因此可以通過(guò)增加多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)來(lái)提高精確度定義1

如果(n

1這時(shí)可以設(shè)想

Pn

(x)的項(xiàng)數(shù)趨于無(wú)窮而成為冪級(jí)數(shù)：)(2

'()(

)(0!2''fxf(1)的泰勒級(jí)數(shù)或展開(kāi)為(x稱(chēng)之為0f

(0)

f

'(0)x

f

''(0)

x2

2!稱(chēng)之為f

(x)的馬克勞林級(jí)數(shù)(3)

如果f

(x)能展開(kāi)成x

的冪級(jí)數(shù)，則這種展開(kāi)式是唯一的(2)注.(1)顯然

該級(jí)數(shù)在x

x0

時(shí)收斂

且收斂于

f

(

x0

)(2)

特別地

(1)

式中取

x0

0，得x0

)f

x)(

在

x0

的某個(gè)鄰域

N

x0

),(內(nèi)存在各階導(dǎo)數(shù)f

()n注.

根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)的定義若f

(x)在x0

的某個(gè)鄰域N

(x0)內(nèi)存在各階導(dǎo)數(shù)，則可作出它的泰勒級(jí)數(shù)；但反過(guò)來(lái)

這個(gè)泰勒級(jí)數(shù)卻不一定收斂

或者收斂時(shí)其和函數(shù)未必是

f

(

x)例如f

(

x)

x

0,0,

x

0.e

x

2

,容易知道：

f

(0)于是其馬克勞林級(jí)數(shù)為f

(n)

(0)

0，

(n

1,

2,3,)x

x

f

(0)

f

'(0)x

2!

n!f(n)

(0)2

nf

''(0)顯然此級(jí)數(shù)在實(shí)數(shù)域上收斂，并且其和函數(shù)是0但x

0

時(shí)f

(

x)

0

即

f

(

x)

f

(0)

f

'(0)

x

xnf

(

n)

(0)n!x

2f

''(0)2!余項(xiàng)Rn

(x)當(dāng)n

時(shí)極限為0，即將f

(x)展開(kāi)成x

的冪級(jí)數(shù)的步驟：求出f

(x)的各階導(dǎo)數(shù)f

'(x),f

''(x),不存在

就停止進(jìn)行求f

(0),f

'(0),f

''(0),,f

(n)(0),寫(xiě)出冪級(jí)數(shù)如果在x

0

(3)n!2!x

2f

''(0)f

f('0()0x)

xnf

()n

(0)并求出其收斂半徑r在收斂區(qū)間(r,r)內(nèi)余項(xiàng)Rn

(x)4.n1n

n(n

1)!lim

Rn

(

x)

lim

xf

(n1)

(

)是否為0若是，則(3)即為f

(x)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式．定理29

設(shè)函數(shù)

f

(

x)

在點(diǎn)

x0

的某個(gè)鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)

則

f

(

x)

在該鄰域內(nèi)能展成泰勒

級(jí)數(shù)的充要條件是：f

(

x)

的泰勒公式中的lim

Rn

(

x)

0n幾個(gè)常用初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.1

將f

(x)

e

x

展開(kāi)成x

的冪級(jí)數(shù)解

易知

f

(n)

(

x)

e

x

則

f

(n)

(0)

1(n

1,

2,)且f

(0于是冪級(jí)數(shù)為

1

x

1

x2

1

xn

2!

n!n!n其收斂半徑為

r

lim

(n

1)!

x余項(xiàng)

xR)(nn1|

Rn

(

x)

|

(n

1)!

xe(

在0

與x

之間)

e

(n

1)!|

x

|n1|x|n0n!xn由于

e|x|

有限

并且級(jí)數(shù)

收斂n

(n

1)!n1從而

lim

|

x

|

0于是lim

Rn

(x)

0n因而得到e

x

1

x

1

x2

1

xn

，

(

x

)2!

n!特別當(dāng)x2!

n!e

1

1

1

1

n0

n!12.

將f

(x)

sin

x（n

1,2,）2解已知：f

(n)(x)

sin(x

n

)則

f

(f

'(0)

1

f

''(0)

0

f

'''(0)

1f

(4)

(0)f

(2m

)

(0)

0于是其冪級(jí)數(shù)為f

(2m

1)

(0)

(1)m

，15!3!5

(1)nx2n1

由于lim

x

2n1

x2n1n

(2n

1)! (2n

1)!(2n

1)!x2n

1n()

limn

0

1所以收斂半徑為r

xn1(n

1)!

xsin(n1)

Rn

(

x)

(n

1)!

|

x

|n1由于級(jí)數(shù)n0n!xn

0,n

(n

1)!收斂

則

lim|

x

|n1從而lim

Rn

(x)

0n因而得到冪級(jí)數(shù)3!1

x

1

15!

n

)1!2(sin

x

x(

x3.

將f

(x)

(1

x)

(

為常數(shù))展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)解

f

(

x)

的各階導(dǎo)數(shù)：f

'(

x)

(1

x)

1

f

''(

x)

(

1)(1

x)

2f

(n)

(

x)

(

1)(

n

1)(1

x)

n，得到

f

(0)

1

f

(n)

(0)

(

1)(

n

1)，

(n

1,

2,)于是其冪級(jí)數(shù)為n!2!1

x

(

x2

其收斂半徑為n

cn1r

limcnn

n

lim

n

1

1設(shè)這個(gè)級(jí)數(shù)在(1,1)根據(jù)逐項(xiàng)求導(dǎo)，可知下面證明S(n

1)!S'(

x)

(

1)x

(

1)(

n

1)

xn1

(

1)(

n)

xn

n!上式兩邊同右端

xn

的系數(shù)

(

1)(

n)

(

1)(

n

1)

(

1)(

n

1)n!

(n

1)!

n!所以

(1

x)S'(

x)

x

n!

n

11)(n)(

2

1)(1

x

2!

x

S(

x)x

(其初始條件解得S(

x)

(1

x)

f

(

x)

n1)(1)(xn

于是

f

(

x)

(1

x)

的展開(kāi)式為2(1

注.在區(qū)間的端點(diǎn)

x

1

或x

1

處，展開(kāi)式是否成立，將隨數(shù)值

而定．將

cos)(.4展開(kāi)成解由于

x

R．n

)1!2(13!1

x

15!sin

x

x根據(jù)逐項(xiàng)求導(dǎo)運(yùn)算，則有x2n

(2n)!cos

4

(1)n2!

4!1(

x．將解

f

'(

x)

111

x11

x而(1

x

1)將上式逐項(xiàng)積分(從0

到x)，得

432

n

1n1)1l(1

由于上式右端在

x

1

收斂

且ln(1

x)

在

x

1所以上述展開(kāi)式對(duì)x

1

也成立．特別地

x

1n

112

3

4ln2

1

1

1

1

(1)n

n1(1)n1

1n展開(kāi)成x

的冪級(jí)數(shù)6.

將f

(x)1

x

21解)11

x12由于將x

換成1

1)

1

x

2

3

52n

1arctan

x

x

1

x

2注.

1.

上式兩邊從

0

到

x

積分，可得2n1(1

當(dāng)x

1時(shí)n02n

1(1)14n2. arcsin

x

的展開(kāi)式1

x

21

(arcsin

x)'(2n)!!(1

2

(1

x

2

)

12

1

1

x2

(2n)!!(2n

1)2

33

(2n

1)!!

x2n1

arcsin(1

在0)(點(diǎn)各階導(dǎo)數(shù)值．3.

通過(guò)展開(kāi)式也可看出

f x例如

從上式可得到x0(arcsin

x)(2n1)(2n)!!

(2n

(2n

0)x0x

(2)ne

x

1

x

1

x

2

1

xn

，

(

x

)2!

n!(2n

1)!sin

3

1

x5

(1)n3!

5!x

2n1

(

x1(1

n!2!2

(

1)(

n

1)

xn

(1

(

xx

2n

4

(1)n(2n)!14!2!cos(1)

2

3

4n

1n1ln(1

x)1(1

(1)1

x1

x

2

53

21n

21narctan

xx35(1

(2n)!!(2n

1)2

33

(2n

1)!!

x2n1

arcsin(1

x

1)

sin)(

在基點(diǎn)例1

將函數(shù)4f

的泰勒級(jí)數(shù)解

由于

4

4

42

4

sin

x

sin

(

x

)

2

cos(

x

)

sin(

x

)且

cos(

x

)

1

1

(

x

)2

1

(

x

)4

4

2!

4

4!

4(

x

)4

4

!3

4

!5

4sin(

x

)

(

)5

(

x

)sin

x

2

[1( x24

)4

4!43!4

)

1

(4

2!1

(

x

)