2021年高考數(shù)學(xué)真題和模擬題分類匯編專題19不等式選講【含答案】

專題19不等式選講解答題1.(2021?高考全國(guó)甲卷?理T23)已知函數(shù)．（1）畫出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍．（1）可得，畫出圖像如下：，畫出函數(shù)圖像如下：（2），如圖，在同一個(gè)坐標(biāo)系里畫出圖像，是平移了個(gè)單位得到，則要使，需將向左平移，即，當(dāng)過時(shí)，，解得或（舍去），則數(shù)形結(jié)合可得需至少將向左平移個(gè)單位，.2.(2021?高考全國(guó)乙卷?文T23)已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式解集;（2）若，求a的取值范圍．（1）當(dāng)時(shí)，，表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和，則表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和不小于，故或，所以的解集為.（2）依題意，即恒成立，，故，所以或，解得.所以的取值范圍是.3.(2021?河南鄭州三模?理T23)已知函數(shù)f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣4|．（Ⅰ）在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的圖象；（Ⅱ）若對(duì)?x∈R，f（x）≤t恒成立，t的最小值為m，且正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+2b+3c＝m，求的最小值．（Ⅰ），圖象如圖所示，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）max＝3，則t≥3，故m＝3，即a+2b+3c＝3，由柯西不等式有，，∴的最小值為3，當(dāng)且僅當(dāng)a+c＝b+c＝1時(shí)等號(hào)成立．4.(2021?河南開封三模?文理T23)已知函數(shù)，g（x）＝|x﹣1|．（1）求函數(shù)y＝f（x）+g（x）的最小值；（2）已知θ∈[0，2π），求關(guān)于θ的不等式的解集．（1）由已知可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)y＝f（x）+g（x）的最小值為．（2）由已知，原不等式可化為，①當(dāng)時(shí)，，原不等式化為sinθ﹣cosθ＞2，此時(shí)無解，②當(dāng)時(shí)，，原不等式化為sinθ+cosθ＜﹣1，即，所以，，綜上所述，不等式的解集為（π，）．5.(2021?河南焦作三模?理T23)已知函數(shù)f（x）＝|x+1|+|2x﹣5|﹣7．（Ⅰ）在如圖所示的網(wǎng)格中畫出y＝f（x）的圖象；（Ⅱ）若當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＞f（x+a）恒成立，求a的取值范圍．（Ⅰ）當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f（x）＝﹣x﹣1﹣2x+5﹣7＝﹣3x﹣3，當(dāng)﹣1≤x≤時(shí)，f（x）＝x+1﹣2x+5﹣7＝﹣x﹣1，當(dāng)x＞時(shí)，f（x）＝x+1+2x﹣5﹣7＝3x﹣11，綜上f（x）＝，則對(duì)應(yīng)的圖象如圖：（Ⅱ）當(dāng)a＝0時(shí)，不等式不成立，當(dāng)a＜0時(shí)，y＝f（x）的圖象向右平移﹣a個(gè)單位得到y(tǒng)＝f（x+a）的圖象，此時(shí)對(duì)任意x＜1時(shí)，y＝f（x+a）總在y＝f（x）的上方，不滿足條件．當(dāng)a＞0時(shí)，y＝f（x+a）的圖象最多平移到與y＝f（x）的圖象交于點(diǎn)（1，﹣2）的位置，此時(shí)a＝2，此時(shí)a的取值范圍是（0，2].6.(2021?四川內(nèi)江三模?理T23)已知a＞0，b＞0，4a+b＝2ab．（1）求a+b的最小值；（2）若a+b≥|2x﹣1|+|3x+2|對(duì)滿足題中條件的a，b恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．（1）因?yàn)閍＞0，b＞0，所以，所以a+b＝（a+b）（（4+）＝，當(dāng)且僅當(dāng)且，即a＝，a+b的最小值；（2）若a+b≥|2x﹣2|+|3x+2|對(duì)滿足題中條件的a，b恒成立，則，當(dāng)x時(shí)，原不等式可化為2x﹣1+4x+2，所以；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為﹣2x+4+3x+2，所以，當(dāng)x時(shí)，原不等式可化為﹣2x+8﹣3x﹣2，所以﹣，綜上，x的取值范圍[﹣]．7.(2021?安徽蚌埠三模?文T23)已知函數(shù)f（x）＝m﹣|x|﹣|x﹣1|，m∈R，且f（x）的最大值為1，（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）若a＞0，b＞0，a+b＝m，求證：．（1）解：∵|x|+|x﹣1|≥|x﹣（x﹣1）|＝1，當(dāng)x（x﹣1）≤0時(shí)取到等號(hào)，∴f（x）max＝m﹣1＝1，∴m＝2．（2）證明：由a＞0，b＞0，a+b＝2≥2，∴ab≤1，∴++＝+＝≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號(hào)．8.(2021?貴州畢節(jié)三模?文T23)已知函數(shù)f（x）＝|x+1|+|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜x+4；（Ⅱ）若k是f（x）的最小值，已知m＞0，n＞0，且（k+1）m+n＝1，求證：k2mn≤m+n．（Ⅰ）f（x）＝|x+1|+|x﹣2|＝，故當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）＜x+4?2x﹣1＜x+4，解得：x＜5，∴2＜x＜5．當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，f（x）＜x+4?3＜x+4，解得x＞﹣1，∴﹣1＜x≤2．當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f（x）＜x+4?﹣2x+1＜x+4，解得x＞﹣1，∴此時(shí)x無解．綜上，f（x）＜x+4的解集為{x|﹣1＜x＜5}；證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）≥3，∴k＝3．由（k+1）m+n＝1，得4m+n＝1，要證k2mn≤m+n，即9mn≤m+n，即證，就是證，又∵m＞0，n＞0，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“＝”，∴k2mn≤m+n成立．9.(2021?河南濟(jì)源平頂山許昌三模?文T23．)已知函數(shù)f（x）＝|x+2|﹣m|x+1|．（1）若m＝﹣2，求不等式f（x）≥8的解集；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤m|x+3|對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（1）當(dāng)m＝﹣2時(shí)，f（x）＝|x+2|+2|x+1|＝，當(dāng)x≤﹣2時(shí)，﹣3x﹣4≥8，解得x≤﹣4；當(dāng)﹣2＜x＜﹣1時(shí)，不等式無解；當(dāng)x≥﹣1時(shí)，3x+4≥8，解得x≥．綜上，不等式的解集為（﹣∞﹣4]∪[，+∞）．（2）關(guān)于x的不等式f（x）≤m|x+3|對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，即為|x+2|≤m（|x+1|+|x+3|），由于|x+1|+|x+3|≥|x+1﹣x﹣3|＝2，當(dāng)且僅當(dāng)﹣3≤x≤﹣1時(shí)，等號(hào)成立，所以m≥，記g（x）＝，當(dāng)x≥﹣1時(shí)，g（x）＝＝；當(dāng)x≤﹣3時(shí)，g（x）＝＝．則g（x）＝，所以g（x）∈[0，]，所以m≥，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[，+∞）．10.(2021?四川瀘州三模?理T23．)已知函數(shù)f（x）＝|x+6|﹣|x2﹣2x+2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥6的解集；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的最大值為m，正數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝+，求證：．（Ⅰ）∵x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＞0，∴f（x）＝|x+6|﹣x2+2x﹣2，不等式f（x）≥6等價(jià)于|x+6|﹣x2+2x﹣2≥6，即或，解得1≤x≤2或?，∴不等式f（x）≥6的解集為[1，2]；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，，∴，又∵a，b，c為正實(shí)數(shù)，a+b+c＝4，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，原命題得證．11.(2021?寧夏中衛(wèi)三模?理T23．)設(shè)函數(shù)f（x）＝|1﹣2x|﹣3|x+1|，f（x）的最大值為M，正數(shù)a，b滿足+＝Mab．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）是否存在a，b，使得a6+b6＝？并說明理由．（1）分三類討論如下：①當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f（x）＝x+4，單調(diào)遞增，f（x）＜3；②當(dāng)﹣1≤x≤時(shí)，f（x）＝﹣5x﹣2，單調(diào)遞減，f（x）max＝f（﹣1）＝3，③當(dāng)x＞時(shí)，f（x）＝﹣x﹣4，單調(diào)遞減，f（x）＜f（）＝﹣，綜合以上討論得，f（x）的最大值M＝3；（2）假設(shè)存在正數(shù)a，b，使得a6+b6＝≥2＝2a3b3，所以，≤，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①又因?yàn)?＝Mab＝3ab≥2?，所以，≥，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②顯然①②相互矛盾，所以，假設(shè)不成立，即不存在a，b使得a6+b6＝．12.(2021?江西南昌三模?理T23．)已知函數(shù)f（x）＝|x﹣3|+2|x﹣1|．（Ⅰ）求f（x）的最小值m；（Ⅱ）已知a＞0，b≥0，若a+2b＝m時(shí)，正常數(shù)t使得ta+ab的最大值為2，求t的值．（Ⅰ）因?yàn)椋援?dāng)x＝1時(shí)，f（x）min＝m＝2，（Ⅱ）因?yàn)閙＝2，所以a+2b＝2，則a+2（b+t）＝2t+2，又因?yàn)?，所以，則，所以，則t＝1或t＝﹣3（舍），當(dāng)且僅當(dāng)a＝2（b+1），即a＝2，b＝0時(shí)，等號(hào)成立．13.(2021?江西上饒三模?理T23．)已知函數(shù)f（x）＝|x+2|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）若_____，求a的最小值．①不等式f（x）≥a2+3a有解；②不等式f（x）≥a2+5a恒成立．請(qǐng)從上述兩種情形中任選一種作答．（1）f（x）＝，因?yàn)閒（x）≥2，當(dāng)x≤﹣2時(shí)，﹣4≥2不成立，解得x∈?；當(dāng)﹣2＜x＜2時(shí)，由2x≥2，得1≤x＜2；當(dāng)x≥2時(shí)，由4≥2恒成立，解得當(dāng)x≥2；綜上，f（x）≥2解集為[1，+∞）；（2）若選①不等式f（x）≥a2+3a有解，則f（x）max≥a2+3a，由（1）知，f（x）max＝4，所以a2+3a﹣4≤0，解得﹣4≤a≤1；所以amin＝﹣4；若選②不等式f（x）≥a2+5a恒成立，則f（x）min≥a2+3a，由（1）知，f（x）min＝﹣4，所以a2+5a+4≤0，解得﹣4≤a≤﹣1；所以amin＝﹣4．14.(2021?安徽宿州三模?文理T23．)已知函數(shù)f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤1的解集；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的最大值為m，且正實(shí)數(shù)a，b滿足2a+b＝m，求證：a2+4b2≥．（Ⅰ）|x﹣2|與|x+1|的零點(diǎn)分別是x＝2，x＝﹣1，整個(gè)定義域被劃分成3個(gè)區(qū)間，分別討論如下：1）當(dāng)x≤﹣1時(shí)，f（x）＝﹣x+2+x+1＝3，f（x）≤1的解集為空集?，2）當(dāng)﹣1＜x≤2時(shí)，f（x）＝﹣x+2﹣x﹣1＝﹣2x+1，﹣2x﹣2x+1≤1，x≤0，取交集得f（x）≤1的解集為[0，2]，3）當(dāng)2＜x時(shí)，f（x）＝x﹣2﹣x﹣1＝﹣3，f（x）≤1的解集為[2，+∞），對(duì)以上三種情況的結(jié)果取并集，不等式f（x）≤1的解集為[0，+∞），（II）證明：分段函數(shù)的最值在分段點(diǎn)處取得，由此可以比較函數(shù)在三個(gè)分段區(qū)間上的最大值，取最大者得m＝3．由2a+b＝3，，原不等式等價(jià)于，即17（a2+4b2）≥4（2a+b）2，做差比較證明（a﹣8b）2≥0，這是顯然的．15.(2021?安徽馬鞍山三模?文理T23．)已知函數(shù)f（x）＝|2x+3|．（1）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤8；（2）已知關(guān)于x的不等式f（x）+|x+a|≤x+5，在x∈[﹣1，1]上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（1）函數(shù)f（x）＝|2x+3|．不等式f（x）≤5﹣f（x﹣3），即|3x+3|+|3x﹣3|≤5，等價(jià)于或或，解得：﹣2≤x≤2，所以原不等式的解集為{x|﹣2≤x≤2}；（2）當(dāng)x∈[﹣1，1]時(shí)，不等式f（x）+|x+a|≤x+5，即|x+a|≤2﹣x，所以|x+a|≤2﹣x在[﹣1，1]上有解，即﹣2≤a≤2﹣2x在[﹣1，1]上有解，所以﹣2≤a≤4．實(shí)數(shù)a的取值范圍：[﹣2，4]．16.(2021?江西九江二模?理T23．)已知函數(shù)f（x）＝|x+2|﹣|ax﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）當(dāng)a＝2時(shí)，解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）當(dāng)x∈[﹣2，2]時(shí)，求證：f（x）+f（﹣x）≤0．（Ⅰ）當(dāng)a＝2時(shí)，f（x）≥1即|x+2|﹣|2x﹣2|≥1等價(jià)為或或，解得x∈?或≤x＜1或1≤x≤3，所以原不等式的解集為[，3]；（Ⅱ）證明：當(dāng)x∈[﹣2，2]時(shí)，f（x）＝|x+2|﹣|ax﹣2|＝x+2﹣|ax﹣2|，f（﹣x）＝2﹣x﹣|ax+2|，f（x）+f（﹣x）＝4﹣（|ax﹣2|+|ax+2|），因?yàn)閨ax﹣2|+|ax+2|≥|ax﹣2﹣（ax+2）|＝4，當(dāng)（ax﹣2）（ax+2）≤0時(shí)，取得等號(hào)，所以4﹣（|ax﹣2|+|ax+2|）≤0，即f（x）+f（﹣x）≤0．17.(2021?江西上饒二模?理T23．)設(shè)函數(shù)f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|+2ax，a∈R．（1）若，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若函數(shù)f（x）恰有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（1）當(dāng)a＝時(shí)，不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|﹣|x+1|+x＞0，則或或，解得x≤﹣1或﹣1＜x＜0或x＞1，∴不等式f（x）＞0的解集為（﹣∞，0）∪（1，+∞）；（2）由f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|+2ax＝0，得|2x﹣1|﹣|x+1|＝﹣2ax，設(shè)g（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|＝，h（x）＝﹣2ax，如圖，要使y＝g（x）與y＝﹣2ax有3個(gè)不同交點(diǎn)，則﹣3＜﹣2a＜﹣1，即＜a＜．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是．18.(2021?江西鷹潭二模?理T23．)設(shè)x，y，z∈R，z（x+2y）＝m．（1）若x2+2y2+3z2的最小值為4，求m的值；（2）若，證明：m≤﹣1或m≥1．（1）x2+2y2+3z2＝（x2+z2）+2（y2+z2）≥2xz+4yz＝2（xy+2yz），當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z，上式取得等號(hào)，由題意可得2（xy+2yz）＝2m＝4，∴m＝2．（2）證明：∵a2+b2≥2|ab|，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，∴，∴|m|≥1，可得m≤﹣1或m≥1．19.(2021?吉林長(zhǎng)春一模?文T23．)已知(I)求證:;(Ⅱ)求證:.(1)證明:因?yàn)?所以,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))(5分)(2)因?yàn)?所以所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)(10分)20.(2021?烏魯木齊二模?文T23．)已知a，b∈R+，（a﹣b）2＝（ab）3，a+b≤2ab．（Ⅰ）求證：a+b≥2ab；（Ⅱ）求a與b的值．（Ⅰ）證明：∵a，b∈R+，（a﹣b）2＝（ab）3，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝（ab）3+4ab，則a+b≥2ab；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a+b≥2ab，又a+b≤2ab，∴a+b＝2ab，又取等號(hào)時(shí)，（ab）3＝4ab，即ab＝2，聯(lián)立，解得或．21.(2021?安徽淮北二模?文T23．)設(shè)函數(shù)f（x）＝|2x﹣a|+|x+|（a＞0）．（Ⅰ）證明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（1）＜4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（Ⅰ）證明：∵f（x）＝|2x﹣a|+|x+|＝，∴f（x）在（﹣∞，﹣）單調(diào)遞減，在[﹣，]單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞減，∴f（x）min＝f（）＝+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝且a＝2時(shí)取最小值，∴f（x）≥2；（Ⅱ）∵f（1）＝|2﹣a|+|1+|＜4（a＞0），∴|2﹣a|＜3﹣，∴3﹣＞0，解得：a＞①，當(dāng)a≤2時(shí)，有2﹣a＜3﹣，∴a＜﹣2或a＞1，結(jié)合①得：1＜a≤2，當(dāng)a＞2時(shí)，有a﹣2＜3﹣，∴2＜a＜，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，）．22.(2021?寧夏銀川二模?文T23．)已知函數(shù)f（x）＝|x+a|﹣2|x﹣b|（a＞0，b＞0）．（1）當(dāng)a＝b＝1時(shí)，解不等式f（x）＞0；（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）+|x﹣b|的最大值為2，求的最小值．（1）當(dāng)a＝b＝1時(shí)，f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣1|，①當(dāng)x≤﹣1時(shí)，f（x）＝﹣（x+1）+2（x﹣1）＝x﹣3＞0，∴x＞3，∴無解，②當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，f（x）＝（x+1）+2（x﹣1）＝3x﹣1＞0，∴＜x＜1，③當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）＝（x+1）﹣2（x﹣1）＝﹣x+3＞0，∴1≤x＜3，綜上所述：不等式f（x）＞0的解集為（，3）．（2）g（x）＝）＝|x+a|﹣2|x﹣b|+|x﹣b|＝|x+a|﹣|x﹣b|，∵|x+a|﹣|x﹣b|≤|（x+a）﹣（x