2019蘇教數(shù)學選修22講義第3章33復數(shù)幾何意義

2019-2020年蘇教版數(shù)學選修2-2講義：第3章+3.3+復數(shù)的幾何意義及答案2019-2020年蘇教版數(shù)學選修2-2講義：第3章+3.3+復數(shù)的幾何意義及答案2019-2020年蘇教版數(shù)學選修2-2講義：第3章+3.3+復數(shù)的幾何意義及答案2019-2020年蘇教版數(shù)學選修2-2講義：第3章+3.3+復數(shù)的幾何意義及答案復數(shù)的幾何意義學習目標核心涵養(yǎng)1.認識復數(shù)的幾何意義，并能簡單應用．(重點)經過對復數(shù)的幾何意義及2．理解并會求復數(shù)的模，認識復數(shù)的模與實數(shù)復數(shù)加、減運算的幾何意絕對值之間的差異和聯(lián)系．(易錯點)義的學習，培養(yǎng)直觀想象3．認識復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意涵養(yǎng).義．(重點、難點)1．復數(shù)的幾何意義(1)復平面建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸．(2)復數(shù)的幾何意義復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復平面內的點Z(a，b)→平面向量OZ.2．復數(shù)的模(1)定義→向量OZ的模叫做復數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|.(2)公式|z|＝a2＋b2.(3)幾何意義復數(shù)z對應點Z到原點O的距離．3．復數(shù)加減法的幾何意義-1-/82019-2020年蘇教版數(shù)學選修2-2講義：第3章+3.3+復數(shù)的幾何意義及答案(1)以下列圖，設向量→→OZ1，OZ2分別與復數(shù)z1＝a＋bi，z2→→→→＝c＋di對應，且OZ1和OZ2不共線，以OZ1，OZ2為兩條鄰邊畫→→?OZ1ZZ2.則向量OZ與復數(shù)z1＋z2相對應，向量Z2Z1與復數(shù)z1－z2相對應．1－z2＝a－c2＋b－d2，即兩個復數(shù)的差的模就是復平面內與這兩個復(2)|z|數(shù)對應的兩點間的距離．思慮：類比絕對值|x－x0|的幾何意義，|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是什么？[提示]|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是復平面內點Z到點Z0的距離．1．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，則復數(shù)z＝z2－z1對應的點位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，實部小于零，虛部大于零，故位于第二象限．]2．設z1＝2＋i，z2＝1－5i，則|z1＋z2|為( )A.5＋26B．5C．25D.37[|z1＋z2|＝|(2＋i)＋(1－5i)|＝|3－4i|＝32＋－42＝5.]與－－→→→3．復數(shù)4＋3i2與OB，則向量AB表示的復數(shù)是5i分別表示向量OA________．－6－8i[因為復數(shù)→→，所以→，OBOA(4,3)→→→→→OB＝(－2，－5)，又AB＝OB－OA＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB表示的復數(shù)是－6－8i.]-2-/82019-2020年蘇教版數(shù)學選修2-2講義：第3章+3.3+復數(shù)的幾何意義及答案復數(shù)的幾何意義【例1】(1)實部為－2，虛部為1的復數(shù)所對應的點位于復平面的第________象限．1－2i(2)設復數(shù)z＝m－i(m∈R)在復平面內對應的點為Z.①若點Z在虛軸上，求m的值；②若點Z位于第一象限，求m的取值范圍．(1)二[實部為－2，虛部為1的復數(shù)在復平面內對應的點為(－2,1)，位于第二象限．]1－2i1－2im＋im＋21－2m(2)[解]z＝＝＝2＋2i.m－im－im＋im＋1m＋1m＋2①∵點Z在虛軸上，∴2＝0，則m＝－2.m＋1②點Z位于第一象限，則m＋2>0且1－2m>0，1解得－2<m<2.1故實數(shù)m的取值范圍是－2，2.復數(shù)可由復平面內的點或向量進行表示(1)復數(shù)與復平面內點的對應：復數(shù)的實、虛部是該點的橫、縱坐標，利用這一點，可把復數(shù)問題轉變成平面內點的坐標問題．(2)復數(shù)與復平面內向量的對應：復數(shù)實、虛部是對應向量的坐標，利用這一點，可把復數(shù)問題轉變成向量問題．-3-/82019-2020年蘇教版數(shù)學選修2-2講義：第3章+3.3+復數(shù)的幾何意義及答案1．實數(shù)x取什么值時，復平面內表示復數(shù)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的點Z：(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直線x－y－3＝0上．[解]因為x是實數(shù)，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是實數(shù)．x2＋x－6＜0，(1)當實數(shù)x滿足－即－3＜x＜2時，點Z位于第三象限．x2－2x15＜，0x2＋x－6＞0，(2)當實數(shù)x滿足－＜，x2－2x150即2＜x＜5時，點Z位于第四象限，(3)當實數(shù)x滿足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2時，點Z位于直線x－y－3＝0上．復數(shù)加減法的幾何意義【例2】→→，則(1)向量OA對應的復數(shù)為1＋4i，向量OB對應的復數(shù)為－3＋6i→→向量OA＋OB對應的復數(shù)為________．→→→(2)，OB對應的復數(shù)分別是7＋i,3－2i，則|AB＝若OA|________.[思路研究]利用復數(shù)加減法的幾何意義求解．(1)→→－2＋10i(2)5[(1)(1＋4i)＋(－3＋6i)＝－2＋10i.即向量OA＋OB對應的復數(shù)為－2＋10i.→(2)AB對應復數(shù)為(3－2i)－(7＋i)＝－4－3i，→＝－2＋－32＝5.]∴|AB＝－－3i|4||41．依照復數(shù)加減運算的幾何意義可以把復數(shù)的加減運算轉變成向量的坐標運算，同樣滿足三角形和平行四邊形法規(guī)．2．復數(shù)加減運算的幾何意義為應用數(shù)形結合思想解決復數(shù)問題供應了可能．-4-/82019-2020年蘇教版數(shù)學選修2-2講義：第3章+3.3+復數(shù)的幾何意義及答案2．在復平面內，A，B，C分別對應復數(shù)z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC為鄰邊作一個平行四邊形ABDC，求D點對應的復數(shù)z4及AD的長．[解]由復數(shù)加減法幾何意義：→AC對應復數(shù)z3－z1，→AB對應復數(shù)z2－z1，→AD對應復數(shù)z4－z1，→→→依照向量的平行四邊形法規(guī)，得AD＝AB＋AC，∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，→∴AD的長為|AD|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.復數(shù)的模及其幾何意義[研究問題]1．滿足|z|＝1的所有復數(shù)z對應的點組成什么圖形？[提示]滿足|z|＝1的所有復數(shù)z對應的點在以原點為圓心，半徑為1的圓上．2．若|z－1|＝|z＋1|，則復數(shù)z對應的點組成什么圖形？[提示]∵|z－1|＝|z＋1|，∴點Z到(1,0)和(－1,0)的距離相等，即點Z在以(1,0)和(－1,0)為端點的線段的中垂線上．-5-/82019-2020年蘇教版數(shù)學選修2-2講義：第3章+3.3+復數(shù)的幾何意義及答案3．復數(shù)|z1－z2|的幾何意義是什么？[提示]復數(shù)|z1－z2|表示復數(shù)z1，z2對應兩點Z1與Z2間的距離．【例3】(1)若是復數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )1A．1B．2C．2D．5(2)若復數(shù)z滿足|z＋3＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．(1)A[設復數(shù)－i，i，－1－i在復平面內對應的點分別為Z1，Z2，Z3，因為|z＋i|＋|z－i|＝2,|Z1Z2|＝2，所以點Z的會集為線段Z1Z2.問題轉變成：動點Z在線段Z12上搬動，求|ZZ3的最小值，因為13＝，Z||ZZ|1所以|z＋i＋1|＝1.]min→2＋－12＝2.(2)以下列圖，|OM|＝－3所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.1．(變條件)若本例題(2)條件改為“設復數(shù)z滿足|z－3－4i|＝1”，求|z|的最大值．[解]因為|z－3－4i|＝1，所以復數(shù)z所對應的點在以C(3,4)為圓心，半徑為1的圓上，由幾何性質得|z|的最大值是32＋42＋1＝6.2．(變條件)若本例題(2)條件改為已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i為虛數(shù)單位)的最小值．[解]因為|z|＝1且z∈C，作圖如圖：所以|z－2－2i|的幾何意義為單位圓上的點M到復平面上的點P(2,2)的距離，所以|z－2－2i|的最小值為|OP|－1＝22－1.-6-/82019-2020年蘇教版數(shù)學選修2-2講義：第3章+3.3+復數(shù)的幾何意義及答案|z1－z2|表示復平面內z1，z2對應的兩點間的距離．利用此性質，可把復數(shù)模的問題轉變成復平面內兩點間的距離問題，從而進行數(shù)形結合，把復數(shù)問題轉變成幾何圖形問題求解.1．復數(shù)的幾何意義(1)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對應復平面內的點P(a，b)．→(2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對應復平面內的向量OZ＝(a，b)．2．復數(shù)加減法的幾何意義：實質為向量的加減運算．3．復數(shù)的模是表示復數(shù)的向量的長度，復數(shù)的模可以比較大小.1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)在復平面內，對應于實數(shù)的點都在實軸上．( )(2)在復平面內，虛軸上的點所對應的復數(shù)都是純虛數(shù)．( )(3)復數(shù)的模必然是正實數(shù)．( )[答案](1)√(2)×(3)×2．(2019·全國卷Ⅰ)設復數(shù)z滿足|z－i|＝1，z在復平面內對應的點為(x，y)，則( )A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1[法一：∵z在復平面內對應的點為(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.應選C.法二：∵|z－i|＝1表示復數(shù)z在復平面內對應的點(x，y)到點(0,1)的距離為1，∴x2＋(y－1)2＝1.應選C.法三：在復平面內，點(1,1)所對應的復數(shù)z＝1＋i滿足|z－i|＝1，但點(1,1)不-7-/82019-2020年蘇教版數(shù)學選修2-2講義：第3章+3.3+復數(shù)的幾何意義及答案在選項A，D的圓上，∴消除A，D；在復平面內，點(0,2)所對應的復數(shù)z＝2i滿足|z－i|＝1，但點(0,2)不在選項B的圓上，∴消除B.應選