統(tǒng)計(jì)課件-第六章方差分析

某家兔總醫(yī)院欲研究A、B、C 3種降血脂藥物對(duì)腎素-血管緊張素轉(zhuǎn)化酶（ACE）的影響，將26只家兔隨機(jī)分為4組，均喂以高脂飲食，其中

3個(gè)實(shí)驗(yàn)組，分別給予不同的降血脂藥物，對(duì)照組不給藥。一定時(shí)間后測(cè)定家兔ACE濃度（u/ml），問4組家兔ACE濃度是否相同？2表

1

對(duì)照組及各實(shí)驗(yàn)組家兔ACE

濃度（U/ml）實(shí)

驗(yàn)

組對(duì)照組A

降脂藥B

降脂藥C

降脂藥61.2482.3526.2325.4658.6556.4746.8738.7946.7961.5724.3613.5537.4348.7938.5419.4566.5462.5442.1634.5659.2760.8730.3310.9620.6848.233t檢驗(yàn)和u檢驗(yàn)適用于兩均數(shù)的比較。若多個(gè)樣本均數(shù)的比較仍用t

檢驗(yàn)或u

檢驗(yàn)時(shí)，需比較(4

)

4!/[2!(4

2)!]

6

次。2假設(shè)每次比較的檢驗(yàn)水準(zhǔn)

0.05

，則每次檢驗(yàn)

H0

時(shí)不犯Ⅰ型錯(cuò)誤的概率為1-0.05=0.95；那么6次檢驗(yàn)均不犯Ⅰ型錯(cuò)誤的概率為(1

0.05)6率為0.2649。

0.7351，而犯Ⅰ型錯(cuò)誤的概2(k

)

k!/[2!(k

2)!]次，如4個(gè)樣本均數(shù)需比較4為了有效地控制Ⅰ型錯(cuò)誤，多個(gè)樣本均數(shù)比較時(shí)不宜用t

檢驗(yàn)和u

檢驗(yàn)，而宜用方差分析。方差分析(ANOVA)由英ysis

of

variance，計(jì)學(xué)家R.A.Fisher首先提出，以F命名其統(tǒng)計(jì)量，故方差分析又稱F檢驗(yàn)。56基本思想應(yīng)用條件用途一、方差分析的基本思想以完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料為例說明各部分變異的計(jì)算方法。將n個(gè)受試對(duì)象隨機(jī)分為k組，分別接受不同的處理。歸納整理數(shù)據(jù)的格式、符號(hào)如下表：7方差分析完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料的數(shù)據(jù)格式與符號(hào)處理組i1

2

3

…kx21x22…x31x32…xk1xk

2……………x11x12…ijx1x1n2x2n3x3nkxkn合計(jì)n1j

1

x

1

jn

2j

1

x

2

jn3j

1

x

3

j…nkj

1

xk

jnin1n2n3…nk8ACE

濃度（U/ml）對(duì)照組表

1

對(duì)照組及各實(shí)驗(yàn)組家兔實(shí)

驗(yàn)

組A

降脂藥

B

降脂藥C降脂藥61.2458.6546.7937.4366.5459.2782.3556.4761.5748.7962.5460.8726.2346.8724.3638.5442.1630.3320.6825.4638.7913.5519.4534.5610.9648.23ni

xij329.92372.59229.17191.0066772643.1854.9962.1032.7427.29ijj

1nixinij

1x

218720.9723758.128088.596355.431122.68 (

x

)(

N

)(

x

)56923.11

(

x

2

)9變異分解總變異：

處理因素+

差異+隨機(jī)測(cè)量誤差…組間變異：處理因素+

差異+隨機(jī)測(cè)量誤差…組內(nèi)變異：差異+隨機(jī)測(cè)量誤差…knii1

j＝1總

ijSS

＝Σ

Σ

(x

x

)2kSS

Σ

n

(x

x

)2i1組間

i

ikSS

Σ

Σ(xij

xi

)2nii1

j

1組內(nèi)SS總

SS組間

SS組內(nèi)10度分解

總

n

1組間

k

1組內(nèi)

n

k總

組間組內(nèi)11造成各變異的原因：總變異：

處理因素+組間變異：處理因素+組內(nèi)變異：差異+隨機(jī)測(cè)量誤差…差異+隨機(jī)測(cè)量誤差…差異+隨機(jī)測(cè)量誤差…組間變異

處理差異誤差組內(nèi)變異差異誤差

1

1？處理因素有無作用？12(

X

X

)2

X

2

(X

)2

/ns2

=n

1

n

1MS

SS組間

SS組間組間組間均方

MS組內(nèi)

SS組內(nèi)組內(nèi)組內(nèi)均方

MS組內(nèi)均方

MS組內(nèi)SS組內(nèi)/組內(nèi)組間均方

MS組間

SS組間/組間

F均方差(均方，mean

square,

MS)數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論證明：當(dāng)H0成立時(shí)，F(xiàn)

統(tǒng)計(jì)量服從F

分布。13F

分布F

分布概率密度函數(shù)：2212

/

2212

1

2

1

1

2

2

式中()

為伽瑪函數(shù)；F是兩個(gè)均方的比值；1

、

2

分別為F值的分子與分母的

度，這是F分布的兩個(gè)參數(shù)，由這兩個(gè) 度可決定F分布的圖形形狀，因此，

F分布可用F(1,2

)表示。以F為橫軸，f

(F)為縱軸可繪制F分布的圖形。

1

2/

2

1

2(1

F

2

)Ff

(

F

)

141.41.21.00.80.60.40.20.001342

FF

分布曲線151

1,2

51

5,2

51

10,2

10P

值的判斷以完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析為例，1

組間，

2＝組內(nèi)，以1

、

2

查F

界值表：F

F，

P

(

,

)1

2F

F，

P

(

,

)1

216★方差分析的基本思想根據(jù)研究目的和設(shè)計(jì)類型，將全部測(cè)量值總的離均差平方和(SS)和度(v)分別分解成若分，并求得各相應(yīng)部分的均方(MS)；其中的組內(nèi)均方或誤差主要反映差異或抽樣誤差，其它部分的均方與之比較得出統(tǒng)計(jì)量F

值，由F

值的大小確定P值，并做出統(tǒng)計(jì)推斷。17單因素方差分析的計(jì)算公式變異來源SS

MSFn

1總變異組間變異nik

x

2

C

*n

jj

1

Ci1(

xij

)2k

1組間組間SS

/組內(nèi)組間MS

/

MS組內(nèi)變異SS總

SS組間n

kSS組內(nèi)/

組內(nèi)*C

為校正數(shù)

C

(x)2

/

n18kniSS

＝Σ Σ

(x

x

)2＝Σx

2－

(Σx

)2ni1

j＝1總ijnii

ikkni(Σ

xij

)22(Σx

)nSS

Σ

n

(x

x

)2

Σ

j

1

i1i1組間C★方差分析的應(yīng)用條件多個(gè)樣本均數(shù)比較的方差分析應(yīng)用條件為①各樣本是相互獨(dú)立的隨機(jī)樣本；②各樣本來自正態(tài)分布總體；③各總體方差相等，即方差齊。上述條件與兩均數(shù)比較的

t檢驗(yàn)的應(yīng)用條件相同。當(dāng)組數(shù)為2時(shí)，方差分析與兩均數(shù)比較的

t檢驗(yàn)等價(jià)，對(duì)同一資料，有

t

F

。1920★方差分析的用途①兩個(gè)或多個(gè)樣本均數(shù)間的比較；②分析兩個(gè)或多個(gè)因素間的交互作用；③回歸方程的線性假設(shè)檢驗(yàn)；④多元線性回歸分析中偏回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。二、完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料的方差分析完全隨機(jī)設(shè)計(jì)(comple yrandom

design)資料的方差分析，亦稱單因素方差分析(one-wayANOVA)。應(yīng)用：用于完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的多個(gè)樣本均數(shù)比較的資料。研究目的：推斷各樣本所代表的未知總均數(shù)是否相等，即不同處理因素間或某處理因素不同水平間有無差異，21完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料的方差分析設(shè)計(jì)類型：利用隨機(jī)數(shù)字表或隨機(jī)排列表（或計(jì)算機(jī)生成的）中的隨機(jī)數(shù)字進(jìn)行分組。屬單因素試驗(yàn)，數(shù)據(jù)分析采用單向分類方差分析。22例1

某 總醫(yī)院欲研究A、B、C 3種降血脂藥物對(duì)家兔

腎素-血管緊張素轉(zhuǎn)化酶（ACE）的影響，將26只家兔隨機(jī)分為4組，均喂以高脂飲食，其中3個(gè)實(shí)驗(yàn)組，分別給予不同的降血脂藥物，對(duì)照組不給藥。一定時(shí)間后測(cè)定家兔 ACE濃度（u/ml），問4組家兔血清ACE濃度是否相同？2356923.11(

2x4

2

)ACE

濃度（U/ml）表

對(duì)照組及各實(shí)驗(yàn)組家兔實(shí)

驗(yàn)

組對(duì)照組A

降脂藥B

降脂藥C

降脂藥61.2482.3526.2325.4658.6556.4746.8738.7946.7961.5724.3613.5537.4348.7938.5419.4566.5462.5442.1634.5659.2760.8730.3310.9620.6848.23ni

xij329.92372.59229.17191.001122.68(

x

)j

1ni

6677

26(

n

)54.9962.1032.7427.2918720.9723758.128088.596355.4343.18(

x

)ijxinij

1

x

2分析步驟25先進(jìn)行多個(gè)樣本的方差齊性檢驗(yàn)和正態(tài)性檢驗(yàn)，滿足方差分析的應(yīng)用條件時(shí)，方能進(jìn)行方差分析。若各樣本來自非正態(tài)總體或各總體方差不等或不全相等時(shí)，可通過變量變換使數(shù)據(jù)呈正態(tài)或方差齊后，再進(jìn)行完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析；若仍達(dá)不到方差分析的應(yīng)用條件，可選用成組設(shè)計(jì)的多樣本比較的秩和檢驗(yàn)。完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料變異分解SS組間（處理因素+差異+測(cè)量誤差）SS總差異+測(cè)量誤差）SS組內(nèi)（ν組間ν總ν組內(nèi)26方差分析步驟1.

建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)H0：4組家兔的1

2

3ACE濃度總體均數(shù)相等，

4ACE濃度總體均數(shù)不等或不等或不全相等不H1：4組家兔的全相等，各

i

0.05單因素方差分析272.計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F值C

(x)2

/

n

(1122.68)2

/

26

48477.3224SS

x2

C

56923.11

48477.3224

8445.7876總2

2

2286

5515.366567

7

484.77.32242

329.92

372.59

229.17

191.00ni(

xij

)2j

1njkSS

Ci

1組間SS組內(nèi)

SS總

SS組間

8445.7876

5515.3665

2930.4211單因素方差分析計(jì)算步驟29

總

n

－1

26－1

25組間

k

1

4

1

3組內(nèi)

n

k

26

4

22MS組間

SS組間/組間＝5515.3665/3

1838.4555MS組內(nèi)

SS組內(nèi)/組內(nèi)

2930.4211/22

133.2010F

MS組間/MS組內(nèi)

1838.4555/133.2010

13.80單因素方差分析計(jì)算步驟以v1

3

和v2

22

查F

界值表，得F0.01(3,22)=4.82，P

0.01，按

0.05

檢驗(yàn)水準(zhǔn)

H0，接受H1，可認(rèn)為4個(gè)總體均數(shù)不等或不全相等。3.確定P值，并做出統(tǒng)計(jì)推斷單因素方差分析計(jì)算步驟30方差分析表方差分析表變異來源SSMSFP總變異8445.787625組間變異5515.366531838.455513.80<

0.01組內(nèi)變異2930.421122

133.201031三、配伍組設(shè)計(jì)資料的方差分析配伍組設(shè)計(jì)亦稱隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)（randomized

blockdesign）。配伍組設(shè)計(jì)是配對(duì)設(shè)計(jì)的擴(kuò)展。應(yīng)用：用于配伍組設(shè)計(jì)的多個(gè)樣本均數(shù)比較的資料。研究目的：分析不同處理因素間或某處理因素不同水平間有無差別，并考慮差異的影響。數(shù)據(jù)分析采向分類方差分析。32配對(duì)設(shè)計(jì)與配伍組設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)類型：配對(duì)設(shè)計(jì)與配伍組設(shè)計(jì)是先按配比條件將受試對(duì)象配成對(duì)子或區(qū)組，再按隨機(jī)化分配的原則（隨機(jī)數(shù)字表或隨機(jī)排列表）將各對(duì)或各區(qū)組中的個(gè)體分配到不同的處理組接受不同的處理。通常，以影響實(shí)驗(yàn)效應(yīng)的主要非處理因素作為配對(duì)或配伍條件。該類設(shè)計(jì)考慮了差異的影響，因而可分析處理因素和差異對(duì)實(shí)驗(yàn)效應(yīng)的影響，比完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的檢驗(yàn)效率高。33兩因素方差分析例2

某醫(yī)師研究A、B和C3種藥物治療肝炎的效果，將32只大白鼠

肝炎后，按

相同、體重接近的條件配成8個(gè)配伍組，然后將各配伍組中4只大白鼠隨機(jī)分配到4個(gè)組。對(duì)照組不給藥物，其余3組為實(shí)驗(yàn)組，分別給予A、B和C藥物治療。一定轉(zhuǎn)氨酶濃度(IU/L)，轉(zhuǎn)氨酶濃度是否時(shí)間后，測(cè)定大白鼠見下表。問4組大白鼠的相同？3435表

4

組大白鼠配伍組轉(zhuǎn)氨酶濃度（IU/L）驗(yàn)

組對(duì)照組A

藥組實(shí)B

藥組C

藥組合

計(jì)1845.1652.4624.3445.12566.92834.7741.3772.3432.52780.83826.5675.6632.5362.72497.34812.8582.8473.6348.72217.95782.8491.8462.8345.92083.36745.6412.2431.8312.81902.47730.4494.6484.9296.32006.28684.3379.5380.7228.41672.9b

xij6262.24430.24262.92772.4782.78553.78532.86346.5517727.7

(

x

)553.99(

x

)10883788.89(

x2

)ijj1j1xib

x

24925110.04

2571668.14

2391246.57

995764.14配伍組設(shè)計(jì)資料變異分解差異+測(cè)量誤差）SS處理（處理因素+SS總

SS配伍

（區(qū)組因素+差異+測(cè)量誤差）差異+測(cè)量誤差）SS誤差（ν處理ν總

ν配伍ν誤差SS總

SS處理SS配伍SS誤差

總

處理

配伍

誤差36兩因素方差分析的計(jì)算公式變異來源SSMSF總變異n

1處理間

Cijx2

C*bj1(

x

)2ki1k

1處理

處理SS

/處理MS

/

MS誤差配伍間bb(k

xij

)

2

i1

k

Cj

1b

1SS

/配伍

配伍誤差配伍MS

/

MS誤

差SS總

SS處理

SS配伍

(k

1)(b

1)SS誤差/誤差*C

(x)2

/

n

，b

為配伍組數(shù)37計(jì)算步驟1.

建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)H0：4組大白鼠的即1

2

3H1：各處理組轉(zhuǎn)氨酶濃度含量相等，

4轉(zhuǎn)氨酶濃度含量不等或不全等，即各i不等或不全相等轉(zhuǎn)氨酶濃度相等轉(zhuǎn)氨酶濃度不等或不全等H0：各配伍組的H1：各配伍組的

均等于0.05兩因素方差分析計(jì)算步驟處理組配伍組382.

計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F值86262.22

4430.22

4262.92

2772.42

C

b(

x

)2SS

ijC

(x)2

/

n

17727.72

/

32

9820979.603SS總

x

2

C

10883788.89-9820979.603

1062809.2870bj

1ki1處理2566.92

2780.82

1672.9239k

4-

9820979.603

766562.7784(k

xij

)

2SS

i1

C

bj

1配伍-

9820979.603

244047.7597SS誤差

SS總

SS處理

SS配伍

1062809.2870-766562.7784-

244047.7597

52198.7489兩因素方差分析計(jì)算步驟40計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F

值總

n

1

32

1

31

k

1

4

1

3

b

1

8