2021年江蘇省常州市溧陽(yáng)上沛中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2021年江蘇省常州市溧陽(yáng)上沛中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知a,b∈R,且ab<0,則()A.|a+b|>|a-b|

B.|a+b|<|a-b|C.|a-b|<|a|-|b|

D.|a-b|<|a|+|b|參考答案：B2.從不同號(hào)碼的雙鞋中任取只，其中恰好有雙的取法種數(shù)為()A．

B．

C．

D．參考答案：A3.橢圓的焦距為2，則m的值等于(

)

A.5

B.5或8

C.5或3 D.20參考答案：C4.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(

).A.

B.

C.

D.參考答案：C略5.欲證，只需證（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】R8：綜合法與分析法(選修）．【專題】11：計(jì)算題．【分析】原不等式等價(jià)于＜，故只需證，由此得到結(jié)論．【解答】解：欲證，只需證＜，只需證，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查用分析法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．6.已知向量，若-與垂直，則||等于（A）1

（B）

（C）

（D）3參考答案：C7.由經(jīng)驗(yàn)得知，在學(xué)校食堂某窗口處排隊(duì)等候打飯的人數(shù)及其概率如下：排隊(duì)人數(shù)012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04則至多2個(gè)人排隊(duì)的概率為（）A．0.56 B．0.44 C．0.26 D．0.14參考答案：A【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】至多2個(gè)人排隊(duì)的概率為p=p（X=0）+P（X=1）+P（X=2），由此能求出結(jié)果．【解答】解：由在學(xué)校食堂某窗口處排隊(duì)等候打飯的人數(shù)及其概率表知：至多2個(gè)人排隊(duì)的概率為：p=p（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=0.1+0.16+0.3=0.56．故選：A．8.當(dāng)x∈R時(shí)，x+的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣4] B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C．[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）參考答案：D【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】討論x＞0，x＜0，運(yùn)用基本不等式a+b≥2（a，b＞0，a=b取得等號(hào)），即可得到所求范圍．【解答】解：當(dāng)x＞0時(shí)，x+≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，取得最小值4；當(dāng)x＜0時(shí)，x+=﹣[（﹣x）+（﹣）≤﹣2=﹣4，當(dāng)且僅當(dāng)x=﹣2時(shí)，取得最大值﹣4．綜上可得，x+的取值范圍是（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．故選：D．9.下列命題錯(cuò)誤的是()A.命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”B.若命題p：存在x∈R，x2＋x＋1＝0，則非p為：任意x∈R，x2＋x＋1≠0C.若p且q為假命題，則p，q均為假命題D.“x＞2”是“x2－3x＋2≥0”的充分不必要條件參考答案：C10.若圓C與圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則圓C的方程是A.

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)是集合且中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，已知，則

．參考答案：12.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則t的值為

▲

。參考答案：13.i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=（m2﹣1）+（m﹣1）i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為

．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】A2：復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義可得m2﹣1=0，m﹣1≠0，由此解得實(shí)數(shù)m的值．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z=（m2﹣1）+（m﹣1）i為純虛數(shù)，∴m2﹣1=0，m﹣1≠0，解得m=﹣1，故答案為﹣1．14.將函數(shù)f（x）=2cos（2x﹣）的圖象向左平移個(gè)單位得到g（x）的圖象，記函數(shù)g（x）在區(qū)間內(nèi)的最大值為Mt，最小值為mt，記ht=Mt﹣mt，若t∈[，]，則函數(shù)h（t）的最小值為

．參考答案：1【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】求出g（x）的解析式，判斷g（x）的單調(diào)性，根據(jù)g（x）的圖象得出h（t）取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的t的值，從而計(jì)算出Mt，mt，得出答案．【解答】解：g（x）=2cos[2（x+）﹣]=2cos（2x+），∴g（x）在（，）上單調(diào)遞減，在（，）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)≤t≤時(shí)，g（x）在區(qū)間內(nèi)先減后增，當(dāng)時(shí)，g（x）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，∴當(dāng)t=時(shí)，h（t）取得最小值，此時(shí)Mt=g（）=﹣1，mt=g（）=﹣2，∴函數(shù)h（t）的最小值為﹣1﹣（﹣2）=1．故答案為1．15.已知平面，直線滿足，則直線與平面的位置關(guān)系為

.

參考答案：16.設(shè)函數(shù),觀察：，，，，，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)且時(shí)，

.參考答案：略17.圓心為且與直線相切的圓的方程是

▲

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(12分)一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別1，2，3，4；（Ⅰ）從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球編號(hào)之和不大于4的概率；（Ⅱ）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為，求的概率.參考答案：從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件是：｛1，2｝、｛1，3｝、｛1，4｝、｛2，3｝、｛2，4｝、｛3，4｝共6種。取出的球編號(hào)之和不大于4的事件為：｛1，2｝、｛1，3｝∴所求的概率是：P＝

…………（6分）（2）先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，其一切可能的結(jié)果為：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）；（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）；（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）；（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）共16種，滿足m+2>n的有13種，∴所求的概率是：P＝

……（12分）19.一個(gè)四棱椎的三視圖如圖所示：（I）求證：PA⊥BD；（II）在線段PD上是否存在一點(diǎn)Q，使二面角Q﹣AC﹣D的平面角為30°？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【分析】（I）由三視圖，可知四棱錐的底面是正方形，側(cè)面是全等的等腰三角形，所以該四棱錐是一個(gè)正四棱錐．作出它的直觀圖，根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，可證出PA⊥BD；（2）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使二面角Q﹣AC﹣D的平面角為30°，由AC⊥平面PBD可得∠DOQ為二面角Q﹣AC﹣D的平面角，可證出在Rt△PDO中，OQ⊥PD，且∠PDO=60°，結(jié)合三角函數(shù)的計(jì)算可得=．【解答】解：（I）由三視圖，可知四棱錐的底面是正方形，側(cè)面是全等的等腰三角形∴四棱錐P﹣ABCD為正四棱錐，底面ABCD為邊長(zhǎng)為2的正方形，且PA=PB=PC=PD，連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接PO．

…∵PO⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PO，又∵BD⊥AC，PO、AC是平面PAC內(nèi)的相交直線∴BD⊥平面PAC，結(jié)合PA?平面PAC，得BD⊥PA．…（II）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使二面角Q﹣AC﹣D的平面角為30°∵AC⊥BD，AC⊥PO，BD、PO是平面PBD內(nèi)的相交直線∴AC⊥平面PBD∴AC⊥OQ，可得∠DOQ為二面角Q﹣AC﹣D的平面角，…（8分）由三視圖可知，BC=2，PA==2，在Rt△POD中，PD=2，OD=，則∠PDO=60°，在△DQO中，∠PDO=60°，且∠QOD=30°．所以DP⊥OQ．…（10分）結(jié)合OD=，得QD=ODcos60°=．可得==．因此存在PD上點(diǎn)Q，當(dāng)DQ=PD時(shí)，二面角Q﹣AC﹣D的平面角為30°…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題給出四棱錐的三視圖，要求將其還原成直觀圖并探索二面角的大小，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)和對(duì)三視圖的理解等知識(shí)，屬于中檔題．20.（本題滿分14分）已知函數(shù)（1）化簡(jiǎn)f（α）；（2）若，求sinα?cosα，sinα﹣cosα的值.

參考答案：(1)

……………4分(2)由，平方可得，即.

，……………10分，又，，，,.

……………14分21.某校在一次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)的頒獎(jiǎng)儀式上，高一、高二、高三各代表隊(duì)人數(shù)分別為120人、120人、n人．為了活躍氣氛，大會(huì)組委會(huì)在頒獎(jiǎng)過(guò)程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)，并用分層抽樣的方法從三個(gè)代表隊(duì)中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表隊(duì)有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表隊(duì)6人分別記為a，b，c，d，e，f，現(xiàn)隨機(jī)從中抽取2人上臺(tái)抽獎(jiǎng)．求a和b至少有一人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的概率．（3）抽獎(jiǎng)活動(dòng)的規(guī)則是：代表通過(guò)操作按鍵使電腦自動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)[0，1]之間的均勻隨機(jī)數(shù)x，y，并按如圖所示的程序框圖執(zhí)行．若電腦顯示“中獎(jiǎng)”，則該代表中獎(jiǎng)；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎(jiǎng)，求該代表中獎(jiǎng)的概率．參考答案：【考點(diǎn)】程序框圖；古典概型及其概率計(jì)算公式；幾何概型．【分析】（1）根據(jù)分層抽樣可得，故可求n的值；（2）求出高二代表隊(duì)6人，從中抽取2人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的基本事件，確定a和b至少有一人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的概率；（3）確定滿足0≤x≤1，0≤y≤1點(diǎn)的區(qū)域，由條件得到的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分，計(jì)算面積，可求該代表中獎(jiǎng)的概率．【解答】解：（1）由題意可得，∴n=160；（2）高二代表隊(duì)6人，從中抽取2人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15種，其中a和b至少有一人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的基本事件有9種，∴a和b至少有一人上臺(tái)抽獎(jiǎng)的概率為=；（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，點(diǎn)（x，y）在如圖所示的正方形OAB