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PAGEPAGE9垂直關(guān)系一、選擇題1.已知直線l⊥平面α,直線m∥平面β,若α⊥β,則下列結(jié)論正確的是()A.l∥β或lβ B.l∥mC.m⊥α D.l⊥mA[直線l⊥平面α,α⊥β,則l∥β或lβ,A正確,故選A.]2.如圖,在四面體D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDEC[因?yàn)锳B=CB,且E是AC的中點(diǎn),所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi),所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.]3.在下列四個(gè)正方體中,能得出AB⊥CD的是()A.①B.①②C.②③D.④A[作出AB在CD所在平面的射影,當(dāng)射影垂直于CD時(shí),就有AB⊥CD,經(jīng)檢驗(yàn)知選A.]4.(2021·南寧模擬)在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,且PA=AB=2,則直線PB與平面PAC所成角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)A[連接BD,交AC于點(diǎn)O.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,所以BD⊥AC,BD⊥PA.又因?yàn)镻A∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,故BO⊥平面PAC.連接OP,則∠BPO即為直線PB與平面PAC所成角.又因?yàn)镻A=AB=2,所以PB=2eq\r(2),BO=eq\r(2).所以sin∠BPO=eq\f(BO,PB)=eq\f(1,2),所以∠BPO=eq\f(π,6).故選A.]5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CD的中點(diǎn),則()A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1 D.A1E⊥ACC[如圖,∵A1E在平面ABCD上的投影為AE,而AE不與AC,BD垂直,∴選項(xiàng)B,D錯(cuò)誤;∵A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C,且B1C⊥BC1,∴A1E⊥BC1,故選項(xiàng)C正確;(證明:由條件易知,BC1⊥B1C,BC1⊥CE,又CE∩B1C=C,∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1,∴A1E⊥BC1.)∵A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E,而D1E不與DC1垂直,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.故選C.]6.如圖所示,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.將△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD,則在三棱錐A-BCD中,下列結(jié)論正確的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABCD[∵在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,故CD⊥平面ABD,則CD⊥AB.又AD⊥AB,AD∩CD=D,AD平面ADC,CD平面ADC,故AB⊥平面ADC.又AB平面ABC,∴平面ADC⊥平面ABC.]二、填空題7.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,若該長(zhǎng)方體的體積為8eq\r(2),則直線AC1與平面BB1C1C所成的角為________.30°[連接BC1(圖略),由AB⊥平面BB1C1C知∠AC1B就是直線AC1與平面BB1C1C所成的角.由2×2×AA1=8eq\r(2)得AA1=2eq\r(2),∴BC1=eq\r(BC2+CC\o\al(2,1))=2eq\r(3),在Rt△AC1B中,tan∠AC1B=eq\f(AB,BC1)=eq\f(2,2\r(3))=eq\f(\r(3),3),∴∠AC1B=30°.]8.四面體P-ABC中,PA=PB=PC,底面△ABC為等腰直角三角形,AC=BC,O為AB中點(diǎn),請(qǐng)從以下平面中選出兩個(gè)相互垂直的平面________.(只填序號(hào))①平面PAB;②平面ABC;③平面PAC;④平面PBC;⑤平面POC.②⑤(答案不唯一)[∵四面體P-ABC中,PA=PB=PC,底面△ABC為等腰直角三角形,AC=BC,O為AB中點(diǎn),∴CO⊥AB,PO⊥AB,CO∩PO=O,∴AB⊥平面POC.∵AB平面ABC,∴平面POC⊥平面ABC,∴兩個(gè)相互垂直的平面為②⑤.]9.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,則點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離是________.eq\f(2,3)[如圖,△AB1D1中,AB1=AD1=eq\r(5),B1D1=eq\r(2),∴△AB1D1的邊B1D1上的高為eq\r(\r(5)2-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2))=eq\f(3\r(2),2),∴Seq\s\do6(△AB1D1)=eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(3\r(2),2)=eq\f(3,2),設(shè)A1到平面AB1D1的距離為h;則有Seq\s\do6(△AB1D1)×h=Seq\s\do6(△A1B1D1)×AA1,即eq\f(3,2)h=eq\f(1,2)×2,解得h=eq\f(2,3).]三、解答題10.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).證明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.[證明](1)在四棱錐P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD,∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD,PA∩AC=A,PA,AC平面PAC,∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中點(diǎn),∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,PC,CD平面PCD,∴AE⊥平面PCD,而PD平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,AB平面ABCD,∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD,且PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,而PD平面PAD,∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A,AB,AE平面ABE,∴PD⊥平面ABE.11.(2021·茂名一模)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),BC=AC,AB=2DC=2,AA1=eq\r(3).(1)求證:平面A1DC⊥平面ABB1A1;(2)求點(diǎn)A到平面A1DC的距離.[解](1)證明:∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),BC=AC,CD平面ABC,∴CD⊥AB,CD⊥AA1,∵AB∩AA1=A,∴CD⊥平面ABB1A1,∵CD平面A1DC,∴平面A1DC⊥平面ABB1A1.(2)由題意,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),BC=AC,AB=2DC=2,AA1=eq\r(3).設(shè)點(diǎn)A到平面A1DC的距離為d,∵Veq\s\do6(A1-ACD)=Veq\s\do6(A-A1CD),∴eq\f(1,3)×S△ACD×AA1=eq\f(1,3)×Seq\s\do6(△DCA1)×d,∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\r(3)=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×d,解得d=eq\f(\r(3),2),∴點(diǎn)A到平面A1DC的距離為eq\f(\r(3),2).1.(2021·武漢模擬)如圖所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在()A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.△ABC的內(nèi)部A[連接AC1(圖略),因?yàn)锳C⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,所以AC⊥平面ABC1,又AC平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,所以點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上,故選A.]2.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,母線PA,PB所成角的余弦值為eq\f(3,4),PA與圓錐底面所成角為60°,若△PAB的面積為eq\r(7),則該圓錐的體積為________.eq\f(2\r(6),3)π[作示意圖如圖所示,設(shè)底面半徑為r,PA與圓錐底面所成角為60°,則∠PAO=60°,則PO=eq\r(3)r,PA=PB=2r,又PA,PB所成角的余弦值為eq\f(3,4),則sin∠APB=eq\r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2))=eq\f(\r(7),4),則S△PAB=eq\f(1,2)PA·PB·sin∠APB=eq\f(1,2)·2r·2r·eq\f(\r(7),4)=eq\r(7),解得r=eq\r(2),故圓錐的體積為eq\f(1,3)·π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)))eq\s\up12(2)·eq\r(6)=eq\f(2\r(6),3)π.]3.(2021·鄭州模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面四邊形ABCD是菱形,點(diǎn)E在線段PC上,PA∥平面EBD.(1)證明:點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn);(2)已知PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,點(diǎn)P到平面EBD的距離為1,四棱錐P-ABCD的體積為2eq\r(3),求PA.[解](1)證明:連接AC,與BD相交于點(diǎn)O,連接EO,則經(jīng)過(guò)PA的平面PAC與平面EBD交線為EO.因?yàn)镻A∥平面EBD,所以PA∥EO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以O(shè)為AC的中點(diǎn),所以EO是△PAC的中位線,于是E為線段PC的中點(diǎn).(2)因?yàn)镻A∥平面EBD,所以點(diǎn)A到平面EBD的距離等于點(diǎn)P到平面EBD的距離等于1.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD,所以平面EBD⊥平面ABCD,平面EBD∩平面ABCD=BD.因?yàn)锳O⊥BD,所以AO⊥平面EBD,因此AO=1.因?yàn)椤螦BC=60°,所以四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,面積為2×2×sin60°=2eq\r(3),所以四棱錐P-ABCD的體積為VP-ABCD=eq\f(1,3)×2eq\r(3)×PA,由eq\f(1,3)×2eq\r(3)×PA=2eq\r(3),得PA=3.1.(2019·全國(guó)卷Ⅰ)已知∠ACB=90°,P為平面ABC外一點(diǎn),PC=2,點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為eq\r(3),那么P到平面ABC的距離為________.eq\r(2)[如圖,過(guò)點(diǎn)P作PO⊥平面ABC于O,則PO為P到平面ABC的距離.再過(guò)O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,連接PC,PE,PF,則PE⊥AC,PF⊥BC.又PE=PF=eq\r(3),所以O(shè)E=OF,所以CO為∠ACB的平分線,即∠ACO=45°.在Rt△PEC中,PC=2,PE=eq\r(3),所以CE=1,所以O(shè)E=1,所以PO=eq\r(PE2-OE2)=eq\r(\r(3)2-12)=eq\r(2).]2.(2021·浙江省諸暨中學(xué)月考)《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖,在陽(yáng)馬P-ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,過(guò)棱PC的中點(diǎn)E,作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F,連接DE,DF,BD,BE.(1)證明:PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑,若是,寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,說(shuō)明理由;(2)若平面DEF與平面ABCD所成二面角的大小為eq\f(π,3),求eq\f(DC,BC)的值.[解](1)證明:因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,由底面ABCD為長(zhǎng)方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.而DE平面PCD,所以BC⊥DE.又因?yàn)镻D=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.而PB平面PBC,所以PB⊥DE.又PB⊥EF,DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形,即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑,其四個(gè)面的直角分別為∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.(2)如圖,在平面PBC內(nèi),延長(zhǎng)BC與FE交于點(diǎn)G,則DG是平面DEF與平面ABCD的交線.由(1)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG.又因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以PD⊥DG.而PD∩PB=P,所以DG⊥

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