無(wú)窮級(jí)數(shù)總結(jié)與補(bǔ)充例題

第七章無(wú)窮級(jí)數(shù)一、基礎(chǔ)及其 uk存在，稱級(jí)數(shù)收斂nk級(jí)數(shù)的本質(zhì)：級(jí)數(shù)就是無(wú)限項(xiàng)求和(注意與數(shù)列區(qū)分)，記為unu1u2unm然在形式上是用加法依次連成，但在意義上與有限項(xiàng)求和形式unu1u2um律。unu1u2un無(wú)窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)。研考數(shù)學(xué)需要掌握的級(jí)數(shù)對(duì)象分為三類：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（，， 與發(fā)散兩組，若任意項(xiàng)級(jí)數(shù)un收斂，un發(fā)散，則稱un條件收斂，若un

n稱級(jí)數(shù)un

n絕對(duì)值后就是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)（如n

次，則會(huì)影響收斂性，如

(1)n1，

任何級(jí)數(shù)收斂的必要條件是limun 這是因?yàn)椴糠趾蚐nuklimSnukk k n uk uk ukSnSn1limuklimSnlimSn1SSk k k k k 若有兩個(gè)級(jí)數(shù)un和vnunsvn

①(unvn)s，unvns unvn發(fā)散，則(unvn ③若二者都發(fā)散，則(unvn)不確定，如 1發(fā)散，而110收斂 k k k n【例1】已知級(jí)數(shù)1n1n

a2n

求an 解：an=a2na2n1= ana2n1a2n1255 (a nlima存nn(anan1)a1a0a2a1a3a2an1an2anan1an(anan1)收斂limana0limana0lim ②正項(xiàng)（不變號(hào)）級(jí)數(shù)an收n

收斂lima0a1a2aa naa2和ab或收nnnnnn

nn 0ab1a2b2 n nna2和b2收nn

1a2b2收

abnnnn nnnn

n1 令bn n收,令a n n1 n1n二、正項(xiàng)（不變號(hào)）級(jí)數(shù)斂散性的判據(jù)與常用

un1l

l1,l1,發(fā)（實(shí)際上導(dǎo)致了lim （當(dāng)n為連乘時(shí)l1,

nln

1,發(fā)（當(dāng)n為某n次方時(shí)

l1, ①代數(shù)式unvnvn收斂un收斂，un發(fā)散vn

②極限式lim A，其中：un和vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)n A0unvn的高階無(wú)窮小unvnvn收斂un收斂，un發(fā)散vn A0unvn的同階無(wú)窮小unkvnun和vn Avu的高階無(wú)窮小vuu收斂v

v發(fā)散

n

n

un三個(gè)常用于比較判斂的參考級(jí)數(shù)na,收斂，r111np收斂，p發(fā)散，p對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)

1收斂1收斂，pn2nlnp 發(fā)散，p

例如，級(jí)數(shù)lnnlnn

nln

nlnn，故lnnnn! nee12n0n2】

lnnn(lnnn(0)an(a1)n!例如根據(jù)上面的規(guī)律可以快速判斷l(xiāng)imn

若fx0，在1,上單調(diào)遞減，則fn與反常積 fxdx同斂散lnan

ln 若ln 1anln

0an收斂

1an0an發(fā)散lnln例如aanlnx anlnxlnnlnxlnx1當(dāng)xe1時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂 ln ln

lnb

lnln

lnnlnlnnlnlnn1 ln n2 判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的一般思路：先看limu0n 凡是由達(dá)朗貝爾比值法給出的收斂性結(jié)論，由柯西根值法必可以給出相同的結(jié)論；反之 【例3】設(shè)a0，a單調(diào)遞減，1na發(fā)散，試證明： 收斂

an證明：因?yàn)閍n0，an單調(diào)遞減，則liman必存在，設(shè)limanA n由于1nn

nn1nn

又，limaAn

an單調(diào)遞減N0,使當(dāng)nN時(shí)，有anA 0 an1

A A1na1 2nsin

n1 【例4】若lim nan1，則級(jí)數(shù)an是否收斂2nsin

n a

2nsin na n為等價(jià)無(wú)窮小 2nsin 1

2nsin

1

sin

1 但n充分大時(shí)，由 1，則0

n2n2 , plnn 1 n1

2plnnplnn 2

3plnn2o nln1plnn n o

plnn

n

n

a1 ne np n n 顯p1p1 級(jí)數(shù)

解：根據(jù)達(dá)朗貝爾比值法，21n1

21lim

n

lim n極限不存在，無(wú)法判斷收 2 2n2根據(jù)柯西根值法， lim21n

1lim21n1n1,原級(jí)數(shù)收n 2n 【例7】R， 級(jí)數(shù)的斂散性

。ncos1kn

cosn絕對(duì)收n

cos 12k時(shí)

cosn

1發(fā)散

cosn

cos12k1

cosn

條件 ln

【例8】判別（1） n1n

和 1 n1

解：(1)ln

ln5n5limn

limlnn0lnn< n nnn

ln根據(jù)只有大收小發(fā)才可判斂的原則，無(wú)法判斷 n1n

5ln5limn4limlnn0lnn<n 9n1

根據(jù)大收小收，小發(fā)大發(fā)，limlnn n (2)對(duì)1 選比較基準(zhǔn)級(jí)數(shù) n1 1 nlim

n2 nn1 02 n n nnnnannnn

lnn

ln nnn

ln1

n1

n3 3n1nbx 1bxn2ndx0un2n

nx2n dxnx2n

xdx2

，也可選用基準(zhǔn)級(jí)數(shù)n101 01

n n1nc 1 c 1 1 on，選用基準(zhǔn)級(jí)數(shù)n，得原級(jí)數(shù)發(fā)散nn11nn

1n

【例9】判別級(jí)數(shù) )]的斂散 解方法一：試探比階法1ln(11 lim x1limxln(1x) 1x

(1n

nx x0kxk x0kxk2(1xk 2方法二：泰勒展開(kāi)u1ln(11)111

1

1 o

o

n2

n2

2n n211o1與1斂散性相 2 由比階法知故原級(jí)

n1

n n12n三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判據(jù)與常用技巧萊布尼茨判交錯(cuò)級(jí)數(shù)（任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的特例）①limu0②u (1)nu收斂 n n這是一個(gè)必要條件，如果①不滿足，則(1)nn

a 微分積分法。換成連續(xù)變量，再利用微積分相關(guān)定理與性質(zhì)。 k階無(wú)窮小試探法在不能估計(jì)出通項(xiàng)的無(wú)窮小階次使用該試探法，見(jiàn)【例9 an收斂，且bn單調(diào)，則anbn ai有界，且bn0，則anbn 【例10】設(shè)fx在0,上單調(diào)增加有界，求證：fn fxdx收斂 nn

fxdxfn

n1fn1ffnfn1n1n0fnn1fxdxfnfn1n

xdxfnSnfkfk1k

nf0又題fx在0,上單調(diào)增加有界，故limfn存在，則fnfn1收斂

由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較fnn1fxdx

[f

f( )]絕對(duì)收斂（2）limf(

n 2nn

112112n

f'(x)f(

)

1)

f

M(

2n

2n 由比較法知f(nf(n1 （2）證snf2if2i1f2f2n1limsn

f(為常數(shù)。故limf

1

n2 nn2

【例12】設(shè)0

n2解：n n比lnn增加快，故ln(1n)0，由萊布尼茨判據(jù)知n2n2又ln(1n2

n2n2n2n2n

1，故ln(1n)發(fā)散n2【例13 sinn22n2

n2n221nsin n21nsin

n2

n nn22n22n22n22 14】判別級(jí)數(shù)(an

11)a0n

1nuna1n1n1n1n1n1 a

a

a 1lna1ln11

1~ln 1

11

1n2 n2 4n n

1n 1nnlna2n

2n 1 1

1

1由于

2o

lna

4n n ee當(dāng)lna1a 原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)lna1a 原級(jí)數(shù)收斂ee

sinnn sinansinnsink有界,bnn單調(diào)趨于0，狄利克雷判斂法知 ksin又，sin

nsin2

n

ncos

sinn 2k2

nk

k

k

k

16】設(shè)f(x)x0的某一鄰域內(nèi)具有不為零的二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

f(x)0x nf(n證明（一limf(x)0f(0)limf(x)

f'(0)limf(x)f(0) xf(x)f(0)f'(0)x1f''()x21f''()x f(x在x=0某鄰域內(nèi)連續(xù)，則M0，在某一小鄰域內(nèi)f(x)1f()n

(

證明（二f(x)limf'(x)limf(x)1f 1xn n17】(3n2n)nn

(1)nu 解u [12n 命f(x)(1bx b

2

()]nnn 由萊布尼茨定理知(3n2n)n

n()] un2nn發(fā)，故un 18】[2n1)n]n 解：(1)nu形式中，命u [2(1) [1

)n 2顯然un但limun

(1)n 折項(xiàng)法un

[2n(1)n

，

1 n

，而lim 1， [2(1) 2 n 2n19limnun0(n1)(un1unun收設(shè)(n1)(un1un)部分和為snsn2(u2u1)3(u3u2)(n1)(un1un2u1u2un(n1)unu1sn(n1)unn時(shí)，limnun0lim(n1)un1 lims1 ，由級(jí)數(shù)收斂定義知un 2 n（1）an發(fā)（an>0）ann

(nN(a2n1a2n

anan

a2nlimn

l0則

和

anbn至少一個(gè)發(fā)，則(anbn ab收 a2 b2均n n若

an11annwnunvnwnvn收un（1）a11 n（2）a1nn

1n1n因?yàn)閍nanbn bnan

bn收斂

和

都收斂，與條

1 1n

1因?yàn)?unwnvnwnwnvn收斂unwn,vnwn都收斂ununwnwn收斂un21】設(shè)級(jí)數(shù)un收斂，下列必收斂的級(jí)數(shù)是（ n n（A）n

u（C）unu2n（A）unln

（D）unun1n取un ，則命題錯(cuò)誤nn取un ，則命題錯(cuò)誤n（D）unun1u1u2u2u3u3u4un1ununun1u12unu12S，收斂 22】設(shè)級(jí)數(shù)nan0，且nanan1收斂，則級(jí)數(shù)an（ （A）收 （B）發(fā)（C）不 （D）與an有k解：取Sknanan1Ska1a02a2a13a3a24a4a3kakak1a0a1a1ak1 k aS ka k Sk

aS k

aa 23】設(shè)函fx在,內(nèi)單調(diào)有界，xn為數(shù)列，下列命題正確的是（C

若xn收斂，則fxn收斂 B若fxn收斂，則xn收斂 D

若xn單調(diào)，則fxn收斂。若fxn單調(diào)，則xnfx在B正確

內(nèi)單調(diào)有界，如xn單調(diào)，則fxn單調(diào)有界，故fxn2）級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 結(jié)合性成立，交換性也成立解：1）如(1)n1

n (11)(11)(11)

0n n1nn (1-1+1)-(1-1+1)++

1nn

2）又如(1)n11slims n

(1)n1n 但交換位置后(111)(111 1) 2n 4n 4) )sn

2n 4n

2n 22n 1

1)1(1)n111s2k

2n

2 四、冪級(jí)數(shù)

a(xx 2如果級(jí)數(shù)anxx

x00,因?yàn)閤0=0n1n1

0顯然收斂

x

x0內(nèi)絕對(duì)收斂；如果級(jí)數(shù)axn當(dāng)x

x

1xx0x00外，該定理并沒(méi)1n推論：如果axnx0一點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，則必有一個(gè)確定的正數(shù)R存在，使得：n當(dāng)xR當(dāng)xRn當(dāng)xR與xR時(shí)，冪級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散 稱R為axn的收斂半徑n如果所給級(jí)數(shù)為

axana0xxxa點(diǎn)收斂，則相當(dāng)于

atn在tx 處為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，顯 atn的收斂半徑Rn

a0axana0xxxa點(diǎn)發(fā)散，則相當(dāng)于atn在txa 散，顯然atnRxa262728 已知

(x

x0

n，若

或 ；則根據(jù)比值判斂法有nn

xxxx1收斂xx1R

an+1n

1

an

R0只有一個(gè)收斂點(diǎn)x

收斂區(qū)間x0

x

Rxx0 間是非空點(diǎn)集，對(duì)a(xx)nxx處收斂，對(duì)axnx0 收斂域：由于級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的端點(diǎn)上（R上）x0 x0R、x0 x0R、x0 x0R或x0 x0R四種情況之一在收斂區(qū)域內(nèi)的性質(zhì)naxnfxn

f'(x)(anxn)

n

xf(x)dx

n(xaxdx)n

anxn

n0n關(guān)于x或xx0的冪級(jí)數(shù)，乘以或除以一個(gè)常數(shù)或關(guān)于x或xx0函數(shù)（保證指數(shù)0斂散性，故需要單獨(dú)驗(yàn)證端點(diǎn)的斂散性。例如求 n的收斂域

乘以

n

xn1

乘以

x

整體變

xn2

2

22 x

n1

n1 x

n1 的形式與un相同，而un的收斂區(qū)域?yàn)?，1，故 的收斂區(qū)域n12 n12x1，1x2，22 1 11n 再驗(yàn)證端點(diǎn)，x2 n 收斂；x2 n 所以，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，211unu1111(1)nu③eu③euu(,n0④sinu(1)n u(,(2n⑤cosu(1)n u(, ln2(1)nnun⑦(1u) ⑦(1u)

uuC un⑧⑧tanuu1u32u5 ⑨⑨arctanu(1)nu2n1u2nuu33nxn⑩x12xxnln(1，e1 n0n1ne11n11n1 n1構(gòu)造輔助冪級(jí)數(shù)法25】已知級(jí)數(shù)

xa x2收斂，試確定a nnxa n解： 的收斂半徑為：R n xa1收斂域?yàn)椋篴1xa 收斂，故左邊取等號(hào) 【例26】設(shè)冪級(jí)數(shù) xan在x2條件收斂，證明：冪級(jí)數(shù) xanx1

lnn

n0

n解：R1x0a 因?yàn)閘nn2xax12條件收斂，根據(jù)阿貝爾定理：絕對(duì)收斂區(qū)間2a13a1a的兩個(gè)邊界點(diǎn)為a1a3 2n0n

x31x 2 n0x24不在收斂域內(nèi)，故冪級(jí)數(shù)n0

n22xax2427】設(shè)冪級(jí)數(shù)

x1nx2時(shí)條件收斂，相當(dāng)于atn在t1nn 又由阿貝爾定理知：對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)

的收斂半徑為Rlim 1 n nx1的收斂半徑與ant

x112xx228】已知冪級(jí)數(shù)

nn

x

anx2nx0處收斂，相當(dāng)于

at在t2nnnnnn冪級(jí)數(shù)

anx

x4處發(fā)散，相當(dāng)于

at在t2nnnn由阿貝爾定理知：對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)atnR2，atnR1；收斂區(qū)域?yàn)?,2。nn要使

x2n收斂，則必須2x221x529】設(shè)冪級(jí)數(shù)

ax

x3時(shí)條件收斂，則

a

1

n 2n

ax1n對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)n

axn的收斂半徑為R3 312 lim11n e,而11n是單調(diào)增加的11n2 na 1n 2aen 2nen 2n 2n

n12n 而ane是相當(dāng)于冪級(jí)數(shù)anx1在x 1處的an ee ee

n

形式，又因?yàn)閤 11,3，故ae絕對(duì)收斂，因此a

ene

n12n

30】設(shè)冪級(jí)數(shù)

nnx1nx1處收斂，則1nnn

b0的收斂性如

nx1處收斂

由收斂的必要 anx an2收斂liman2 限脫帽法ao1a 2n

n nnn而

1級(jí)數(shù)1nannb絕對(duì)收

nxn

n2nxn拆分成n

n2

n1n1n

2n

和nx2x2nxn

1

x2n1

xn

n1n1n

x1n1

2 1x2。但由于原級(jí)數(shù)不是泰勒級(jí)數(shù)（出現(xiàn)了負(fù)冪項(xiàng)，故不存在收斂limlim

Rlim

n

3

n 例如：求

xn31n

n

2 x 2

lim3 lim314R

limn limn nn

n 例如：求 x2的收斂半徑1n6n1n6nn x21

3R1nn1n6n 1n【例31】設(shè)f0,f0存在，且f00,f00 級(jí)數(shù)fsin 的收斂性。 1n

解：利 諾余項(xiàng)麥克勞林形式把fx

1n 1n 1f f0

f0

osinnpp p 2 1n

1an=f0

np，bn=2f0

，cn=osinnp

p1,絕對(duì)收p0,條件收 p

絕對(duì)

；b n p 發(fā)n cnobnbncn

的收斂性與bn完全相同。故：p1原級(jí)數(shù)收斂，p1原級(jí)數(shù)絕對(duì)收232】試確定

3nn

x1n的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂區(qū)域。解：令an

3nnlimnnlimn 3nnlim2k 32klimnnlimn 3nnlim2k 32kn3x114x 3n2n

11當(dāng)x3

n

收斂nn nn 2 2 2當(dāng)x 當(dāng)x

3n2

1

13

13

n3

n~

發(fā)散故收斂區(qū)域?yàn)?

2

3 【例33】試確定ln1n的收斂區(qū)數(shù)”

unx

ln1n

x

x n1xln1n 1 lim lim

unx

nxln2n n n可見(jiàn)，盡管x1時(shí)原級(jí)數(shù)收斂，但本題x1,xR，x1這種情況并不存在， x1, xR情形下x的取值范圍對(duì)原級(jí)數(shù)收斂性的影響。x1,

x nln1

由比階法知，原級(jí)數(shù)發(fā)x1,

x

npln1n

1ln2

如取由比階法知，原級(jí)數(shù)原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閤1

34fxarctan1x展開(kāi)x的冪級(jí)數(shù)，并求2n1解1

fx 1nx1x 2 11

1xfxf0x1nx

dx 2n 0 n02n1 f0arctan fx x2n1, 10 n02n1 f1arctan22n

35fx

xx展開(kāi)為xxfxx2x2x2 ,xx3 14xR:x xx3 14xR: x又 xx 33

1x113n0 x 1x

n x1 R2:x fx1n3n1x1n收斂域minR,R2, x

1nnfxf1n

fxdxln3

x1n1,x2,0分后求導(dǎo)”時(shí)，則無(wú)需考慮常數(shù)項(xiàng)。比如，假設(shè)fxagx

agxdxgxcac說(shuō)明常數(shù)無(wú)法還 1xa將fxxarctanx 1展1x1x解：fxxarctanx 1g1x nx111gxarctanx 2 arctan111gxxgxdx1nxx2n1dx

2n0

02n

2n12n2fx1fx12n1 2n2 gxarctanxgx

n

1

，故fx的收斂區(qū)間為

1,1，當(dāng) gx后的級(jí)數(shù)均收斂，故fx的收斂域?yàn)?,1 (1)n136】將函fx

2在x1處展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，并求 x2x2 1 nfxx2x1x11x1

n1nnx1n11nn1x1n x0,2n3

f21n1211n12n21n12n 1n0

(1)n1 1nn

2n 2

2 2 1

3 2

37f(x n1解 2(1)1

arctan x fxx的冪級(jí)數(shù)，并求14n2arctanx

xarctanxdxxarctanx dx

(1)n2n01 0

(1)nx2ndx2n11x2(1)nx 2n1f(x) 2n xxx2n1 1

(1)nx2nx2

(1)nx2n21x2

(1)n1xn12n n12n n12n n22n1

(1)n1 (1)

2n

2n

1

12n1

2(1)nxn11 14n2 2[f(x) 令x1f1214n22f(11](x2x

[438】求

n(n 的收斂域及n(n1) 解：令uxx1S(un(n1)收斂區(qū)間(xlimun1x2x11x2x0x(1,0)n x0x1原級(jí)數(shù)n(n1)也收斂，故收斂域?yàn)閤[1而u0恒成立（x無(wú)關(guān)x1或0時(shí)u=1,故u(0,1un

u(

u unS(u)

n

n)'duu

( )'n 0 10

1u 00 duu0

udu

du

u0 u 1du1u

101

01 ln1u1ln1uuSxlnx2x

lnx2x1lnx2x

x2x[1

x2x

x2xlimln

x

x2xx2x

limlnx2xx2 2xlimlnx2

x2 limx2x x22

x0 2xx2x x2

limln

x

x2x

limlnx2xx2 2xlimlnx2

x2 limx2x x2

x1 2xx2x

S0S1n(n1)39】求(n1)(n2)xn (n1)(n2)xnn2xn3nxn2 (n2n)xn4nxn2 x2n(n1)xn24xnxn12 x214x12

1

(1)n1

n 收斂域[-1，1]，S(x) (1)2 2

n

n1(x2)nnn

nn

ln(1x 2 2n

n1 2xarctannn

2n

2

2nS(x)ln(1x2)2xarctan 2n 2x，n1 n 2n

2n2 （1） 化成二個(gè)級(jí)數(shù)1xn, 之2 n1 n n1 n11R 2R1RminR,R x1時(shí)，它們都收斂，故收斂域?yàn)?12

22（2）S'(x)(1

n

n1 1 1 xn12 2n令g(x)

nn

n1

2 ng'(x)

1S'(x) 11ln(12x)1x S(x)ln(1x)xln(12x) dex 42】將函數(shù)f(xdxx展開(kāi)x的冪級(jí)數(shù)，試求

解：e1x

ex1

xn

1 1∵lim(n1)!0R

n0(nex (n n2

x

2 n1(n2 ex

ex1

e

e n1(n

x 【例43】求 n

S(x)1

1xn1x

xndx x0n2n nx1x 1x1xxx2 0 x2

dxx

n1

令nn1x1x 11 1x

dx 2

dxxx0xn02

12

1[ln2ln(2 (xxS(x)在收斂域內(nèi)SS(0)limln2ln(2x) xx02 44】

2n1x2n2 x(2, S(x) x

2n12n2

x2n10

n dx

2 2n 1 21 2x2

1 2

2x2 (2x2)n1 n

x2 2n【例45】求(1)(2n1)! (,

n

(1)n

x2n1x2n1

2(2n

S(x) S'(x)(2nx xxn顯然S'S nS(x)cex12 2S(0)1c (ee)2n0 47】求(2n S(x)2nxnxn2xnxn1 n 12x

1x(1 x

n21x2nS(x)

n2xn

1x1xn02n n0n!2 n n xn n x n0

n02

n12 n

xx

xxe21

x(x2)en!

1x n0n!2

Sarctan Sarctan

arctan

1arctan 8arctan

11 S nSlim arctan1 n n【例50】求 n

n

xnln1x x1,xn1xxnxln1xS xn1 2n1

S11ln xfx【例51】設(shè)fx1n1xn gx

1

gx的冪級(jí) n1 n1n fxfx 1

x 1n1nx

1 1x 1x

xxfx

gx1

1

2xfxx

x n6afx20x1，求證：當(dāng)0x1時(shí)，有fxf1xlnxln1xn6n2 證明：fxxn0x1的收斂半徑R 1，故級(jí)數(shù)在0n2 n1

nf12n

6 n1 又，注意到ln(1u

ln(1u nnnnfxf1xln1xln x

1

1n1x

nn

nn

nn

0FxnlimClimfxf1xlnxln1xCf1 b求

n21x2n

n2

Nn21x

n!2x

n0 5x

N

x1

n2!n

2

2!2

n3

n!2x 5x

n

1x

22

2!2

n!

n!

n! x2N21xn2 n! 2 2

n1 x 1x N1xn1 2 2!1 1x

1xn!2

n!

n! x x N1x 1221n!2

oN2 x x N1x 1Sxlim2 21n!2oN2N x x 1x x2 1 1 2 4五、付立葉級(jí)數(shù)（僅數(shù)一f(x為在l,l上周期為2l的周期函數(shù)a1lf(x)cos l lf(x) 0(acos xbsin 其中 特別地，當(dāng)l

1 bnllf(x)sinla1f(x)cosf(x)a0(acosnxbsin 2f(x

1 f(x)2a0an anl0f(x) 2lf(x)f(x

a0ancos an

0f(x)cosf(x)bn

b 2

0f(x)ll

lf(x)bnsin bn

f(x)sin 如果非周fx只是定義在區(qū)間0,l或0,，兩種區(qū)間可以令tx相互轉(zhuǎn)l為了利用付里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，必須將fx拓展，其方式有兩種偶拓展令F(x)f 0xl，使F(x)成為l,l上的周期偶函數(shù)，展開(kāi)后f lx0xlfx奇拓展令F(x)f 0xl，使F(x)成為l,l上的周期奇函數(shù)，展開(kāi)f lx取0xlfx設(shè)函數(shù)fx在l, l上連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，并且至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則fx的付里葉級(jí)數(shù)收斂。并且： Sx0

cosnx

sin

fxfx0ffx

當(dāng)x為連續(xù) 2 2fl0fl ，當(dāng)xl52】將函fxx10x展開(kāi)成正弦級(jí)解：展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)需要對(duì)x奇拓展（展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)需要對(duì)x偶拓展F 0x

0x

fx x0

x

x0b2

fxsinnxdx

x1sin 22 2 2

x1

2sinx

2sin3x

,x0,

sin2

sin

【例53】將函數(shù)fx1x20x展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)，并求 的和解fx1x20x進(jìn)行偶拓

0xfx x0

0x 1 x

x a

fxdx

1x2dx

2 a fxcosnxdx

cos 1x2 x2coscos 0 x2dsinnx xsinnxdx xdcosnx4xcosnx| 41 bn

41na

n1

n 4fx1x20

cosnxbsinnx)

cos22

4

x01

23

4

0x 54】f(x) 1x

展開(kāi)為付氏級(jí)數(shù)，并求2nn 0x解：將f(x) 1x

2T2,l 1a f(x)dx1xdx 1 an1f(x)cosnxdx0xcosnxdx bn1f(x)sinnxdx0xsinnxdx

(1)n1 (1)n (1)n4 f(x) 4

2 nn

sin令x 04(2n n0(2n 設(shè)1

1111 1 111111 22 14 3 1 【例55】將fxsgncosx展開(kāi)成付里葉級(jí)數(shù)，并 sgnt

ttcosx0xkkfx

1f

0fx011 2 由狄利克雷收斂定fxsgncosx展的付里葉級(jí)x,上收斂于fxfx 2ancosnxbnsinnx2a02 2 ansgncosxcosnxdx2cosnxdxcosnxdxsin 4 sgncosxnsin2cosnx2k

cos2k1x,x,k

k 上式對(duì)x 仍然成立，因?yàn)閟gncosx以2為周期56】設(shè)fx周期2的周期函數(shù)，在1,1上定fx的付里葉級(jí)數(shù)在x0收斂

x2 1xfx 0x解：根據(jù)題狄利克雷定理：fx的付里葉級(jí)x0收斂于f00f00201 0x 【例57】將函數(shù)fx 展開(kāi)為周期為2的正弦函數(shù)，求S

5 22

x 2解：展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)需要把fx奇拓展Fxfx 0x

1x1/

1/2xFx

x

0x1/ 1/2xS5S25S1x1Fx的第一類間斷點(diǎn)，根據(jù)狄利克雷收斂 2 2 2 F10F1 F F 1 Sx S 2 58fxx3,x0,1，而Sx

其中a xdx,n1,2,3,，則S1S1 fxcos 3x3,1x解：由題Sxfx作偶延拓后的付里葉級(jí)數(shù)，即Fx 0x S1S1F1 F10F10 F10F10 1S1S1 S1S128 【例59】求fx xsinxsinsinx,0sinxsin

在

上的付里葉展fx

12sinxa0 cos2nx 12

sinxcos2nxdx 22

0 4n21、判斂；2.作為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的特例的交錯(cuò)級(jí)數(shù)還要掌握萊布尼茨判斂法還要掌握阿貝爾定理，三角函數(shù)的付里葉級(jí)數(shù)還要掌握狄利克雷定理

un1

1,發(fā)（實(shí)際上導(dǎo)致了n

（當(dāng)n為連乘時(shí)

l1,ll1,發(fā)（當(dāng)n為某n次方nln ①代數(shù)式unvnvn收斂un收斂，un發(fā)散vn

②極限式lim A，其中：un和vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)n A0unvn的高階無(wú)窮小unvnvn收斂un收斂，un發(fā)散vn A0unvn的同階無(wú)窮小unkvnun和vn Avnun的高階無(wú)窮小vnunun收斂vn收斂，vn發(fā)散un 判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的一般思路：先看limu0n主要技巧有3：對(duì)原級(jí)數(shù)通項(xiàng)放縮、利用同階無(wú)窮小及利 不一定（參見(jiàn)例1。 若fxx1為非負(fù)數(shù)遞減連續(xù)函數(shù)，則基數(shù)fn與積分 fxdx的兩散性相同nln 若nn0

ln

1成立 項(xiàng)級(jí)數(shù)an收斂，否則發(fā)散 收斂 p 收斂 p ln2 panp

x

發(fā)散 p

nlnn

發(fā)散 p

p11

1 1 nnaa1 a1a2n11 1 n ln1n 22xsinxx 2

n1如 xdxn1dx1；sin2xdxdx如 xdxn1dx1；sin2xdxdxsin2

n1n

1型不等式：