2021屆高三湖北十一校第一次聯(lián)考數(shù)學試題及答案

20/20鄂南高中黃岡中學黃石二中荊州中學龍泉中學武漢二中孝感高中襄陽四中襄陽五中宜昌一中夷陵中學2021屆高三湖北十一校第一次聯(lián)考數(shù)學試題命題學校：襄陽五中命題人：張華齊薛東洋審題人：袁進考試時間：2020年12月9日下午15：00—17：00試卷滿分：150分一、單選題（共本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設全集為，集合，，則（）A． B．C． D．2．已知（為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)為，則（）（）A． B． C． D．3．書籍，，，（其中為自然對數(shù)）則（）A． B． C． D．4．為了增強數(shù)學的應用性，強化學生的理解，某學校開展了一次戶外探究．當?shù)赜幸蛔?，高度為，同學們先在地面選擇一點，在該點處測得這座山在西偏北方向，且山頂處的仰角為；然后從處向正西方向走米后到達地面處，測得該山在西偏北方向，山頂處的仰角為．同學們建立了如圖模型，則山高為（）A．米 B．米 C．米 D．米5．設數(shù)列的前項和為，且是等差數(shù)列，若，則（）A． B． C． D．6．已知直線，，平面、，其中，在平面內(nèi)，下面四個命題：①若，則； ②若，則；③若，則； ④若，則．以上命題中，正確命題的序號是（）A．①② B．②④ C．①③ D．③④7．設，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．蹴鞠，又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴，蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務院批準列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．打印屬于快速成形技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層堆疊累積的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)（即“積層造型法”）．過去常在模具制造、工業(yè)設計等領域被用于制造模型，現(xiàn)正用于一些產(chǎn)品的直接制造，特別是一些高價值應用（比如髖關節(jié)、牙齒或一些飛機零部件等）．已知某鞠的表面上有四個點、、、，滿足任意兩點間的直線距離為，現(xiàn)在利用打印技術(shù)制作模型，該模型是由鞠的內(nèi)部挖去由組成的幾何體后剩余的部分，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量約為（）（參考數(shù)據(jù)：取，，，精確到）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題列出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分）9．我國技術(shù)研發(fā)試驗在2016-2018年進行，分為關鍵技術(shù)試驗、技術(shù)方案驗證和系統(tǒng)驗證三個階段實施．2020年初以來，技術(shù)在我國已經(jīng)進入高速發(fā)展的階段，手機的銷量也逐漸上升，某手機商城統(tǒng)計了近5個月來手機的實際銷量，如下表所示：月份2020年6月2020年7月2020年8月2020年9月2020年10月月份編號12345銷量/部5096a185227若與線相關，且求得線回歸方程為，則下列說法正確的是（）A． B．與正相關C．與的相關系數(shù)為負數(shù) D．12月份該手機商城的手機銷量約為部10．已知是橢圓的右焦點，為左焦點，為橢圓上的動點，且橢圓上至少有個不同的點，，，，…組成公差為的等差數(shù)列，則（）A．的面積最大時， B．的最大值為8C．的值可以為 D．橢圓上存在點，使11．在數(shù)學史上，為了三角計算的簡便并且更加追求計算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作為角的余矢，記作，則下列命題中正確的是（）A．函數(shù)在上是減函數(shù)B．若，則C．函數(shù)，則的最大值D．12．已知函數(shù)（為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（）A．若有個零點，則的范圍為B．時，是的極值點C．時，是零點，且D．時，恒成立三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．已知單位向量、的夾角為，與垂直，則_________．14．設函數(shù)，則滿足的的取值范圍是____________．（用區(qū)間表示）15．湖北省2021年的新高考按照“”的模式設置，“”為全國統(tǒng)一高考的語文、數(shù)學、外語門必考科目；“”由考生在物理、歷史門中選考門科目；“”由考生在思想政治、地理、化學、生物學門中選考門科目．則甲，乙兩名考生在門選考科目中恰有兩門科目相同的條件下，均選擇物理的概率為________．16．已知，分別為曲線的左、右焦點，的離心率，過的直線與雙曲線的右支交于、兩點（其中點在第一象限），設點、分別為、的內(nèi)心，則的范圍是_______．（用只含有的式子表示）四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10）已知在中，為鈍角，，．（1）求證：；（2）設，求邊上的高．18．（12分）已知等差數(shù)列與下項等比數(shù)列滿足，且，20，既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列和的通項公式；（Ⅱ）在（1），（2），（3）這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成求解．若_______________，求數(shù)列的前項和．注：如果選擇多個條件分別作答，按照第一個解答計分．

19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，點，分別在，，且，．設．（1）當異面直線與所成角的大小為，求的值．（2）當時，求二面角的大?。?0．（12分）新冠肺炎是2019年12月8日左右出現(xiàn)不明原因肺炎，在2020年2月11日確診為新型冠狀病毒肺炎．新型冠狀病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19）是由嚴重急性呼吸系統(tǒng)綜合征冠狀病毒2（severeacuterespiratorysyndromecoronavirus2，SARS-CoV-2）感染后引起的一種急性呼吸道傳染?。F(xiàn)已將該病納入《中華人民共和國傳染病防治法》規(guī)定的乙類傳染病，并采取甲類傳染病的預防、控制措施．2020年5月15日,習近平總書記主持召開中共中央政治局會議，討論國務院擬提請第十三屆全國人民代表大會第三次會議審議的《政府工作報告》稿．會議指出，今年下一階段，要毫不放松常態(tài)化疫情防控，著力做好經(jīng)濟社會發(fā)展各項工作．某企業(yè)積極響應政府號召，努力做好復工復產(chǎn)工作．準備投產(chǎn)一批特殊型號的產(chǎn)品,已知該種產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量的函數(shù)關系式為：．該種產(chǎn)品的市場前景無法確定，有三種可能出現(xiàn)的情況，各種情形發(fā)生的概率及產(chǎn)品價格與產(chǎn)量的函數(shù)關系式如下表所示：市場情形概率價格與產(chǎn)量函數(shù)關系式好中差設，，分別表示市場情形好、中、差時的利潤，隨機變量表示當產(chǎn)量為時而市場前景無法確定的利潤．

21．（12分）已知直線與拋物線相交于，兩點，滿足．定點，，是拋物線上一動點，設直線，與拋物線的另一個交點分別是，．（1）求拋物線的方程；（2）求證：當點在拋物線上變動時（只要點、存在且不重合），直線恒過一個定點；并求出這個定點的坐標．22．（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若是的兩個零點．證明：（?。?； （ⅱ）．2021屆高三湖北十一校第一次聯(lián)考數(shù)學答案1．B2．A3．B4．C5．C6．C7．A8．C9．AB10．ABC11．BD12．AC1．B由題意知：，，所以，所以2．A，則，．3．B因為，所以，，，所以．4．C設山的高度為，在中，，，在中，，，在中，，由余弦定理得，；即，化簡得；又，所以解得；即山的高度為（米）．5．C依題意，是等差數(shù)列，則數(shù)列為等差數(shù)列，則．故選：C．6．C對于①，若，由得到直線，所以；故①正確；對于②，若，直線在內(nèi)或者，則與的位置關系不確定；對于③，若，則，由面面垂直的性質(zhì)定理可得；故③正確；對于④，若，則與可能相交；故④錯誤；所以C選項是正確的．7．A由題意可知：，又，所以，可得；但，當，時，矛盾；故選A8．C正四面體外接球問題，所需要材料即為正四面體外接球體積與正四面體體積差。正四面體的棱長為，則正四面體的高為，外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為．所以打印的體積為：，又，所以，故選C9．AB由表中數(shù)據(jù)，計算得，所以，于是得，解得，故A正確；由回歸方程中的的系數(shù)為正可知，與正相關，且其相關系數(shù)，故B正確，C錯誤；12月份時，，部，故D錯誤．10．ABC由橢圓，當點為短軸頂點時，最大，的面積最大，此時，此時角為銳角，故A正確、D錯誤；橢圓上的動點，，即有，又橢圓上至少有個不同的點，，，，…組成公差為的等差數(shù)列，所以最大值8，B正確；設，，，…組成的等差數(shù)列為，公差，則，，又，所以，所以，所以的最大值是，故C正確。11．BD，在單調(diào)遞減，所以A錯誤；因為，則，即，所以B正確；對：，所以則的最大值4．，故D正確。12．AC若有個零解，即與有三個交點，若，則則在上單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)的值域為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在此區(qū)間內(nèi)的值域為故與有三個交點，則，故A正確若，則，，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，故在上單調(diào)遞減，故B錯誤若，則，此時僅有個零點，且，又，，則，故C正確若，則，當時，，故D錯誤13．由題意，又與垂直，所以，所以14．為奇函數(shù)且為增函數(shù)，即為；所以，所以15．分類：（1）物理（歷史）大類中有兩門相同的方法：，共48種；（2）物理和歷史兩大類間有兩門相同的方法：；所以在門選考科目恰有兩門科目共種；所以均選擇物理的概率為16．由曲線的性質(zhì)可得：、的內(nèi)心、在直線上，設的右頂點為，直線的傾斜角為，則，且，在中，，，則又，即，故17．（1）證明：，，又， 5分（2）解：由（1）知，即：，將代入上式并整理得：又因為為銳角，，所以解得，． 7分設上的高為，則，得，故邊上的高為． 10分18．（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題得，即解得，，所以，，； 6分（Ⅱ）（1），則故 12分（2），；，①，②由①-②，得，即 12分（3）則故 12分19．解：因為直三棱柱，所以平面，因為平面，所以，，又因為，所以建立分別以，，為，，軸的空間直角坐標系．（1）設，則，，各點的坐標為，，，．，． …2分因為，，又異面直線與所成角的大小為，所以．所以． …6分（2）因為，．，設平面的法向量為，則，且．即，且．令，則，．又，所以是平面的一個法向量．同理，是平面的一個法向量． 10分所以，所以平面平面，當時，二面角的大小為 12分20．解：（1）根據(jù)所給的表格中的數(shù)據(jù)和題意寫出 2分同理可得： 4分 6分（2）由期望定義可知 8分（3）可知是產(chǎn)量的函數(shù)，設則， 10分令，則．由題意及問題的實際意義可知，當時，取得最大值，即最大時的產(chǎn)量為10． 12分21．（1）將代入，得化簡得：所以，； …2分因此：又，所以；得，拋物線的方程 5分（2）證明：設、、坐標分別是，，，由、、共