數(shù)學模型第03章第五課件

數(shù)學模型第03章第五數(shù)學模型第03章第五3.1存貯模型3.2

森林救火3.3

傾倒的啤酒杯3.4

鉛球擲遠3.5不買貴的只買對的3.6血管分支3.7冰山運輸3.8

影院里的視角和仰角3.9

易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計第三章簡單優(yōu)化模型3.1存貯模型第三章3.1存貯模型問題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設備要付生產(chǎn)準備費，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費.該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出.已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準備費5000元，貯存費每日每件1元.試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費用最小.要求不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準備費、貯存費之間的關系.3.1存貯模型問題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)問題分析與思考

每天生產(chǎn)一次,每次100件,無貯存費,準備費5000元.日需求100件，準備費5000元，貯存費每日每件1元.

10天生產(chǎn)一次,每次1000件，貯存費900+800+…+100=4500元，準備費5000元，總計9500元.

50天生產(chǎn)一次,每次5000件,貯存費4900+4800+…+100=122500元，準備費5000元，總計127500元.平均每天費用950元平均每天費用2550元10天生產(chǎn)一次,平均每天費用最小嗎?每天費用5000元問題分析與思考每天生產(chǎn)一次,每次100件,無貯存費,準備

是一個優(yōu)化問題，關鍵在建立目標函數(shù).顯然不能用一個周期的總費用作為目標函數(shù).目標函數(shù)——每天總費用的平均值.

周期短，產(chǎn)量小

周期長，產(chǎn)量大問題分析與思考貯存費少，準備費多準備費少，貯存費多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費用(二者之和)最小.是一個優(yōu)化問題，關鍵在建立目標函數(shù).顯然不能用一個周期的總模型假設1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2.每次生產(chǎn)準備費為c1,每天每件產(chǎn)品貯存費為c2；3.T天(一周期)生產(chǎn)一次,每次生產(chǎn)Q件，當貯存量降為零時，Q件產(chǎn)品立即生產(chǎn)出來(生產(chǎn)時間不計)；建模目的r,c1,c2已知，求T,Q

使每天總費用的平均值最小.4.為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理.模型假設1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2.每次生?v/v~v的相對微小改變有趣的現(xiàn)象:只要啤酒杯是旋轉(zhuǎn)體(如圓臺或球臺),上述結果就成立！x↑→s1=x/2向上作用→s↑到達目的地后,每立方米冰可融化0.T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)現(xiàn)假設：允許缺貨,每天每件缺貨損失費c3,缺貨需補足.100≤≤2006下仰角γ~眼睛到屏幕下邊緣視線與水平線夾角.無差別曲線U(x,y)=u空杯越重,重心最低時的液面越高.男子鉛球早在1896年第1屆奧運會上就被列為比賽項目.模型建立0tq貯存量表示為時間的函數(shù)q(t)TQrt=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0.一周期總費用每天總費用平均值（目標函數(shù)）離散問題連續(xù)化一周期貯存費為A=QT/2?v/v~v的相對微小改變模型建立0tq貯存量表示模型求解求T使模型解釋定性分析敏感性分析參數(shù)c1,c2,r的微小變化對T,Q的影響T對c1的(相對)敏感度c1增加1%,T增加0.5%S(T,c2)=–1/2,S(T,r)=–1/2c2或r增加1%,T減少0.5%模型求解求T使模型解釋定性分析敏感性分析參數(shù)c1,c2,經(jīng)濟批量訂貨公式(EOQ公式)

用于訂貨供應情況:不允許缺貨的存貯模型模型應用T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)

回答原問題c1=5000,

c2=1，r=100

每天需求量r，每次訂貨費c1,每天每件貯存費c2,T天(周期)訂貨一次,每次訂貨Q件，當貯存量降到零時，Q件立即到貨.思考:為什么與前面計算的C=950元有差別?經(jīng)濟批量訂貨公式(EOQ公式)用于訂貨供應情況:不允許缺貨允許缺貨的存貯模型ABOqQrT1t當貯存量降到零時仍有需求r,出現(xiàn)缺貨，造成損失.原模型假設：貯存量降到零時Q件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨).現(xiàn)假設：允許缺貨,每天每件缺貨損失費c3,

缺貨需補足.T周期T,t=T1貯存量降到零一周期總費用一周期貯存費一周期缺貨費允許缺貨的存貯模型ABOqQrT1t當貯存量降到零時仍有需求每天總費用平均值（目標函數(shù)）一周期總費用求T,Q為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T′,Q記作Q′.允許缺貨的存貯模型每天總費用一周期總費用求T,Q為與不允許缺貨的存貯模型不允許缺貨模型記允許缺貨模型不允許缺貨不允許缺貨記允許缺貨模型不允許缺貨允許缺貨模型OqQrT1tT注意：缺貨需補足Q~每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量R

（或訂貨量）Q~不允許缺貨時的產(chǎn)量(或訂貨量)允許缺貨模型OqQrT1tT注意：缺貨需補足Q~每周期初存貯模型

存貯模型(EOQ公式)是研究批量生產(chǎn)計劃的重要理論基礎,也有實際應用.

建模中未考慮生產(chǎn)費用,為什么?在什么條件下可以不考慮?

建模中假設生產(chǎn)能力為無限大(生產(chǎn)時間不計),如果生產(chǎn)能力有限(是大于需求量的常數(shù)),應作怎樣的改動?存貯模型存貯模型(EOQ公式)是研究批量生產(chǎn)計劃的重3.2森林救火森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量.隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員少，森林損失大，救援費用小.綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量.分析問題記隊員人數(shù)x,失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,時刻t森林燒毀面積B(t).

損失費f1(x)是x的減函數(shù),由燒毀面積B(t2)決定.

救援費f2(x)是x的增函數(shù),由隊員人數(shù)和救火時間決定.存在恰當?shù)膞，使f1(x),f2(x)之和最小.3.2森林救火森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量.分析

關鍵是對B(t)作出合理的簡化假設.分析失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,畫出時刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形.t1t2OtBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論單位時間燒毀面積dB/dt(森林燒毀的速度).關鍵是對B(t)作出合理的簡化假設.分析失火時刻t=0,模型假設3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀單位面積損失費）1）0tt1,dB/dt

與t成正比，系數(shù)

(火勢蔓延速度).2）t1tt2,

降為–x

(為隊員的平均滅火速度).4）每個隊員的單位時間滅火費用c2,一次性費用c3.假設1）的解釋rB火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑r與t成正比.面積B與t2成正比dB/dt與t成正比模型假設3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀模型建立bOt1tt2假設1）目標函數(shù)——總費用假設3）4）假設2）模型建立bOt1tt2假設1）目標函數(shù)——總費用假設3）4）模型建立目標函數(shù)——總費用模型求解求x使C(x)最小其中c1,c2,c3,t1,,為已知參數(shù)模型建立目標函數(shù)——總費用模型求解求x使C(x)最小其中

c2x

c1,t1,

x

c3,x

c1~燒毀單位面積損失費,c2~每個隊員單位時間滅火費,c3~每個隊員一次性費用,t1~開始救火時刻,~火勢蔓延速度,~每個隊員平均滅火速度.為什么?結果解釋/

是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)bOt1t2tc2xc1,t1,xc3模型應用費用參數(shù)c1,c2,c3已知

,由森林類型、隊員能力等因素決定，可設置一系列數(shù)值備查.模型可決定隊員數(shù)量x開始救火時刻t1可估計

評注在風力的影響較大時“森林燒毀速度dB/dt

與t成正比”的假設需要重新考慮.隊員滅火速度應該與開始救火時的火勢有關.模型應用費用參數(shù)c1,c2,c3已知,由森林類型、隊不平坦處滿杯啤酒容易傾倒.杯子中央稍下一點的位置.重心有一個最低點~啤酒杯容易放穩(wěn)的位置.飲酒時重心先降低，再升高，回到中央.建立數(shù)學模型——描述啤酒杯的重心變化的規(guī)律，找出重心最低點的位置，討論決定最低點的因素.重心太高！滿杯時重心在哪里？空杯時重心在哪里？與滿杯時重心相同.倒酒時重心先升高，再降低，回到中央.3.3傾倒的啤酒杯不平坦處滿杯啤酒容易傾倒.杯子中央稍下一點的位置.重心有一個問題分析與模型假設s(x)1液面x0x最簡單的啤酒杯~高度為1的圓柱體.沿中軸線建立坐標軸x，倒酒時液面高度從x=0到x=1.假設：啤酒和杯子材料均勻.w2~空杯側壁質(zhì)量w3~空杯底面質(zhì)量空杯重心由w2和w3決定,與x無關.重心位置沿x軸變化，記作s(x).w1~啤酒(滿杯)質(zhì)量問題分析與模型假設s(x)1液面x0x最簡單的啤酒杯~

s1=x/2

s2=1/2液面高度x時啤酒質(zhì)量w1x,啤酒重心位置s1=x/2問題分析與模型假設s(x)1液面x0xw1~啤酒(滿杯)質(zhì)量w2~空杯側壁質(zhì)量,w3~空杯底面質(zhì)量空杯重心位置

s2=1/2忽略空杯底面質(zhì)量w3建立啤酒杯重心模型一啤酒杯重心s(x)由啤酒重心和空杯重心合成.s1=x/2s2=1/2液面高度x時啤酒質(zhì)量w1x,啤酒杯重心模型一

s1=x/2

s2=1/2s(x)1液面x0xs=s(x)~液面高度x的啤酒杯重心啤酒質(zhì)量w1x空杯質(zhì)量w2啤酒重心s1空杯重心s2力矩平衡s1=x/2s2=1/2a=w2/w1啤酒杯重心模型一s1=x/2s2=1/2s(x)1啤酒杯重心模型一啤酒杯重心s(x)只與質(zhì)量比a有關a=w2/w1w1~啤酒質(zhì)量w2~空杯質(zhì)量xsa=0.3,x=0.35左右s最小,即重心最低.對于每個a,s(x)有一最小點.x=0.35啤酒杯重心模型一啤酒杯重心s(x)只與質(zhì)量比a有關a=w啤酒杯重心模型一a=w2/w1微分法求解s極值問題xa液面高度為x時啤酒杯重心處于最低位置.x

由質(zhì)量比a決定啤酒杯重心模型一a=w2/w1微分法求解s極值問題xa液結果分析半升啤酒杯w1=500g空杯質(zhì)量w2取決于材料(紙杯、塑料杯、玻璃杯).一杯啤酒約剩1/3時重心最低，最不容易傾倒！設w2=150g(a=w2/w1)xaa=0.3x=0.3245w2↑→a↑→x↑空杯越重,重心最低時的液面越高.重心最低位置x由比值a決定結果分析半升啤酒杯w1=500g空杯質(zhì)量w2取決于材料(紙結果分析(a=w2/w1)=xs(x)x啤酒杯重心與液面高度重合時重心最低.意料之外?情理之中!直觀解釋x=0時s=s2=1/2x↑→s1=x/2向下作用→s↓x=sx↑→s1=x/2向上作用→s↑x=1時s=1/2結果分析(a=w2/w1)=xs(x)x啤酒杯重心與結果分析啤酒杯重心與液面高度重合時重心最低.數(shù)學分析ds/dx與(x-s)同號.x<s時ds/dx<0→s↓x>s時ds/dx>0→s↑x=s時ds/dx=0,s達到最小值.x↑

結果分析啤酒杯重心與液面高度重合時重心最低.數(shù)學分析ds/d啤酒杯重心模型二

s1=x/2

s2=1/2s(x)1液面x0xs3=0考慮空杯底面質(zhì)量w3底面厚度<<杯子高度力矩平衡底面重心

s3=0s1=x/2s2=1/2a=w2/w1b=w3/w1b=0時與模型一相同.啤酒杯重心模型二s1=x/2s2=1/2s(x)1啤酒杯重心模型二a=w2/w1

b=w3/w1=s(x)啤酒杯重心與液面高度重合時重心最低.與模型一a=0.3時x=0.3245比較設側壁和底面的厚度和材質(zhì)相同,側壁高度h,底面直徑d,h=2dw3/w2=d/4h=1/8x=0.3059b=w3/w1=(1/8)0.3=0.0375啤酒杯重心模型二a=w2/w1=s(x)啤酒杯重心與液小結與評注對于一個饒有生活情趣的現(xiàn)象建立數(shù)學模型：對杯子作適當?shù)暮喕僭O.用基本物理知識構造優(yōu)化模型.用導數(shù)、極限、作圖等方法給出求解結果.對結果作數(shù)學分析并給予實際解釋.小結與評注對于一個饒有生活情趣的現(xiàn)象建立數(shù)學模型：對杯子作適啤酒杯重心模型二啤酒杯重心與液面高度重合時重心最低.啤酒杯重心模型一既在意料之外又在情理之中的結果.函數(shù)s=s(x)的最小點x*是不動點，即x*=s(x*)有趣的現(xiàn)象:只要啤酒杯是旋轉(zhuǎn)體(如圓臺或球臺),上述結果就成立！旋轉(zhuǎn)體~側壁由任意曲線繞中軸線旋轉(zhuǎn)而成.小結與評注啤酒杯重心模型二啤酒杯重心與液面高度重合時重心最低.啤酒杯重

3.4鉛球擲遠鉛球擲遠起源于14世紀歐洲炮兵推擲炮彈的游戲和比賽.男子鉛球早在1896年第1屆奧運會上就被列為比賽項目.影響投擲距離的因素：找出最佳出手角度.定量分析投擲距離與這些因素的關系.研究這些因素的微小改變對投擲距離的影響.常識判斷初始速度出手角度出手高度3.4鉛球擲遠鉛球擲遠起源于14世紀歐洲炮兵推擲炮彈的問題分析x男子鉛球直徑11至13cm,重量為16磅(合7.26kg).在短暫的飛行中所受的阻力可以忽略.將鉛球視為一個質(zhì)點，以一定的初始速度和出手角度投出后，在重力作用下作斜拋運動.影響投擲距離的因素：初始速度v出手角度θ出手高度h問題分析x男子鉛球直徑11至13cm,在短暫的飛行中所受的阻重力vsyxOθ模型一不考慮鉛球出手高度θ~初始速度v與x軸的夾角g~重力加速度t=0時鉛球從坐標原點O投出.s~投擲距離斜拋運動的基本定律落地重力vsyxOθ模型一不考慮鉛球出手高度θ~初始速度v與模型一出手角度θ=π/4時最佳出手角度π/4與初始速度v無關.“物體以45度角拋出的距離最遠”對任何出手角度θ，投擲距離s與v2成正比.初始速度的提高能使投擲距離大幅度地增加.結果分析投擲距離

最大.模型一出手角度θ=π/4時最佳出手角度π/4與初始速度v無關hO

重力vsyxθ模型二鉛球出手高度為ht=0時鉛球從(0,h)投出h=0時與模型一

相同.h重力vsyxθ模型二鉛球出手高度為ht=0時鉛球從(0,模型二直接用求最佳出手角度計算太繁.最佳出手角度最遠投擲距離模型二直接用求最佳出手角度模型二最佳出手角度最遠投擲距離最佳出手角度θ<π/4θ↑,s↑大致上

s

∝v2s∝h1/2提高v對s的增加遠比提高h有效.v↑h↑θ↓,s↑模型二最佳出手角度最遠投擲距離最佳出手角度θ<π/4θ↑,v(m/s)89101112131415最佳角度(度)h=1.8m38.7639.8540.6941.3541.8742.2942.6342.92h=2.0m38.2239.3840.2840.9941.5642.0242.3942.70h=2.2m37.7038.9339.8940.6541.2641.7542.1642.49最遠距離(m)h=1.8m8.139.9011.814.0316.4018.9621.7324.69h=2.0m8.2910.0712.0414.2116.5719.1421.9124.88h=2.2m8.4510.2312.2114.3816.7519.3222.0925.06模型二的最佳出手角度及最遠投擲距離h≈身高+20cmv≈8~10m/s(普通人)v≈10~13m/s(運動員)最佳出手角度約400h=2.0mv=10m/s

v=12m/s模型二s=12.04ms=16.57m模型一s=10.20ms=14.69m模型二s比模型一約增2m.正是一個出手高度h.v(m/s)89101112131415最佳角度h=1.8敏感性分析v,θ,h的微小改變對s的影響模型一數(shù)值計算v提高5%=1.1025ss增加約10%θ變化5%450→42.750(47.250)s僅減少約0.3%敏感性分析v,θ,h的微小改變對s的影響模型一數(shù)值計算v模型一理論分析?v/v~v的相對微小改變?s/s~s的相對微小改變?v≈dv?s≈dsθ=42.750敏感性分析v,θ,h的微小改變對s的影響?θ/θ~θ的相對微小改變?θ≈dθv的微小改變對s的影響比θ大得多.

微分法模型一理論分析?v/v~v的相對微小改變?s/s~ss增加0.2m(1.5%)s提高2m以上(15%)

模型二數(shù)值計算v(m/s)89101112131415最佳角度(度)h=1.8m38.7639.8540.6941.3541.8742.2942.6342.92h=2.0m38.2239.3840.2840.9941.5642.0242.3942.70h=2.2m37.7038.9339.8940.6541.2641.7542.1642.49最遠距離(m)h=1.8m8.139.9011.814.0316.4018.9621.7324.69h=2.0m8.2910.0712.0414.2116.5719.1421.9124.88h=2.2m8.4510.2312.2114.3816.7519.3222.0925.06h增加0.2m(10%)

v提高1m/s(10%)θ減小0.50

θ增加0.50s增加0.2m(1.5%)s提高2m以上(15%)模型二數(shù)模型二理論分析v=12m/s，h=2.0mv的微小改變對s的影響比h大得多.

模型二理論分析v=12m/s，h=2.0mv的微小改變對s的敏感性分析是數(shù)學建模的重要環(huán)節(jié).對于模型y=f(x),x通常難以控制到設定的數(shù)值x0.微分法g(x0)越大,x改變dx/x引起y改變dy/y越大(x=x0附近).

研究x的微小改變對y的影響(x=x0附近).用物理定律建模,對影響投擲距離的主要因素(初始速度、出手角度和出手高度)作定性和定量研究.小結與評注敏感性分析是數(shù)學建模的重要環(huán)節(jié).對于模型y=f(x),x通3.5不買貴的只買對的“不買貴的，只買對的”！在琳瑯滿目的市場里選購商品.哪些商品、買多少才是“對的”？“消費者追求最大效用”——經(jīng)濟學的最優(yōu)化原理.用數(shù)學建模方法幫助決定商品的選擇——效用函數(shù).3.5不買貴的只買對的“不買貴的，只買對的”！在琳瑯滿效用函數(shù)U(x)~吃x片面包獲得的滿足程度(面包產(chǎn)生的效用).△U(x)=U(x)-U(x-1)~吃1片面包所產(chǎn)生效用的增量.x012345678910U(x)010202835404345464644△U(x)

10108753210

U(x)遞增,增長漸慢,曲線上凸.△U(x)≥0,遞減,曲線下降.定量描述吃下面包、緩解饑餓、滿足生理和心理需求程度的變化.012345678901020304050UxU(x)0123456789051015xDU△U(x)效用函數(shù)U(x)~吃x片面包獲得的滿足程度(面包產(chǎn)生的效

效用函數(shù)(utilityfunction)效用~人們在商品或服務消費中獲得的生理、心理上的滿足程度.效用函數(shù)U(x)~數(shù)量為x的某種商品產(chǎn)生的效用.dU(x)/dx~x增加1個單位U(x)的增量.邊際效用典型的效用函數(shù)U(x)>0,遞增漸慢dU(x)/dx>0,遞減dU(x)/dx效用函數(shù)(utilityfunction)效用~人“邊際效用遞減”~經(jīng)濟學中普遍、重要的法則.效用函數(shù)和邊際效用特性的數(shù)學表述：dU(x)/dx

效用函數(shù)

U(x)現(xiàn)實生活中的諸多表現(xiàn).效用遞增邊際效用遞減“邊際效用遞減”~經(jīng)濟學中普遍、重要的法則.效用函數(shù)和邊際無差別曲線U(x,y)~兩個變量x,y的效用函數(shù)x片面包和y根香腸的組合幾種組合的效用函數(shù)相等A1~1片面包加4根香腸A2~4片面包加1根半香腸A3~7片面包加1根香腸A1,A2,A3連成一條曲線U(x,y)=u1(u1常數(shù))無差別曲線~效用函數(shù)的幾何表示.等效用線無差別曲線U(x,y)~兩個變量x,y的效用函數(shù)x片無差別曲線B1(2片面包加5根香腸),B2,B3連成無差別曲線.效用函數(shù)

U(x,y)=u的幾何表示U(x,y)=u2(u2>u1)C1(1片面包加2根香腸),C2連成無差別曲線.U(x,y)=u3(u3<u1)OyU(x,y)=uxu增加效用函數(shù)值u增加無差別曲線上移無差別曲線B1(2片面包加5根香腸),B2,B3連成無差無差別曲線

U(x,y)=u典型的效用函數(shù)a=1,α=1/3,β=1/2效用遞增邊際效用遞減一元函數(shù)U(x)二元函數(shù)U(x,y)無差別曲線U(x,y)=u典型的效用函數(shù)a=1,α=1無差別曲線的特性下降幾何直觀下凸互不相交u增加U(x,y)=uOxy“下降”的數(shù)學解釋無差別曲線上效用函數(shù)U(x,y)=u不變隱函數(shù)U(x,y)=u求導公式y(tǒng)=y(x)<0x↑→y↓無差別曲線斜率為負無差別曲線的特性下降幾何直觀下凸互不相交u增加U(x,y)“下降”的經(jīng)濟學解釋(△x>0,△y<0）邊際效用?U/?x,?U/?y用△x替代△y后效用不變2種可以相互替代的商品x,y<0△x→dx

△y→dyP△x--△yu增加U(x,y)=u0xy無差別曲線的特性下降下凸互不相交“下降”的經(jīng)濟學解釋(△x>0,△y<0）邊際效用?U/?無差別曲線的特性P1△x1△y1P2△y2△x2u增加U(x,y)=uOxy“下凸”的經(jīng)濟學解釋△y2/△x2

(P2的替代率)<△y1/△x1

(P1的替代率)P1~x少,y多2種可以相互替代的商品x,yP2~x多,y少△x2=△x1(△y2)<(△y1)“物以稀為貴”曲線下凸（凸向原點）dy/dx

對x的導數(shù)為負“邊際替代率遞減”下降下凸互不相交無差別曲線的特性P1△x1△y1P2△y2△x2u增無差別曲線的特性“互不相交”的解釋下降下凸互不相交如果無差別曲線U(x,y)=u1與U(x,y)=u2

相交于P.則交點P的效用函數(shù)將取2個不同的數(shù)值u1,u2.不可能!u1≠u2

u增加U(x,y)=uOxyU=u1U=u2P無差別曲線的特性“互不相交”的解釋下降下凸互不相交如果無差別效用最大化模型

p1,p2~甲乙商品的單價x,y

~購買甲乙商品數(shù)量已知甲乙兩種可替代商品的效用函數(shù),用一定數(shù)額的錢購買多少甲、多少乙？問題由效用函數(shù)最大確定購買數(shù)量.U(x,y)~效用函數(shù)效用最大化原理s~準備付出的錢效用最大化模型效用最大化模型p1,p2~甲乙商品的單價x,y~購買模型求解——幾何分析U(x,y)=u~下降、下凸、互不相交的無差別曲線.AB必與一條無差別曲線l相切于Q點——消費點效用最大化模型

消費點Q(x,y)的U(x,y)最大AB與l1交點Q1,U(x1,y1)<U(x,y)QABs/p2s/p1·xyyU(x,y)=uxOu增加lQ1x1y1模型求解——幾何分析U(x,y)=u~下降、下凸、互不模型求解——二元函數(shù)條件極值效用最大化模型

效用函數(shù)最大邊際效用之比=價格之比拉格朗日乘子模型求解——二元函數(shù)條件極值效用最大化模型效用函數(shù)最大邊際QABs/p2s/p1·xyyU(x,y)=uxOu增加l效用最大化模型

幾何分析與條件極值結果的一致

無差別曲線

l~U(x,y)=u斜率AB與l相切于Q斜率相等QABs/p2s/p1·xyyU(x,y)=uxOu增加購買兩種商品費用之比等于參數(shù)α與β之比，與商品價格無關.α,β~兩種商品效用或消費者偏愛的度量.效用最大化模型

求解購買兩種商品費用之比等于參數(shù)α與β之比，與商品價格無關.α,效用最大化模型

推廣到n種商品

p1,p2,…,pn~n種商品單價各種商品單位金額的邊際效用相等時效用函數(shù)最大.s~準備付出的錢U(x1,x2,…,xn)

~效用函數(shù)x1,x2,…,xn~購買商品數(shù)量求解單位金額的邊際效用效用最大化模型推廣到n種商品p1,p2,…,pn~效用最大化模型的應用怎樣才能“不買貴的，只買對的”？草莓、芒果和桔子每千克價格為15元,10元和5元,準備花100元采購,怎樣分配這筆錢？p1,p2,p3~3種水果價格問題分析x1,x2,x3~購買數(shù)量效用最大化模型需確定3種水果的效用函數(shù)U(x1,x2,x3)或邊際效用.效用最大化模型的應用怎樣才能“不買貴的，只買對的”？草莓、確定效用函數(shù)U(x1,x2,x3)或邊際效用的辦法采用現(xiàn)成的效用函數(shù)表達式辦法一按照

α:β:γ分配100元60元買4kg草莓,10元買1斤kg芒果,30元買6kg桔子.3種水果的效用或偏愛α=6/10,β=1/10,γ=3/10怎樣才能“不買貴的，只買對的”？確定效用函數(shù)U(x1,x2,x3)或邊際效用的辦法采用現(xiàn)成給出每買1kg草莓,1kg芒果,1kg桔子效用函數(shù)的增加值(邊際效用).辦法二數(shù)量12345678草莓2421201816151310芒果1210986532桔1=15,p2=10,p3=5,p1:p2:p3=3:2:1計算3種水果單位金額的邊際效用怎樣才能“不買貴的，只買對的”？給出每買1kg草莓,1kg芒果,1kg桔子效用函數(shù)的增加值(數(shù)量12345678草莓8720/3616/3513/310/3芒果659/2435/23/21桔子151210976553種水果單位金額的邊際效用辦法二按照3種水果單位金額邊際效用從大到小的順序，每次增加1kg購買量，直到花完準備付出的100元.p1=15p2=10p3=5151210987720/36665+5+5+5+15+15+5+15+15+10+5=1004kg草莓,1kg芒果,6kg桔子.怎樣才能“不買貴的，只買對的”？數(shù)量12345678草莓8720/3616/3513/310對辦法一和辦法二的分析辦法一按照

α:β:γ分配s元購買量x1,x2,x3連續(xù)36元買2.4kg草莓,6元買0.6kg芒果,18元買3.6kg桔子.s=60,α=6/10,β=1/10,γ=3/10邊際效用在離散點x1,x2,x3=1,2,…得到.辦法二購買量離散s=60元不一定恰好花完.對辦法一和辦法二的分析辦法一按照α:β:γ分配s元購買量芒果比桔子貴，但芒果買的比桔子少.芒果(單位金額的邊際)效用比桔子小.

效用最大化的結果數(shù)量12345678草莓8720/3616/3513/310/3芒果659/2435/23/21桔子151210976553種水果單位金額的邊際效用p1=15p2=10p3=5100元買4kg草莓,1kg芒果,6kg桔子.“不買貴的，只買對的”！怎樣才能“不買貴的，只買對的”？芒果比桔子貴，但芒果買的比桔子少.芒果(單位金額的邊際)效用利用無差別曲線可以通過圖形直觀,定性地討論效用最大化原理以及實際應用中的問題.效用函數(shù)把對商品主觀、感性的偏愛提升為滿足生理、心理需求的效率,將效用轉(zhuǎn)化為經(jīng)濟行為.效用最大化原理一定程度上刻畫了消費的合理性.小結與評注對于效用是否是一個數(shù)值函數(shù)仍有爭論，一些人主張用“偏愛”代替“效用”，偏愛只有順序的先后，沒有數(shù)值大小的區(qū)分.利用無差別曲線可以通過圖形直觀,定性地討論效用最大化原理以3.6血管分支背景機體提供能量維持血液在血管中的流動.給血管壁以營養(yǎng).克服血液流動的阻力.消耗能量與取決于血管的幾何形狀.在長期進化中動物血管的幾何形狀已經(jīng)達到能量最小原則.研究在能量最小原則下，血管分支處粗細血管半徑比例和分岔角度.問題3.6血管分支背景機體提供能量維持血液在血管中模型假設一條粗血管和兩條細血管在分支點對稱地處于同一平面.血液流動近似于黏性流體在剛性管道中的運動.血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)表面積和體積的增加而增加，管壁厚度d近似與血管半徑r成正比.qq1q1ABB′CHLll1rr1q=2q1r/r1,?考察血管AC與CB,CB′模型假設一條粗血管和兩條細血管在分支點對稱地處于同一平面.血黏性流體在剛性管道中運動p~A,C壓力差，~黏性系數(shù)克服阻力消耗能量E1提供營養(yǎng)消耗能量E2管壁內(nèi)表面積2rl管壁體積(d2+2rd)l,管壁厚度d與r成正比模型假設qq1q1ABB′CHLll1rr1黏性流體在剛性管道中運動p~A,C壓力差，~黏性系數(shù)模型建立qq1q1ABB′CHLll1rr1克服阻力消耗能量提供營養(yǎng)消耗能量機體為血流提供能量模型建立qq1q1ABB′CHLll1rr1克服阻力消耗模型求解qq1q1ABB′CHLll1rr1模型求解qq1q1ABB′CHLll1rr1模型解釋生物學家：結果與觀察大致吻合大動脈半徑rmax,毛細血管半徑rmin大動脈到毛細血管有n次分叉觀察：狗的血管血管總條數(shù)推論n=？模型解釋生物學家：結果與觀察大致吻合大動脈半徑rmax,毛3.7冰山運輸背景

波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的成本為每立方米0.1英鎊.

專家建議從9600km遠的南極用拖船運送冰山，取代淡化海水.

從經(jīng)濟角度研究冰山運輸?shù)目尚行?建模準備1.日租金和最大運量船型小中大日租金（英鎊）

最大運量（m3）4.06.28.051051061073.7冰山運輸背景波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的成本2.燃料消耗（英鎊/km）3.融化速率（m/天）與南極距離(km)船速(km/h)01000>400013500.10.300.150.4500.20.6冰山體積(m3)船速(km/h)1051061071358.410.512.610.813.516.213.216.519.8建模準備2.燃料消耗（英鎊/km）3.融化速率（m/天）與南極距建模目的選擇船型和船速，使冰山到達目的地后每立方米水的費用最低，并與淡化海水的費用比較.模型假設

航行過程中船速不變，總距離9600km.

冰山呈球形，球面各點融化速率相同.到達目的地后,每立方米冰可融化0.85m3水.建模分析目的地水體積運輸過程融化規(guī)律總費用目的地冰體積初始冰山體積燃料消耗租金船型,船速船型船型,船速船型建模目的選擇船型和船速，使冰山到達目的地后每立方米水的費用最第t天融化速率模型建立1.冰山融化規(guī)律船速u(km/h)與南極距離d(km)融化速率r(m/天）r是u

的線性函數(shù)d<4000時u與d成正比d>4000時u與d無關航行t天,d=24ut01000>400013500.10.300.150.4500.20.6urd第t天融化速率模型建立1.冰山融化規(guī)律船速u(km/h1.冰山融化規(guī)律冰山初始半徑R0，航行t天時半徑冰山初始體積t天時體積總航行天數(shù)選定u,V0,航行t天時冰山體積到達目的地時冰山體積1.冰山融化規(guī)律冰山初始半徑R0，航行t天時半徑冰山初始2.燃料消耗1051061071358.410.512.610.813.516.213.216.519.8Vuq1燃料消耗q1(英鎊/km)q1對u線性,對lgV線性選定u,V0,航行第t天燃料消耗q(英鎊/天)燃料消耗總費用2.燃料消耗105106

V05105

106107f(V0)4.06.28.0

3.運送每立方米水費用冰山初始體積V0的日租金f(V0)（英鎊）航行天數(shù)總燃料消耗費用拖船租金費用冰山運輸總費用V05105106冰山到達目的地后得到的水體積3.運送每立方米水費用冰山運輸總費用運送每立方米水費用

到達目的地時冰山體積冰山到達目的地后得到的水體積3.運送每立方米水費用冰山運模型求解選擇船型和船速,使冰山到達目的地后每立方米水的費用最低求u,V0使Y(u,V0)最小u=4~5(km/h),V0=107(m3)，Y(u,V0)最小V0只能取離散值經(jīng)驗公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V0u5106取幾組（V0，u）用枚舉法計算模型求解選擇船型和船速,使冰山到達目的地后每立方米水的費用最結果分析由于未考慮影響航行的種種不利因素，冰山到達目的地后實際體積會顯著小于V(u,V0).有關部門認為，只有當計算出的Y(u,V0)顯著低于淡化海水的成本時，才考慮其可行性.大型拖船V0=107(m3),船速u=4~5(km/h),冰山到達目的地后每立方米水的費用Y(u,V0)約0.065(英鎊).雖然0.065英鎊略低于淡化海水的成本0.1英鎊，但是模型假設和構造非常簡化與粗糙.結果分析由于未考慮影響航行的種種不利因素，冰山到達目的地后實

模型來自實際問題的可行性研究.

收集數(shù)據(jù)是建模的重要準備工作.

根據(jù)數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗公式是建模的基礎.

冰山形狀的球形假設簡化了計算,這個假

設的合理性如何?如果改變它呢?小結與評注模型來自實際問題的可行性研究.收集數(shù)據(jù)是建模的重要準備工前排座位？后排座位？中間座位？前后排主要差別：視角和仰角視角~眼睛到屏幕上、下邊緣視線夾角.視角大畫面看起來飽滿.仰角~眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線夾角.仰角太大頭部過分上仰.總體上使觀眾視角盡可能大.影院設計對仰角加一定限制.3.8影院里的視角和仰角前排座位？后排座位？中間座位？前后排主要差別：視角和仰角視角chbdq地板線屏幕第n排第1排地面垂直于屏幕和地面的影院縱向剖面示意圖影響和的因素:簡化問題ch,q,c基本固定.排數(shù)n固定,d改變不大.b和可在一定范圍內(nèi)調(diào)整.hbdq影院設計某一排觀眾的視角和仰角眼睛至地板距離chbdq地板線屏幕第n排第1排地面垂直于屏幕和地面的簡化問題1.觀眾視角平均值盡量大,各排視角分散程度盡量小.2.各排座位仰角基本不超過300(允許1~2排例外).3.前排觀眾不遮擋后排觀眾的視線.h,d,q,c,n固定,確定b和,使全體觀眾滿意程度最高.chbdq地板線屏幕第n排第1排地面視角，仰角簡化問題1.觀眾視角平均值盡量大,各排視角分散程度盡量小問題分析座位號k(=1,2,…,n)↑觀眾視角平均值取1到n排視角的均值.視角分散程度用n個視角均方差度量.觀眾滿意程度定義為各排視角均值與均方差之比.——變異系數(shù)視角,仰角↓優(yōu)化問題的目標函數(shù)(越大越好)chbdq地板線屏幕第n排第1排地面b,~優(yōu)化問題的決策變量越大越好越小越好問題分析座位號k(=1,2,…,n)↑觀眾視角平均值取1問題分析仰角≤300，允許1~2排不滿足.優(yōu)化問題的約束條件k↑↓前排觀眾不遮擋后排的視線.條件：設眼睛到頭頂?shù)母叨萩1，使后排觀眾眼睛到屏幕下邊緣的視線在前排觀眾頭頂之上.只需最后一排滿足條件.只需檢查前3排的數(shù)值.cqc1后排眼睛前排頭頂視線問題分析仰角≤300，允許1~2排不滿足.優(yōu)化問題的約束條模型假設固定參數(shù)2m≤b≤3m決策變量c=1.1mh=2.5mbd=6mq=0.8m地板線屏幕第16排第1排地面c1=0.1m100≤≤200模型假設固定參數(shù)2m≤b≤3m決策變量c=1.1mh模型假設chbdq地板線屏幕第n排第1排地面下仰角γ~眼睛到屏幕下邊緣視線與水平線夾角.=-γ當下邊緣視線在水平線之下時γ取負值.上仰角~眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線夾角.

γ<0模型假設chbdq地板線屏幕第n排第1排地面下仰角γ水平線ckkhbd(k-1)qγk第k排模型建立確定b,使v(α)最大(h,d,q,c,n為常數(shù))第k排視角視角均值視角均方差目標函數(shù)水平線ckkhbd(k-1)qγk第k排模型建立確定b模型建立約束條件:

仰角約束條件:前排觀眾不遮擋后排的視線.γn>δcqγnc1δAB第n排眼睛第n-1排頭頂對最后一排：模型建立約束條件:仰角約束條件:前排觀眾不遮擋后排的視線模型分析b和的改變對目標函數(shù)的影響b↑

k,γk↑↑k,γk↓水平線ckkhbd(k-1)qγk第k排圖形直觀數(shù)學分析k↓k↑模型分析b和的改變對目標函數(shù)的影響b↑k,γk↑模型分析b和的改變對目標函數(shù)的影響b↑k↓↑k↑k↑m()↑數(shù)學分析b↓,↑k↑k↑s()↑k↑m()

↑↓?模型分析b和的改變對目標函數(shù)的影響b↑k↓↑約束條件:前排觀眾不遮擋后排的視線.約束條件:

仰角b↑k↑↑k↓k≤300容易滿足.模型分析b和的改變對約束條件的影響b↓,↑k↓b,↑條件容易滿足.約束條件:前排觀眾不遮擋后排的視線.約束條件:仰角b↑模型求解

設h=2.5m,

d=6m,q=0.8m,c=1.1m,c1=0.1m,n=16求b(2m≤b≤3m),(100≤≤200)使v()最大.滿足及γn>δ

().

微分法難以求解，轉(zhuǎn)向數(shù)值搜索法.模型求解設h=2.5m,d=6m,q=0.8m,c=1模型求解

b(m)1001101201301401501601701801902002.03.14523.14433.14233.13923.13513.13003.12373.11633.10773.09813.08722.13.17953.17893.17723.17453.17073.16583.15983.15263.14433.13483.12402.23.21543.21523.21393.21153.20813.20343.19773.19073.18263.17323.16262.33.25303.25323.25233.25033.24713.24283.23733.23063.22263.21343.20292.43.29243.29303.29253.29083.28803.28403.27873.27223.26453.25543.24512.53.33363.33473.33463.33323.33073.32703.32203.31583.30823.29943.28912.63.37673.37823.37853.37753.37543.37203.36733.36133.35393.34523.33512.73.42173.42363.42433.42383.42203.41893.41453.40873.40163.39313.38312.83.46863.47103.47223.47203.47063.46793.46383.45833.45133.44303.43312.93.51763.52043.52213.52243.52133.51893.51513.50993.50323.49503.48533.03.56863.57203.57413.57483.57423.57213.56863.56373.55723.54923.5396最大值位于b=3.0m.取b,

離散值計算目標函數(shù)v(α)b↑v(α)↑3.5748↑v(α)↑↓最大值在=130達到.3.0130模型求解10011012013014015模型求解

計算b=3.0m,=130的仰角kk12345678k36.253831.794727.939024.600521.700519.170116.951214.9951k910111213141516k13.261511.717310.33509.09167.96846.94946.02145.1730除1,2外k≤300=-2.7685=-6.0433b=3.0m,=130確是整個模型的最優(yōu)解.

γn>δ模型求解計算b=3.0m,=130的仰角kk1234模型求解

計算最優(yōu)解b=3.0m,=130的視角kk12345678k18.682617.637116.552115.497514.506713.592712.757911.9990k910111213141516k11.310310.685510.11789.60129.13018.69938.30447.9415均值m(α)=12.3135均方差s(α)=3.4445隨著k的增加,k下降很快,k變化不大.kkk觀眾不妨選擇仰角下降變緩的第10排左右.模型求解計算最優(yōu)解b=3.0m,=130的視角kk1結果分析最優(yōu)解b=3.0m,=130的敏感性分析b=3.0m處,△b=0.1m時△v≈0.052.93.51763.52043.52213.52243.52133.51893.51513.50993.50323.49503.48533.03.56863.57203.57413.57483.57423.57213.56863.56373.55723.54923.5396

b(m)100110120130140150160170180190200=130處,△=10

時△v=0.00073.5748△/=1%,△v/v<0.003%△b/b=1%,

△v/v<0.5%b對目標函數(shù)的影響比的影響大上百倍.結果分析最優(yōu)解b=3.0m,=130的敏感性分析b=3.小結與評注影院屏幕和座位設計中的簡化問題：視角α均值和均方差為決策目標,高度b和夾角為決策變量,仰角和視線遮擋限制為約束條件,建立優(yōu)化模型.模型定量結果與定性分析的相互印證,決策變量的敏感性分析,以及對各排座位仰角和視角的討論,豐富了建模的成果,拓廣了模型的應用.定性分析決策變量的變化對目標函數(shù)和約束條件的影響,結論與直觀和常識相符合,是模型檢驗一部分.小結與評注影院屏幕和座位設計中的簡化問題：視角α均值和均方差2.5易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計全國大學生數(shù)學建模競賽2006年C題以發(fā)表在《工程數(shù)學學報》2006年增刊上學生優(yōu)秀論文和評述文章為基本材料,介紹建模過程.2.5易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計全國大學生數(shù)學建模競賽賽題原文

我們只要稍加留意就會發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料(例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等)的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。看來，這并非偶然，這應該是某種意義下的最優(yōu)設計。當然，對于單個的易拉罐來說，這種最優(yōu)設計可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了。

現(xiàn)在就請你們小組來研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設計問題。具體說，請你們完成以下的任務：賽題原文我們只要稍加留意就會發(fā)現(xiàn)銷量很大的賽題原文1.取一個飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測量你們認為驗證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度、厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測量得到的，那么你們必須注明出處。2.設易拉罐是一個正圓柱體,什么是它的最優(yōu)設計？其結果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。賽題原文賽題原文1.取一個飲料量為355毫升的易拉罐，例如355賽題原文3.設易拉罐的中心縱斷面如圖所示,上面部分是一個正圓臺,下面部分是一個正圓柱體.什么是它的最優(yōu)設計？其結果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。4.利用你們對所測量的易拉罐的洞察和想象力,做出你們自己的關于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計.5.用你們做本題及以前學習和實踐數(shù)學建模的親身體驗,寫一篇短文(不超過1000字,你們的論文中必須包括這篇短文),闡述什么是數(shù)學建模,它的關鍵步驟及難點.賽題原文3.設易拉罐的中心縱斷面如圖所示,上面部分是一個問題分析導數(shù)應用中的極值問題設計一個容積固定、有蓋的圓柱形容器,若側壁及底、蓋厚度都相同,問容器高度與底面半徑之比為多少,所耗材料最少？側壁及底、蓋厚度相同r~底面半徑.h~高度.

S~表面積.V~容積V固定,求r，h滿足什么關系使S最小.所耗材料用總面積表示問題分析導數(shù)應用中的極值問題設計一個容積固定、有蓋的圓柱形容問題分析導數(shù)應用的極值問題容器高度與底面直徑相等時所耗材料最少.r~底面半徑.h~高度.S~表面積.V~容積.微分法求解問題分析導數(shù)應用的極值問題容器高度與底面直徑相等時所耗材料最問題分析容器高度與底面直徑相等時所耗材料最少.通常易拉罐的高度比底面直徑大得多.如果只考慮節(jié)省材料罐底、蓋厚度比側壁大題目要求測量數(shù)據(jù)正圓柱體利用簡單幾何知識建模.圓柱體上面有一個小圓臺.小圓臺改為小球臺.增加高度、減少底面直徑得到底、蓋、側壁的厚度問題分析容器高度與底面直徑相等時所耗材料最少.通常易拉罐的高數(shù)據(jù)測量易拉罐各項尺寸(mm)5只罐子的平均值罐高

圓柱高圓臺高圓柱直徑頂蓋直徑罐壁厚頂蓋厚罐底厚罐內(nèi)容積120.6110.510.166.160.10.1030.3060.300364.8cm3從罐的外部進行測量頂蓋與圓柱直徑相差10%圓臺高不到圓柱高的10%罐底、蓋的厚度約為罐壁的3倍圓臺近似作圓柱處理誤差很小.優(yōu)化設計與普通的極值問題有別.罐高約為圓柱直徑的2倍，與日常所見相符.數(shù)據(jù)測量易拉罐各項尺寸(mm)5只罐子的平均值罐高圓柱高圓圓柱模型小圓臺近似于圓柱，直徑相同r~圓柱半徑.h~圓柱高度.b~側壁厚度.kb~罐底厚度.k1b~罐蓋厚度.所耗材料的體積=側壁、底、蓋面積×厚度SV1~材料體積.V1~罐的容積b,k,k1已知V1固定,求r,h滿足什么關系使SV1最小.注

b<<r,h，模型中略去b的二次、三次項.圓柱模型小圓臺近似于圓柱，直徑相同r~圓柱半徑.h~圓柱圓柱模型極值問題微分法求解測量數(shù)據(jù)——底、蓋厚度約為罐壁的3倍.與測量數(shù)據(jù)和日常所見不符.厚度測量存在較大誤差.實際加工制作存在節(jié)省材料之外的其他原因.h=6r，圓柱高度為直徑的3倍.圓柱模型極值問題微分法求解測量數(shù)據(jù)——底、蓋厚度約為罐壁的3圓臺模型b~側壁厚度.kb~罐底厚度.k1b~罐蓋厚度.

SV2~材料體積.V2~罐的容積.頂部小圓臺下面與圓柱相接b,k,k1已知V2固定,求r,h,r1,h1滿足什么關系使SV2最小.hh12r2r1圓臺模型b~側壁厚度.kb~罐底厚度.k1b~罐蓋圓臺模型V2固定,求r,h,r1,h1滿足什么關系使SV2最小.約束極小問題的數(shù)值解b,k,k1,V0已知LINGO軟件編程計算r=31.43，h=108.34,

r1=0,h1=28.10(mm)圓臺退化為圓錐.圓臺模型V2固定,求r,h,r1,h1滿足什么關系使為節(jié)省材料需盡量減少罐蓋面積.圓臺模型圓臺退化為圓錐.假定圓臺側壁厚度=b,罐蓋厚度k1b=3b.結果分析hh12r2r1罐蓋要安裝拉環(huán)及工藝、美觀等因素.r=31.62,h=104.52,

r1=20,h1=17.29(mm)r1=0改進半徑r1應有下限（設r120）求解為節(jié)省材料需盡量減少罐蓋面積.圓臺模型圓臺退化為圓錐.假定圓球臺模型頂部小圓臺改為球臺hh12r2r1b~側壁厚度.kb~罐底厚度.k1b~罐蓋厚度.

SV3~材料體積.V3~罐的容積.V2固定,求r,h,r1,h1滿足什么關系使SV2最小.對半徑r1加以限制,求數(shù)值解.球臺模型頂部小圓臺