復(fù)變函數(shù)與積分變換-chapter-1-PPT幻燈片

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復(fù)變函數(shù)（Chapter1–Chapter5）

教材：《復(fù)變函數(shù)》

(第四版)

西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室積分變換（Chapter1–Chapter2）

教材：《積分變換》

(第四版)

東南大學(xué)高等數(shù)學(xué)系共計(jì)54學(xué)時(shí)復(fù)變函數(shù)與積分變換主要內(nèi)容2對象復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）主要任務(wù)研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)簡介復(fù)變函數(shù)與積分變換3第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換二、復(fù)數(shù)及代數(shù)運(yùn)算四、復(fù)數(shù)的乘冪與方根一、復(fù)變函數(shù)的起源及應(yīng)用三、復(fù)數(shù)的幾何表示五、區(qū)域六、復(fù)變函數(shù)七、復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性6第一節(jié)、復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算復(fù)變函數(shù)與積分變換1.復(fù)數(shù)的概念

一般,任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。定義對任意兩實(shí)數(shù)x、y,稱z=x+iy或z=x+yi為復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)z的實(shí)部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)

復(fù)數(shù)的模

判斷復(fù)數(shù)相等72.復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算二、復(fù)數(shù)及代數(shù)運(yùn)算復(fù)變函數(shù)與積分變換定義z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1)請證明

z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)證明：

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=x1(x2+iy2)+iy1(x2+iy2)

=x1x2+ix1y2+ix2y1-y1y2

=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1)82.復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算二、復(fù)數(shù)及代數(shù)運(yùn)算復(fù)變函數(shù)與積分變換定義z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的商為：z1+z2=z2+z1；

z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；

z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。（與實(shí)數(shù)相同）即，3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律9三、共軛復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)與積分變換定義若z=x+iy,稱z=x-iy為z的共軛復(fù)數(shù).共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)根據(jù)(3)，計(jì)算時(shí)，把分子與分母同乘以，可得到所求的商。10復(fù)變函數(shù)與積分變換例題11例2：復(fù)變函數(shù)與積分變換例題解：12復(fù)變函數(shù)與積分變換例題例3設(shè)z1,z2是兩個(gè)復(fù)數(shù),證明證明因?yàn)?3復(fù)變函數(shù)與積分變換練習(xí)2.求，，，，解：1.2.14復(fù)變函數(shù)與積分變換第二節(jié)復(fù)數(shù)的幾何表示

點(diǎn)的表示

向量表示法

三角表示法

指數(shù)表示法復(fù)球面151.點(diǎn)的表示復(fù)變函數(shù)與積分變換點(diǎn)的表示：數(shù)z與點(diǎn)z同義.162.向量表示法oxyP(x,y)xy

稱向量的長度為復(fù)數(shù)z=x+iy的模或絕對值；以正實(shí)軸為始邊,以向量為終邊的角的弧度數(shù)稱為復(fù)數(shù)z=x+iy的輻角.（z≠0時(shí)）復(fù)變函數(shù)與積分變換17復(fù)變函數(shù)與積分變換輻角無窮多：把其中滿足的稱為輻角Argz的主值，記作計(jì)算argz(z≠0)的公式18復(fù)變函數(shù)與積分變換當(dāng)z落于一,四象限時(shí)，

不變當(dāng)z落于第二象限時(shí)，

加當(dāng)z落于第三象限時(shí)，

減說明19復(fù)變函數(shù)與積分變換θ3.向量三角、指數(shù)表示利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系再利用Euler公式

復(fù)數(shù)z=x+yi可表示為

稱為復(fù)數(shù)z的三角表示式.復(fù)數(shù)z=x+yi又可表示為稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式,其中r=|z|,q=Argz.20共軛復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)一對共軛復(fù)數(shù)z和在復(fù)平面的位置是關(guān)于實(shí)軸對稱的.復(fù)變函數(shù)與積分變換當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),復(fù)數(shù)和與差的模的性質(zhì)21例題復(fù)變函數(shù)與積分變換例1.將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式解

1），由于z在第三象限，所以

三角表示形式指數(shù)表示形式22解

2）三角表示形式指數(shù)表示形式復(fù)變函數(shù)與積分變換23例2.設(shè)、為任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，證明：證明：1)復(fù)變函數(shù)與積分變換24復(fù)變函數(shù)與積分變換證明：2)因?yàn)樗运?5oxyLz1z2z例3.通過兩點(diǎn)與的直線用復(fù)數(shù)形式的方程來表示。其中解：因?yàn)橥ㄟ^兩點(diǎn)（x1，y1）與（x1，y2）的直線可以用參數(shù)方程表示為所以它的復(fù)數(shù)形式參數(shù)方程為由到直線段的參數(shù)方程為當(dāng)時(shí)，為線段的中點(diǎn)，表示為復(fù)變函數(shù)與積分變換26復(fù)變函數(shù)與積分變換例4.求下列方程所表示的曲線1）2）3）xyO-i2解：1）如右圖所示，以-i為中心，半徑為2的圓。y=-x

2i

2y=-32）y=-x

3）設(shè)，則有，所以

因此y=-327復(fù)變函數(shù)與積分變換練習(xí)題1.用代數(shù)的方法求例4中的（1）和（2）。2.P31，第1題和第2題28作業(yè)P31，第4題（1）、（3）、（6）

第8題（2）、（4）、（6）29復(fù)變函數(shù)與積分變換4復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)

復(fù)數(shù)可以用平面上的點(diǎn)表示，這是復(fù)數(shù)的幾何表示法的一種，另外還可以用球面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù).

取一個(gè)與復(fù)平面切于原點(diǎn)z=0的球面.球面上的一點(diǎn)S與原點(diǎn)重合，通過S作垂直于復(fù)平面的直線與球面相交于另一點(diǎn)N.稱N為北極，S為南極。(如圖).30

球面上的點(diǎn),除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系.我們用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).

球面上的北極N不能對應(yīng)復(fù)平面上的定點(diǎn),當(dāng)球面上的點(diǎn)離北極

N

越近,它所表示的復(fù)數(shù)的模越大.球面上的N就是復(fù)數(shù)無窮大的表示，因此球面上的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)與它對應(yīng)，這樣的球面稱為復(fù)球面復(fù)變函數(shù)與積分變換31復(fù)變函數(shù)與積分變換

對于復(fù)數(shù)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)而言,它的實(shí)部、虛部,輻角等概念均無意義,規(guī)定它的模為正無窮大.(1)加法(2)減法(3)乘法(4)除法32第三節(jié)、復(fù)數(shù)的乘冪與方根復(fù)變函數(shù)與積分變換

復(fù)數(shù)的乘積與商復(fù)數(shù)的乘冪復(fù)數(shù)的方根33復(fù)變函數(shù)與積分變換1.復(fù)數(shù)的乘積定理1兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。設(shè)z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2則z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)于是|z1z2|=|r1||r2|，Arg(z1z2)=Argz1+Argz234復(fù)變函數(shù)與積分變換1.復(fù)數(shù)的乘積幾何意義Z1z2表示將復(fù)數(shù)z1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。oxyz1z2z2當(dāng)|z2|=1，乘法變成只是旋轉(zhuǎn)。例如iz相當(dāng)于將z逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，-z相當(dāng)于逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°。當(dāng)Argz2=0時(shí)，乘法變成了僅僅是伸長（縮短）35復(fù)變函數(shù)與積分變換1.復(fù)數(shù)的乘積要使上式成立,必須且只需k=m+n+1.36復(fù)變函數(shù)與積分變換2.復(fù)數(shù)的商定理2兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差。定義

z=z2/z1，（z1≠0），即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2|z2/z1|=|z2|/||z1|，Arg

(z2/z1)

=Argz2-Argz1用指數(shù)形式表示：37復(fù)變函數(shù)與積分變換2.復(fù)數(shù)的商例2、已知正三角型的兩個(gè)頂點(diǎn)為z1=1，z2=2+i，求它的另一個(gè)頂點(diǎn)。z2=2+iz1=1z3z3’解：如右圖所示，將z2-z1的向量繞z1旋轉(zhuǎn)（或）就得到另一向量，其終點(diǎn)即為所求的頂點(diǎn)z3（或z3’），復(fù)數(shù)的模為1，轉(zhuǎn)角為，由復(fù)數(shù)的乘法，有38復(fù)變函數(shù)與積分變換類似可得39復(fù)變函數(shù)與積分變換3.復(fù)數(shù)的冪利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：如果特別地,如果那么那么因?yàn)閦1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]40如果寫成指數(shù)形式，即如果那么特別地，當(dāng)|z|=r=1時(shí),變?yōu)閺?fù)變函數(shù)與積分變換3.復(fù)數(shù)的冪如果z1=z2=…=zn,即稱為棣莫弗（DeMovie公式）.41復(fù)變函數(shù)與積分變換4.復(fù)數(shù)的方根方根,記做或如果于是,當(dāng)時(shí),對給定的復(fù)數(shù)z,方程wn=z的解w稱為z的n次42復(fù)變函數(shù)與積分變換4.復(fù)數(shù)的方根滿足以上三式的充分必要條件是其中表示算術(shù)根.于是

當(dāng)取k=0,1,2,···,n-1時(shí),可得n個(gè)相異根如下43由三角函數(shù)的周期性復(fù)變函數(shù)與積分變換44復(fù)變函數(shù)與積分變換當(dāng)k=0，1，…，n-1時(shí)，可得n個(gè)不同的根，而k取其它整數(shù)時(shí)，這些根又會重復(fù)出現(xiàn)，如k=n時(shí)幾何意義：的n個(gè)值是以原點(diǎn)為中心，為半徑的圓周上n個(gè)等分點(diǎn)，即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。45復(fù)變函數(shù)與積分變換xyo例3.求解：xyo46復(fù)變函數(shù)與積分變換例4.求幾何意義：這三個(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn)半徑為1的圓的正三角形的3個(gè)頂點(diǎn)。147復(fù)變函數(shù)與積分變換例5.求方程w4+16=0的四個(gè)根.解：因?yàn)?16=24e(2k+1)pi

,所以w4=24e(2k+1)pi

.于是48復(fù)變函數(shù)與積分變換幾何意義：w0，w1,w2,w3

恰好是以原點(diǎn)為圓心、半徑為2的圓|z|=2的內(nèi)接正方形的四個(gè)頂點(diǎn)(如圖).49

區(qū)域的概念

簡單曲線（或Jordan曲線)

單連通域與多連通域第四節(jié)、區(qū)域復(fù)變函數(shù)與積分變換50復(fù)變函數(shù)與積分變換1.區(qū)域的概念鄰域復(fù)平面上以z0為中心，任意δ>0為半徑的圓|z-z0|<δ內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為點(diǎn)z0的δ鄰域，記為Ｕ(z0,δ)即，設(shè)G是一平面上點(diǎn)集內(nèi)點(diǎn)

對任意z0屬于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G，則稱z0是G的內(nèi)點(diǎn)。而稱由不等式0<|z–z0|<δ所確定的點(diǎn)集為去心鄰域，記為Ｕ0(z0,δ)，即51復(fù)變函數(shù)與積分變換開集若G內(nèi)的每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱G是開集。連通是指區(qū)域

(1)

D是一個(gè)開集；(2)

D是連通的.同時(shí)滿足這兩個(gè)條件時(shí)，稱平面點(diǎn)集D是一個(gè)區(qū)域。D-區(qū)域邊界與邊界點(diǎn)已知點(diǎn)P不屬于D，若點(diǎn)P的任何鄰域中都包含D中的點(diǎn)及不屬于D的點(diǎn)，則稱P是D的邊界點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界。P52例如

設(shè)z0是定點(diǎn),r>0是常數(shù),則z0為中心,以r為半徑的圓的內(nèi)部點(diǎn),即滿足不等式|z-z0|<r的一切點(diǎn)z所組成的點(diǎn)集(z0的r鄰域)是開集.

當(dāng)0r<R(r和R均是常數(shù))時(shí),滿足不等式r<|z-z0|<R的一切z所組成的點(diǎn)集也是開集.

但滿足不等式r<|z-z0|R的一切點(diǎn)所組成的點(diǎn)集不是開集.因?yàn)樵趫A周|z-z0|=R上的點(diǎn)屬于集合r<|z-z0|R,但這些點(diǎn)不是它的內(nèi)點(diǎn),而是邊界點(diǎn).復(fù)變函數(shù)與積分變換

在圓周|z-z0|=r和圓周|z-z0|=R上的點(diǎn)都是點(diǎn)集r<|z-z0|<R和r<|z-z0|R的邊界點(diǎn).53有界區(qū)域閉區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域,復(fù)變函數(shù)與積分變換

如果一個(gè)平面點(diǎn)集完全包含在原點(diǎn)的某一個(gè)鄰域內(nèi),那么稱它是有界的.不是有界集的點(diǎn)集叫做無界集.54復(fù)變函數(shù)與積分變換滿足不等式|z|R的一切點(diǎn)所組成的點(diǎn)集是無界區(qū)域.無界區(qū)域圖1邊界圖2邊界55(1)圓環(huán)域:例1.6判斷下列區(qū)域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)無界.復(fù)變函數(shù)與積分變換56令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;則曲線方程可記為：z=z(t)，a≤t≤b復(fù)變函數(shù)與積分變換2.簡單曲線（或Jardan曲線)（1）光滑曲線稱曲線是一條光滑曲線.

57

由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為分段光滑曲線.

能求出長度的曲線稱為可求長曲線.分段光滑曲線是可求長曲線.光滑曲線分段光滑曲線58

曲線C在復(fù)平面上的方程z=z(t)，a≤t≤b不僅確定了曲線的形狀,實(shí)際上還給出了曲線的方向,也就是說,曲線是沿著t增加的方向變化的.

復(fù)平面上對應(yīng)于z(a)=x(a)+iy(a)的點(diǎn)稱為曲線C的起點(diǎn),對應(yīng)于z(b)=x(b)+iy(b)的點(diǎn)稱為曲線C的終點(diǎn).

若曲線C的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合,即z(a)=z(b),則稱C是閉曲線.

例如,z=z(t)=r(cost+isint)(0t2p)是一條閉曲線,因?yàn)閦(0)=z(2p)=r.復(fù)變函數(shù)與積分變換59復(fù)變函數(shù)與積分變換重點(diǎn)設(shè)連續(xù)曲線C：z=z(t)，a≤t≤b，對于t1∈(a，b),t2∈[a,b],當(dāng)t1≠t2時(shí)，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線C的重點(diǎn)。定義稱沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線C為簡單曲線或Jardan曲線;若簡單曲線C滿足z(a)=z(b)時(shí)，則稱此曲線C是簡單閉曲線或Jordan閉曲線。z(a)=z(b)簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線60下列曲線是否為簡單閉曲線?答案簡單不閉不簡單,不閉61復(fù)變函數(shù)與積分變換簡單閉曲線的性質(zhì)任一條簡單閉曲線C：z=z(t)，t∈[a，b]，把復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的部分：一個(gè)是有界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個(gè)是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個(gè)是它們的公共邊界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內(nèi)部外部邊界62定義

復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B，如果B內(nèi)的任何簡單閉曲線的內(nèi)部總在B內(nèi)，就稱B為單連通域；非單連通域稱為多連通域。3.單連通域與多連通域復(fù)變函數(shù)與積分變換例如

|z|<R（R>0）是單連通的；0≤r<|z|≤R是多連通的。單連通域多連通域多連通域單連通域63復(fù)變函數(shù)與積分變換練習(xí)1指出下列不等式所確定的點(diǎn)集,是否有界?是否區(qū)域?如果是區(qū)域,單連通的還是多連通的?無界的單連通區(qū)域(如圖).解

(1)當(dāng)時(shí),64復(fù)變函數(shù)與積分變換是角形域,無界的單連通域(如圖).周外部,無界多連通區(qū)域(如圖).是以原點(diǎn)為中心,半徑為的圓65復(fù)變函數(shù)與積分變換第五節(jié)、復(fù)變函數(shù)

復(fù)變函數(shù)的定義

映射的概念

反函數(shù)或逆映射66復(fù)變函數(shù)與積分變換1.復(fù)變函數(shù)的定義——與實(shí)變函數(shù)定義相類似設(shè)G是一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+iy的集合，存在法則f，對于集合G中的每一個(gè)復(fù)數(shù)z，有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)w=u+iv與之對應(yīng)，則稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)（簡稱復(fù)變函數(shù)）記作

定義w=f(z)而是多值函數(shù)例如,w=|z|是以復(fù)平面C為定義域的單值函數(shù)67復(fù)變函數(shù)與積分變換其中u(x,y)和v(x,y)都是實(shí)變量的二元函數(shù).68復(fù)變函數(shù)與積分變換例1:w=z2

是一個(gè)復(fù)變函數(shù).則于是函數(shù)w=z2對應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)令于是令例2.若已知f(z)=69復(fù)變函數(shù)與積分變換例3.70復(fù)變函數(shù)與積分變換oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：定義域函數(shù)值集合zw=f(z)w2.映射的概念——復(fù)變函數(shù)的幾何意義71復(fù)變函數(shù)與積分變換

以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的對應(yīng)關(guān)系來表達(dá)兩對變量u，v

與x，y

之間的對應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變函數(shù)問題時(shí)，可借助于幾何直觀.復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個(gè)映射（變換）說明72復(fù)變函數(shù)與積分變換例4解—關(guān)于實(shí)軸對稱的一個(gè)映射oxy(z)uv(w)o73x、uy、v(z)、(w)o復(fù)變函數(shù)與積分變換74復(fù)變函數(shù)與積分變換—旋轉(zhuǎn)變換(映射)例5解：設(shè)x、uy、v(z)、(w)o75復(fù)變函數(shù)與積分變換例6求z平面上的下列圖形在映射w=z2下的象。解：設(shè)7676復(fù)變函數(shù)與積分變換oxy(z)ouv(w)77復(fù)變函數(shù)與積分變換因?yàn)樗砸驗(yàn)樗詏xy(z)ouv(w)R=2R=478復(fù)變函數(shù)與積分變換因?yàn)樗詏xy(z)ouv(w)z平面上的兩族分別以y=±x和坐標(biāo)軸為漸進(jìn)線的等軸雙曲線，分別映射成w平面上的兩族平行線79復(fù)變函數(shù)與積分變換映為將直線消y，建立所滿足的象曲線方程，是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，開口向左的拋物線（見圖c1)vu圖c12其是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，開口向右的拋物線（見圖c2）。

將線映為，消x得80例設(shè)w=z2

則稱為w=z2的反函數(shù)或逆映射∴為多值函數(shù),2支.定義設(shè)w=f(z)

的定義集合為G,函數(shù)值集合為G*則稱z=φ(w)為w=f(z)的反函數(shù)（逆映射）.3.反函數(shù)或逆映射復(fù)變函數(shù)與積分變換813.反函數(shù)或逆映射復(fù)變函數(shù)與積分變換8282復(fù)變函數(shù)與積分變換第六節(jié)、復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性

函數(shù)的極限

運(yùn)算性質(zhì)

函數(shù)的連續(xù)性83復(fù)變函數(shù)與積分變換uv(w)oAxy(z)o幾何意義:

當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入z0的充分小去心鄰域時(shí),它的象點(diǎn)f(z)就落入A的一個(gè)預(yù)先給定的ε鄰域中。1.函數(shù)的極限定義

設(shè)函數(shù)定義在z0的去心鄰域內(nèi)。如果有一確定的數(shù)A存在，對于任意給定的，相應(yīng)的必有一正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有那么稱A為當(dāng)z趨于z0時(shí)的極限，記作84(1)意義中的方式是任意的.與一元實(shí)變函數(shù)相比較要求更高。(2)

A是復(fù)數(shù).定理1(3)若f(z)在處有極限,其極限是唯一的.2.運(yùn)算性質(zhì)注意復(fù)變函數(shù)與積分變換那么的充要條件是85復(fù)變函數(shù)與積分變換證明：如果，那么根據(jù)極限的定義，就有：當(dāng)時(shí)，或當(dāng)