(新高考)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義05《空間幾何體的表面積和體積》(解析版)

05空間幾何體的表面積和體積核心考點讀高考設(shè)問知考法命題解讀空間幾何體的表面積【2018新課標(biāo)1文5】已知圓柱的上、下底面的中心分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過直線SKIPIF1<0的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()簡單幾何體的表面積與體積計算，主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，在解答題中，有時與空間線、面位置證明相結(jié)合，面積與體積的計算作為其中的一問.【2018新課標(biāo)2理16】已知圓錐的頂點為SKIPIF1<0，母線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與圓錐底面所成角為45°，若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則該圓錐的側(cè)面積為_______．【2017新課標(biāo)1文18】如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（1）證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，求該四棱錐的側(cè)面積．【2015新課標(biāo)1文18】如圖四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交點，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，（=1\*ROMANI）證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（=2\*ROMANII）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，求該三棱錐的側(cè)面積．空間幾何體的體積【2018新課標(biāo)2文16】已知圓錐的頂點為SKIPIF1<0，母線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互相垂直，SKIPIF1<0與圓錐底面所成角為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則該圓錐的體積為________．【2019新課標(biāo)3文理16】學(xué)生到工廠勞動實踐，利用SKIPIF1<0打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體SKIPIF1<0挖去四棱錐SKIPIF1<0后所得的幾何體，其中SKIPIF1<0為長方體的中心，SKIPIF1<0分別為所在棱的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0打印所用原料密度為SKIPIF1<0，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________SKIPIF1<0．【2020新課標(biāo)1文19】如圖，SKIPIF1<0為圓錐的頂點，SKIPIF1<0是圓錐底面的圓心，SKIPIF1<0是底面的內(nèi)接正三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0．（1）證明：平面SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0，圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0，求三棱錐SKIPIF1<0的體積．多面體與球的切、接問題【2020新課標(biāo)1理10文12】已知SKIPIF1<0為球SKIPIF1<0的球面上的三個點，⊙SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外接圓，若⊙SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積為（）【2020新課標(biāo)2理10文11】已知SKIPIF1<0是面積為SKIPIF1<0的等邊三角形，且其頂點都在球SKIPIF1<0的球面上．若球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（）【2020新課標(biāo)3理15文16】已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【2020新高考全國16】已知直四棱柱SKIPIF1<0的棱長均為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0為球心，SKIPIF1<0為半徑的球面與側(cè)面SKIPIF1<0的交線長為________．【2017新課標(biāo)1文16】已知三棱錐SKIPIF1<0的所有頂點都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0的直徑．若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0的體積為9，則球SKIPIF1<0的表面積為．【2019新課標(biāo)1理12】已知三棱錐P?ABC的四個頂點在球O的球面上，SKIPIF1<0，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為()核心考點一空間幾何體的表面積柱體、錐體、臺體、球的表面積公式：①圓柱的表面積S＝2πr(r＋l)；②圓錐的表面積S＝πr(r＋l)；③圓臺的表面積S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；④球的表面積S＝4πR2.1.【2018新課標(biāo)1文5】已知圓柱的上、下底面的中心分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過直線SKIPIF1<0的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】截面面積為，所以高，底面半徑，所以表面積為，故選B．2．【2017新課標(biāo)1文18】如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（1）證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，求該四棱錐的側(cè)面積．【解析】（1）由已知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）在平面SKIPIF1<0內(nèi)作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0．由（1）知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則由已知可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故四棱錐SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0．由題設(shè)得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．可得四棱錐SKIPIF1<0的側(cè)面積為SKIPIF1<0．1．【2018新課標(biāo)2理16】已知圓錐的頂點為SKIPIF1<0，母線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與圓錐底面所成角為45°，若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則該圓錐的側(cè)面積為__________．【解析】因為母線，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因為的面積為，設(shè)母線長為，所以，，因與圓錐底面所成角為，所以底面半徑為，因此圓錐的側(cè)面積為．2．【2015新課標(biāo)1文18】如圖四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交點，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，（=1\*ROMANI）證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（=2\*ROMANII）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，求該三棱錐的側(cè)面積．【解析】(Ⅰ)∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC．∵ABCD為菱形，∴BD⊥AC，∴AC⊥平面BED，又AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED．(Ⅱ)設(shè)AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°可得，AG=GC=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，GB=GD=SKIPIF1<0．在RtΔAEC中，可得EG=SKIPIF1<0SKIPIF1<0．∴在RtΔEBG為直角三角形，可得BE=SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，解得x=2．由BA=BD=BC可得AE=ED=EC=SKIPIF1<0．∴ΔAEC的面積為3，ΔEAD的面積與ΔECD的面積均為SKIPIF1<0．所以三棱錐E-ACD的側(cè)面積為SKIPIF1<0．核心考點二空間幾何體的體積柱體、錐體和球的體積公式：①V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；②V錐體＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；③V球＝eq\f(4,3)πR3.1．【2018新課標(biāo)2文16】已知圓錐的頂點為SKIPIF1<0，母線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互相垂直，SKIPIF1<0與圓錐底面所成角為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則該圓錐的體積為________．【解析】如下圖所示，，，又，解得，所以，，所以該圓錐的體積為．2.【2019新課標(biāo)3文理16】學(xué)生到工廠勞動實踐，利用SKIPIF1<0打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體SKIPIF1<0挖去四棱錐SKIPIF1<0后所得的幾何體，其中SKIPIF1<0為長方體的中心，SKIPIF1<0分別為所在棱的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0打印所用原料密度為SKIPIF1<0，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________SKIPIF1<0．【解析】由題意得，SKIPIF1<0，四棱錐O?EFG的高3cm，∴SKIPIF1<0．又長方體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，所以該模型體積為SKIPIF1<0，其質(zhì)量SKIPIF1<0．3.【2020新課標(biāo)1文19】如圖，SKIPIF1<0為圓錐的頂點，SKIPIF1<0是圓錐底面的圓心，SKIPIF1<0是底面的內(nèi)接正三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0．（1）證明：平面SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0，圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0，求三棱錐SKIPIF1<0的體積．【解析】（1）連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為圓錐頂點，SKIPIF1<0為底面圓心，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是圓內(nèi)接正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）設(shè)圓錐的母線為SKIPIF1<0，底面半徑為SKIPIF1<0，圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0．1.【2018江蘇卷】如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________.【解析】正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體是正八面體，其中正八面體的所有棱長都是eq\r(2).則該正八面體的體積為eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×1×2＝eq\f(4,3).2.如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)C⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，則四面體ABEF的體積為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3) C.1 D.eq\f(4,3)【解析】∵ED⊥平面ABCD且AD?平面ABCD，∴ED⊥AD.∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，而DC∩ED＝D，∴AD⊥平面CDEF.易知FC＝eq\f(ED,2)＝1，VA－BEF＝VABCDEF－VF－ABCD－VA－DEF.∵VE－ABCD＝ED×S正方形ABCD×eq\f(1,3)＝2×2×2×eq\f(1,3)＝eq\f(8,3)，VB－EFC＝BC×S△EFC×eq\f(1,3)＝2×2×1×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，∴VABCDEF＝eq\f(8,3)＋eq\f(2,3)＝eq\f(10,3).又VF－ABCD＝FC×S正方形ABCD×eq\f(1,3)＝1×2×2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，VA－DEF＝AD×S△DEF×eq\f(1,3)＝2×2×2×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，VA－BEF＝eq\f(10,3)－eq\f(4,3)－eq\f(4,3)＝eq\f(2,3).故選B.3．【2019新課標(biāo)2文17】如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐SKIPIF1<0的體積．SKIPIF1<0【解析】（1）因為在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）設(shè)長方體側(cè)棱長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0．核心考點三多面體與球的切、接問題球的相關(guān)性質(zhì)：1、用一個平面去截球，截面是圓面；經(jīng)過球心的平面截的圓叫大圓；不經(jīng)過球心的平面截的圓叫小圓。2、球心和截面圓心的連線垂直于截面，即有SKIPIF1<0多面體的外接球模型：1、長方體的外接球直徑為體對角線，則SKIPIF1<0；正方體的外接球半徑為SKIPIF1<0；正方體的內(nèi)切球半徑為SKIPIF1<0。2、圓柱模型：在三棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則外接球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0外接圓半徑。3、圓錐模型在正三棱錐SKIPIF1<0中，先求出高線長SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0解方程求出SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0外接圓半徑。4、正四面體（構(gòu)造正方體）、對棱相對的三棱錐（構(gòu)造長方體）如上左：正四面體SKIPIF1<0可構(gòu)造如圖正方體（所有面對角線相等）；如上右：對棱相等的三棱錐SKIPIF1<0可構(gòu)造如圖長方體（對面的對角線相等）。1．【2020新課標(biāo)1理10文12】已知SKIPIF1<0為球SKIPIF1<0的球面上的三個點，⊙SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外接圓，若⊙SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】設(shè)圓SKIPIF1<0半徑為SKIPIF1<0，球的半徑為SKIPIF1<0，依題意，得SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)球的截面性質(zhì)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0球SKIPIF1<0的表面積SKIPIF1<0．故選A．2．【2020新課標(biāo)2理10文11】已知SKIPIF1<0是面積為SKIPIF1<0的等邊三角形，且其頂點都在球SKIPIF1<0的球面上．若球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【解析】設(shè)球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0外接圓半徑為SKIPIF1<0，邊長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是面積為SKIPIF1<0的等邊三角形，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0．故選C．3.【2019新課標(biāo)1理12】已知三棱錐P?ABC的四個頂點在球O的球面上，SKIPIF1<0，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】解法一:SKIPIF1<0為邊長為2的等邊三角形，SKIPIF1<0為正三棱錐，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正方體一部分，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選D．解法二:設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為邊長為2的等邊三角形，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0中余弦定理SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選D．1．【2020新課標(biāo)3理15文16】已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【解析】方法1：等面積法易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，其中SKIPIF1<0，且點M為BC邊上的中點，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設(shè)內(nèi)切圓半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，其體積SKIPIF1<0．故答案為SKIPIF1<0．方法2：幾何法如右圖，當(dāng)球與圓錐內(nèi)切時體積最大，設(shè)球的半徑為SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0，圓錐的高SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故球的體積SKIPIF1<0．故答案為SKIPIF1<0．2.【2017新課標(biāo)1文16】已知三棱錐SKIPIF1<0的所有頂點都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0的直徑．若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1