幾何與代數(shù)：第6周第2次課-向量的定義及線性運算

第三章幾何空間第一節(jié)平面向量及其運算的推廣立體幾何，平面解析幾何空間解析幾何矩陣理論線性代數(shù)提供手段提供直觀笛卡兒[法]RenéDescartes

(1596.3-1650.2)費馬[法]

PierredeFermat

(1601.8-1665.1)伯努利[瑞士]JohannBernoulli

(1667.7-1748.1)歐拉[瑞士]LeonhardEuler

(1707.4-1783.9)

§1.2

§1.3

§1.4

第三章幾何空間笛卡兒[法]RenéDescartes(1596.3-1650.2)

費馬[法]PierredeFermat

(1601.8-1665.1)

伯努利[瑞士]JohannBernoulli

(1667.7-1748.1)

歐拉[瑞士]LeonhardEuler

(1707.4-1783.9)

拉格朗日[法]Joseph-LouisLagrange

(1736.1-1813.4)本章主要內(nèi)容向量的線性運算向量的內(nèi)積、外積、混合積向量的坐標直線與平面的方程本次課內(nèi)容概要向量的線性運算共線、共面向量的判定一.向量的概念及其表示§3.1平面向量及其運算的推廣A(起點)B(終點)AB向量的AB長度(模):||AB||零向量:||||=0單位向量:長度=1兩個向量相等:長度相等,方向一致第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣二.空間向量的線性運算1.加法

ABC+=AB+BC=AC

(1)三角形法則||+

||||||+||

||.注:||||||||第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣(1)三角形法則(2)平行四邊形法則

ABC+=AB+BC=AC

一.空間向量的線性運算1.加法第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣

(3)負向量

注:=.(4)向量的減法=+().

第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣

(5)運算性質①交換律+=+

.②結合律(+

)+=+(

+).③

+=.④

+()=.第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣

例.CABDGEFHDE=DA+AE=AD+AE

=AEAD

AG=AB+BF+FG

=AB+AE+AD

2.向量與數(shù)量的乘法定義3.2一個實數(shù)m與一個向量的積是一個向量，記為m

，其長度||m

||=|m|·||

||.若||m

||≠0,則當m>0時,m

與同向；當m<0時,m

與

反方向.2-2第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣(1).注：

①m=m=0或=.(2).運算性質

②(1)=.③單位向量;非零向量的單位化:

/||||

①1=;②m(n)=(mn);③(m+n)=m

+n;④

m(+)=m+m.第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣3.向量的加法和數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的

線性運算；4.設1,2,…,

s為一組向量，k1,k2

,…,

ks

為一組實數(shù)，則稱為1,2,…,

s的一個線性組合.第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣

k1

1+k2

2+…+

ks

s例.設四面體O-ABC如圖所示，其中D,E,F,G,H,I為六條棱的中點.(1)設DG,EH,FI的中點分別為J,K,L.試將向量OJ，OK，OL表示成OD，OE，OF的線性組合.(2)證明：DG,EH,FI交于一點且被交點平分.AGDOBCEIFH第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣

例.OLOIOABCDFEIGHOABCDFILE=OF+OI

1212=(OA+OB)12=OD+OE

第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣

例.OLOABCDFEIGHOABCDFILE=OF+OI

1212=OD+OE+OF

121212第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣

例.OLOABCDFEIGHOABCDFJE=OD+OE+OF

121212GOJ=OD+OE+OF

121212第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣

例.OLOABCDFEIGHOABCDFKE=OD+OE+OF

121212OJ=OD+OE+OF

121212OK=OD+OE+OF

121212H第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣

例.OJOABCDFEIGH=OK=OL

=OD+OE+OF

121212DG,EH,FI交于一點且被交點平分三.共線、共面向量的判定1.定義給定向量1,2,…,

s,令

i

=OAi

(i=

1,2,…,

s).若點O,A1,A2,…,As在同一直線（平面）上，則稱向量1,

2,…,

s共線(共面).OA1A2As12

s共線=平行第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣規(guī)定零向量與任何向量共線設1,2,…,

s,β為一組向量，若存在一組實數(shù)k1,k2,…,

ks使得

β=k11+k22+…+

kss

,

則稱β可由1,2,…,s線性表示.

第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣3.設1,2,…,

s為一組向量,若存在一組不全為零的實數(shù)k1,k2,…,

ks使得

k11+k22+…+

kss=,

則稱1,2,…,

s線性相關，否則

稱1,2,…,

s線性無關.定理3.1

設向量,則

向量β與共線可以由唯一線性表示(即存在唯一的實數(shù)m使得=m).

推論3.1

向量1,2共線

1,2線性相關

(即存在不全為零的實數(shù)k1,k2使得

k11+k22=).第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣

=2,

=.122

=,2+

=.4.判定定理3.2

若向量,

不共線,則

向量與,共面

可以由,唯一線性表示(即存在唯一的實數(shù)對(m,n),

使得

=m+n

).

第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣

k1k2=k1+k2

第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣

k1k2=k1+k2

k1k2+1=

推論3.2

向量1,2,3共面

1,2,3線性

相關(即存在不全為零的實數(shù)k1,k2,k3,使得k11+k22+k33

=).

第三章幾何空間§3.1平面向量及其運算的推廣

注.

A,B,C,D四點共面ABD

C....

AB,AC,AD共面作業(yè)習題二（B）30,31習題三（B）2,3,5上交時間：10月30日（周二）另：

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例.設M是ABC的重心,O是ABC所在平面上任意一點,證明:ABCMOOM=(OA+OB+OC).133OM=OA+OB+OC(OMOA)+(OMOB)+(OMOC)=AM+BM+CM=(AB+AC)+(BA+BC)+(CA+CB)

=131313第三章