試驗(yàn)弦的振動(dòng)

弦的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)【目的】探討波動(dòng)在弦線上傳送時(shí)，波長與張力的關(guān)係，並測(cè)定轉(zhuǎn)盤的頻率?！驹怼?一)駐波：設(shè)有兩列振幅、頻率完全相同的波沿相對(duì)方向在介質(zhì)中行進(jìn)，在某些特定情況下，當(dāng)兩行進(jìn)波重疊時(shí)會(huì)產(chǎn)生駐波(standing wave)描述波動(dòng)的波函數(shù)通?？捎胹in(kx t )或cos(kx t )來表示，其中，k=2 稱為波數(shù)(wavenumber)；2v，v為波動(dòng)的頻率， 稱為角頻率(angularfrequency) 。 t之前若取負(fù)號(hào)，表示向正x方向傳遞的行進(jìn)波；取正號(hào)時(shí)，則表示向負(fù) x方向傳遞的波。 表示對(duì)應(yīng)的起始相位(initialphase) ?，F(xiàn)在，我門來討論在一條兩端固定且張緊的弦線 (或細(xì)繩子)上，行進(jìn)波產(chǎn)生駐波(standingwave)的條件。圖1 兩端固定且張緊的弦：(1)轉(zhuǎn)盤端(2)反射端假設(shè)在長度為的弦線上，有一個(gè)橫波(可藉音叉產(chǎn)生之)自x=0處向+x?方向傳遞(見圖1)。其數(shù)學(xué)形式可寫成：y1(x,t) Asin(kx t) (1)式中A為振幅，這個(gè)波傳遞至x=處時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)反射波。如果在x=處，是個(gè)固定端，波的能量可以完全反射(即不被吸收)，反射波的振幅應(yīng)該與前進(jìn)波的相同，但是相位可能改變，故可將反射波表示為y2(x,t) Asin(kx t ) (2)phasedifference弦線上的波是由前進(jìn)波與反射波的線性重疊所形成，即y合成(x,t)y1(x,t)y2(x,t)Asin(kxt)Asin(kxt)(3)應(yīng)用sin1sin22sin1(12)cos1(12)22y合成(x,t)2Asin(kx)cos(t)(4)22邊界條件(1)：如果x=0處是個(gè)固定端表示y合成(x0,t)0sin(0)00(5)2(b)邊界條件(2)：假定x處也是個(gè)固定端弦振動(dòng)4-1即y合成(x ,t) 0 sin(k) 02ksin(2)02,2,3,42(n1,2,3,4)(6)n當(dāng)n121122當(dāng)n22當(dāng)n323(7)32圖2所以合成波在x 2， ，3 2，??處產(chǎn)生節(jié)點(diǎn)(node)，即弦線振動(dòng)時(shí)，弦線上不隨時(shí)間移動(dòng)位置的點(diǎn)：在x4，34，??處，弦上各質(zhì)點(diǎn)隨著時(shí)間在2A之間做正弦變化的位移運(yùn)動(dòng)，稱為波腹(antinode)，如圖3所示，圖中N為節(jié)點(diǎn)，A為波腹。圖3 張緊的弦上，行進(jìn)波的合成 圖4(二)波傳遞的速率與弦線所受張力的關(guān)係：弦振動(dòng)4-2以一個(gè)在弦線上傳送的脈波為例，弦線相對(duì)於靜止的觀測(cè)者並沒有移動(dòng)，但觀測(cè)者看到脈波向右傳遞?，F(xiàn)在想像弦線很長，而且整個(gè)系統(tǒng)以脈波的速率向左平移則觀測(cè)者所看到的現(xiàn)象如同脈波停在空間不動(dòng)一樣，如圖4所示。設(shè)μ為此弦線單位長度的質(zhì)量，弦線上張力F使長為之弦線段的質(zhì)量做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。圓周運(yùn)動(dòng)之向心力為2F SIN 2F按照牛頓第二定律，向心力 =ma，m為長 之弦線質(zhì)量，即m ，故向心力=

v2R由圖4知 R2 ，因此2F 2R

v2R化簡後可得圓周運(yùn)動(dòng)之速率，即脈波傳遞之速率，F(xiàn)(8)v(三)弦線振動(dòng)頻率與其張力的關(guān)係：假設(shè)線長為，在弦上生成的駐波有n段，則依圖5知，n2。由vf(波速=1FnF(9)頻率×波長)的關(guān)係得：f2因?yàn)檗D(zhuǎn)盤的頻率是固定的，而且弦線單位長度的質(zhì)量也固定，所以由(9)式知道F2f2，張力與波長平方的比值恆為一常數(shù)，這個(gè)關(guān)係在本實(shí)驗(yàn)中可以驗(yàn)證?！緝x器】梅耳德(Melde)裝置、彈簧秤、精密電子秤 (參考圖5)圖5 梅耳德實(shí)驗(yàn)裝置1.底座2.電源開關(guān)3.插頭4.轉(zhuǎn)盤5.支架6.彈簧秤7.螺絲8.滑輪9.＆10.鑽孔弦振動(dòng)4-3【步驟】1將弦線一端繫於馬達(dá)轉(zhuǎn)盤之缺口 (4)，另一端跨過固定滑輪(8)繫彈簧秤下方之掛勾，如圖4。2.將接頭接上電源，按上開闢，使轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)。3.將螺絲(7)鬆開，慢慢調(diào)整彈簧秤的支架高度，使線上產(chǎn)生兩段駐波，記錄彈簧秤上的高度。4.重覆步驟3，得線上產(chǎn)生三段、四段駐波的數(shù)據(jù)。5.用直尺測(cè)量轉(zhuǎn)盤與滑輪之間的距離。6.將彈簧秤的支架裝置至底座上之另鑽孔。重覆步驟 3～5。7.用精密電子秤稱弦線的質(zhì)量，求每單位長度之質(zhì)量。8.以公式(9)求出駐波之頻率，然後求頻率平均值與標(biāo)準(zhǔn)差。9.用急速閃光器(Stroboscope)測(cè)量轉(zhuǎn)盤之頻率。附錄：急速閃光器 (Stroboscope)【原理】快速運(yùn)動(dòng)的物體在眼中呈現(xiàn)一片模糊的影像。將高強(qiáng)度與半短振幅之光脈照射至物體之運(yùn)轉(zhuǎn)部份，如果光脈之頻率和運(yùn)轉(zhuǎn)部份的頻率保持同步，則呈現(xiàn)清晰並靜止的影像。由此，此方法不但可仔細(xì)觀察物體在運(yùn)轉(zhuǎn)中所顯示的各種樣式，並且可測(cè)量運(yùn)轉(zhuǎn)部份的頻率。【注意】急速閃光器不能持續(xù)使用太久，不用時(shí)要先關(guān)掉，否則燈泡會(huì)燒壞【步驟】1.將急速閃光器之頻率定在較低範(fàn)圍。2.將急速閃光器之光源對(duì)梅耳德實(shí)驗(yàn)儀器之轉(zhuǎn)盤照明。3.調(diào)整頻率旋轉(zhuǎn)鈕，直到看到穩(wěn)定而單獨(dú)的影像，並且清楚的看到轉(zhuǎn)盤上之記號(hào)，記錄其頻率。(注意：閃光器所顯示的頻率為每分鐘旋轉(zhuǎn)的次數(shù) )4.將頻率調(diào)到步驟 3.頻率之兩倍範(fàn)圍，仔細(xì)觀察所呈現(xiàn)的影像，如果清楚的看到兩個(gè)影像與轉(zhuǎn)盤上之記號(hào)，則步驟 3.之頻率為轉(zhuǎn)盤之頻率?！締栴}】1.比較本實(shí)驗(yàn)兩方法所得之頻率。2.步驟4.，當(dāng)頻率調(diào)到步驟 3.頻率之一半時(shí)，所呈現(xiàn)之影像有何改變？試說明其原因?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】1.HughD.Young：UniversityPhysics,8thed.,19;§§20.t