立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)

立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)52/52立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)立體幾何基礎(chǔ)題題庫(kù)（有詳細(xì)答案）1、二面角l是直二面角，A，B，設(shè)直線AB與、所成的角分別為∠1和∠2，則00（C）∠1+∠2≤9000（A）∠1+∠2=90（B）∠1+∠2≥90（D）∠1+∠2＜90解析：C以下列圖作輔助線，分別作兩條與二面角的交線垂直的線，則∠1和∠2分別為直線AB與平面,所成的角。依照最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的所有角中最小的角ABO2QABO190o2190o以下各圖是正方體或正周?chē)w，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)中不共面的一個(gè)圖．．．是SSSSPPPPSSSPPPPRRRPQRPQRQRRPQRQPQPRPRQQPRPRQQSQSSQRSSRSQQQQ（A）（B）（C）（D）D解析：A項(xiàng)：PSPQS，PQRS是個(gè)梯形底面對(duì)應(yīng)的中線，中線平行B項(xiàng)：如圖C項(xiàng)：是個(gè)平行四邊形D項(xiàng)：是異面直線。有三個(gè)平面，β，γ，以下命題中正確的選項(xiàng)是（A）若

，β，γ兩兩訂交，則有三條交線

（B）若

⊥β，

⊥γ，則β∥γ（C）若

⊥γ，β∩

=a，β∩γ=b，則

a⊥b

（D）若

∥β，β∩γ=

，則

∩γ=D解析：A項(xiàng)：如正方體的一個(gè)角，三個(gè)平面訂交，只有一條交線。項(xiàng)：如正方體的一個(gè)角，三個(gè)平面互相垂直，卻兩兩訂交。C項(xiàng)：如圖以下列圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P到直線AB與直線B1C1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P所在曲線的形狀為ABABABABDCABOOOPPPPPC1D1A1B1A1B1A1B1A1B1A1B1C解析：B1C11B1C1，如圖：P點(diǎn)到定點(diǎn)B的距離與到定直線AB的距離相等，建立坐平面ABPB,標(biāo)系畫(huà)圖時(shí)能夠以點(diǎn)BB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。1在正方體ABCD－A1B1C1D1中與AD1成600角的面對(duì)角線的條數(shù)是（A）4條（B）6條（C）8條（D）10條C解析：如圖這樣的直線有4條，其他，這樣的直線也有4條，共8條。6.設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足ABAC0，ACAD0，ABAD0，則△BCD是（A）鈍角三角形（B）直角三角形（C）銳角三角形（D）不確定C解析：假設(shè)AB為a，AD為b，AC為c，且abc則，BD=a2b2，CD=c2b2，BC=a2c2如圖則BD為最長(zhǎng)邊，依照余弦定理a22c22a2b22cosDCBc2b20DCB最大角為銳角。因此△BCD2a2c2c2b2是銳角三角形。7.設(shè)a、b是兩條不同樣的直線，α、β是兩個(gè)不同樣的平面，則以下四個(gè)命題（）①若ab,a,則b//②若a//,,則a③a,,則a//④若ab,a,b,則其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)B解析：注意①中b可能在α上；③中a可能在α上；④中bb圖所示，已知正四棱錐S—ABCD側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為3，E是SA的中點(diǎn)，則異面直線BE與SC所成角的大小為（）A．90°B．60°C．45°D．30°B解析：平移SC到SB，運(yùn)用余弦定理可算得BESESB2.9.對(duì)于平面M與平面N,有以下條件:①M(fèi)、N都垂直于平面Q;②M、N都平行于平面Q;③M內(nèi)不共線的三點(diǎn)到N的距離相等;④l,M內(nèi)的兩條直線,且l2已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B⊥CB1，則A1B與AC1所成的角為（A）450（B）600（C）900（D）1200C解析：作CD⊥AB于D，作C1D1⊥A1B1于D1，連B1D、AD1，易知ADB1D1是平行四邊形，由三垂線定理得A1B⊥AC1，選C。正周?chē)w棱長(zhǎng)為1，其外接球的表面積為A.3πB.3πC.5ππ22解析：正周?chē)w的中心終究面的距離為高的1/4。（可連成四個(gè)小棱錐得證12.設(shè)有以下三個(gè)命題：甲：訂交直線l、m都在平面α內(nèi)，并且都不在平面β內(nèi)；乙：直線l、m中最少有一條與平面β訂交；丙：平面α與平面β訂交．當(dāng)甲成馬上，A．乙是丙的充分而不用要條件B．乙是丙的必要而不充分條件C．乙是丙的充分且必要條件D．乙既不是丙的充分條件又不是丙的必要條件解析：當(dāng)甲建立，即“訂交直線l、m都在平面α內(nèi)，并且都不在平面β內(nèi)”時(shí)，若“l(fā)、m中最少有一條與平面β訂交”，則“平面α與平面β訂交．”建立；若“平面α與平面β訂交”，則“l(fā)、m中至稀有一條與平面β訂交”也建立．選（C）．13.已知直線m、n及平面，其中m∥n，那么在平面內(nèi)到兩條直線m、n距離相等的點(diǎn)的會(huì)集可能是：（1）一條直線；（2）一個(gè)平面；（3）一個(gè)點(diǎn)；（4）空集．其中正確的選項(xiàng)是．解析：（1）建立，如m、n都在平面內(nèi)，則其對(duì)稱軸吻合條件；（2）建立，m、n在平面的同一側(cè)，且它們到的距離相等，則平面為所求，（4）建立，當(dāng)m、n所在的平面與平面垂直時(shí)，平面內(nèi)不存在到m、n距離相等的點(diǎn)14.空間三條直線互相平行,由每?jī)蓷l平行線確定一個(gè)平面,則可確定平面的個(gè)數(shù)為（）A．3B．1或2C．1或3D．2或3解析：C如三棱柱的三個(gè)側(cè)面。15．若a、b為異面直線，直線c∥a，則c與b的地址關(guān)系是（）A．訂交B．異面C．平行D．異面或訂交解析：D如正方體的棱長(zhǎng)。16．在正方體A1B1C1D1—ABCD中，AC與B1D所成的角的大小為（）A．B．64C．3D．2解析：DBD在平面AC上的射影BD與AC垂直，依照三垂線定理可得。117．如圖，點(diǎn)P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是（）解析：CA，B選項(xiàng)中的圖形是平行四邊形，而D選項(xiàng)中可見(jiàn)圖：18．如圖，是一個(gè)無(wú)蓋正方體盒子的表面張開(kāi)圖，A、B、C為其上的三個(gè)點(diǎn)，則在正方體盒子中，∠ABC等于（）A．45°B．60°C．90°D．120°解析：B如圖★右圖是一個(gè)正方體的張開(kāi)圖，在原正方體中，有以下命題：①AB與CD所在直線垂直；②CD與EF所在直線平行③AB與MN所在直線成60°角；④MN與EF所在直線異面其中正確命題的序號(hào)是（）A．①③B．①④C．②③D．③④解析：D19．線段OA，OB，OC不共面，AOB=BOC=COA=60，OA=1，OB=2，OC=3，則△ABC是（）A．等邊三角形B非等邊的等腰三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形解析：B．設(shè)=，=，=，由余弦定理知：x2=12+32-3=7，y2=12+22-2=3，z2=22+32-6=7。ACxAByBCz∴△ABC是不等邊的等腰三角形，選（B）．20．若a，b，l是兩兩異面的直線，a與b所成的角是，l與a、l與b所成的角都是，3則的取值范圍是（）A．[5B．[,]C．[5D．[,],]3,]6663262解析：D解當(dāng)l與異面直線a，b所成角的均分線平行或重合時(shí)，a獲取最小值，當(dāng)l與a、b的公垂線平行6時(shí)，a獲取最大值，應(yīng)選（）．2D21.小明想利用樹(shù)影測(cè)樹(shù)高，他在某一時(shí)刻測(cè)得長(zhǎng)為1m的竹竿影長(zhǎng)0.9m，但當(dāng)他馬上測(cè)樹(shù)高時(shí),因樹(shù)湊近一幢建筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墻如圖所示.他測(cè)得留在地面部分的影子長(zhǎng)2.7m,留在墻壁部分的影高1.2m,求樹(shù)高的高度（太陽(yáng)光輝可看作為平行光輝）_______.4．2米解析：樹(shù)高為AB，影長(zhǎng)為BE，CD為樹(shù)留在墻上的影高，BE=米，樹(shù)高AB=1BE=4.2米。0.922．如圖,正周?chē)wBCD（空間四邊形的則EF和AC所成的角的大小是________.解析：設(shè)各棱長(zhǎng)為2，則EF=2，取AB的中點(diǎn)為M，cos23．OX，OY，OZ是空間交于同一點(diǎn)O的互相垂直的三條直線，點(diǎn)P到這三條直線的距離分別為3，4，7，則OP長(zhǎng)

CD1.21CE=1.08米，樹(shù)影長(zhǎng)CECE0.9四條邊長(zhǎng)及兩對(duì)角線的長(zhǎng)都相等）中,E,F分別是棱AD,BC的中點(diǎn),MFE2.即.24為_(kāi)______.解析：在長(zhǎng)方體OXAY—ZBPC中，OX、OY、OZ是訂交的三條互相垂直的三條直線。又PZOZ，PYOY，PX222222OX，有OX+OZ=49，OY=OX=9，OY+OZ=16，22237．得OX+OY+OZ=37，OP=24．設(shè)直線a上有6個(gè)點(diǎn)，直線b上有9個(gè)點(diǎn)，則這15個(gè)點(diǎn)，能確定_____個(gè)不同樣的平面.解析：當(dāng)直線a，b共面時(shí)，可確定一個(gè)平面；當(dāng)直線a，b異面時(shí)，直線a與b上9個(gè)點(diǎn)可確定9個(gè)不同樣平面，直線b與a上6個(gè)點(diǎn)可確定6個(gè)不同樣平面，因此一點(diǎn)能夠確定15個(gè)不同樣的平面．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)．求證：EF和AD為異面直線.解析：假設(shè)EF和AD在同一平面內(nèi)，（2分），則A，B，E，F(xiàn)；（4分）又A，EAB，∴AB，∴B，（6分）同理C（8分）故A，B，C，D，這與ABCD是空間四邊形矛盾?！郋F和AD為異面直線．在空間四邊形ABCD中，E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是CB，CD的中點(diǎn)，若AC+BD=a，ACBD=b，求EG2FH2.解析：四邊形EFGH是平行四邊形，（4分）EG2FH2=2(EF2FG2)=1(AC2BD2)1(a22b)2227.如圖，在三角形⊿ABC中，∠ACB=90o，AC=b,BC=a,P是⊿ABC所在平面外一點(diǎn)，PB⊥AB，M是PA的中點(diǎn)，AB⊥MC，求異面直MC與PB間的距離.解析：作MN11a2b2.已知長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中,A1A=AB，E、22F分別是BD1和AD中點(diǎn).1）求異面直線CD1、EF所成的角；2）證明EF是異面直線AD和BD1的公垂線.1）解析：∵在平行四邊形BAD1C1中，E也是AC1的中點(diǎn)，∴EF//C1D，（2分）∴兩訂交直線D1C與CD1所成的角即異面直線CD1與EF所成的角.（4分）又A1A=AB，長(zhǎng)方體的側(cè)面ABB1A1,CDD1C1都是正方形，∴D1CCD1∴異面直線CD1、EF所成的角為90°.（7分）（2）證：設(shè)AB=AA=,∵DF=2AD2∴EF⊥BD（9分）1a1aBF,1.4由平行四邊形BAD1C1，知E也是AC1的中點(diǎn)，且點(diǎn)E是長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1的對(duì)稱中心，（12分）∴EA=ED，∴EF⊥AD，又EF⊥BD1，∴EF是異面直線BD1與AD的公垂線.（14分）29.⊿ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，在⊿ABC所在平面外有一點(diǎn)P，PB=PC=7，PA=3，延長(zhǎng)BP至D，使BD=7，E是BC22的中點(diǎn)，求AE和CD所成角的大小和這兩條直線間的距離.解析：分別連接PE和CD，可證733391AEP44ABCD—PE3cos3在正方體222322ABCD中，E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是正方體的棱A1A,AB，BC，CC1,C1D1,D1A1的中點(diǎn)，試證：1111E，F(xiàn)，G，H，M，N六點(diǎn)共面．解析：∵EN個(gè)互不重合的平面把空間分成六個(gè)部份時(shí)，它們的交線有（）A．1條B．2條C．3條D．1條或2條D解析：分類(lèi)：1）當(dāng)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與它們訂交時(shí)，有兩條交線；條

2）當(dāng)三個(gè)平面交于一直線時(shí)，有一條交線，應(yīng)選

D32．兩兩訂交的四條直線確定平面的個(gè)數(shù)最多的是

（）A．4個(gè)

B．5個(gè)

C．6個(gè)

D．8個(gè)解析：C

如四棱錐的四個(gè)側(cè)面，

C42

6個(gè)。．在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)若是EF與HG交于點(diǎn)M，則（）A．M必然在直線AC上B．M必然在直線BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上解析：∵平面ABC∩平面ACD=AC，先證M∈平面ABC，M∈平面ACD，從而M∈ACA．用一個(gè)平面去截正方體。其截面是一個(gè)多邊形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)最多是.解析：6條35.已知：a,b,abA,Pb,PQ//a.求證:PQ..(12分)本題主要觀察用平面公義和推論證明共面問(wèn)題的方法.解析：∵PQ∥a,∴PQ與a確定一個(gè)平面,直線a,點(diǎn)P.pb,b,p又a與重合PQ已知△ABC三邊所在直線分別與平面α交于P、Q、R三點(diǎn)，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線。（12分）本題主要觀察用平面公義和推論證明共線問(wèn)題的方法解析：∵A、B、C是不在同素來(lái)線上的三點(diǎn)∴過(guò)A、B、C有一個(gè)平面又ABP,且AB點(diǎn)P既在內(nèi)又在內(nèi),設(shè)同理可證:Ql,Rll,則pl.P,Q,R三點(diǎn)共線.37.已知：平面平面a,b,baA,c且c//a,求證：b、c是異面直線解析：反證法：若b與c不是異面直線，則b∥c或b與c訂交(1)若b//c.a//c,a//b這與ab矛盾A(2)若訂交于B,則B,又abA,Ab,cAB,即b這與bA矛盾b,c是異面直線.在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，EF=3，求AD與BC所成角的大小（本題觀察中位線法求異面二直線所成角）解析：取BD中點(diǎn)M，連接EM、MF，則EM//AD,且EM1AD1,MF//BC且MF1BC1,22在MEF中,EF3,由余弦定理得EM2MF2EF21131cosEMF222EMMFEMF120異面直線AD,BC所成角的大小為6039.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，求異面直線CM與D1N所成角的正弦值.(14分)（本題觀察平移法，補(bǔ)形法等求異面二直線所成角）解析：取DD1中點(diǎn)G，連接BG，MG，MB，GC得矩形MBCG，記MC∩BG=0則BG和MC所成的角為異面直線CM與D1N所成的角.MC2MA2AC2(3a)2(設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a)2BCacosBOC1sinBOC4599而CM與DN所成角的正弦值為4519如圖，P是正角形ABC所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是AB和PC的中點(diǎn)，且PA=PB=PC=AB=a。1）求證：MN是AB和PC的公垂線（2）求異面二直線AB和PC之間的距離解析：（1）連接AN，BN，∵△APC與△BPC是全等的正三角形，又N是PC的中點(diǎn)AN=BN又∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴MN⊥AB同理可證MN⊥PC又∵M(jìn)N∩AB=M，MN∩PC=N∴MN是AB和PC的公垂線。（2）在等腰在角形ANB中，ANBN3AN21AB)22a,ABa,MN(a222即異面二直線AB和PC之間的距離為2a.2空間有四個(gè)點(diǎn)，若是其中任意三個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，那么經(jīng)過(guò)其中三個(gè)點(diǎn)的平面[]A．可能有3個(gè)，也可能有2個(gè)B．可能有4個(gè)，也可能有3個(gè)C．可能有3個(gè)，也可能有1個(gè)D．可能有4個(gè)，也可能有1個(gè)解析：分類(lèi)，第一類(lèi)，四點(diǎn)共面，則有一個(gè)平面，第二類(lèi)，四點(diǎn)不共面，由于沒(méi)有任何三點(diǎn)共線，則任何三點(diǎn)都確定一個(gè)平面，共有4個(gè)。.42.以下命題中正確的個(gè)數(shù)是

[

]①三角形是平面圖形②四邊形是平面圖形③四邊相等的四邊形是平面圖形④矩形必然是平面圖形A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析：命題①是正確的，由于三角形的三個(gè)極點(diǎn)不共線，因此這三點(diǎn)確定平面。命題②是錯(cuò)誤，因平面四邊形中的一個(gè)極點(diǎn)在平面的上、下方向稍作運(yùn)動(dòng)，就形成了空間四邊形。命題③也是錯(cuò)誤，它是上一個(gè)命題中比較特其他四邊形。命題④是正確的，由于矩形必定是平行四邊形，有一組對(duì)邊平行，則確定了一個(gè)平面。43.若是一條直線上有一個(gè)點(diǎn)不在平面上，則這條直線與這個(gè)平面的公共點(diǎn)最多有____1個(gè)。解析：若是有兩個(gè)，則直線就在平面內(nèi)，那么直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)，這就與已知有一個(gè)點(diǎn)不在平面上矛盾，因此這條直線與這個(gè)平面的公共點(diǎn)最多有一個(gè)。44.空間一條直線及不在這條直線上的兩個(gè)點(diǎn)，若是連接這兩點(diǎn)的直線與已知直線_______，則它們?cè)谕黄矫鎯?nèi)。答案：訂交或平行解析：依照推論2，推論3確定平面的條件。45.三角形、四邊形、正六邊形、圓，其中必然是平面圖形的有________3個(gè)。解析：三角形的三個(gè)極點(diǎn)不在一條直線上，故可確定一個(gè)平面，三角形在這個(gè)平面內(nèi)；圓上任取三點(diǎn)必然不在一條直線上，這三點(diǎn)即確定一個(gè)平面，也確定了這個(gè)圓所在的平面，因此圓是平面圖形；而正六邊形內(nèi)接于圓，故正六邊形也是平面圖形；而四邊形就不用然是平面圖形了，它的四個(gè)極點(diǎn)能夠不在同一平面內(nèi)。三條平行直線能夠確定平面_________個(gè)。答案：1個(gè)或3個(gè)解析：分類(lèi)、一類(lèi)三線共面，即確定一個(gè)平面，另一類(lèi)三線不共面，每?jī)蓷l確定一個(gè)，可確定3個(gè)。畫(huà)出滿足以下條件的圖形。α∩β=1，aα，bβ，a∩b=Aα∩β=a，bβ，b∥a解析：如圖1-8-甲，1-8-乙經(jīng)過(guò)平面外兩點(diǎn)A，B和平面垂直的平面有幾個(gè)？解析：一個(gè)或無(wú)數(shù)多個(gè)。當(dāng)A，B不垂直于平面時(shí)，只有一個(gè)。當(dāng)A，B垂直于平面時(shí)，有無(wú)數(shù)多個(gè)。49.設(shè)空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AC、BC、DB、DA的中點(diǎn)，若AB＝122，CD＝42，且四邊形EFGH的面積為123，求AB和CD所成的角.解析：由三角形中位線的性質(zhì)知，HG∥AB，HE∥CD，∴∠EHG就是異面直線AB和CD所成的角.∵EFGH是平行四邊形，HG＝1AB＝62，2HE＝1，CD＝23，2∴SEFGH＝HG·HE·sin∠EHG＝126sin∠EHG,∴126sin∠EHG＝123.∴sin∠EHG＝2,故∠EHG＝45°.2AB和CD所成的角為45°注：本例兩異面直線所成角在圖中已給，只要指出即可。50.點(diǎn)A是BCD所在平面外一點(diǎn)，AD=BC，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，且EF=2AD，求異面直線AD2和BC所成的角。（如圖）解析：設(shè)G是AC中點(diǎn)，連接DG、FG。因D、F分別是AB、CD中點(diǎn)，故EG∥BC且EG=1BC，F(xiàn)G∥AD，12EG與FG所成銳角或直角為異面直線AD、BC所成角，即∠EGF且FG=AD，由異面直線所成角定義可知21為所求。由BC=AD知EG=GF=AD，又EF=AD，由余弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。2注：本題的平移點(diǎn)是AC中點(diǎn)G，按定義過(guò)G分別作出了兩條異面直線的平行線，爾后在△EFG中求角。平時(shí)在出現(xiàn)線段中點(diǎn)時(shí)，常取另一線段中點(diǎn)，以組成中位線，既可用平行關(guān)系，又可用線段的倍半關(guān)系。51.已知空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)。求：AM與CN所成的角的余弦值；解析：(1)連接DM,過(guò)N作NE∥AM交DM于E，則∠CNE為AM與CN所成的角。∵N為AD的中點(diǎn),NE∥AM省∴NE=1AM且E為MD的中點(diǎn)。2設(shè)正周?chē)w的棱長(zhǎng)為1，則NC=1·3=3且ME=1MD=322424222317在Rt△MEC中，CE=ME+CM=+=16416CN2NE2CE2(3)2(3)2724416∴cos∠CNE=,2CNNE233344又∵∠CNE∈(0,)22.∴異面直線AM與CN所成角的余弦值為3注：1、本題的平移點(diǎn)是N，按定義作出了異面直線中一條的平行線，爾后先在△CEN外計(jì)算CE、CN、EN長(zhǎng)，再回到△CEN中求角。2、作出的角可能是異面直線所成的角，也可能是它的鄰補(bǔ)角，在直觀圖中無(wú)法判斷，只有經(jīng)過(guò)解三角形后，依照這個(gè)角的余弦的正、負(fù)值來(lái)判斷這個(gè)角是銳角（也就是異面直線所成的角）或鈍角（異面直線所成的角的鄰補(bǔ)角）。最后作答時(shí)，這個(gè)角的余弦值必定為正。52..以下列圖，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，已知AB=4，CD=20，EF=7，AFBE1。求異面直線AB與CD所成的角。FDEC3解析：在BD上取一點(diǎn)G，使得BG1，連接EG、FGGD3在BCD中，BEBG，故ECGD3EG2GF2EF2325272EGEGBE1FGDF1在長(zhǎng)方體ABCD－CDBC4ABAD42EGGF2352A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1與BD所成的角的余弦．解一：連AC，設(shè)AC∩BD=0，則O為AC中點(diǎn)，取CC的中點(diǎn)F，連OF，則OF∥AC1且OF=1121a2b21a2b2c21212∠FOB即為AC1與DB所成的角。在△FOB中，OB=，OF=，BE=bc，2224由余弦定理得1221222212)=cos∠OB=4(ab)4(abc)(b4ca2b221a2b2a2b2c2(a2b2)(a2b2c2)4解二：取AC1中點(diǎn)O1，B1B中點(diǎn)G．在△C1O1G中，∠C1O1G即AC1與DB所成的角。解三：．延長(zhǎng)CD到E，使ED=DC．則ABDE為平行四邊形．AE∥BD，因此∠EAC1即為AC1與BD所成的角．連EC，在△AEC11中，AE=a2b2，AC1=a2b2c2，C1E=4a2c2由余弦定理，得(a2b2)(a2b2c2)(4a2c2)b2a2＜012a2b2a2b2c2(a2b2)(a2b2c2)因此∠EAC1為鈍角．依照異面直線所成角的定義，AC與BD所成的角的余弦為a2b21(a2b2)(a2b2c2)已知AO是平面的斜線，A是斜足，OB垂直，B為垂足，則直線AB是斜線在平面內(nèi)的射影，設(shè)AC是內(nèi)的任一條直線，解析：設(shè)AO與AB所成角為1，AB與AC所成角為2，AO與AC所成角為，則有coscos1cos2。在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90，AC2,BC3,SB29，求異面直線SC與AB所成角的大小。（略去了該題的1,2問(wèn)）由SA⊥平面ABC知，AC為SC在平面ABC內(nèi)的射影，設(shè)異面直線SC與AB所成角為，則coscosSCAcosBAC，由AC2,BC3,SB29得AB17,SA23,SC2∴cos1，cos2，SCABAC217∴cos17即異面直線SC與AB所成角為17。，arccos171755.已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD60，證明C1CBD。（略去了該題的2，3問(wèn)）解析：設(shè)C1在平面ABCD內(nèi)射影為H，則CH為C1C在平面ABCD內(nèi)的射影，∴cosC1CDcosC1CHcosDCH，∴cosC1CBcosC1CHcosBCH，由題意C1CDC1CB，∴cosDCHcosBCH。又∵DCH,BCH[0,)∴DCHBCH，從而CH為DCB的均分線，又四邊形ABCD是菱形，∴CHBD∴C1C與BD所成角為90，即C1CBD56..在正周?chē)wABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，求異面直線AE與CF所成角的大小。解析：連接BF、EF，易證AD⊥平面BFC，∴EF為AE在平面BFC內(nèi)的射影，設(shè)AE與CF所成角為，∴coscosAEFcosCFE，設(shè)正周?chē)w的棱長(zhǎng)為a，則AECFBF3a，2顯然EF⊥BC，∴EF2a，2∴cosAEFEF6，cosAFEEF6AE3CF，3∴cos2，即AE∴與CF所成角為arccos2。33三棱柱OABO1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，O1OB60,AOB90，且OBOO12,OA3，求異面直線A1B與AO1所成角的大小，（略去了該題的1問(wèn)）解析：在平面BO1內(nèi)作BCOO1于C，連A1C，由平面BOO1B1平面AOB，AOB90知，AO⊥平面BOO1B1，∴AOBC，又AOOO1O，∴BC⊥平面AOO1A1，∴A1C為A1B在平面AOO1A1內(nèi)的射影。設(shè)A1B與AO1所成角為，A1C與AO1所成角為2，則coscosBA1Ccos2，由題意易求得BC3,AC2,AB7，11∴cosBA1CA1C2，A1B7在矩形AOO1A1中易求得A1C與AO1所成角2的余弦值：cos27，14∴coscosBA1Ccos21，7即A1B與AO1所成角為arccos1。758.已知異面直線a與b所成的角為50，P為空間必然點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與a，b所成的角均是30的直線有且只有（）A、1條B、2條C、3條D、4條解析：過(guò)空間一點(diǎn)P作a'∥a，b'∥b，則由異面直線所成角的定義知：a'與b'的交角為50，過(guò)P與a'，b'成等角的直線與a，b亦成等角，設(shè)a'，b'確定平面，a'，b'交角的均分線為l，則過(guò)l且與垂直的平面（設(shè)為）內(nèi)的任素來(lái)線l'與a'，b'成等角（證明從略），由上述結(jié)論知：l'與a'，b'所成角大于或等于l與a'，b'所成角25，這樣在內(nèi)l的兩側(cè)與a'，b'成30角的直線各有一條，共兩條。在a'，b'訂交的另一個(gè)角130內(nèi)，同樣能夠作過(guò)130角均分線且與垂直的平面，由上述結(jié)論知，內(nèi)任素來(lái)線與a'，b'所成角大于或等于65，因此內(nèi)沒(méi)有吻合要求的直線，因此過(guò)P與a，b成30的直線有且只有2條，應(yīng)選（B）59.垂直于同一條直線的兩條直線的地址關(guān)系是（）A.平行B.訂交C.異面D.以上都有可能解析：D60.l、l2是兩條異面直線，直線m、m與l、l2都訂交，則m、m的地址關(guān)系是（）112112A.異面或平行B.訂交C.異面D.訂交或異面解析：D61.在正方體ABCD-A’B’C’D’中,與棱AA’異面的直線共有幾條（）解析：A在正方體ABCD-A’B’C’D’中12條棱中能組成異面直線的總對(duì)數(shù)是（）對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)解析：B棱AA’有4條與之異面,因此,所有棱能組成4×12=48對(duì),但每一對(duì)都重復(fù)計(jì)算一次,共有24對(duì).63..正方體ABCD-A’B’C’D’中,異面直線CD’和BC’所成的角的度數(shù)是（）°°°°解析：B∠AD’C=60°即為異面直線CD’和BC’所成的角的度數(shù)為60°異面直線a、b，a⊥b，c與a成30°角，則c與b成角的范圍是（）A.B.C.D.解A直線c在地址c2時(shí),它與b成角的最大值為90°,直線c在c1地址時(shí),它與b成角的最小值是60°65..如圖，空間四邊形ABCD的各邊及對(duì)角線長(zhǎng)都是1，點(diǎn)M在邊AB上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)Q在邊CD上運(yùn)動(dòng)，則P、Q的最短距離為（）解析：B當(dāng)M,N分別為中點(diǎn)時(shí)。由于AB,CD為異面直線，因此M,N的最短距離就是異面直線AB,CD的距離為最短。連接BN,AN則CDBN,CD⊥AN且AN=BN,因此NM⊥AB。同理，連接CM,MD可得MN⊥CD。因此MN為AB,CD的公垂線。因?yàn)锳N=BN＝因此在RT△BMN中，MN＝求異面直線的距離平時(shí)利用定義來(lái)求，它包括兩個(gè)步驟:先證一條線段同時(shí)與兩異面直線訂交垂直；再利用數(shù)量關(guān)系求解。在做綜合題時(shí)經(jīng)常大家只重視第二步，而忽略第一步。66.空間四邊形ABCD中，AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，EF＝√3，則AD,BC所成的角為（）°°°°解B注：觀察異面直線所成角的看法，范圍及求法，需注意的是，異面直線所成的角不能夠是鈍角，而利用平行關(guān)系構(gòu)造可求解的三角形，可能是鈍角三角形，望大家注意。同時(shí)求角的大小是先證明再求解這一基本過(guò)程。67.直線a是平面α的斜線，b在平α內(nèi)，已知a與b成60°的角，且b與a在平α內(nèi)的射影成45°角時(shí)，a與α所成的角是（）°°°°解A68.m和n是分別在兩個(gè)互相垂直的面α、β內(nèi)的兩條直線，α與β交于l，m和n與l既不垂直，也不平行，那么m和n的地址關(guān)系是可能垂直，但不能能平行可能平行，但不能能垂直可能垂直，也可能平行既不能能垂直，也不能能平行解析：這種構(gòu)造的題目，經(jīng)常這樣辦理，先假設(shè)某地址關(guān)系建立，在此基礎(chǔ)進(jìn)步行推理，若無(wú)矛盾，且推理過(guò)程可逆，就必然這個(gè)假設(shè)；若有矛盾，就否定這個(gè)假設(shè)。設(shè)m設(shè)m⊥n，在β內(nèi)作直線α⊥l,∵α⊥β,∴a⊥α,∴m⊥a.又由于n和a共面且訂交（若a綜上所述，應(yīng)選（D）.如圖，ABCD-A1B1C1D1是正方體，E、F分別是AD、DD1的中點(diǎn)，則面EFC1B和面BCC1所成二面角的正切值等于解析：為了作出二面角E-BC1-C的平面角，需在一個(gè)面內(nèi)取一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)向另一個(gè)面引垂線（這是用三垂線定理作二面角的平面角的要點(diǎn)步驟）。從圖形特點(diǎn)看，應(yīng)當(dāng)過(guò)E（或F）作面BCC1的垂線.解析：過(guò)E作EH⊥BC，垂足為H.過(guò)H作HG⊥BC1，垂足為G.連EG.∵面ABCD⊥面BCC1，而EH⊥BC∵EH⊥面BEC1，EG是面BCC1的斜線，HG是斜線EG在面BCC1內(nèi)的射影.∵HG⊥BC1，∴EG⊥BC1，∴∠EGH是二面角E-BC1-C的平面角。在Rt△BCC1中：sin∠C1BC==在Rt△BHG中：sin∠C1BC=∴HG=（設(shè)底面邊長(zhǎng)為1）.而EH=1，在Rt△EHG中：tg∠EGH=∴∠EGH=arctg故二面角E-BC1-C等于arctg.將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，沿對(duì)角線AC折起，使BD=.則三棱錐D-ABC的體積為解析：設(shè)AC、BD交于O點(diǎn)，則BO⊥AC且DO⊥AC，在折起后，這個(gè)垂直關(guān)系不變，因此∠BOD是二面角B-AC-D的平面角.由于△DOB中三邊長(zhǎng)已知，因此可求出∠BOD：這是問(wèn)題的一方面，另一方面為了求體積，應(yīng)求出高，這個(gè)高實(shí)際上是△DOB中，OB邊上的高DE，原由是：∵DE⊥OB∴DE⊥面ABC.由cos∠DOB=，知sin∠DOE=DE=應(yīng)選（B）71.球面上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C.A和B，A和C間的球面距離等于大圓周長(zhǎng)的大圓周長(zhǎng)的.若是球的半徑是R，那么球心到截面ABC的距離等于

.B和

C間的球面距離等于.以下列圖，圓O是球的大圓，且大圓所在平面與面ABC垂直，其中弦的直徑，弦心距OD就是球心O到截面ABC的距離，OE是球的半徑，因此，欲求ABC的半徑.

EF是過(guò)A、B、C的小圓OD，需先求出截面圓下一個(gè)圖是過(guò)A、B、C的小圓.AB、AC、CB是每?jī)牲c(diǎn)之間的直線段△AOC、△COB中求得（O是球心）.由于A、B間球面距離是大圓周長(zhǎng)的，

.它們的長(zhǎng)度要分別在△AOB、因此∠AOB=×2π=，同理∠AOC=，∠BOC=.|AB|=R，|AC|=R，|BC|=.在△ABC中，由于AB2+AC2=BC2.∴∠BAC=90°,BC是小圓ABC的直徑.|ED|=從而|OD|=.故應(yīng)選B.如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，該圖中，互相垂直的面有對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)答案（D）解析：要找到一個(gè)好的工作方法，使得計(jì)數(shù)時(shí)不至于產(chǎn)生遺漏73.ABCD是各條棱長(zhǎng)都相等的三棱錐.M是△ABC的垂心，那么AB和DM所成的角等于______解析：90°連CM交AB于N，連DN，易知N是AB中點(diǎn)，AB⊥CN，AB⊥DN.已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).1）求證：MN⊥CD；2）若∠PDA=45°，求證MN⊥面PCD.(12分)解析：1(1)取PD中點(diǎn)E,又N為PC中點(diǎn),連NE,則NE//CD,NECD.2又AM//CD,AM1AM//NE,四邊形AMNE為平行四邊形CD,2MN//AEPA平面ABCDCDPACD平面ADPCD面ABCDCDADAECDAE.(注:或直接用三垂線定理,平面ADP(2)當(dāng)PDA45時(shí),RtPAD為等腰直角三角形則AEPD,又MN//AE,MNPD,PDCDDMN平面PCD.設(shè)P、Q是單位正方體AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心。如圖：（1）證明：PQ∥平面AA1B1B；（2）求線段PQ的長(zhǎng)。（12分）(1)證法一:取AA1,A1B1的中點(diǎn)M,N,連接MN,NQ,MPMP//AD,MP1AD,NQ//A1D1,NQ1A1D122MP//ND且MPND四邊形PQNM為平行四邊形PQ//MNMN面AA1B1B,PQ面AA1B1BPQ//面AA1B1B證法二:連接AD1,AB1,在AB1D1中,顯然P,Q分別是AD1,D1B的中點(diǎn)PQ//AB,且PQ1AB12PQ面AA1B1B,AB1面AA1B1BPQ//面AA1B1B(2)方法一:PQMNA1M2A1N22a212方法二:PQAB1a.22評(píng)注：本題供應(yīng)了兩種解法，方法一，經(jīng)過(guò)平行四邊形的對(duì)邊平行獲取“線線平行”，從而證得“線面平行”；方法二，經(jīng)過(guò)三角形的中位線與底邊平行獲取“線線平行”，從而證得“線面平行”。本題證法很多。76.如圖，已知l,EA于A,EB于B,a,aAB.求證a∥l解析：EA,EBlEAlll平面EABEB又a,EA,aEA又aAB平面EABa//l.．如圖，ABCD為正方形，過(guò)A作線段SA⊥面ABCD，又過(guò)A作與SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求證：E、H分別是點(diǎn)A在直線SB和SD上的射影。（12分）解析：SA平面ABCDBCBC平面SAABCD又ABBC,SAABA,BC平面SABBCAESC平面AHKESCAE又BCSCCAE平面SBCAESB,即E為A在SB上的射影.用理可證,H是點(diǎn)A在SD上的射影.在正方體ABCD—A1B1C1D1，G為CC1的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心。求證：A1O⊥平面GBD（14分）解析：A1ABDBD平面A1ADBDA1OACBDA1O面A1AO又A1O2A1A2AO2a2(2a)23a222OG2OC2CG2(2a)2(a)23a2224AG2AC2CG2(2a)2(a2)9a2111124A1O2OG2A1G2A1OOG又BDOG0A1O平面GBD79.如圖，已知a、b是兩條互相垂直的異面直線，其公垂線段AB的長(zhǎng)為定值m，定長(zhǎng)為n（n>m）的線段PQ的兩個(gè)端點(diǎn)分別在a、b上搬動(dòng)，M、N分別是AB、PQ的中點(diǎn)。1）求證：AB⊥MN；2）求證：MN的長(zhǎng)是定值（14分）解析：(1)取PB中點(diǎn)H,連接HN,則HN//b又ABbABHN同理ABMHAB平面MNHAB平面MNHABMNbABb平面PABbPB.(2)ab在RtPBQ中,BQ2PQ2PB2n2PB2(1)在Rt中22AB22m2(2)PBA,PAPBPB(1),(2)兩式相加PA2BQ2n2m2ab,MHN90MNMH2NH2PA2BQ21n22定值)22280.已知：平面與平面訂交于直線a，直線b與、都平行，求證：b∥a．證明：在a上取點(diǎn)P，b和P確定平面設(shè)與交于a，與交于a∵b∥且b∥∴b∥a且b∥a∴a與a重合，而a，a，實(shí)際上是a、a、a三線重合，a∥b．81.有三個(gè)幾何事實(shí)(a，b表示直線，表示平面)，①a∥b，②a∥，③b∥．其中，a，b在面外．用其中兩個(gè)事實(shí)作為條件，另一個(gè)事實(shí)作為結(jié)論，能夠構(gòu)造幾個(gè)命題？請(qǐng)用文字語(yǔ)言表達(dá)這些命題，并判斷真?zhèn)危_的給出證明，錯(cuò)誤的舉出反例．解析：Ⅰ：a∥ba∥b∥b在外Ⅱ：a∥bb∥a∥a在外Ⅰ、Ⅱ是同一個(gè)命題：兩條平行直線都在一個(gè)平面外，若其中一條與平面平行，則另一條也與該平面平行．證明：過(guò)a作平面與交于aa∥a∥a而a∥b∴b∥a且b在外，a在內(nèi)b∥．Ⅲ：a∥a∥bb∥命題：平行于同一個(gè)平面的兩條直線平行，這是錯(cuò)的，如右圖兩個(gè)平面同時(shí)垂直于一條直線，則兩個(gè)平面平行．已知：、是兩個(gè)平面，直線l⊥，l⊥，垂足分別為A、B．求證：∥思路1：依照判判定理證．證法1：過(guò)l作平面，∩＝AC，∩＝BD，過(guò)l作平面，∩＝AE，∩＝BF，l⊥l⊥ACl⊥l⊥BDAC∥BDAC∥，、AC、BD共面同理AE∥，AC∩AE≠，AC，AE，故∥．思路2：依照面面平行的定義，用反證法．證法2：設(shè)、有公共點(diǎn)P則l與P確定平面，且∩＝AP，∩＝BP．l⊥l⊥APl⊥l⊥BPl、、共面，于是在同一平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)有兩條直線、BP都與l垂直，這是不能能的．APBPAP故、不能夠有公共點(diǎn)，∴∥．83.已知：a、b是異面直線，a平面，b平面，a∥，b∥．求證：∥．證法1：在a上任取點(diǎn)，P顯然P∈b．于是b和點(diǎn)P確定平面．b′且與有公共點(diǎn)P∴∩＝b′且b′和a交于P，∵b∥，∴b∥b′∴b′∥而a∥這樣內(nèi)訂交直線a和b′都平行于∴∥．證法2：設(shè)是a、b的公垂線段，AB過(guò)AB和b作平面，∩＝b′，過(guò)AB和a作平面，∩＝a′．a(chǎn)∥a∥a′b∥b∥b′∴AB⊥aAB⊥a′，AB⊥bAB⊥b′于是AB⊥且AB⊥，∴∥．84.已知a、b、c是三條不重合的直線，α、β、r是三個(gè)不重合的平面，下面六個(gè)命題：a∥c，b∥ca∥b；②a∥r，b∥ra∥b；③α∥c，β∥cα∥β；④α∥r，β∥rα∥β；⑤a∥c，α∥ca∥α；⑥a∥r，α∥ra∥α．其中正確的命題是()(A)①④(B)①④⑤(C)①②③(D)①⑤⑥解析：由公義4“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”可知命題①正確；若兩條不重合的直線同平行于一個(gè)平面，它們可能平行，也可能異面還可能訂交，因此命題②錯(cuò)誤；平行于同一條直線的兩個(gè)不重合的平面可能平行，也可能訂交，命題③錯(cuò)誤；平行于同一平面的兩個(gè)不重合的平面必然平行，命題④正確；若一條直線和一個(gè)平面分別平行于同一條直線或同一個(gè)平面，那么這條直線與這個(gè)平面或平行，或直線在該平面內(nèi)，因此命題⑤、⑥都是錯(cuò)的，答案選A．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC，M、N分別是A1B1，AB的中點(diǎn)，P點(diǎn)在線段B1C上，則NP與平面AMC1的地址關(guān)系是()垂直平行P訂交但不垂直要依P點(diǎn)的地址而定解析：由題設(shè)知B1M∥AN且B1M=AN，四邊形ANB1M是平行四邊形，故B1N∥AM，B1N∥AMC1平面．又C1M∥CN，得CN∥平面AMC1，則平面B1NC∥AMC1，NP平面B1NC，∴NP∥平面AMC1．答案選B．已知：正方體ABCD－A1B1C1D1棱長(zhǎng)為a．求證：平面A1BD∥平面B1D1C；求平面A1BD和平面B1D1C的距離．證明：(1)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，∵BB1平行且等于DD1，∴四邊形BB1D1D是平行四邊形，BD∥B1D1，BD∥平面B1D1C．同理A1B∥平面B1D1C，又A1B∩BD=B，平面A1BD∥平面B1D1C解：(2)連AC1交平面A1BD于M，交平面B1D1C于N．AC是AC1在平面AC上的射影，又AC⊥BD，AC1⊥BD，同理可證，AC1⊥A1B，AC1⊥平面A1BD，即MN⊥平面A1BD，同理可證MN⊥平面B1D1C．MN的長(zhǎng)是平面A1BD到平面B1D1C的距離，設(shè)AC、BD交于E，則平面A1BD與平面A1C交于直線A1E．∵M(jìn)∈平面A1BD，M∈AC1平面A1C，M∈A1E．同理N∈CF．在矩形AA1C1C中，見(jiàn)圖9－21(2)，由平面幾何知識(shí)得MN1AC1，3∴MN3a．3議論：當(dāng)空間圖形較為復(fù)雜時(shí)，能夠分解圖形，把其中的平面圖形折出解析，利于清楚地觀察出平面上各種線面的地址關(guān)系．證明面面平行，主若是在其中一個(gè)平面內(nèi)找出兩條與另一個(gè)平面平行的訂交直線，也許使用反證法．已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面邊長(zhǎng)為8，對(duì)角線B1C=10，D為AC的中點(diǎn)．求證AB1∥平面C1BD；求直線AB1到平面C1BD的距離．證明：(1)設(shè)B1C∩BC1=O．連DO，則O是B1C的中點(diǎn)．在△ACB1中，D是AC中點(diǎn)，O是B1C中點(diǎn)．∴DO∥AB1，又DO平面C1BD，AB1平面C1BD，∴AB1∥平面C1BD．解：(2)由于三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)，∴BD⊥AC，且BD⊥CC1，∴BD⊥平面AC1，平面C1BD⊥平面AC1，C1D是交線．在平面AC1內(nèi)作AH⊥C1D，垂足是H，∴AH⊥平面C1BD，又AB1∥平面C1BD，故AH的長(zhǎng)是直線AB1到平面C1BD的距離．由BC=8，B1C=10，得CC1=6，在Rt△C1DC中，DC=4，CC1=6，sinC1DC63621342在Rt△DAH中，∠ADH=∠C1DC∴AHADsinC1DC1213．13即AB到平面CBD的距離是1213．1113議論：證明線面平行的要點(diǎn)是在平面內(nèi)找出與已知直線平行的直線，如本題的DO．本題的第(2)問(wèn)，實(shí)質(zhì)進(jìn)步行了“平移變換”，利用1∥平面1，把求直線到平面的距離變換為求點(diǎn)A到平面的距離．ABCBD88.已知：直線a∥平面．求證：經(jīng)過(guò)a和平面平行的平面有且僅有一個(gè)．證：過(guò)a作平面與交于a，在內(nèi)作直線b與a訂交，在a上任取一點(diǎn)P，在b和P確定的平面內(nèi)，過(guò)P作b∥b．b在外，b在內(nèi)，∴b∥而a∥∴a，b確定的平面過(guò)a且平行于．∵過(guò)a，b的平面只有一個(gè)，∴過(guò)a平行于平面的平面也只有一個(gè)89.已知平面、、、．其中∩=l，∩=a，∩=a，a∥a，∩=b，∩=b，b∥b上述條件能否保證有∥？若能，給出證明，若不能夠給出一個(gè)反例，并增加合適的條件，保證有∥．不足以保證∥．如右圖．若是增加條件a與b是訂交直線，那么∥．證明以下：a∥aa∥b∥bb∥a，b是內(nèi)兩條訂交直線，∴∥．90.三個(gè)平面兩兩訂交得三條直線，求證：這三條直線訂交于同一點(diǎn)或兩兩平行.已知：平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c.求證：a、b、c訂交于同一點(diǎn)，或a∥b∥c.證明：∵α∩β＝a，β∩γ＝ba、bβa、b訂交或a∥b.a、b訂交時(shí)，不如設(shè)a∩b＝P，即P∈a，P∈b而a、bβ，aαP∈β，P∈α，故P為α和β的公共點(diǎn)又∵α∩γ＝c由公義2知P∈ca、b、c都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，即a、b、c三線共點(diǎn).(2)當(dāng)a∥b時(shí)∵α∩γ＝c且aα，aγa∥c且a∥ba∥b∥c故a、b、c兩兩平行.由此可知a、b、c訂交于一點(diǎn)或兩兩平行.說(shuō)明：此結(jié)論經(jīng)常作為定理使用，在判斷問(wèn)題中經(jīng)常被使用.91.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F(xiàn)在BD上，且B1E＝BF.求證：EF∥平面BB1C1C.證法一：連AF延長(zhǎng)交BC于M，連接B1M.AD∥BC∴△AFD∽△MFB∴

AFDFFMBF又∵BD＝B1A，B1E＝BFDF＝AEAFAEFMB1EEF∥B1M，B1M平面BB1C1CEF∥平面BB1C1C.證法二：作FH∥AD交AB于H，連接HEAD∥BCFH∥BC，BCBB1C1CFH∥平面BB1C1C由FH∥AD可得BFBHBDBA又BF＝B1E，BD＝AB1B1EBHAB1BA∴EH∥B1B，B1B平面BB1C1CEH∥平面BB1C1C，EH∩FH＝H∴平面FHE∥平面BB1C1CEF平面FHEEF∥平面BB1C1C說(shuō)明：證法一用了證線面平行，先證線線平行.證法二則是證線面平行，先證面面平行，爾后說(shuō)明直線在其中一個(gè)平面內(nèi).已知：平面α∥平面β，線段AB分別交α、β于點(diǎn)M、N；線段AD分別交α、β于點(diǎn)C、D；線段BF分別交α、β于點(diǎn)F、E，且AM=m,BN=n,MN=p，△FMC面積=(m+p)(n+p),求：END的面積.解析：如圖，面AND分別交α、β于MC，ND，由于α∥β，故MC∥ND，同理MF∥NE，得∠FMC＝∠END，∴ND∶MC＝（m+p)：m和EN∶FM＝n∶(n+p)1ENNDsinENDS△END∶S△FMC＝2FMMCsinFMC得S△END＝ENND×S△FMCFMMCnmp·(m+p)(n+p)=n(m+p)2npmm∴△END的面積為n(m+p)2平方單位.m93.如圖，在正方體11111ABCD—ABCD中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在BC上，并且CM=DN.求證:MN∥平面AA1B1B.解析：本題是把證“線面平行”轉(zhuǎn)變成證“線線平行”，即在平面11內(nèi)找一條直線與平行，除上面的證法外，還可以夠連并延ABBAMNCN長(zhǎng)交直線BA于點(diǎn)P，連B1P，就是所找直線，爾后再想法證明MN∥1.BP解析二：要證“線面平行”也可轉(zhuǎn)變成證“面面平行”，因此，本題也可想法過(guò)MN作一個(gè)平面，使此平面與平面ABB1A1平行，從而證得MN∥平面ABB1A1.94.已知E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊AD，AB的中點(diǎn)，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．（1）求證：EF⊥平面GMC．（2）若AB＝4，GC＝2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離．解析：第1小題，證明直線與平面垂直，常用的方法是判判定理；第2小題，若是用定義來(lái)求點(diǎn)到平面的距離，由于表現(xiàn)距離的垂線段無(wú)法直觀地畫(huà)出，因此，經(jīng)常將這樣的問(wèn)題轉(zhuǎn)變成直線到平面的距離問(wèn)題．解：1）連接BD交AC于O，E，F(xiàn)是正方形ABCD邊AD，AB的中點(diǎn)，AC⊥BD，∴EF⊥AC．∵AC∩GC＝C，EF⊥平面GMC．（2）可證BD∥平面EFG，由例題2，正方形中心O到平面EFG已知：ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一點(diǎn)．求證：BE不能能垂直于平面SCD．解析：用到反證法，假設(shè)BE⊥平面SCD，AB∥CD；∴AB⊥BE．AB⊥SB，這與Rt△SAB中∠SBA為銳角矛盾．BE不能能垂直于平面SCD．已知PA，PB，PC與平面α所成的角分別為60°，45°，30°，PO⊥平面α，O為垂足，又斜足A，B，C三點(diǎn)在同素來(lái)線上，且AB＝BC＝10cm，求PO的長(zhǎng)．解析：已知：如圖，AS⊥平面SBC，SO⊥平面ABC于O，求證：AO⊥BC．解析：連接AO，證明BC⊥平面ASO．已知ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，M、N分別是SC、AB的中點(diǎn)．求證：MN⊥AB．解析：連接MB、MA，證明MB＝MA．99.已知：如圖，平面∩平面＝直線l，A∈，AB⊥，B∈，BC⊥，C∈，求證：AC⊥l．證明：∵AB⊥，ll⊥ABBC⊥，ll⊥BCAB∩BC＝Bl⊥平面ABCAC平面ABCl⊥AC已知：如圖，P是∠BAC所在平面外一點(diǎn)，PD⊥AB，D為垂足，PE⊥AC，E為垂足，在平面BAC內(nèi)過(guò)D作DF⊥AB，過(guò)E作EF⊥AC，使得EF∩DF＝F．連接PF，求證：PF⊥平面BAC．證明：∵PD⊥AB，DF⊥AB，PDDF＝DAB⊥平面PDFPF平面PDFAB⊥PF同理，AC⊥PF∵PF⊥AB，PF⊥AC，BAAC＝APF⊥平面BAC101.ABC是△ABC在平面α上的射影，那么ABC和∠ABC的大小關(guān)系是()(A)ABC<∠ABC(B)ABC>∠ABC(C)ABC≥∠ABC(D)不能夠確定解析：D一個(gè)直角，當(dāng)有一條直角邊平行于平面時(shí)，則射影角能夠等于原角大小，但一般情況不等．102.已知:如圖,△中,=90,CD平面,,和平面所成的角分別為30和ABCACBADBD,CD=h,求:D點(diǎn)到直線AB的距離。解析：1、先找出點(diǎn)D到直線的距離,即過(guò)點(diǎn)作,從圖形以及條件可知,若把放在△ABDDEABDEABD中不易求解。2、由于CD平面,把轉(zhuǎn)變到直角三角形中求解,從而轉(zhuǎn)變成先求在平面內(nèi)的射影長(zhǎng)。DEDE解:連AC,BC,過(guò)D作DEAB,連CE,則DE為D到直線AB的距離。CD∴AC,BC分別是AD,BD在內(nèi)的射影?！郉AC,DBC分別是AD和BD與平面所成的角∴DAC=30,DBC=45在Rt△ACD中,∵CD=h,DAC=30∴AC=3h在Rt△BCD中∵CD=h,DBC=45BC=hCD,DEABCEAB在Rt△ACB中ABAC2BC22h1AC1AB·CESBC22∴CEACBC3h·h3AB2hh2∴在Rt△中,DCEDEDC2CE2h2327(h)h22∴點(diǎn)D到直線的距離為72103.已知a、b、c是平面α內(nèi)訂交于一點(diǎn)O的三條直線，而直線l和α訂交，并且和a、b、c三條直線成等角．求證：l⊥α證法一：分別在a、b、c上取點(diǎn)A、B、C并使AO=BO=CO．設(shè)l經(jīng)過(guò)O，在l上取一點(diǎn)P，在△POA、POB、△POC中，PO公用，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC，∴△POA≌△POB≌△POCPA=PB=PC．取AB中點(diǎn)D．連接OD、PD，則OD⊥AB，PD⊥AB，∵PDODDAB⊥平面PODPO平面POD．∴PO⊥AB．同理可證PO⊥BC∵AB，BC，ABBCB∴PO⊥α，即l⊥α若l不經(jīng)過(guò)O時(shí)，可經(jīng)過(guò)O作l∥l．用上述方法證明l⊥α，l⊥α．證法二：采用反證法假設(shè)l不和α垂直，則l和α斜交于O．同證法一，獲取PA=PB=PC．過(guò)P作PO于O，則AOBOCO，是△的外心．由于O也是△的外心，這樣，△OABCABCABC有兩個(gè)外心，這是不能能的．∴假設(shè)l不和α垂直是不能立的．l⊥α若l不經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)，過(guò)O作l∥l，用上述同樣的方法可證l⊥α，l⊥α議論：（1）證明線面垂直時(shí)，一般都采用直接證法（如證法一），有時(shí)也采用反證法（如證法二）或同一法．P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，O是點(diǎn)P在平面α上的射影．（1）若PA=PB=PC，則O是△ABC的____________心．（2）若點(diǎn)P到△的三邊的距離相等，則O是△_________心．ABCABC3）若PA、PB、PC兩兩垂直，則O是△ABC_________心．4）若△ABC是直角三角形，且PA=PB=PC則O是△ABC的____________心．（5）若△ABC是等腰三角形，且PA=PB=PC，則O是△ABC的____________心．（6）若PA、PB、PC與平面ABC所成的角相等，則O是△ABC的________心；解析：（1）外心．∵PA=PB=PC，∴OA=OB=OC，∴O是△ABC的外心．（2）內(nèi)心（或旁心）．作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，連接PD、PE、PF．∵PO⊥平面ABC，∴OD、OE、OF分別為PD、PE、PF在平面ABC內(nèi)的射影，由三垂線定理可知，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC．由已知PD=PE=PF，得OD=OE=OF，∴O是△ABC的內(nèi)心．（如圖答9-23）（3）垂心．4）外心．（5）外心6）外心．PA與平面ABC所成的角為∠PAO，在△PAO、△PBO、△PCO中，PO是公共邊，∠POA=∠POB=∠POC=90°，∠PAO=∠PBO=∠PCO，∴△PAO≌△PBO≌△PCO，∴OA=OB=OC，∴O為△ABC的外心．（其他心又在等腰三角形的底邊高線上）．將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折起來(lái)，使點(diǎn)C的新地址C在面ABC上的射影E恰在AB上．求證：ACBC解析：欲證ACBC，只須證BC與AC所在平面ACD垂直；而要證BC⊥平面ACD，只須證BCCD且BC⊥AD．因此，如何利用三垂線定理證明線線垂直就成為要點(diǎn)步驟了．證明：由題意，BC⊥CD，又斜線BC在平面ABCD上的射影是BA，∵BA⊥AD，由三垂線定理，得CBAD，CDDAD．∴BC⊥平面CAD，而CA平面CAD∴BC⊥AC已知異面直線l1和l2，l1⊥l2，MN是l1和l2的公垂線，MN=4，A∈l1，B∈l2，AM=BN=2，O是MN中點(diǎn)．①求l1與OB的成角．②求A點(diǎn)到OB距離．解析：本題若將條件放入立方體的“原型”中，抓住“一個(gè)平面四條線”的圖形特點(diǎn)及“直線平面垂直”的要點(diǎn)性條件，問(wèn)題就顯得簡(jiǎn)單了然．解析：（1）如圖，畫(huà)兩個(gè)相連的正方體，將題目條件一一標(biāo)在圖中．OB在底面上射影NB⊥CD，由三垂線定理，OB⊥CD，又CD∥MA，OB⊥MA即OB與l1成90°（2）連接BO并延長(zhǎng)交上底面于E點(diǎn)．ME=BN，∥ME=2，又ON=2∴OBOE22．作AQ⊥BE，連接MQ．對(duì)于平面EMO而言，AM、AQ、MQ分別為垂線、斜線、斜線在平面內(nèi)的射影，由三垂線逆定理得MQ⊥EO．在Rt△中，MEMO222．22EO議論：又在Rt△AMQ中，AQAM2MQ2426，本題經(jīng)過(guò)補(bǔ)形法使較困難的問(wèn)題變得明顯易解；求點(diǎn)到直線的距離，依舊是利用直線與平面垂直的要點(diǎn)條件，抓住“一個(gè)面四條線”的圖形特點(diǎn)來(lái)解決的．107.已知各棱長(zhǎng)均為a的正周?chē)wABCD，E是AD邊的中點(diǎn)，連接CE．求CE與底面BCD所成角的正弦值．解析：作⊥底面，垂足H是正△中心，AHBCDBCD連DH延長(zhǎng)交BC于F，則平面AHD⊥平面BCD，作EO⊥HD于O，連接EC，則∠ECO是EC與底面BCD所成的角則EO⊥底面BCD．HD2DF23a3a3323AHAD2HD2a2a26a3311663EOAH2aa，CEa2362EO6a2∴sinECO6EC33a2已知周?chē)wS－ABC中，SA⊥底面ABC，△ABC是銳角三角形，H是點(diǎn)A在面SBC上的射影．求證：H不能能是△SBC的垂心．解析：本題因不易直接證明，故采用反證法．證明：假設(shè)H是△SBC的垂心，連接BH，并延長(zhǎng)交SC于D點(diǎn)，則BH⊥SCAH⊥平面SBC，∴BH是AB在平面SBC內(nèi)的射影∴SC⊥AB（三垂線定理）又∵SA⊥底面ABC，AC是SC在面內(nèi)的射影AB⊥AC（三垂線定理的逆定理）△ABC是Rt△與已知△ABC是銳角三角形相矛盾，于是假設(shè)不能立．故H不能能是△SBC的垂心．已知ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求點(diǎn)B到平面EFG的距離．解析：如圖，連接EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O．由于ABCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點(diǎn)，故EF∥BD，H為AO的中點(diǎn)．BD不在平面

EFG上．否則，平面

EFG和平面

ABCD重合，從而點(diǎn)

G在平面的

ABCD上，與題設(shè)矛盾．由直線和平面平行的判判定理知離．

BD∥平面EFG，因此

BD和平面

EFG的距離就是點(diǎn)——4分

B到平面

EFG的距∵BD⊥AC，∴EF⊥HC．∵GC⊥平面∴EF⊥GC，

ABCD，∴EF⊥平面HCG．∴平面EFG⊥平面

HCG，HG是這兩個(gè)垂直平面的交線．

——6分作OK⊥HG交HG于點(diǎn)K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知

OK⊥平面

EFG，因此線段

OK的長(zhǎng)就是點(diǎn)

B到平面EFG的距離．

——8分∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，GC=2，∴AC=42，HO=2，HC=32．∴在Rt△HCG中，HG=322222．2由于Rt△HKO和Rt△HCG有一個(gè)銳角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．∴OK=HOGC22211．HG2211即點(diǎn)B到平面EFG的距離為211．——10分11注：未證明“BD不在平面EFG上”不扣分．已知：AB與CD為異面直線，AC＝BC，AD＝BD．求證：AB⊥CD．說(shuō)明：（1）應(yīng)用判判定理，掌握線線垂直的一般思路．（2）思路：欲證線線垂直，只要證線面垂直，再證線線垂直，而由已知構(gòu)造線線垂直是要點(diǎn)．（3）授課方法，引導(dǎo)學(xué)生解析等腰三角形三線合一的性質(zhì)構(gòu)造圖形，找到證明方法．證明：如圖，取AB中點(diǎn)E，連接CE、DEAC＝BC，E為AB中點(diǎn)．∴CE⊥AB同理DE⊥AB，又CE∩DE＝E，且CE平面CDE，DE平面CDE．∴AB⊥平面CDE又CD平面CDEAB⊥CD．111.兩個(gè)訂交平面、都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線a必然和第三個(gè)平面垂直．證明：在內(nèi)取一點(diǎn)P，過(guò)P作PA垂直與的交線；過(guò)P作PB垂直與的交線．∵⊥且⊥PA⊥且PB⊥PA⊥a且PB⊥aa⊥112.在立體圖形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是PC中點(diǎn)．AC，BD交于O點(diǎn)．（Ⅰ）求二面角Q－BD－C的大小：（Ⅱ）求二面角B－QD－C的大?。馕觯海á瘢┙猓哼BQO，則QO∥PA且QO＝1PA＝1AB22PA⊥面ABCDQO⊥面ABCD面QBD過(guò)QO，∴面QBD⊥面ABCD故二面角Q－BD－C等于90°．（Ⅱ）解：過(guò)O作OH⊥QD，垂足為H，連CH．∵面QBD⊥面BCD，又∵CO⊥BDCO⊥面QBDCH在面QBD內(nèi)的射影是OHOH⊥QDCH⊥QD于是∠OHC是二面角的平面角．設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)2，則OQ＝1，OD＝2，QD＝3．∵OH·QD＝OQ·ODOH＝2．3又OC＝2在Rt△COH中：tan∠OHC＝OC＝2·2＝3OH3∴∠OHC＝60°故二面角B－QD－C等于60°．113.如圖在ABC中，AD⊥BC，ED=2AE，過(guò)E作FG∥BC，且將AFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求證:A'E⊥平面A'BC解析：弄清折疊前后，圖形中各元素之間的數(shù)量關(guān)系和地址關(guān)系。解：∵FG∥BC，AD⊥BCA'E⊥FGA'E⊥BC設(shè)A'E=a，則ED=2a由余弦定理得：A'D2=A'E2+ED2-2?A'E?EDcos60°

A'CGDAEBF=3a

222+A'E2∴ED=A'D∴A'D⊥A'E∴A'E⊥平面A'BC114.α、β是兩個(gè)不同樣的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同樣直線，給出四個(gè)論斷：①m⊥n，α⊥β，③n⊥β，④m⊥α．以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題，并證明它．解析：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n（或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β）證明以下：過(guò)不在α、β內(nèi)的任一點(diǎn)P，作PM∥m，PN∥n過(guò)PM、PN作平面r交α于MQ，交β于N