中考數(shù)學(xué)壓軸題專(zhuān)題一元二次方程的經(jīng)典綜合題含詳細(xì)答案

一、一元二次方程真題與模擬題分類(lèi)匯編(難題易錯(cuò)題)1.關(guān)于X的方程(k—1)x2+2kx+2=0求證：無(wú)論k為何值，方程總有實(shí)數(shù)根.設(shè)X],x2是方程(k—1)x2+2kx+2=0的兩個(gè)根，記S=〒+=+xT+x2，S的值能為2嗎？若能，求出此時(shí)k的值.若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)S的值能為2,此時(shí)k的值為2.【解析】試題分析：(1)本題二次項(xiàng)系數(shù)為(k—1)，可能為0,可能不為0,故要分情況討論；要保證一元二次方程總有實(shí)數(shù)根，就必須使△>0恒成立；(2)欲求k的值，先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計(jì)算即可.試題解析：(1)①當(dāng)k-1=0即k=1時(shí)，方程為一元一次方程2x=1,1x=;有一個(gè)解；②當(dāng)k-1H0即kH1時(shí)，方程為一元二次方程，△=(2k)2-4x2(k-1)=4k2-8k+8="4(k-1)"2+4>0方程有兩不等根綜合①②得不論k為何值，方程總有實(shí)根-2k2Vxi+x2=,x1x2=???S=++x+x12兩衍'-IkL4k-12Jt-14—1-2k——一2十k-\=2k-2=2，解得k=2，?當(dāng)k=2時(shí)，S的值為2?S的值能為2,此時(shí)k的值為2.考點(diǎn)：一元二次方程根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系.已知x=-1是關(guān)于x的方程x2+2ax+a2=0的一個(gè)根，求a的值.【答案】1【解析】試題分析：根據(jù)一元二次方程解的定義，把x=-1代入x2+2ax+a2=0得到關(guān)于a的一元二次方程1-2a+a2=0,然后解此一元二次方程即可.試題解析：把x=-1代入x2+2ax+a2=0得1-2a+a2=0，解得a1=a2=1，所以a的值為1.已知x、x2是關(guān)于x的方程x2-2(m+l)x+m2+5=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.⑴求實(shí)數(shù)m的取值范圍；⑵已知等腰AABC的一邊長(zhǎng)為7,若xi、x2恰好是AABC另外兩邊長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).【答案】(1)m>2;⑵17【解析】試題分析：(1)由根的判別式即可得；(2)由題意得出方程的另一根為7,將x=7代入求出x的值，再根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系判斷即可得.試題解析：解：(1)由題意得厶=4(m+1)2-4(m2+5)=8m—16>0,解得：m>2；(2)由題意，TX]%時(shí)，二只能取X]=7或x2=7，即7是方程的一個(gè)根，將x=7代入得：49-14(m+1)+m2+5=0，解得：m=4或m=10.當(dāng)m=4時(shí)，方程的另一個(gè)根為3,此時(shí)三角形三邊分別為7、7、3,周長(zhǎng)為17；當(dāng)m=10時(shí)，方程的另一個(gè)根為15,此時(shí)不能構(gòu)成三角形；故三角形的周長(zhǎng)為17.點(diǎn)睛：本題主要考查判別式、三角形三邊之間的關(guān)系，熟練掌握韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵.已知關(guān)于x的方程X2-2x+m-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求m的取值范圍；⑵如果m為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求m的值.【答案】(1)mV3；(2)m=2.【解析】【分析】根據(jù)題意得出△>0,代入求出即可；求出m=1或2,代入后求出方程的解，即可得出答案.【詳解】T方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.△=4-4(m-2)>0.二mV3；TmV3且m為正整數(shù)，m=1或2.當(dāng)m=1時(shí)，原方程為x2-2x-1=0.它的根不是整數(shù)，不符合題意，舍去；當(dāng)m=2時(shí)，原方程為X2-2x=0.x(x-2)=0.二Xi=0，x2=2.符合題意.綜上所述，m=2.【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式和解一元二次方程，能根據(jù)題意求出m的值和m的范圍是解此題的關(guān)鍵．5．淘寶網(wǎng)舉辦“雙十一”購(gòu)物活動(dòng)許多商家都會(huì)利用這個(gè)契機(jī)進(jìn)行打折讓利的促銷(xiāo)活動(dòng)．甲網(wǎng)店銷(xiāo)售的A商品的成本為30元/件，網(wǎng)上標(biāo)價(jià)為80元/件.“雙十一"購(gòu)物活動(dòng)當(dāng)天，甲網(wǎng)店連續(xù)兩次降價(jià)銷(xiāo)售A商品吸引顧客，問(wèn)該店平均每次降價(jià)率為多少時(shí)，才能使A商品的售價(jià)為39.2元/件？據(jù)媒體爆料，有一些淘寶商家在“雙十一”購(gòu)物活動(dòng)當(dāng)天先提高商品的網(wǎng)上標(biāo)價(jià)后再推出促銷(xiāo)活動(dòng)，存在欺詐行為."雙十一"活動(dòng)之前，乙網(wǎng)店銷(xiāo)售A商品的成本、網(wǎng)上標(biāo)價(jià)與甲網(wǎng)店一致，一周可售出1000件A商品.在"雙^一”購(gòu)物活動(dòng)當(dāng)天，乙網(wǎng)店先將A商品的網(wǎng)上標(biāo)價(jià)提高a%,再推出五折促銷(xiāo)活動(dòng)，吸引了大量顧客，乙網(wǎng)店在“雙十一"購(gòu)物活動(dòng)當(dāng)天賣(mài)出的A商品數(shù)量相比原來(lái)一周增加了2a%,“雙十一"活動(dòng)當(dāng)天乙網(wǎng)店的利潤(rùn)達(dá)到了3萬(wàn)元，求乙網(wǎng)店在“雙十一”購(gòu)物活動(dòng)這天的網(wǎng)上標(biāo)價(jià)．【答案】(1)平均每次降價(jià)率為30%，才能使這件A商品的售價(jià)為39.2元；(2)乙網(wǎng)店在“雙十一”購(gòu)物活動(dòng)這天的網(wǎng)上標(biāo)價(jià)為100元．【解析】【分析】設(shè)平均每次降價(jià)率為x,才能使這件A商品的售價(jià)為39.2元，根據(jù)原標(biāo)價(jià)及經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；根據(jù)總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)x銷(xiāo)售數(shù)量，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再將其代入80(1+a%)中即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)平均每次降價(jià)率為x,才能使這件A商品的售價(jià)為39.2元，根據(jù)題意得：80(1-x)2=39.2，解得：x1=0.3=30%，x2=1.7(不合題意，舍去).答：平均每次降價(jià)率為30%，才能使這件A商品的售價(jià)為39.2元.根據(jù)題意得：[0.5x80(1+a%)-30]x1000(1+2a%)=30000，整理得：a2+75a-2500=0，解得：a1=25，a2=-100(不合題意，舍去)，.80(1+a%)=80x(1+25%)=100．答：乙網(wǎng)店在“雙十一”購(gòu)物活動(dòng)這天的網(wǎng)上標(biāo)價(jià)為100元．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-mx-2=0...①若x=-1是方程①的一個(gè)根，求m的值和方程①的另一根；對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,判斷方程①的根的情況，并說(shuō)明理由.【答案】(1)方程的另一根為x=2；(2)方程總有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，理由見(jiàn)解析.【解析】試題分析：(1)直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一個(gè)根；(2)利用一元二次方程根的情況可以轉(zhuǎn)化為判別式△與0的關(guān)系進(jìn)行判斷.⑴把x=-1代入得1+m-2=0,解得m=1—=0.工二.'■：■二-1???另一根是2；(2)T一：=:-L:、L，???方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.考點(diǎn)：本題考查的是根的判別式，一元二次方程的解的定義，解一元二次方程點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：當(dāng)△>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)厶<0,方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根今年以來(lái)豬肉價(jià)格不斷走高，引起了民眾與區(qū)政府的高度關(guān)注，當(dāng)市場(chǎng)豬肉的平均價(jià)格每千克達(dá)到一定的單價(jià)時(shí)，政府將投入儲(chǔ)備豬肉以平抑豬肉價(jià)格.據(jù)統(tǒng)計(jì)：從今年年初至11月10日，豬排骨價(jià)格不斷走高，11月10日比年初價(jià)格上漲了75%.今年11月10日某市民于A超市購(gòu)買(mǎi)5千克豬排骨花費(fèi)350元.3A超市11月排骨的進(jìn)貨價(jià)為年初排骨售價(jià)的2倍，按11月10日價(jià)格出售，平均一天能銷(xiāo)售出100千克，超市統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：若排骨的售價(jià)每千克下降1元，其日銷(xiāo)售量就增加20千克，超市為了實(shí)現(xiàn)銷(xiāo)售排骨每天有1000元的利潤(rùn)，為了盡可能讓顧客優(yōu)惠應(yīng)該將排骨的售價(jià)定位為每千克多少元？11月11日，區(qū)政府決定投入儲(chǔ)備豬肉并規(guī)定排骨在11月10日售價(jià)的基礎(chǔ)上下調(diào)a%出售，A超市按規(guī)定價(jià)出售一批儲(chǔ)備排骨，該超市在非儲(chǔ)備排骨的價(jià)格不變情況下，該5天的兩種豬排骨總銷(xiāo)量比11月10日增加了a%,且儲(chǔ)備排骨的銷(xiāo)量占總銷(xiāo)量的7，兩種排1骨銷(xiāo)售的總金額比11月10日提高了冇a%,求a的值.28【答案】(1)售價(jià)為每千克65元；(2)a=35.【解析】【分析】(1)先根據(jù)題意計(jì)算出11月10的售價(jià)和11月的進(jìn)貨價(jià)，設(shè)每千克降價(jià)x元，則每千克

的利潤(rùn)為10-x元，日銷(xiāo)量為100+20X千克，根據(jù)銷(xiāo)量x單利潤(rùn)二總利潤(rùn)列出方程求解，并根據(jù)為了盡可能讓顧客優(yōu)惠，對(duì)所得的解篩選；(2)根據(jù)銷(xiāo)售總金額二儲(chǔ)備排骨銷(xiāo)售單價(jià)x儲(chǔ)備排骨銷(xiāo)售數(shù)量+非儲(chǔ)備排骨銷(xiāo)售單價(jià)x非儲(chǔ)備排骨銷(xiāo)售數(shù)量，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.【詳解】解：(1)11月10日的售價(jià)為350三5=70元/千克年初的售價(jià)為：350-5-175%=40元/千克，311月的進(jìn)貨價(jià)為：4^-=60元/千克設(shè)每千克降價(jià)x元，則每千克的利潤(rùn)為70-60-x=10-x元，日銷(xiāo)量為100+20X千克則(100+20x)(10—x)=1000，解得珥=0，x2二5因?yàn)闉榱吮M可能讓顧客優(yōu)惠，所以降價(jià)5元，則售價(jià)為每千克65元.2)根據(jù)題意可得2870?(l—a%)?100?(l+a%)?—+70x100(1+a%)?—二70x100?1+一a%28解得a1二35,a2二0(舍去)所以a=35.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，(1)中理清銷(xiāo)售量隨著單價(jià)的變化而變化的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵；(2)中在求解時(shí)有些難度，可先設(shè)令a%=t，解方程求出t后再求a的值.8．閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a〉0，b〉0時(shí)：-(Pa—鶯萬(wàn))2=a-2\：ab+b>0a+b>^.0b，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).請(qǐng)利用上述結(jié)論解決以下問(wèn)題：11請(qǐng)直接寫(xiě)出答案：當(dāng)x〉0時(shí)，x+的最小值為?當(dāng)xV0時(shí)，x+的最大值xx為;x2+7x+10若尸，(x>-1)，求y的最小值；x+1如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,△AOB、△COD的面積分別為4和9,求四邊形ABCD面積的最小值.

【答案】(1)2；-2.(2)y的最小值為9；(3)四邊形ABCD面積的最小值為25.【解析】【分析】(1)當(dāng)x>0時(shí)，按照公式a+b>2^ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))來(lái)計(jì)算即可；當(dāng)xVO時(shí)，-x>0,—>0,則也可以按公式a+b>2\'ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))來(lái)計(jì)算；xx2+7x+10(2)將y=-一的分子變形，分別除以分母，展開(kāi)，將含x的項(xiàng)用題中所給公式求得最小值，再加上常數(shù)即可；(3)設(shè)boc=x，已知S△aob=4，S△cod=9,由二角形面積公式可知：s△BOC：s△CO’S△aob：AOD，用含x的式子表示出S、AOD，再表示出四邊形的面積，根據(jù)題中所給公式求得最小值，加上常數(shù)即可.=2；-X-=2；-X-->2j-x--x二2,1???貝yx+=_x11(-x-)<-2,A當(dāng)x>0時(shí)，x+的最xx1小值為2.當(dāng)xV0時(shí)，x+—的最大值為-2.x二(x+1)2+二(x+1)2+5(x+1)+4=(x+1)x2+7x+104+1+1+5>2(2)vx>-1,?x4+1+1+5>2(x+1)?+5=4+5=9,y的最小值為9.x+136則由等高三角形可知：S、BOC：S=S:S,?x：9=4：S,?S=-,△COD△AOB△AOD△AOD△AODx'36、136四邊形ABCD面積=4+9+x+->13+2,：x-=25.xx當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)，取等號(hào)，?四邊形ABCD面積的最小值為25.【點(diǎn)睛】(3)設(shè)沐BOC=x，已知s、aob=4，S、COD=9

本題考查了配方法在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．對(duì)不能直接應(yīng)用公式的，需要正確變形才可以應(yīng)用．9．元旦期間，某超市銷(xiāo)售兩種不同品牌的蘋(píng)果,已知1千克甲種蘋(píng)果和1千克乙種蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)之和為18元.當(dāng)銷(xiāo)售1千克甲種蘋(píng)果和1千克乙種蘋(píng)果利潤(rùn)分別為4元和2元時(shí),陳老師購(gòu)買(mǎi)3千克甲種蘋(píng)果和4千克乙種蘋(píng)果共用82元.（1）求甲、乙兩種蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)分別是每千克多少元？（2）在（1）的情況下，超市平均每天可售出甲種蘋(píng)果100千克和乙種蘋(píng)果140千克，若將這兩種蘋(píng)果的售價(jià)各提高1元，則超市每天這兩種蘋(píng)果均少售出10千克，超市決定把這兩種蘋(píng)果的售價(jià)提高X元，在不考慮其他因素的條件下，使超市銷(xiāo)售這兩種蘋(píng)果共獲利960元，求x的值.【答案】（1）甲、乙兩種蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)分別為10元/千克,8元/千克；（2）x的值為2或7.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列二元一次方程組即可求解,（2）根據(jù)題意列一元二次方程即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)甲、乙兩種蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)分別為a元/千克，b元/千克.（a+b二18由題得：b（°+4）+4（b+2）=82解之得：a解之得：a二10b二8答：甲、乙兩種蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)分別為10元/千克,8元/千克（2）由題意得：（4+x）（100-10x）+（2+x）（140-10x）=960解之得：x1=2，x2=7經(jīng)檢驗(yàn)，x1=2，x2=7均符合題意答：x的值為2或7.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組和一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用,中等難度,列方程是解題關(guān)鍵.10．閱讀下面的材料，回答問(wèn)題：解方程X4-5x2+4=0,這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)X2=y,那么X4=y2，于是原方程可變?yōu)閥2-5y+4=0①，解得y=1,y2=4.當(dāng)y=1時(shí)，X2=1,x=±1；當(dāng)y=4時(shí)，X2=4,x=±2；???原方程有四個(gè)根：X]=i,x2=-1,