二次函數(shù)經(jīng)典難題(含精解)資料

精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔二次函數(shù)經(jīng)典難題（含精解）一．選擇題（共1小題）A．1B．2C．3D．6頂點為P的拋物線y=x2﹣2x+3與y軸相交于點在頂點不變的情況下把該拋物線頂點P旋轉180°得到一個新的拋物線，且新的拋物線與yA．1B．2C．3D．6二．填空題（共12小題）作拋物線C1關于x軸對稱的拋物線C2，將拋物線C22個單位，向上平移1個單位，得到的拋物線C的函數(shù)解析式是，則拋物線C1是 ．拋物線 關于原點對稱的拋物線解析式為 ．將拋物線y=x2+1的圖象繞原點O旋轉則旋轉后的拋物線解析式是 ．如圖，正方形ABCD的頂點AB與正方形EFGH的頂點GH拋物線的頂點在CD上，若正方形ABCD10，則正方形EFGH的邊長為 ．如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個“y=a+bx+cb、c1“是等腰直角三角形的概率為 ．拋物線y=a+bx+c△ABC的頂點A（，B4，直角頂點C在y軸上，若拋物線的頂點△ABC的內部（不包括邊界，則a的范圍是 ．已知拋物線y=x2﹣6x+a的頂點在x軸上，則a= ；若拋物線與x軸有兩個交點，則a的范圍是 ．拋物線x+a2的頂點在直線y=2上，則a= ．若拋物線x+a2的頂點在直線x=2上，則a的值是 ．若拋物線 的頂點在x軸上方，則m的值是 ．y=ax2+c圖象的頂點為OB為對角線的正方形ABCO的另兩個頂點AC也在該拋物線上，則ac的值是 ．拋物線y=a2+b1經(jīng)過點，5，則代數(shù)式6a+3b+1的值為 ．三．解答題（17小題）已知拋物線C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，求拋物線C2的解析式．將拋物線（x+1）2﹣2繞點旋轉180゜得到拋物線C2，若拋物線的頂點在拋物線C2上，同時拋物線C2的頂點在拋物線C1上，求拋物線C2的解析式．如圖，拋物線y1=﹣x2+21個單位得到拋物線y2，回答下列問題：拋物線的頂點坐標 ；陰影部分的面積S= ；若再將拋物線繞原點O180°得到拋物線y3，求拋物線的解析式．已知拋物線：y=a+bx+（其中、、c都不等于，它的頂點P的坐標是，與y軸的交點是（．我們稱以M為頂點，對稱軸是y且過點P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線，直線PML的伴隨直線．請直接寫出拋物線y=2x2﹣4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式：伴隨拋物線的解析式 ，伴隨直線的解析式 ；若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=﹣x2﹣3y=﹣x﹣3，則這條拋物線的解析式是 ；求拋物線ac0）式；若拋物線L與x軸交于（）1＞，它的伴隨拋物線與x軸交于CD兩點，且AB=CD．請求出ab、c應滿足的條件．設拋物線y=x2+2ax+bx軸有兩個不同的交點將拋物線沿y軸平移，使所得拋物線在x軸上截得的線段的長是原來的2所得拋物線的解析式；通過中所得拋物線與x拋物線的表達式．已知拋物線：y=a+bx+＜）過原點，與x軸的另一個交點為（4，A為拋物線C的頂點．1，若∠AOB=60°，求拋物線C的解析式；2，若直線OA的解析式為y=x，將拋物線C繞原點O180°得到拋物線C′，求拋物線CC′的解析式；在的條件下，設A′為拋物線C′的頂點，求拋物線C或C′上使得的點P的坐標．如圖已知拋物線y=a+bx交x軸正半軸于AB兩點交y軸于點C且CBO=6°，∠CAO=45°，求拋物線的解析式和直線BC的解析式．已知：如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過直線y=﹣x+3與坐標軸的兩個交點AB物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D．求此拋物線的解析式；點M△ABM△ABD的面積相等的點M坐標．已知拋物線的頂點為P，與x軸正半軸交于點B，拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3M，當點P、M關于點B成中心對稱時，求C3的解析式．如圖，拋物線y=x2+bx﹣c經(jīng)過直線y=x﹣3與坐標軸的兩個交點A，B，此拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D．求此拋物線的解析式；點P為拋物線上的一個動點，求使S△△ACD=5：4的點P的坐標．已知一拋物線經(jīng)過（0）兩點，且解析式的二次項系數(shù)為﹣（＞0．（Ⅰ）當a=1時，求該拋物線的解析式，并用配方法求出該拋物線的頂點坐標；（Ⅱ已知點（1AB相交于點x軸相交于點（異于原點a的值為常數(shù)？當a的值為常數(shù)？（Ⅲ）若點P（t，t）在拋物線上，則稱點P使其只有一個不動點，此時拋物線的頂點是否在直線y=x﹣上，請說明理由．如圖，已知拋物線C1：y=a（x+2）2﹣5的頂點為P，與x軸相交于B兩點（點A在點B的左側，點B的橫坐標是；求a的值；如圖，拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2記為C3，拋物線C3的頂點為M，當點PM關于點O成中心對稱時，求拋物線C3的解析式．2．如圖，拋物線y=a+bx+3經(jīng)過（3，（﹣，）兩點．求拋物線的解析式；設拋物線的頂點為，直線y=﹣2x+9y軸交于點C，與直線OM交于點D．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上．若平移的拋物線與射線CD（含端點C）共點，求它的頂點橫坐標的值或取值范圍．如圖，拋物線y=a（x+1）2的頂點為Ay軸的負半軸交于點B，且OB=OA．求拋物線的解析式；若點C（﹣3，b）在該拋物線上，求S△ABC的值．如圖，拋物線y=x2﹣2x+c的頂點A在直線l：y=x﹣5上．求拋物線頂點A的坐標及c的值；設拋物線與y軸交于點，與x軸交于點C點在D點的左側△ABD的形狀．如果拋物線m的頂點在拋物線n上，同時拋物線n的頂點在拋物線m稱拋物線mn為交融拋物線．已知拋物線a：y=x2﹣2x+1．判斷下列拋物線與已知拋物線a是否為交融拋物線？并說明理由；在直線y=2上有一動點P（，2，將拋物線y=2﹣2x+1繞點P（2）旋轉18°得到拋物線l，若拋物線a與l為交融拋物線，求拋物線l的解析式；（3）M為拋物線a；y=x2﹣2x+1為拋物線a的交融拋物線的頂點，是否存在以MQ為斜邊的等腰直角三角形SyS若不存在，請說明理由；（4）通過以上問題的探究解決，相信你對交融拋物線的概念及性質有了一定的認識，請你提出一個有關交融拋物線的問題．1y=kx+mxy軸分別交于點Cy=﹣x2+bx+c經(jīng)過AC兩點，點B是拋物線與x軸的另一個交點，當x=﹣時，y取最大值 ．求拋物線和直線的解析式；設點P是直線AC上一點，且S△△BPC=1：3，求點P的坐標；直線y= x+a與（1）中所求的拋物線交于點、N，兩點，問：①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．②MO＞9°a（不寫過程，直接寫結論）（參考公式：在平面直角坐標系中，若（1，1，22，則N兩點之間的距）參考答案與試題解析一．選擇題（共1小題）A．1B．2C．3D．6頂點為P的拋物線y=x2﹣2x+3與y軸相交于點在頂點不變的情況下把該拋物線頂點P旋轉180°得到一個新的拋物線，且新的拋物線與yA．1B．2C．3D．6考點考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換．A和B的坐標，再求三角形的面積則可．解：當x=0y=，所以A的坐標是，3，y=2﹣2x+3（x12+，把它繞頂點P旋轉180°得到一個新的拋物線是時y=，所以B的坐標是1P的坐標是，，△PAB的面= ×2（32）=1．故選A．難度較大．二．填空題（共12小題）作拋物線C1關于x軸對稱的拋物線C2，將拋物線C22個單位，向上平移1個單位，得到的拋物線C的函數(shù)解析式是，則拋物線C1是y=﹣2（x﹣1）2+2．考點考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換．專題：應用題．C的頂點，進而可得到拋物線B的坐標，根據(jù)頂點式及平移前后二次項的系數(shù)不變可得拋物線Bx軸對稱的兩條拋物線的頂點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)，二次項系數(shù)互為相反數(shù)可得到拋物線點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)，二次項系數(shù)互為相反數(shù)可得到拋物線C1所對應的函數(shù)表達式．解：根據(jù)題意易得拋物線C的頂點為（1，1，∵是向左平移2個單位，向上平移1個單位得到拋物線C的，∴拋物線B的坐標為1，，可設拋物線B的坐標為y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x﹣1）2﹣2，易得拋物線A的二次項系數(shù)為2，頂點坐標為2，∴拋物線A的解析式為y=﹣2（x﹣1）2+2，故答案為y=﹣2（x﹣1）2+2．點評：本題主要考查了討論兩個二次函數(shù)的圖象的平移問題，只需看頂點坐標是如何平移得到的即可，關于x軸對稱的兩條拋物線的頂點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)，二次項系數(shù)互為相反數(shù)，難度適中．拋物線

關于原點對稱的拋物線解析式為 ．考點考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換．分析：根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特點進行解答即可．解答：解：∵關于原點對稱的點的橫縱坐標互為相反數(shù)，∴拋物線y=﹣x2+x+2+2，即y= x2+x﹣2．故答案為：y= x2+x﹣2．點評：本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知關于原點對稱的點的坐標特點是解答此題的關鍵．將拋物線y=x2+1的圖象繞原點O旋轉則旋轉后的拋物線解析式是y=﹣x2﹣1 ．考點考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換．分析：根據(jù)關于原點對稱的兩點的橫坐標縱坐標都互為相反數(shù)求則可．解答：解：根據(jù)題意，﹣y=（﹣x）2+1，得到y(tǒng)=﹣x2﹣1．故旋轉后的拋物線解析式是y=﹣x2﹣1．點評：考查根據(jù)二次函數(shù)的圖象的變換求拋物線的解析式．如圖，正方形ABCD的頂點AB與正方形EFGH的頂點GH同在一段拋物線上，且拋物線的頂點在CD上若正方形ABCD邊長為1則正方形EFGH的邊長為5 ﹣5 考點考點：二次函數(shù)綜合題．首先建立平面坐標系：過點G作GM⊥x軸于點示出G點坐標，再利用FG+MG=10，進而求出即可．解：如圖建立平面坐標系：過點G作GM⊥x軸于點∵正方形ABCD10，∴BB點代入y=ax2，則﹣10=25a，解得：a=﹣，設G（，﹣2，則GF=2a，∴MG=10﹣GF，即a2=10﹣2a，整理的：a2+5a﹣25=0，解得：a1=，a2=（不合題意舍去，∴正方形EFGH的邊長FG=2a=5﹣5．故答案為﹣5．點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及一元二次方程的解法，根據(jù)正方形的性質以及拋物線上點的坐標性質得出等式是解題關鍵．如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個“y=a+bx+cb、c1“是等腰直角三角形的概率為．考點考點：列表法與樹狀圖法；拋物線與x軸的交點．分析：由系數(shù)a、b、c為絕對值不大于1的整數(shù)，可得系數(shù)a、b、c為：0，1，﹣1；然后根據(jù)題意畫樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結果與該拋物線的“拋物線三角形”是等腰直角三角形的情況，再利用概率公式即可求得答案．等腰直角三角形的情況，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：∵系數(shù)a、b、c為絕對值不大于1的整數(shù)，∴系數(shù)ab、c畫樹狀圖得：∵共有18”是等腰直角三角形的有（1，0，﹣（，0，∴該拋物線拋物線三角”是等腰直角三角形的概率為：= ．故答案為：．點評：本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率與二次函數(shù)的性質．注意用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．拋物線y=a+bx+c△ABC的頂點A（，B4，直角頂點C在y△ABC的內部（不包括邊界，則a的范圍是﹣＜＜0或0a＜＜．考點考點：二次函數(shù)的性質．專題：壓軸題．AB的坐標求出OAOB△ACO和△CBO相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出OC軸與直線BC相交于P，與x軸交于Q的正切值求出點P到x軸的距離P，設拋物線的交點式解析式y(tǒng)=（x+（4，整理求出頂點坐標，再根據(jù)拋物△ABC的內部分兩種情況列式求出a的取值范圍即可．解：∵點A（，，（，，∴OA=1，OB=4，易得△ACO∽△CBO，∴=，即=，解得OC=2，∵拋物線y=a+bx+c經(jīng)過（，B4，，∴對稱軸為直線∴對稱軸為直線x== ，設對稱軸與直線BC相交于P，與x軸交于Q，則BQ=4﹣=2.5，tan∠ABC= =，即=，解得PQ= ，設拋物線的解析式為y=（x+x﹣，則y=a（x2﹣3x﹣4）=a（x﹣）2﹣ a，當點C在y軸正半軸時，0＜﹣a＜，解得﹣＜a＜0，當點Cy軸負半軸時，﹣＜﹣a＜0，解得0＜a＜，所以，a的取值范圍是﹣＜a＜0或0＜a＜．故答案為：﹣＜a＜0或0＜a＜．點評：本題考查了二次函數(shù)的性質，相似三角形的判定與性質，把二次函數(shù)的解析式用交點式形式表示更加簡便，注意要分點C在y正半軸和負半軸兩種情況討論．已知拋物線y=x2﹣6x+a的頂點在x軸上，則a= 9 ；若拋物線與x軸有兩個交點，則a的范圍是a＜9 ．考點考點：拋物線與x軸的交點．x軸上即拋物線與x0，若拋物線與x△＞0，據(jù)此即可求解．解答：解答：解：△=36﹣4a，則定點在x軸上，則36﹣4a=0，解得：a=9；拋物線與x軸有兩個交點，則36﹣4a＞0，解得：a＜9．故答案是：9；a＜9．點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與x軸的公共點的個數(shù)的判定方法，如果△＞0，則拋物線與x軸有兩個不同的交點；如果△=0，與x軸有一個交點；如果△＜0，與x軸無交點．拋物線x+a2的頂點在直線y=2上，則a= 2 ．考點考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．專題：壓軸題．分析：根據(jù)拋物線頂點的縱坐標等于2，列出方程，求出a的值，注意解答：要有意義．解：因為拋物線的頂點坐標為（﹣，）所以=2解得：a1=2，a2=﹣1又因為 要有意則a≥0所以a=2．點評此題考查了學生的綜合應用能力，解題時要注意別漏條件，特別是一些隱含條件，如： 中a≥0．若拋物線x+a2的頂點在直線x=2上，則a的值是4 ．考點考點：二次函數(shù)的性質．分析：根據(jù)拋物線頂點的橫坐標等于2，列出方程，求出a的值，注意解答：要有意義．解：因為拋物線的頂點坐標為（﹣，，所以﹣=2，解得：a1=4，a2=﹣4，又因為 要有意義則a≥0，所以a=4．故答案為4．點評：此題考查了學生的綜合應用能力，解題時要注意別漏條件，特別是一些隱含條件，比如： 中a≥0．若拋物線 的頂點在x軸上方，則m的值是2 ．考點：二次函數(shù)的性質；二次函數(shù)的定義．專題：計算題．分析：先列出關于m的等式，再根據(jù)拋物線0解答：

的頂點在x軸上方，求得m，解：∵∴m2﹣2=2，解得m=±2，

是拋物線，∵拋物線的頂點在x軸上方．∴0﹣8（m+2）＜0，∴m＞﹣2，∴m=2．故答案為：2．性．如圖二次函數(shù)y=ax2+c圖象的頂點為若以OB為對角線的正方形ABCO的另兩頂點AC也在該拋物線上，則ac的值是﹣2 ．考點考點：二次函數(shù)的性質；正方形的性質．拋物線y=a2+c的頂點B點坐標為0，由四邊形ABCO是正方形，則C點坐標為標為（﹣，，代入拋物線即可解答．解：∵拋物線y=a+c的頂點B點坐標為0，四邊形ABCO是正方形，∴∠COB=90°，CO=BC，∴△COB是等腰直角三角形，∴C點橫縱坐標絕對值相等，且等于BO長度一半，∴C點坐標為（﹣，，將點C代入拋物線方程中得ac=﹣2．故答案為：﹣2點評：本題將幾何圖形與拋物線結合了起來，同學們要找出線段之間的關系，進而求得問題的答案．的答案．拋物線y=a2+b1經(jīng)過點，5，則代數(shù)式6a+3b+1的值為10 ．考點考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．專題：整體思想．把點（2，5）2a+b解：∵拋物線y=a+b1經(jīng)過點，，∴4a+2b﹣1=5，∴2a+b=3，∴6a+3b+1=3（2a+b）+1=3×3+1=10．故答案為：10．本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，把點的坐標代入函數(shù)解析式求出、b關系式是解題的關鍵，主要利用了整體思想．三．解答題（17小題）已知拋物線C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，求拋物線C2的解析式．考點考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換．分析：利用關于x軸對稱的點的坐標為橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)解答即可．C2與拋物線C1x﹣y=2x2﹣4x+5，因此所求拋物線C2的解析式是y=﹣2x2+4x﹣5．點評：利用軸對稱變換的特點可以解答．考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換．分析：先求出拋物線C1的頂點坐標，再根據(jù)對稱性求出拋物線C2的頂點坐標，然后根據(jù)旋轉的性質寫出拋物線C2的頂點式形式解析式，再把拋物線C1的頂點坐標代入進行即可得解．解答：解：∵y= （x+）﹣2的頂點坐標為（1，2，2∴繞點P（，2）旋轉18゜得到拋物線2的頂點坐標為2t+考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換．分析：先求出拋物線C1的頂點坐標，再根據(jù)對稱性求出拋物線C2的頂點坐標，然后根據(jù)旋轉的性質寫出拋物線C2的頂點式形式解析式，再把拋物線C1的頂點坐標代入進行即可得解．解答：解：∵y= （x+）﹣2的頂點坐標為（1，2，2∴繞點P（，2）旋轉18゜得到拋物線2的頂點坐標為2t+，6，∴拋物線C2的解析式為y=﹣（x﹣2t﹣1）2+6，∵拋物線C1的頂點在拋物線C2上，∴﹣（﹣1﹣2t﹣1）2+6=﹣2，t1=3，t2=﹣5，∴拋物線∴拋物線C2的解析式為y=﹣（x﹣7）2+6（x+9）2+6．點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，難度較大，求出旋轉后的拋物線C2的頂點坐標是解題的關鍵，也是本題的難點．如圖，拋物線y1=﹣x2+21個單位得到拋物線y2，回答下列問題：拋物線的頂點坐標（1，2）；陰影部分的面積S= 2 ；若再將拋物線繞原點O180°得到拋物線y3，求拋物線的解析式．考點考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換．分析：直接應用二次函數(shù)的知識解決問題．（）讀圖找到最高點的坐標即可．故拋物線2的頂點坐標為1，2分）（6分）由題意可得：拋物線的頂點與拋物線的頂點關于原點O所以拋物線3的頂點坐標為（，2，于是可設拋物線3的解析式為：y=a（x+1）2﹣2．由對稱性得a=1，所以3=（x+）﹣2（10分）點評：考查二次函數(shù)的相關知識，考查學生基礎知識的同時還考查了識圖能力．已知拋物線：y=a+bx+（其中、、c都不等于，它的頂點P的坐標是，與y軸的交點是（．我們稱以M為頂點，對稱軸是y且過點P的拋物線為拋物線L的伴隨拋物線，直線PML的伴隨直線．請直接寫出拋物線y=2x2﹣4x+1的伴隨拋物線和伴隨直線的解析式伴隨拋物線的解析式y(tǒng)=﹣2x2+1 ，伴隨直線的解析式y(tǒng)=﹣2x+1 ；若一條拋物線的伴隨拋物線和伴隨直線分別是y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3，則這條拋物的解析式是y=x2﹣2x﹣3 ；求拋物線ac0）式；若拋物線L與x軸交于（）1＞，它的伴隨拋物線與x軸交于CD兩點，且AB=CD．請求出ab、c應滿足的條件．考 二次函數(shù)綜合題點：專 壓軸題；新定義題：分 （1）先根據(jù)拋物線的解析式求出其頂點P和拋物線與y軸的交點M的坐標．然后根析：據(jù)M的坐標用頂點式二次函數(shù)通式設伴隨拋物線的解析式然后將P點的坐標代入拋線的解析式中即可求出伴隨拋物線的解析式根據(jù)兩點的坐標即可求出直線PM的解析式；y隨直線的交點（與y軸交點除外）是拋物線的頂點，據(jù)此可求出拋物線的解析式；（3）方法同；（4）本題要考慮的a、b、c滿足的條件有：拋物線和伴隨拋物線都與x軸有兩個交點，因此△＞0，①由于拋物線L中，x2＞x1＞0，因此拋物線的對稱軸x＞0，兩根的積大于0．②根據(jù)兩拋物線的解析式分別求出AB、CD的長，根據(jù)AB=CD可得出另一個需滿足的條件…③綜合這三種情況即可得出所求的a、b、c需滿足的條件．解 解（）y﹣22+y2x+；（2）將y=﹣x2﹣3y=﹣x﹣3組成方程組得，，解得， 或 ．則原拋物線的頂點坐標為1，，與y軸的交點坐標為，﹣．設原函數(shù)解析式為y=n（x﹣1）2﹣4，將（0，﹣3）代入y=n（x﹣1）2﹣4得，﹣3=n（0﹣1）2﹣4，解得，n=1，則原函數(shù)解析式為y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3．（3）∵伴隨拋物線的頂點是，∵設它的解析式為y=（﹣0+c（≠0，∵此拋物線過P（﹣ ， ，∴ =m?（﹣ ）2+c，解得m=﹣a，∴伴隨拋物線解析式為y=﹣ax2+c；設伴隨直線解析式為設伴隨直線解析式為y=kx+≠0，P（﹣，）在此直線上，∴，∴k= ，∴伴隨直線解析式為y= x+c；（4）∵拋物線L與x軸有兩交點，∴△1=b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac；∵x2＞x1＞0，∴x2+x1=﹣＞0，x1?x2= ＞0，∴ab＜0，ac＞0．對于伴隨拋物線有，得x=±．∴C（﹣，0，（，0CD=2，AB=x2﹣x1====，∵AB=CD，則有：2=，即b2=8ac，綜合b2=8ac，b2﹣4ac＞0，ab＜0，ac＞0可得a、b、c需滿足的條件為：b=8ac且a＜（或=8ac且b＜．點 本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關系以及一元二次方程根與系數(shù)的關系評：設拋物線y=x2+2ax+bx軸有兩個不同的交點將拋物線沿y軸平移，使所得拋物線在x軸上截得的線段的長是原來的2所得拋物線的解析式；通過中所得拋物線與x拋物線的表達式．xx軸的交點的距離公式得到

=2 ，解得m=3b﹣3a2，則平移所得拋物線的解析式為y=x2+2ax+4b﹣3a2；（）先確定y=+2ax+b的頂點坐標為（，﹣2，由于通過）與x軸的兩個交點，則可設新拋物線解析式為y=（+2ax+4﹣32，然后把（﹣a，b﹣a2）代入可求出t= ．（）設平移所得拋物線的解析式為y=+2ax+b+，根據(jù)題意得

=2 ，解得m=3b﹣3a2，所以平移所得拋物線的解析式為y=x2+2ax+b+3b﹣3a2=x2+2ax+4b﹣3a2；（2）y=+2ax+bx+2+﹣2，其頂點坐標為（﹣2，∵新拋物線的表達式過拋物線y=x2+2ax+4b﹣3a2與x軸兩交點，∴可設新拋物線解析式為y=（2+2ax+4﹣32，把（，﹣2）代入得=222+432，解得t= ，所以新拋物線的表達式過拋物線y= x2+ ax+b﹣a2．x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關于xy=a+bxcc的交點與一元二次方程a2+bx+c=0根之間的關系：△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)；△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．已知拋物線：y=a+bx+＜）過原點，與x軸的另一個交點為（4，A為拋物線C的頂點．1，若∠AOB=60°，求拋物線C的解析式；2，若直線OA的解析式為y=x，將拋物線C繞原點O180°得到拋物線C′，求拋物線CC′的解析式；在的條件下，設A′為拋物線C′的頂點，求拋物線C或C′上使得的點P的坐標．考點考點：二次函數(shù)綜合題；點的坐標；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；旋轉的性質；相似三角形的判定與性質．專題：壓軸題．A點是拋物線CC交x軸于OAO=AB，AOB=6°△ABOA作Ax軸于R△OAE中，求出ODAE的值，即可求出頂點A的坐標，最后設拋物線C的解析式，求出a的值，從而得出拋物線C的解析式；先過A作AE⊥OB于E，根據(jù)題意得出OE= OB=2，再根據(jù)直線OA的解析式為y=x，得出AE=OE=2，求出點A的坐標，再將A、B、O的坐標代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，求出a的值，得出拋物線C的解析式，再根據(jù)拋物線C、C′關于原點對稱，從而得出拋物線C′的解析式；先作AB的垂直平分線，分別交ABx軸于、（，，由2）知，拋物線C的頂點為A（，﹣2，得出AB的中點M的坐標，再作M⊥x軸于H，得出△Nl﹣1（，0，得出直線l的解析式，求出x的值，再根據(jù)拋物線C上存在兩點使得C′上也存在兩點使得出P3，P4的坐標，即可求出答案．（）連接A．∵A點是拋物線C的頂點，且拋物線C交x軸于O、B，∴AO=AB，又∵∠AOB=60°，∴△ABO是等邊三角形，過A作AD⊥x軸于D，在Rt△OAD中，∴OD=2，AD= ，∴頂點A的坐標為）設拋物線C的解析式為將O（0，0）的坐標代入求得：a= ，

（≠，∴拋物線C的解析式為 ．過A作AE⊥OB于E，∵拋物線C：y=a+bx+（＜）過原點和B（0，頂點為，∴OE= OB=2，又∵直線OA的解析式為y=x，∴AE=OE=2，∴點A的坐標為2，，將A、B、O的坐標代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，∴a= ，∴拋物線C的解析式為 又∵拋物線、C′關于原點對稱，∴拋物線C′的解析式為 ；作AB的垂直平分線，分別交AB、x軸于、0，由前可知，拋物線C的頂點為A（2，2，故AB的中點M的坐標為MH⊥x軸于H，∴△MHBH，則M2=HH，即2（n4，∴ ，即N點的坐標為（0．∵直線l過點（，、（，，∴直線l的解析式為y=﹣3x+2，，解得 ．∴在拋物線C上存在兩點使得PB=PA'，其坐標分別為P1（ ，解 得

P2（．

， ；∴在拋物線C′上也存在兩點使得PB=PA'，其坐標分別為P3（5+ ，13 P（5﹣ ，17+3 ．∴點P的坐標是，（﹣5+ ，173 P

P（，17+3

， P32（199?煙臺）如圖，已知拋物線y=a2+bx交x軸正半軸于AB兩點，交y軸于C，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求拋物線的解析式和直線BC的解析式．考點考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．分析：根據(jù)拋物線的解析式，易求得C點的坐標，即可得到OC的長；可分別在Rt△OBC和Rt△OAC中，通過解直角三角形求出OB、OA的長，即可得到A、B的坐標，進而可運用待定系數(shù)法求得拋物線和直線的解析式．解答解：由題意得C（0， 在Rt△COB中，∵∠CBO=60°，∴OB=OC?cot60°=1∴B點的坐標是，（1分Rt△COA中，∵∠CAO=45°，∴OA=OC=∴A點坐標（ ，0）由拋物線過AB兩點得解得∴拋物線解析式為y=x2﹣（設直線BC的解析式為y=mx+n，）x+（4分）得n= ，m=﹣∴直線BC解析式為y﹣ x+ （6分）點評：此題主要考查的是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)解析式的方法．已知：如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過直線y=﹣x+3與坐標軸的兩個交點AB物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D．求此拋物線的解析式；點M△ABM△ABD的面積相等的點M坐標．y=﹣x+3求出AB出待定系數(shù)的值．（2）根據(jù)中拋物線的解析式可求出△ABM△ABDMD=4此可求出P點的縱坐標，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求出M點的坐標．（）直線y﹣x+3與坐標軸的兩個交點坐標分別是A3，B（，3，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，c=3﹣9+3b+c=0，∴拋物線的解析式y(tǒng)=﹣x2+2x+3．（2）①作經(jīng)過點D與直線y=﹣x+3平行的直線交拋物線于點M．則S△ABM=S△ABD，直線DM的解析式為y=﹣x+t．由拋物線解析式得（，4，∴t=5．設（，﹣m+，則有則有解得m=（舍去，m=．∴（，3．②易求直線DM關于直線y=﹣x+3對稱的直線l的解析式為y=﹣x+1，l交拋物線于M．設（，﹣m+．由于點M在拋物線y=﹣x2+2x+3上，∴﹣m+1=﹣m2+2m+3．m=，m=∴M（，﹣），）∴使△ABM的面積與△ABD的面積相等的點M的坐標分別是（2，（，﹣（，．點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法、圖形面積的求法等知識點．考查了學生數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．已知拋物線 的頂點為P，與x軸正半軸交于點B，拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點為M，當點P、M關于點B成中心對稱時，求C3的解析式．考點考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換．PB的坐標，然后根據(jù)對稱性利用頂點式形式寫出C3的解析式即可．解：點P的坐標為（，5，令y=0，則（x+2）2﹣5=0，解得x1=1，x2=﹣5，所以，點B的坐標為10，∵點P、M關于點B對稱，∴點M的坐標為，，∵拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，拋物線C2向右平移得到C3，∴拋物線C3的解析式為y=﹣（x﹣4）2+5．如圖，拋物線y=x2+bx﹣c經(jīng)過直線y=x﹣3與坐標軸的兩個交點A，B，此拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D．求此拋物線的解析式；點P為拋物線上的一個動點，求使S△△ACD=5：4的點P的坐標．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題；動點型．分析：（1）先根據(jù)直線y=x﹣3求出A、B兩點的坐標，然后將它們代入拋物線中即可求出待定系數(shù)的值．（2）根據(jù)中拋物線的解析式可求出△APC△ACDPD=4此可求出P點的縱坐標，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求出P點的坐標．解答解（）直線y=3與坐標軸的交點則 ，解得 ，∴此拋物線的解析式y(tǒng)=x2﹣2x﹣3．（2）拋物線的頂點（，﹣4，與x軸的另一個交點設P，22a3，則（××|2﹣23（××）=：．化簡得|a2﹣2a﹣3|=5．當a2﹣2a﹣3=5，得a=4或a=﹣2．P4，）或P（2，當a2﹣2a﹣3＜0時，即a2﹣2a+2=0，此方程無解．綜上所述，滿足條件的點的坐標為4，）或（5．識點．考查了學生數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．已知一拋物線經(jīng)過（0）兩點，且解析式的二次項系數(shù)為﹣（＞0．（Ⅰ）當a=1時，求該拋物線的解析式，并用配方法求出該拋物線的頂點坐標；（Ⅱ已知點（1AB相交于點x軸相交于點（異于原點a的值為常數(shù)？當a的值為常數(shù)？（Ⅲ）若點P（t，t）在拋物線上，則稱點P使其只有一個不動點，此時拋物線的頂點是否在直線y=x﹣上，請說明理由．考點考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．（Ⅰ）首先利用拋物線經(jīng)過（（）兩點，且解析式的二次項系數(shù)為﹣求出拋物線解析式，再利用a=1求出拋物線的頂點坐標即可；（Ⅱ）利用當y=0時，有，求出x的值，進而得出點N的坐標，再利用若點M在點B右側，此時a＞1，BM=a﹣1；若點M在點B左側，此時0＜a＜1，BM=1﹣a得出答案即可；（Ⅲ）利用平移后的拋物線只有一個不動點，故此方程有兩個相等的實數(shù)根，得出判別式，進而求出k與在直線上．解答：解：設該拋物線的解析式為，∵拋物線經(jīng)過，，1）兩點，∴，解得．∴該拋物線的解析式為（Ⅰ）當a=1時，該拋物線的解析式為y=﹣x2+2x，該拋物線的頂點坐標為，1；（Ⅱ）∵點N在x軸上，∴點N0．y=0時，有，解得x1=0，x2=a+1．∵點N異于原點，∴點N的坐標為a+，．∴ON=a+1，∵點M在射線AB上，∴點M的縱坐標為1．y=1時，有，整理得出整理得出，x1=1，x2=a．點M的坐標為1，）或，．M的坐標為時，M與B重合，a=1，BM=0，ON=2．ON+BM與ON﹣BM2．當點M的坐標為（a，1）時，若點M在點B右側，此時a＞1，BM=a﹣1．∴ON+BM=（a+1）+（a﹣1）=2a，ON﹣BM=（a+1）﹣（a﹣1）=2．若點M在點B左側，此時0＜a＜1，BM=1﹣a．∴ON+BM=（a+1）+（1﹣a）=2，ON﹣BM=（a+1）﹣（1﹣a）=2a．∴當0＜a≤1時，ON+BM的值是常數(shù)2，當a≥1時，ON﹣BM的值是常數(shù)2．（Ⅲ）設平移后的拋物線的解析式為，由不動點的定義，得方程：，即t2+（a﹣2h）t+h2﹣ak=0．∵平移后的拋物線只有一個不動點，∴此方程有兩個相等的實數(shù)根．∴判別式△=（a﹣2h）2﹣4（h2﹣ak）=0，a﹣4h+4k=0，即．∴頂點（h，k）在直線上．點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及根的判別式的性質等知識，利用分類討論的思想得出M與B的不同位置關系得出答案是解題關鍵．如圖，已知拋物線C1：y=a（x+2）2﹣5的頂點為P，與x軸相交于B兩點（點A在點B的左側，點B的橫坐標是；求a的值；如圖，拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2記為C3，拋物線C3的頂點為M，當點PM關于點O成中心對稱時，求拋物線C3的解析式．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：綜合題．分析：（1）將B點坐標代入拋物線C1的解析式中，即可求得待定系數(shù)a的值．（2）在拋物線平移過程中，拋物線的開口大小沒有發(fā)現(xiàn)變化，變化的只是拋物線的位置和開口方向，所以C3的二次項系數(shù)與C1的互為相反數(shù)，而C3的頂點M與C1的頂點P關于原點對稱，P點坐標易求得，即可得到M點坐標，從而求出拋物線C3的解析式．（）∵點B是拋物線與x軸的交點，橫坐標是，∴點B的坐標為1，∴當x=1時，0=a（1+2）2﹣5，∴ ．（2）設拋物線3解析式為y=（x﹣+k，∵拋物線C2與C1關于x軸對稱，且C3C2向右平移得到，∴ ，∵點P、M關于點O對稱，且點P的坐標為（，5，∴點M的坐標為，，∴拋物線C3的解析式為y=﹣（x﹣2）2+5=﹣

x+ ．圖象的關系，需要熟練掌握．2．如圖，拋物線y=a+bx+3經(jīng)過（3，（﹣，）兩點．求拋物線的解析式；設拋物線的頂點為，直線y=﹣2x+9y軸交于點C，與直線OM交于點D．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上．若平移的拋物線與射線CD（含端點C）共點，求它的頂點橫坐標的值或取值范圍．考點考點：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）直接用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式；（2）由（1）的解析式求出拋物線的頂點坐標，根據(jù)拋物線的頂點坐標求出直線OD（，h當拋物線經(jīng)過點C時就可以求出hCD只有一個公共點時可以得出，得x2+（﹣2h+2）x+h2+ h﹣9=0，從而得△=（﹣2h+2）2﹣4（h2+ h﹣9）=0求出h=4，從而得出結論．（）拋物線解析式y(tǒng)=a+bx+3經(jīng)過（﹣0（﹣）兩點，∴，解得，∴拋物線的解析式為y=x2+4x+3．（2）由（1）配方得y=（x+2）2﹣1，∴拋物線的頂點坐標為（，﹣，∴直線OD的解析式為y= x，于是可設平移后的拋物線的頂點坐標為h，，∴平移后的拋物線的解析式為y=（x﹣h）2+ h，當拋物線經(jīng)過點CC（9，∴h2+ h=9．h=，∴當h＜時，平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點；當拋物線與直線當拋物線與直線CD只有一個公共點時，由方程組，得x2+（﹣2h+2）x+h2+ h﹣9=0，∴△=（﹣2h+2）2﹣4（h2+ h﹣9）=0，解得h=4，此時拋物線y（x4+2與直線CD唯一的公共點為，，點33）在射線CD上，符合題意．故平移后拋物線與射線CD只有一個公共點時，頂點橫坐標的取值范圍是h＜h=4．點評：本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)圖象與幾何變換及方程組與交點坐標的運用，利用根的判別式判斷得出是解題關鍵．如圖，拋物線y=a（x+1）2的頂點為Ay軸的負半軸交于點B，且OB=OA．求拋物線的解析式；若點C（﹣3，b）在該拋物線上，求S△ABC的值．考點考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．專題：計算題．由拋物線解析式確定出頂點A坐標，根據(jù)OA=OB確定出B坐標，將B入解析式求出a的值，即可確定出解析式；（2）將C坐標代入拋物線解析式求出b的值，確定出C坐標，過CCD垂直于軸，三角形ABC梯形OBCD面積﹣三角形ACD面積﹣三角形AOB面積，求出即可．（）x=0，y=﹣1則拋物線解析式為y=﹣（x+1）2=﹣x2﹣2x﹣1；（2）過C作CD⊥x軸，將（﹣，）b4，即（﹣，，S△ABC=SOBCD﹣S△ACD﹣S△AOB=×3×（4+1）﹣×4×2﹣×1×1=3．點評：點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．如圖，拋物線y=x2﹣2x+c的頂點A在直線l：y=x﹣5上．求拋物線頂點A的坐標及c的值；設拋物線與y軸交于點，與x軸交于點C點在D點的左側△ABD的形狀．考點考點：二次函數(shù)綜合題．先根據(jù)拋物線的解析式得出其對稱軸，由此得到頂點Al的解析式中求出點A的坐標，再將點A的坐標代入拋物線的解析式y(tǒng)=x2﹣2x+c中，運用待定系數(shù)法即可求出c的值；（2）先由拋物線的解析式得到點B的坐標，再求出AB、AD、BD三邊的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可確定△ABD是直角三角形．（）∵y=2x+，∴頂點A的橫坐標為x=﹣=1，又∵頂點A在直線y=x﹣5上，∴當x=1時，y=1﹣5=﹣4，∴點A的坐標為1，．將A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，得﹣4=12﹣2×1+c，解得c=﹣3．故拋物線頂點A的坐標為1，4c的值為；（2）△ABD是直角三角形．理由如下：∵拋物線y=x2﹣2x﹣3與yB，∴（0，3．當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，解得解得x1=﹣1，x2=3，∴（﹣，0D（，0．∵BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，∴BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．點評：本題考查了二次函數(shù)的性質，運用待定系數(shù)法確定其解析式，勾股定理及其逆定理等知識，綜合性較強，難度適中．如果拋物線m的頂點在拋物線n上，同時拋物線n的頂點在拋物線m稱拋物線mn為交融拋物線．已知拋物線a：y=x2﹣2x+1．判斷下列拋物線與已知拋物線a是否為交融拋物線？并說明理由；在直線y=2上有一動點P（，2，將拋物線y=2﹣2x+1繞點P（2）旋轉18°得到拋物線l，若拋物線a與l為交融拋物線，求拋物線l的解析式；（3）M為拋物線a；y=x2﹣2x+1為拋物線a的交融拋物線的頂點，是否存在以MQ為斜邊的等腰直角三角形SyS若不存在，請說明理由；（4）通過以上問題的探究解決，相信你對交融拋物線的概念及性質有了一定的認識，請你提出一個有關交融拋物線的問題．考點考點：二次函數(shù)綜合題．專題：綜合題．分析：（1）求出拋物線a的頂點坐標，分別代入拋物線b與拋物線c，判斷即可．MM關于點P的對稱點MN作直線y=2的垂線，垂足為、，可求出N的縱坐標，代入求出N的橫坐標，分類討論即可；設點（0，則點Q①QSS順時針分布時；分別求解即可．（4）本題答案不唯一，可以自由發(fā)揮．（）∵拋物線：y=2x+1=y（﹣12的頂點坐標為0，x=1時，y=x2﹣2x+2=1﹣2+2=1≠0，∴點M不在拋物線b上∴拋物線a與拋物線b不是交融拋物線；∵當x=1時，y=﹣x2+4x﹣3=﹣1+4﹣3=0，∴點M在拋物線c上，∵拋物線：y﹣+43=﹣2+1的頂點N2，x=2時，y=x2﹣2x+1=4﹣4+1=1，∴點N在拋物線a上，∴拋物線a與拋物線c是交融拋物線；（2）拋物線：y=﹣2x+1x+2的頂點坐標為1，M關于點P的對稱點N，分別過點M、N作直線y=2的垂線，垂足為E、F，則ME=NF=2，∴點N的縱坐標為4，當y=4時，x2﹣2x+1=4，解得x1=﹣1，x2=3，∴（1，）或（3，當N（﹣1，4）時，設拋物線l的解析式為y=a（x+1）2+4，∵點M（1，0）在拋物線l上，∴0=a（1+1）2+4，∴a=﹣1，∴拋物線l的解析式為y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3，當N（3，4）時，設拋物線l的解析式為y=a（x﹣3）2+4，∵點M（1，0）在拋物線l上，∴0=a（1﹣3）2+4，∴a=﹣1，∴拋物線l的解析式為y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5；∴所求拋物線為y=﹣x2﹣2x+3或y=﹣x2+6x﹣5．（3）設點S（，，則點Q的坐標分兩類：①當QS逆時針分布時（如圖中Q，過點過點Q作QD⊥y軸于D，則△QDS≌△SOM，∴QD=OS=c，OD=DS+OS=c+1，∴點Q，c+，∵點Q