遞推公式求通項公式(練習(xí))

遞推公式求通項公式(練習(xí))遞推公式求通項公式(練習(xí))遞推公式求通項公式(練習(xí))V:1.0精細整理，僅供參考遞推公式求通項公式(練習(xí))日期：20xx年X月由遞推公式求通項公式的常用方法由數(shù)列的遞推公式求通項公式是高中數(shù)學(xué)的重點問題，也是難點問題，它是歷年高考命題的熱點題。對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通常可以通過遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。方法一：累加法形如an+1－an＝f(n)（n＝2,3,4,…）,且f(1)＋f(2)＋…＋f(n-1)可求，則用累加法求an。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后利用這種方法求解。例1：（07年北京理工農(nóng)醫(yī)類）已知數(shù)列{an}中，a1＝2,an＋1＝an＋cn(c是常數(shù)，n＝1,2,3,…)且a1,a2,a3成公比不為1的等比數(shù)列（1）求c的值；（2）求{an}的通項公式方法二：累乘法形如eq\f(an+1,an)＝g(n)（n＝2,3,4…），且f(1)f(2)…f(n－1)可求，則用累乘法求an.有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例2：設(shè){an}是首項為1的正項數(shù)列，且(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0(n＝1,2,3…)，求它的通項公式。方法三：構(gòu)造新數(shù)列法構(gòu)造新數(shù)列法：將遞推關(guān)系經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃无D(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的遞推關(guān)系（等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列或等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和形式），以下類型均采用這種解法。類型一:an＋1＝Aan＋B(A,B∈R,A≠0)線性遞推關(guān)系當(dāng)A≠0，B＝0時，an＋1＝Aan是以A為公比的等比數(shù)列；當(dāng)A≠0，B≠0時，an＋1＝Aan＋B可變形為an＋1＋eq\f(B,A－1)＝A（an＋eq\f(B,A－1)），此時就構(gòu)造出了{an＋eq\f(B,A－1)}這樣一個以a1＋eq\f(B,A－1)為首項，以A為公比的新的等比數(shù)列，從而求出an。例3：（07年全國理科卷）已知數(shù)列{an}中，a1＝2,an＋1＝（eq\r(2)－1）（an＋2），n＝1,2,3,…，求{an}的通項公式。類型二：an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均為常數(shù))方法一：觀察所給的遞推公式，它一定可以變形為an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn),將遞推關(guān)系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn)解得x＝eq\f(c,p－q),則由原遞推公式構(gòu)造出了an＋1＋eq\f(c,p－q)·qn+1＝p(an＋eq\f(c,p－q)·qn)，而數(shù)列{an＋eq\f(c,p－q)·qn}是以為首相以為公比的等比數(shù)列。方法二：將an＋1＝pan＋cqn兩邊分別除以qn+1,則有eq\f(an+1,pn+1)＝eq\f(an,pn)＋eq\f(cqn,pn+1)然后利用累加法求得。可見對于同一個題型的構(gòu)造的新數(shù)列類型可能不唯一，所以要注意巧妙構(gòu)造。例4：（07年唐山二摸）在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,6)，an＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2)·eq\f(1,3n)(n∈n*,n≥2),求{an}的通項公式。類型三：an＋2＝pan＋1＋qan(其中p,q均為常數(shù))方法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an＋2－san＋1=t(an＋1－san)，其中s,t滿足eq\b\lc\{(\a\al(s＋t＝p,s·t＝－q))，再利用等比數(shù)列來求解。例5：已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,an＋2＝eq\f(2,3)an＋1＋eq\f(1,3)an,求{an}的通項公式。（特征根法）類型四、同除法構(gòu)建例6．已知數(shù)列中,,,求數(shù)列的通項公式.配套練習(xí)：1、已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝an＋eq\f(1,n2＋n),求an。2、（04年唐山二摸）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，2n-1an＝an－1(n∈N,n≥2)，求an。3、（06年福建卷）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1（n≥2），求an。4、已知數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(5,6)，an＋1＝eq\f(1,3)an＋(eq\f(1,2))n+1，求an。5、已知數(shù)列{an}中,a1=0,a2=2,a