2023學(xué)年廣東省深圳市羅湖區(qū)高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．點(diǎn)為棱長(zhǎng)是2的正方體的內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．2．設(shè)全集，集合，則＝()A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則（）A．1 B．2 C．3 D．44．等比數(shù)列中，，則與的等比中項(xiàng)是（）A．±4 B．4 C． D．5．下列四個(gè)圖象可能是函數(shù)圖象的是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．7．在精準(zhǔn)扶貧工作中，有6名男干部、5名女干部，從中選出2名男干部、1名女干部組成一個(gè)扶貧小組分到某村工作，則不同的選法共有()A．60種 B．70種 C．75種 D．150種8．函數(shù)fxA． B．C． D．9．已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，，，則，，滿足（）A． B． C． D．10．小王因上班繁忙，來(lái)不及做午飯，所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12：00~12：10之間隨機(jī)到達(dá)小王所居住的樓下，則小王在樓下等候外賣小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率是（）A． B． C． D．11．已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，存在兩項(xiàng)，使得，，則的最小值是（）A． B． C． D．12．已知復(fù)數(shù)滿足，則=（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于，兩點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為__________.14．已知關(guān)于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集為A，且A中共含有n個(gè)整數(shù)，則當(dāng)n最小時(shí)實(shí)數(shù)a的值為_____．15．已知點(diǎn)P是直線y=x+1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線y=x2上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則16．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸?shù)母怕适莀____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）解不等式；（2）若均為正數(shù)，且，求的最小值.18．（12分）已知函數(shù)（，），且對(duì)任意，都有.（Ⅰ）用含的表達(dá)式表示；（Ⅱ）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求出的取值范圍，并證明；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.19．（12分）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓：上，該橢圓的左頂點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓外一點(diǎn)滿足，平行于軸，，動(dòng)點(diǎn)在直線上，滿足.設(shè)過(guò)點(diǎn)且垂直的直線，試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)寫出該定點(diǎn)，若不過(guò)定點(diǎn)請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，如表：（平均每天鍛煉的時(shí)間單位：分鐘）將學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生評(píng)價(jià)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”．（1）請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表：并通過(guò)計(jì)算判斷，是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？（2）在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，按男女用分層抽樣方法抽出人，進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流．（i）求這人中，男生、女生各有多少人？（ii）從參加體會(huì)交流的人中，隨機(jī)選出人發(fā)言，記這人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．臨界值表：0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63521．（12分）已知件次品和件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束．（1）求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；（2）已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用元，設(shè)表示直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用（單位：元），求的分布列．22．（10分）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)，常數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程是.（1）寫出的普通方程及的直角坐標(biāo)方程，并指出是什么曲線；（2）若直線與曲線，均相切且相切于同一點(diǎn)，求直線的極坐標(biāo)方程.

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【答案解析】

設(shè)的中點(diǎn)為，利用正方形和正方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理可以證明出平面，這樣可以確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，最后求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度.【題目詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因此有，而，而平面，，因此有平面，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡平面與正方體的內(nèi)切球的交線.正方體的棱長(zhǎng)為2，所以內(nèi)切球的半徑為，建立如下圖所示的以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系：因此有，設(shè)平面的法向量為，所以有，因此到平面的距離為：，所以截面圓的半徑為：，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查了立體幾何中軌跡問(wèn)題，考查了球截面的性質(zhì)，考查了空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、A【答案解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合的補(bǔ)集.【題目詳解】由解得，故，所以，故選A.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.3、C【答案解析】

結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出,進(jìn)而可求出.【題目詳解】由題意可得，則.故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.4、A【答案解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即可得出．【題目詳解】設(shè)與的等比中項(xiàng)是．

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，．

∴與的等比中項(xiàng)

故選A．【答案點(diǎn)睛】本題考查了等比中項(xiàng)的求法，屬于基礎(chǔ)題．5、C【答案解析】

首先求出函數(shù)的定義域，其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，即可得到函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，即可排除A、D，再根據(jù)時(shí)函數(shù)值，排除B，即可得解.【題目詳解】∵的定義域?yàn)椋鋱D象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到，∵為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱.可排除A、D項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，∴B項(xiàng)不正確.故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識(shí)圖能力，一般根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)來(lái)判斷對(duì)應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)，即可排除三個(gè)不符的選項(xiàng)，屬于中檔題.6、B【答案解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可確定參數(shù)范圍．【題目詳解】，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴在上只有一個(gè)極大值也是最大值，顯然時(shí)，，時(shí)，，因此要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，∴．故選：B．【答案點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定參數(shù)范圍．7、C【答案解析】

根據(jù)題意，分別計(jì)算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù)，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，從6名男干部中選出2名男干部，有種取法，從5名女干部中選出1名女干部，有種取法，則有種不同的選法；故選：C．【答案點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．8、A【答案解析】

由f12=e-14>0排除選項(xiàng)D;【題目詳解】由f12=e-14>0，可排除選項(xiàng)D，f-1=-e【答案點(diǎn)睛】本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多，但是并不是無(wú)路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及x→09、D【答案解析】

首先由函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，再由，即可判定大小【題目詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在減，所以在上增，，，，∴.故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,不同類型的數(shù)比較大小,應(yīng)找一個(gè)中間數(shù),通過(guò)它實(shí)現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞，屬于中檔題.10、C【答案解析】

設(shè)出兩人到達(dá)小王的時(shí)間，根據(jù)題意列出不等式組，利用幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【題目詳解】設(shè)小王和外賣小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時(shí)間分別為，以12：00點(diǎn)為開始算起，則有，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如圖所示：圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域，所以小王在樓下等候外賣小哥的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率為：.故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11、C【答案解析】

由已知求出等比數(shù)列的公比，進(jìn)而求出，嘗試用基本不等式，但取不到等號(hào)，所以考慮直接取的值代入比較即可.【題目詳解】，，或（舍）.，，.當(dāng)，時(shí)；當(dāng)，時(shí)；當(dāng)，時(shí)，，所以最小值為.故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算及最小值，屬于基礎(chǔ)題.12、B【答案解析】

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論.【題目詳解】由，得，所以，.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

設(shè)，由雙曲線的定義得出：，由得為等腰三角形，設(shè)，根據(jù)，可求出，得出，再結(jié)合焦點(diǎn)三角形，利用余弦定理：求出和的關(guān)系，即可得出離心率.【題目詳解】解：設(shè)，由雙曲線的定義得出：，，由圖可知：，又，即，則，為等腰三角形，，設(shè)，，則，，即，解得：，則，，解得：，，解得：，，在中，由余弦定理得：，即：，解得：，即.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及余弦定理的應(yīng)用，求雙曲線離心率.14、-1【答案解析】

討論三種情況，a＜0時(shí),根據(jù)均值不等式得到a（﹣a）≤﹣14，計(jì)算等號(hào)成立的條件得到答案.【題目詳解】已知關(guān)于x的不等式（ax﹣a1﹣4）（x﹣4）＞0，①a＜0時(shí)，[x﹣（a）]（x﹣4）＜0，其中a0，故解集為（a，4），由于a（﹣a）≤﹣14，當(dāng)且僅當(dāng)﹣a，即a＝﹣1時(shí)取等號(hào)，∴a的最大值為﹣4，當(dāng)且僅當(dāng)a4時(shí)，A中共含有最少個(gè)整數(shù)，此時(shí)實(shí)數(shù)a的值為﹣1；②a＝0時(shí)，﹣4（x﹣4）＞0，解集為（﹣∞，4），整數(shù)解有無(wú)窮多，故a＝0不符合條件；③a＞0時(shí)，[x﹣（a）]（x﹣4）＞0，其中a4，∴故解集為（﹣∞，4）∪（a，+∞），整數(shù)解有無(wú)窮多，故a＞0不符合條件；綜上所述，a＝﹣1．故答案為：﹣1．【答案點(diǎn)睛】本題考查了解不等式，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.15、3【答案解析】

過(guò)點(diǎn)Q作直線平行于y=x+1，則M在兩條平行線的中間直線上，當(dāng)直線相切時(shí)距離最小，計(jì)算得到答案.【題目詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn)Q作直線平行于y=x+1，則M在兩條平行線的中間直線上，y=x2，則y'=2x=1，x=1點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn)，故M在直線y=x+38時(shí)距離最小，故故答案為：32【答案點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中距離的最值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為切線問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.16、【答案解析】乙不輸?shù)母怕蕿?，?三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【答案解析】

（1）利用零點(diǎn)分段討論法可求不等式的解.（2）利用柯西不等式可求的最小值.【題目詳解】（1），由得或或，解得.（2），所以，由柯西不等式得：所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）.所以的最小值為.【答案點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解絕對(duì)值不等式的基本方法有零點(diǎn)分段討論法、圖象法、平方法等，利用零點(diǎn)分段討論法時(shí)注意分類點(diǎn)的合理選擇，利用平方去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)注意代數(shù)式的正負(fù)，而利用圖象法求解時(shí)注意圖象的正確刻畫．利用柯西不等式求最值時(shí)注意把原代數(shù)式配成平方和的乘積形式，本題屬于中檔題.18、（1）（2）見解析（3）見解析【答案解析】試題分析：利用賦值法求出關(guān)系，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，要求函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).試題解析：（Ⅰ）根據(jù)題意：令，可得，所以，經(jīng)驗(yàn)證，可得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，所以，令，要使存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則須有有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，所以或解得或無(wú)解，所以的取值范圍，可得，由題意知，令，則．而當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，所以即時(shí)，．（Ⅲ）因?yàn)?，．令得，．由（Ⅱ）知時(shí)，的對(duì)稱軸，，，所以.又，可得，此時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以最多只有三個(gè)不同的零點(diǎn)．又因?yàn)?，所以在上遞增，即時(shí)，恒成立．根據(jù)（2）可知且，所以，即，所以，使得．由，得，又，，所以恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)：，1，．綜上所述，恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)．【答案點(diǎn)睛】利用賦值法求出關(guān)系，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，要求函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是近年高考?jí)狠S題的熱點(diǎn).19、（1）；（2）見解析【答案解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求出a的值，即可得橢圓方程；（2）由題意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），根據(jù)，可得y1＝2y0，由，可得2x0+2y0t＝6，再根據(jù)向量的運(yùn)算可得，即可證明．【題目詳解】（1）左頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣a，0），∵＝，∴|a﹣5|＝3，解得a＝2或a＝8（舍去），∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2＝1，（2）由題意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），則依題意可知y1≠y0，得（x0﹣2x0，y1﹣2y0）（0，y1﹣y0）=0，整理可得y1＝2y0，或y1＝y(tǒng)0（舍），，得（x0，2y0）（2﹣x0，t﹣2y0）＝2，整理可得2x0+2y0t＝x02+4y02+2＝6，由（1）可得F（，0），∴＝（﹣x0，﹣2y0），∴?＝（﹣x0，﹣2y0）（2，t）＝6﹣2x0﹣2y0t＝0，∴NF⊥OP，故過(guò)點(diǎn)N且垂直于OP的直線過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F．【答案點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求法，直線和橢圓的關(guān)系，向量的運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于中檔題.20、（1）能；（2）（i）男生有人，女生有人；（ii），分布列見解析．【答案解析】

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表．由總?cè)藬?shù)及女生人數(shù)得男生人數(shù)，由表格得達(dá)標(biāo)人數(shù)，從而得男生中達(dá)標(biāo)人數(shù)，這樣不達(dá)標(biāo)人數(shù)隨之而得，然后計(jì)算可得結(jié)論；（2）由達(dá)標(biāo)人數(shù)中男女生人數(shù)比為可得抽取的人數(shù)，總共選2人，女生有4人，的可能值為0，1，2，分別計(jì)算概率得分布列，再由期望公式可計(jì)算出期望．【題目詳解】（1）列出列聯(lián)表，，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下能判斷“課外體