課時(shí)提升作業(yè)(十) 1.3.1.1 單調(diào)性與最大(小)值

課時(shí)提升作業(yè)(十)函數(shù)的單調(diào)性(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.對于函數(shù)y=f(x),在給定區(qū)間上有兩個(gè)數(shù)x1,x2,且x1<x2,使f(x1)<f(x2)成立,則y=f(x)()A.一定是增函數(shù) B.一定是減函數(shù)C.可能是常數(shù)函數(shù) D.單調(diào)性不能確定【解析】選D.由單調(diào)性定義可知,不能用特殊值代替一般值.【誤區(qū)警示】本題易錯(cuò)選A,原因是對增函數(shù)概念理解不到位,用特殊值代替一般值,因而是錯(cuò)誤的.2.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()A.y=|x| B.y=3-xC.y=1x D.y=-x2【解析】選A.B在R上為減函數(shù);C在(-∞,0)和(0,+∞)上為減函數(shù);D在(-∞,0)上為增函數(shù),在(0,+∞)上為減函數(shù).【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是()①y=-x+1;②y=-2x;③y=x2-4x+5;④y=2A.① B.② C.③ D.④【解析】選B.結(jié)合函數(shù)的圖象可知②在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù),而①③④在區(qū)間(0,2)上均為減函數(shù).3.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,3)上是增函數(shù),則y=f(x+4)的遞增區(qū)間是()A.(2,7) B.(-2,3)C.(-6,-1) D.(0,5)【解析】選C.函數(shù)y=f(x+4)是函數(shù)f(x)向左平移4個(gè)單位得到,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(-2,3)上是增函數(shù),所以y=f(x+4)的增區(qū)間為(-2,3)向左平移4個(gè)單位,即增區(qū)間為(-6,-1).4.如果函數(shù)f(x)在[a,b]上是增函數(shù),對于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),則下列結(jié)論中不正確的是()A.f(B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D.x1【解析】選C.由函數(shù)單調(diào)性的定義可知,若函數(shù)y=f(x)在給定的區(qū)間上是增函數(shù),則x1-x2與f(x1)-f(x2)同號,由此可知,選項(xiàng)A,B,D正確;對于C,若x1<x2時(shí),可能有x1=a或x2=b,即f(x1)=f(a)或f(x2)=f(b),故C不成立.5.函數(shù)f(x)=x2-2(a-1)x+1在區(qū)間[5,+∞)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.[6,+∞) B.(6,+∞) C.(-∞,6] D.(-∞,6)【解析】選C.函數(shù)f(x)的對稱軸x=a-1,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[5,+∞)上是增函數(shù),所以a-1≤5,所以a≤6.二、填空題(每小題5分,共15分)6.函數(shù)f(x)=1x,0<x≤1,x,x>1【解題指南】本題可先作出函數(shù)圖象,由圖象觀察減區(qū)間.【解析】函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.則減區(qū)間是(0,1].答案:(0,1]7設(shè)函數(shù)f(x)滿足:對任意的x1,x2∈R都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,則f(-3)與f(-π)的大小關(guān)系是.【解析】由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,可知函數(shù)f(x)為增函數(shù),又因?yàn)?3>-π,所以f(-3)>f(-π).答案:f(-3)>f(-π)8.已知函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù),A(0,-2),B(-3,2)是其圖象上的兩點(diǎn),那么不等式-2<f(x)<2的解集為.【解析】因?yàn)锳(0,-2),B(-3,2)在函數(shù)y=f(x)的圖象上,所以f(0)=-2,f(-3)=2,故-2<f(x)<2可化為f(0)<f(x)<f(-3),又f(x)在R上是減函數(shù),因此-3<x<0.答案:(-3,0)三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖分別為函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象,試寫出函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的單調(diào)增區(qū)間.【解題指南】根據(jù)函數(shù)的圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,主要是觀察圖象,找到最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的橫坐標(biāo),便可得到一個(gè)單調(diào)區(qū)間,由圖象的上升或下降的趨勢確定是遞增還是遞減的區(qū)間.【解析】由題意,確定函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的單調(diào)增區(qū)間,即尋找圖象中呈上升趨勢的一段圖象.由圖(1)可知,在[1,4)和[4,6)內(nèi),y=f(x)是單調(diào)遞增的.由圖(2)可知,在-3π2,010.已知函數(shù)f(x)=1x(1)求f(x)的定義域.(2)判斷函數(shù)f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性,并用單調(diào)性的定義加以證明.【解析】(1)由x2-1≠0,得x≠±1,所以函數(shù)f(x)=1x2-1的定義域?yàn)閧x∈(2)函數(shù)f(x)=1x2-1證明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=1x1=(x因?yàn)閤2>x1>1,所以x12-1>0,x22-1>0,x2-x1>0,x所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函數(shù)f(x)=1x2-1(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.函數(shù)f(x)=2x2-mx+3,當(dāng)x∈(-∞,-2]時(shí)是減函數(shù),x∈[-2,+∞)時(shí)是增函數(shù),則f(1)等于()A.-3 B.13C.7 D.由m而定的常數(shù)【解析】選B.由題意知m4=-2,所以m=-8,所以f(x)=2x22.設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù),則()A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a)【解析】選D.因?yàn)閍2+1-a=a-122+(-∞,+∞)上為減函數(shù),所以f(a2+1)<f(a).二、填空題(每小題5分,共10分)3.函數(shù)y=xx+a在(-2,+∞)上為增函數(shù),則a的取值范圍是【解析】因?yàn)閥=xx+a=1-ax+a,所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-a),(-a,+∞),要使函數(shù)在(-2,+∞)上為增函數(shù),只要-2≥-a,即a答案:a≥2

【拓展延伸】單調(diào)性中的參數(shù)問題(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性研究參數(shù)的取值范圍問題,往往會(huì)根據(jù)函數(shù)在某一區(qū)間上的增減性確定不等式,此時(shí)常需要將含參數(shù)的變量單獨(dú)移到一側(cè),用變量的范圍來推出參數(shù)的范圍.(2)含參數(shù)的問題經(jīng)常需分類討論,要求有很強(qiáng)的觀察力,同時(shí)要特別注意定義域的限制.4.f(x)是定義在[0,+∞)上的減函數(shù),則不等式f(x)<f(-2x+8)的解集是.【解析】依題意,得不等式組x≥0,-2x+8≥0,x>-2x+8,解得8答案:x【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)易忽視函數(shù)定義域而出錯(cuò).三、解答題(每小題10分,共20分)5.設(shè)函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù),F(x)=f(x)-f(2-x).求證:函數(shù)F(x)在R上是單調(diào)增函數(shù).【證明】任取x1,x2∈R,且x1<x2,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù),所以f(x1)<f(x2),f(2-x1)>f(2-x2),即f(x1)-f(x2)<0,f(2-x1)-f(2-x2)>0,所以F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(2-x1)]-[f(x2)-f(2-x2)]=[f(x1)-f(x2)]+[f(2-x2)-f(2-x1)]<0,即F(x1)-F(x2)<0,所以F(x1)<F(x2).所以函數(shù)F(x)在R上是單調(diào)增函數(shù).6.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(m+n)=f(m)+f(n)-2對任意m,n∈R恒成立.當(dāng)x>0時(shí),f(x)>2.(1)證明f(x)在R上是增函數(shù).(2)已知f(1)=5,解關(guān)于t的不等式f(t-1)≤8.【解析】(1)對任意x1,x2∈R,且x1<x2,所以x2-x1>0,所以f(x2-x1)>2,f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x