山東省日照市校際聯(lián)合考試2021-2022學年高三上學期期末數(shù)學試題（解析版）

2019級高三上學期期末校際聯(lián)合考試數(shù)學試題一、單項選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，再進行交集運算.【詳解】或故選：C2.若復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點是，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由復數(shù)的幾何意義可得，進而利用復數(shù)的除法可求得結(jié)果.【詳解】由復數(shù)的幾何意義可得，因此，.故選：A.3.在的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】當n為偶數(shù)時，展開式中第項二項式系數(shù)最大，當n為奇數(shù)時，展開式中第和項二項式系數(shù)最大.【詳解】因為只有一項二項式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：B4.已知△是邊長為1的等邊三角形，點分別是邊的中點，且，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】把△放在直角坐標系中，可以根據(jù)題干中的條件寫出各個點的坐標，再利用，求出點的坐標，再求出的值即可.【詳解】把△如下圖放在直角坐標系中，由于△的邊長為1，故，點分別是邊的中點，，設，，，，.故選：B.5.某市從6名優(yōu)秀教師中選派3名同時去3個災區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，則不同的選派方案的種數(shù)為（）A.48 B.60 C.96 D.168【答案】C【解析】【分析】用6人中任選派3人方法數(shù)減去甲和乙同去的方法可得．【詳解】由題意所求方法數(shù)為6人中任選派3人的方法數(shù)減去甲和乙同去的方法：．故選：C.6.設函數(shù)，，，則函數(shù)的圖象與軸所圍成圖形中的封閉部分面積是（）A.6 B.8 C.7 D.9【答案】C【解析】【分析】先畫出的圖象，再經(jīng)過平移和翻折得到，進而得到的圖象，再求解的圖象與軸所圍成圖形中的封閉部分面積.【詳解】圖象，如圖1，把的圖象向下平移一個單位長度，再把x軸下方部分沿著x軸翻折，得到的圖象，如圖2，再把的圖象向下平移2個單位長度，在把把x軸下方部分沿著x軸翻折，得到的圖象，如圖3，則與軸所圍成圖形中的封閉部分面積為故選：C7.十八世紀，數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了公式…，其中，若，下列選項中與的值最接近的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】已知式兩邊同時求導，然后令代入，并結(jié)合角的變換，誘導公式變形可得．【詳解】因為…，所以，令得，即．故選：A．8.在底面半徑為12的圓柱內(nèi)，有兩個半徑也為12的球面，其球心距為26，若作一平面與這兩個球面相切，且與圓柱交成一個橢圓，則這個橢圓的長軸長與短軸長之和為（）A.44 B.46 C.48 D.50【答案】D【解析】【分析】設兩個球的球心分別為，橢圓的長軸為，橢圓與兩球的切點為橢圓的焦點，作出由與確定的平面與兩個球及圓柱的截面，并過作的垂線，交圓柱的母線于點，連接與切球的切點，分別在中，利用和余弦的定義，結(jié)合已知的數(shù)據(jù)即可求出的長，即得橢圓的長軸長，再求出短軸的長即可【詳解】設兩個球的球心分別為，所得橢圓的長軸為，直線與交于點，設它們確定的平面為，作出平面與兩個球及圓柱的截面，如圖所示，過作的垂線，交圓柱的母線于點，連接與切球的切點，連接，因為中，，，所以，因為銳角與的兩邊對應互相垂直，所以，所以在中，，因為的長等于球的直徑，所以，所以，即橢圓的長軸為26，在中，，所以橢圓的焦距為10，所以橢圓的短軸長為，所以橢圓的長軸長與短軸長之和為50，故選：D二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.如圖是某市2021年月居民消費價格指數(shù)(CPI)月度漲跌幅度折線圖(同比增長率=(今年第個月-去年第個月)去年第個月，環(huán)比增長率(現(xiàn)在的統(tǒng)計周期-上一個統(tǒng)計周期），正確的是（）A.2021年9月CPI環(huán)比上升，同比上漲B.2021年9月CPI環(huán)比上升，同比無變化C.2021年3月CPI環(huán)比下降，同比上漲D.2021年3月CPI環(huán)比下降，同比上漲【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)折線圖逐一判斷即可.【詳解】由折線圖可知，2021年9月CPI環(huán)比上升，同比上漲，2021年3月CPI環(huán)比下降，同比上漲，故AD正確；BC錯誤.故選：AD10.已知函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象經(jīng)如下變換得到：先將的圖象向右平移個單位，再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话耄v坐標不變，則下列正確的是（）A.B.函數(shù)關于對稱C.在上的值域為D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】利用函數(shù)的平移伸縮可判斷A；令，求出對稱軸，可判斷B；利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域可判斷C；由函數(shù)的最小正周期為，可判斷D.【詳解】對于A，，將的圖象向右平移個單位，得到，再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，縱坐標不變，得到，故A正確；對于B，令，得，當時，關于對稱，故B正確；對于C，，，，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)知，故C錯誤；對于D，由函數(shù)的最小正周期為，所以，故D正確；故選：ABD11.數(shù)列的各項均是正數(shù)，，，函數(shù)在點處的切線過點，則下列正確的是（）A.B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列是等比數(shù)列D.【答案】ABD【解析】【分析】求出函數(shù)在點處的切線方程，可得出，利用等比數(shù)列的定義可判斷AB選項；計算得出，可判斷C選項；推導出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，利用等比數(shù)列的通項公式可判斷D選項.【詳解】對函數(shù)求導得，故函數(shù)在點處的切線方程為，即，由已知可得，對任意，，則，即，所以，，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為，公比為，B對；，A對；且，故數(shù)列不是等比數(shù)列，C錯；由上可知，因為，且，則，即，所以，且，故數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為，公比為，因此，，D對.故選：ABD.12.焦點為的拋物線與圓交于兩點，其中點橫坐標為，方程的曲線記為是圓與軸的交點，是坐標原點，則下列正確的是（）A.給定，對于任意，圓弧所對的圓心角B.對于給定的角，存在，使得圓弧所對的圓心角C.對于任意，該曲線有且僅有一個內(nèi)接正D.當時，存在面積大于2022內(nèi)接正【答案】BC【解析】【分析】由題設拋物線與圓的方程可得交點橫坐標與圓半徑的關系為，結(jié)合各項條件，應用特殊值法判斷AB的正誤，由于隨著圓半徑的增大，直線與的交點從圓上會變化，直到時交點剛好為拋物線與圓的交點上，此后再增大位置不變，即可判斷CD的正誤.【詳解】解：對于A選項，聯(lián)立拋物線與圓的方程，消去y得，即，而且，∴，即橫坐標與半徑的關系，∵拋物線與圓有兩個交點，即，∴當時，，故A選項錯誤；對于B選項，∵由題意知：關于x軸對稱，則對于給定的角，存在使得圓弧所對的圓心角，即只需存在使即可.∴令，則，解得或，當時，在如下圖陰影部分變化，有，當時，若趨近于時,趨近于，故在如下圖陰影部分變化，有∴或時，有，即，所以對于給定的角，存在，使得圓弧所對的圓心角，故B正確；對于C選項，由，于是軸，直線：，同理，∴與分別都只有一個交點，即對于任意，該曲線有且僅有一個內(nèi)接正△，故C正確；對于D選項，當時，如下圖示，拋物線與圓只有一個交點且交點為原點，不符合題意，但此時，∴當時，與的交點在圓上，會一直增大，如下圖示，直到，即與、重合分別為、，此時，∴.當時，與的交點在拋物線上，的變化對沒有影響，如下圖示，，∴D選項錯誤.故選：BC三、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則函數(shù)的最小值為_______.【答案】7【解析】【分析】由，得，構(gòu)造導數(shù)關系，利用基本不等式即可得到.【詳解】法一：，，，當且僅當，即時等號成立，故答案為：7.法二：，令得或，當時函數(shù)單調(diào)遞減，當時函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時函數(shù)取得最小值為：，故答案為：7.【點晴】此題考基本不等式，屬于簡單題.14.在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)f(x)=asinax+cosax(a>0)在一個最小正周期長的區(qū)間上的圖像與函數(shù)的圖像所圍成封閉圖形的面積為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式求得最小正周期，利用定積分即可求得面積．【詳解】由得最小正周期所以函數(shù)在一個最小正周期長的區(qū)間上的圖像與函數(shù)的圖像所圍成封閉圖形的面積為故答案為：15.如圖，棱長為的正方體的頂點在平面內(nèi)，三條棱,,都在平面的同側(cè).若頂點,到平面的距離分別為,，則平面與平面所成銳二面角的余弦值為________

【答案】【解析】【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，設平面的一個法向量為，設

連結(jié)則四面體為直角四面體；

作平面的法線作于于于

連結(jié)，令由等體積可得令可得設，解得；

則的法向量為由得，∴，平面的法向量為，則平面與平面所成銳二面角的余弦值為16.已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)分段函數(shù)解析式，判斷的取值范圍，利用解析式將展開，構(gòu)造函數(shù)，將問題變?yōu)樵跁r有解的問題，然后利用導數(shù)求解該問題即可.【詳解】根據(jù)分段函數(shù)解析式，可知：若都大于等于1，，則，不符合題意，若都小于1，那么，不符合題意，故一個大于1，另一個小于1，不妨設，則，即，設，則，所以即，設，則該函數(shù)在時有解，而，當時，；當，，所以，因為在時有解，故須使，解得，即，故答案為：四、解答題:共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知中，它的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題設條件，利用余弦定理，求得，進而求得的值；（2）由，得到，進而求得的值.【詳解】（1）在中，因為，即由余弦定理可得，因為，所以.（2）在中，可得，可得，由，可得，又由，則，則，所以.18.數(shù)列中，已知，數(shù)列{bn}滿足，點在直線上.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列中滿足：①；②存在使的項組成新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}所有項的和.【答案】（1），（2）341【解析】【分析】(1)由與的關系式可得通項公式，再由點與直線的關系可得的通項公式；(2)找出滿足條件的共同項再求和即可.【小問1詳解】，，，①，，，滿足①，所以是以1為首項2為公比的等比數(shù)列，所以.因點在直線上，所以，，是首項為1公差為3的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】且滿足的中項一定是除3余1的數(shù)，即形如的數(shù)，同時滿足，所以，，，，數(shù)列{cn}所有項的和為：.19.如圖所示，在三棱臺中，，，，，分別為，的中點.（1）證明：平面；（2）若，求平面和平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點，連接，，證明平面平面，進而證明平面；（2）由題得平面，在平面內(nèi)過點作交于，進而以為原點，，，的方向為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，利用坐標法求解.【詳解】解：（1）證明：取的中點，連接，，由三棱臺的性質(zhì)知四邊形是梯形，因為是的中點，是的中點.所以，因為平面，平面，所以平面，因為是的中點，是的中點所以為，因為平面，平面，所以平面，又，所以平面平面，因為平面，所以平面.（2）因為，，，所以平面，在平面內(nèi)過點作交于，則，，兩兩垂直，以為原點，，，的方向為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，不妨設，則，，，，，設平面的法向量，因為，，所以由得取，得，設平面的法向量，因為，，所以由得取，得，設平面和平面所成銳二面角為，則.故平面和平面所成銳二面角的余弦值為.20.2021年某出版社對投稿某期刊的600篇文章進行評選，每篇文章送3位專家進行評議，3位專家中有2位以上(含2位)專家評議意見為“不合格”的文章，將認定為“不入圍文章”，有且只有1位專家評議意見為“不合格”的文章，將再送2位專家進行復評，2位復評專家中有1位以上(含1位)專家評議意見為“不合格”的文章，將認定為“不入圍文章”.設每篇文章被每位專家評議為“不合格”的概率均為，且各篇文章是否被評議為“不合格”相互獨立.（1）記一篇參評的文章被認定為“不入圍文章”的概率為，求；（2）若擬定每篇文章需要復評的評審費用為1500元，不需要復評的評審費用為900元；除評審費外，其他費用總計為10萬元.該出版社總預算費用為80萬元，現(xiàn)以此方案實施，問是否會超過預算?并說明理由.【答案】（1）；（2）不會超過預算，理由見解析.【解析】【分析】（1）一篇參評的文章被認定為“不入圍文章”分為兩種情況，①初評被認定為“不入圍文章”，②復評的文章被認定為“不入圍文章”.兩種情況的概率相加即可求出；（2）先求出一篇文章評審費用為1500元的概率，再求出一篇文章評審費用為900元的概率，進而求出評審一篇文章的平均費用的最大值，再求出600篇文章總費用的最大值，即可說明不會超過預算.【小問1詳解】因為一篇文章初評被認定為“不入圍文章”的概率為，一篇文章復評后被認定為“不入圍文章”的概率為，所以一篇參評的文章被認定為“不入圍文章”的概率+；【小問2詳解】設每篇文章的評審費用為元，則的可能取值為.，..令.當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減，的最大值為，實施此方案，最高費用為：（萬元）.因此實施此方案，不會超過預算.21.在平面直角坐標系中，一動圓經(jīng)過點且與直線相切，設該動圓圓心的軌跡為曲線，是曲線上一點.（1）求曲線的方程；（2）過點且斜率為的直線與曲線交于兩點，若且直線與直線交于點，求的值；（3）若點在軸上，的內(nèi)切圓的方程為，求面積的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義直接判斷出軌跡寫出方程即可；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程求出，再求出點的坐標，計算，即可求解；（3）求出DE的長，