(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題7.2《等差數(shù)列及其前n項和》(解析版)

專題7.2等差數(shù)列及其前n項和新課程考試要求1.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式；2.了解等差數(shù)列與一次函數(shù).3.掌握等差數(shù)列前n項和公式及其應(yīng)用；4.會用數(shù)列的等差關(guān)系解決實(shí)際問題.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等.考向預(yù)測1.利用方程思想進(jìn)行基本量的計算.2.等差、等比數(shù)列的綜合問題.3.復(fù)習(xí)中注意:(1)方程思想在數(shù)列計算中的應(yīng)用;(2)等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式的綜合應(yīng)用.【知識清單】知識點(diǎn)一．等差數(shù)列的有關(guān)概念1.定義：等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示.用遞推公式表示為或.2.等差數(shù)列的通項公式：；說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列，為遞減數(shù)列.3.等差中項的概念：定義：如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項,其中.，，成等差數(shù)列.4.要注意概念中的“從第2項起”．如果一個數(shù)列不是從第2項起，而是從第3項或第4項起，每一項與它前一項的差是同一個常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列．5.注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別．知識點(diǎn)二．等差數(shù)列的前n項和等差數(shù)列的前和的求和公式：.知識點(diǎn)三．等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)1.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；（2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差數(shù)列中，對任意，，，；（4）在等差數(shù)列中，若，，，且，則,特殊地，SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中項.（5）等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即SKIPIF1<0成等差數(shù)列.（6）兩個等差數(shù)列與的和差的數(shù)列仍為等差數(shù)列．（7）若數(shù)列是等差數(shù)列,則仍為等差數(shù)列．2．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，（Ⅰ）若項數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項，則①；②；（Ⅱ）若項數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項，則①(中間項)；②.3.,則,.4.如果兩個等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是兩個原等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)．5.若與為等差數(shù)列，且前項和分別為與，則.6．等差數(shù)列的增減性：時為遞增數(shù)列，且當(dāng)時前n項和有最小值．時為遞減數(shù)列，且當(dāng)時前n項和有最大值．【考點(diǎn)分類剖析】考點(diǎn)一：等差數(shù)列的基本運(yùn)算【典例1】（2020·全國高考真題（文））記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0等差數(shù)列的公差SKIPIF1<0根據(jù)等差數(shù)列通項公式：SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0整理可得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0根據(jù)等差數(shù)列前SKIPIF1<0項和公式：SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例2】（2019·江蘇高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和.若，則的值是_____.【答案】16.【解析】由題意可得：，解得：，則.【典例3】（2021·上海民辦南模中學(xué)高三三模）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的各項均為正整數(shù)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是___________.【答案】5【解析】若等差數(shù)列SKIPIF1<0的各項均為正整數(shù)，則數(shù)列SKIPIF1<0單增，公差SKIPIF1<0，從而表示出SKIPIF1<0，根據(jù)其單減性，求得最小值.【詳解】若等差數(shù)列SKIPIF1<0的各項均為正整數(shù)，則數(shù)列SKIPIF1<0單增，則公差SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為正整數(shù)，SKIPIF1<0關(guān)于d單減，則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，不符；故SKIPIF1<0的最小值為5，故答案為：5【規(guī)律方法】1．活用方程思想和化歸思想在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項公式及前項和公式，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運(yùn)用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運(yùn)算．2.特殊設(shè)法:三個數(shù)成等差數(shù)列，一般設(shè)為；四個數(shù)成等差數(shù)列，一般設(shè)為.這對已知和,求數(shù)列各項,運(yùn)算很方便.3.等差數(shù)列的前n項和公式若已知首項和末項，則，或等差數(shù)列{an}的首項是，公差是，則其前項和公式為.【變式探究】1..數(shù)列an是等差數(shù)列，a1=1，aA．16B．-16C．32D．31【答案】D【解析】因?yàn)閍4=8，所以又因?yàn)閍1=1，所以可得a5=a1+4d=2.（2021·全國高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a4+a7+a10=9，S14-S3=77，則使Sn取得最小值時n的值為____.【答案】5【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，根據(jù)a4+a7+a10=9，S14-S3=77，求得SKIPIF1<0即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍4+a7+a10=9，S14-S3=77，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，Sn取得最小值，故答案為：53.（2018·北京高考真題（理））設(shè)an是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則a【答案】a【解析】∵考點(diǎn)二：等差數(shù)列的判定與證明【典例4】（2021·全國高考真題（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0的各項均為正數(shù)，記SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列：②數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；③SKIPIF1<0．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【答案】答案見解析【解析】選①②作條件證明③時，可設(shè)出SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0的關(guān)系求出SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0是等差數(shù)列可證SKIPIF1<0；選①③作條件證明②時，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出SKIPIF1<0，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；選②③作條件證明①時，設(shè)出SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0的關(guān)系求出SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0可求SKIPIF1<0，然后可證SKIPIF1<0是等差數(shù)列.【詳解】選①②作條件證明③：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；因?yàn)镾KIPIF1<0也是等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.選①③作條件證明②：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差數(shù)列，所以公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等差數(shù)列.選②③作條件證明①：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0滿足等差數(shù)列的定義，此時SKIPIF1<0為等差數(shù)列；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不合題意，舍去.綜上可知SKIPIF1<0為等差數(shù)列.【典例5】（2019·浙江高考模擬）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，且S2＝8，．（I）求a1，a2并證明數(shù)列{}為等差數(shù)列；（II）若不等式對任意正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（I），，見證明（II）【解析】（I），，得.，則，兩式相減得，即①②②①得，即，故數(shù)列為等差數(shù)列.（II）由（I）可得，由得對任意正整數(shù)恒成立，，令，，，.【規(guī)律方法】1.等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法：對于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列；(2)等差中項：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列;(3)通項公式：(為常數(shù),)?是等差數(shù)列;(4)前項和公式：(為常數(shù),)?是等差數(shù)列;(5)是等差數(shù)列?是等差數(shù)列.2.提醒：（1）判斷時易忽視定義中從第2項起，以后每項與前一項的差是同一常數(shù)，即易忽視驗(yàn)證a2－a1＝d這一關(guān)鍵條件.（2）若判斷一個數(shù)列既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列，只需用驗(yàn)證即可．（3）形如an＋1＝eq\f(kan,man＋k)的數(shù)列可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求解：可用列舉觀察法求解；也可用變形構(gòu)造法（倒數(shù)差）求解（）見【變式探究】2）.【變式探究】1.（2020·全國高三其他（理））數(shù)列中，，，則（）A．2019 B．2020 C．4039 D．4040【答案】B【解析】分析：根據(jù)題中所給的條件，類比著寫出，兩式相減可得，從而可得數(shù)列隔項成等差數(shù)列，即其偶數(shù)項成等差數(shù)列，利用題中條件求得，利用通項公式求得，得到結(jié)果.詳解：∵①，∴②，②①得，∴數(shù)列的偶數(shù)項是以為首項，2為公差的等差數(shù)列.∴.故選：B.2．（2021·河北衡水中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù))，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________；設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前17項和為___________.【答案】SKIPIF1<017【解析】化簡函數(shù)解析式得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，再首尾相加求和即可得解.【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.又當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，故SKIPIF1<0.由題意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0.又易得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的前17項和為SKIPIF1<0.故答案為：①SKIPIF1<0；②17考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【典例6】（2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三其他模擬（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．5 B．4 C．9 D．7【答案】A【解析】本題可設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，然后根據(jù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0，最后通過SKIPIF1<0即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選：A.【典例7】（2021·北京高考真題）SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是兩個等差數(shù)列，其中SKIPIF1<0為常值，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由已知條件求出SKIPIF1<0的值，利用等差中項的性質(zhì)可求得SKIPIF1<0的值.【詳解】由已知條件可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故選：B.【溫馨提醒】等差數(shù)列的性質(zhì)主要涉及“項的性質(zhì)”和“和的性質(zhì)”，因此，要注意結(jié)合等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式求解．【變式探究】1．(2019·武漢調(diào)研)在等差數(shù)列{an}中，前n項和Sn滿足S7－S2＝45，則a5＝()A．7 B．9C．14 D．18【答案】B【解析】解法一因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an}中，S7－S2＝45，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝45，所以a5＝9，故選B.解法二設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an}中，S7－S2＝45，所以，整理得a1＋4d＝9，所以a5＝9，故選B.2.（2021·全國高二課時練習(xí)）設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a2=-6，a8=6，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則（）A．S4<S5 B．S4=S5 C．S6<S5 D．S6=S5【答案】B【解析】(方法一)利用首項和公差求解；(方法二)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】(方法一)設(shè)該等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，則有SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0從而有S4=-20，S5=-20，S6=-18.從而有S4=S5.(方法二)由等差數(shù)列的性質(zhì)知a5+a5=a2+a8=-6+6=0，所以a5=0，從而有S4=S5.故選：B考點(diǎn)四等差數(shù)列的前n項和公式的綜合應(yīng)用 【典例8】【多選題】（2021·全國高三其他模擬）等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和中SKIPIF1<0最小C．SKIPIF1<0的最小值為-49D．SKIPIF1<0的最大值為0【答案】BC【解析】由已知條件先計算出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，然后計算SKIPIF1<0的值對A進(jìn)行判斷；求出SKIPIF1<0的表達(dá)式，計算出最小值即可對B進(jìn)行判斷；求出SKIPIF1<0的表達(dá)式，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出最小值判斷C選項；求出SKIPIF1<0的表達(dá)式對D進(jìn)行判斷.【詳解】設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公差為d，則SKIPIF1<0

解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A錯誤；

SKIPIF1<0，當(dāng)n=5時取得最小值，故B正確；

SKIPIF1<0，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，

則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，

當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

所以最小值為-49，C正確；SKIPIF1<0，沒有最大值，D錯誤．故選：BC【典例9】（2019·北京高考模擬（文））等差數(shù)列滿足，則a5=______；若，則n=______時，{an}的前n項和取得最大值．【答案】46【解析】等差數(shù)列滿足，所以，即，，所以，所以．令，解得，所以的前6項和取得最大值．故填：4，6．【典例10】（2021·全國高考真題）記SKIPIF1<0是公差不為0的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，若SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0；（2）求使SKIPIF1<0成立的n的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)7.【解析】(1)由題意首先求得SKIPIF1<0的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項公式；(2)首先求得前n項和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，設(shè)等差數(shù)列的公差為SKIPIF1<0，從而有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而：SKIPIF1<0，由于公差不為零，故：SKIPIF1<0，數(shù)列的通項公式為：SKIPIF1<0.(2)由數(shù)列的通項公式可得：SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為正整數(shù)，故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.【規(guī)律方法】1.要注意等差數(shù)列前n項和公式的靈活應(yīng)用，如等．2．求等差數(shù)列前項和的最值，常用的方法：（1）利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值．當(dāng)，時，有最大值；，時，有最小值；若已知，則最值時的值（）則當(dāng)，，滿足的項數(shù)使得取最大值，(2)當(dāng)，時，滿足的項數(shù)使得取最小值.（2）利用等差數(shù)列的前n項和：(為常數(shù),)為二次函數(shù)，通過配方或借助圖像，二次函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值的方法求解；有時利用數(shù)列的單調(diào)性（,遞增；，遞減）；3.利用數(shù)列中最大項和最小項的求法：求最大項的方法：設(shè)為最大項，則有；求最小項的方法：設(shè)為最小項，則有.只需將等差數(shù)列的前n項和依次看成數(shù)列，利用數(shù)列中最大項和最小項的求法即可.4.在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.【變式探究】1.（2020·浙江湖州?高一期末）設(shè)公差為d的等差數(shù)列的前n項和為，若，，則________，取最小值時，________．【答案】34【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，解得，所以，因?yàn)榈膱D象開口向上，對稱軸為，由，所以當(dāng)時，取最小值.故答案為:;.2.（2019·浙江高三期末）記等差數(shù)列的前n項和為，若，，則______；當(dāng)取得最大值時，______．【答案】01009或1008【解析】，，，，，，，，，故當(dāng)取得最大值時，或，故答案為：0，1009或1008．3.（2021·湖北省直轄縣級行政單位·高三其他模擬）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0最大.則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】首先根據(jù)題意求出SKIPIF1<0，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項即可求解.【詳解】解：由題意可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍)，故SKIPIF1<0故答案為：20.考點(diǎn)五等差數(shù)列與傳統(tǒng)文化【典例11】（2020·全國高考真題（理））北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C【解析】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即即，解得，所以.故選：C【典例12】（2021·重慶高三三模）我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，行程一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日減半里；駑馬初日行九十七里，日減半里，良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，則二馬（）日后相逢．A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【解析】根據(jù)題意通過已知條件轉(zhuǎn)化為兩個等差數(shù)列的前n項和為定值問題，進(jìn)而計算可得結(jié)論．【詳解】由題可知，良馬每日行程SKIPIF1<0構(gòu)成一個首項為103，公差SKIPIF1<0的等差數(shù)列，駑馬每日行程SKIPIF1<0構(gòu)成一個首項為97，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0與數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，又?jǐn)?shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以大12日相逢．故選:C．【變式探究】1．（2021·四川成都市·石室中學(xué)高三三模）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，講的是關(guān)于整除的問題（如7被3除余1：1被2除余1）.現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到100這100個正整數(shù)中能被2除余1且被3除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0各項的和為（）A．736 B．816 C．833 D．29800【答案】C【解析】根據(jù)給定信息確定出這個數(shù)列的通項公式，再由最大數(shù)不超過100，確定出項數(shù)即可作答.【詳解】被2除余1且被3除余1的整數(shù)即被6除余1，這些整數(shù)由小到大依次排成一列構(gòu)成的數(shù)列SKIPIF1<0通項為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是得符合條件的數(shù)列SKIPIF1<0有17項，這17項和為SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0各項的和為833.故選：C2.（2020·浙江平陽?高三其他）我國古代《九章算術(shù)》一書中記載關(guān)于“竹九”問題：“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升，問五、六兩節(jié)欲均容各多少？意思是下三節(jié)容量和為4升，上四節(jié)容量和為3升，且每一節(jié)容量變化均勻，問第五、六兩節(jié)容量分別是多少?在這個問題中，最下面一節(jié)容量是______，九節(jié)總?cè)萘渴莀_____.【答案】【解析】設(shè)由下到上九節(jié)容量分別記為，則成等差數(shù)列，設(shè)公差為，且，，即，，所以，，故故答案為：；.專題7.2等差數(shù)列及其前n項和練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1．（2021·全國高三其他模擬（文））在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，則公差SKIPIF1<0（）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，根據(jù)等差數(shù)列通項公式計算可得；【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故選：B2．（2020·湖北武漢?高三其他（文））設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則公差SKIPIF1<0等于（）A．0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：B.3.（2020·全國高三其他（理））已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.4．（2019·浙江高三會考）等差數(shù)列ann∈N?的公差為d，前n項和為Sn，若A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】根據(jù)題意，等差數(shù)列an中，S3=S9，則S9?S3=a4+a55．（2021·全國高三其他模擬（文））我國明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：今有鈔二百三十八貫，令五等人從上作互和減半分之，只云戊不及甲三十三貫六百文，問：各該鈔若干？其意思是：現(xiàn)有錢238貫，采用等差數(shù)列的方法依次分給甲?乙?丙?丁?戊五個人，現(xiàn)在只知道戊所得錢比甲少33貫600文(1貫=1000文)，問各人各得錢多少？在這個問題中，戊所得錢數(shù)為（）A．30.8貫 B．39.2貫 C．47.6貫 D．64.4貫【答案】A【解析】由題意知甲?乙?丙?丁?戊五個人所得錢數(shù)組成等差數(shù)列，由等差數(shù)列項的性質(zhì)列方程組即可求出所要的結(jié)果.【詳解】解：依次記甲?乙?丙?丁?戊五個人所得錢數(shù)為a1，a2，a3，a4，a5，由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，可記公差為d，依題意得：SKIPIF1<0，解得a1=64.4，d=﹣8.4，所以a5=64.4﹣33.6=30.8，即戊所得錢數(shù)為30.8貫.故選：A.6．（2020·全國高三課時練習(xí)（理））設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則，，…，中最大的項為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵等差數(shù)列前n項和SKIPIF1<0，由S15>0，S16<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，若視為函數(shù)則對稱軸在SKIPIF1<0之間，∵SKIPIF1<0，∴Sn最大值是SKIPIF1<0，分析SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0為正值時有最大值，故為前8項，又d＜0，SKIPIF1<0遞減，前8項中SKIPIF1<0遞增，∴前8項中SKIPIF1<0最大SKIPIF1<0最小時SKIPIF1<0有最大值，∴SKIPIF1<0最大．7．（2019·全國高考真題（文））記為等差數(shù)列的前項和，若，則___________.【答案】100【解析】得8.（2019·全國高考真題（理））記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，，則___________.【答案】4.【解析】因，所以，即，所以．9.（2021·河南高三其他模擬（文））設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，則S8=___________.【答案】64【解析】設(shè){an}的公差為d.根據(jù)已知條件列出方程組，計算求解即可.【詳解】設(shè){an}的公差為d.因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：64.10.（2018·全國高考真題（理））記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知（1）求{a（2）求Sn，并求S【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值為–16．【解析】（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通項公式為an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以當(dāng)n=4時，Sn取得最小值，最小值為–16．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·上海市大同中學(xué)高三三模）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則“數(shù)列SKIPIF1<0為無窮數(shù)列”是“數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由已知可得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，若存在正整數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，此時數(shù)列SKIPIF1<0為有窮數(shù)列；若SKIPIF1<0恒不為0，由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0為無窮數(shù)列，由此根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行分析即可得結(jié)論．【詳解】解：令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，首項為SKIPIF1<0，公差為1，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，若存在正整數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，則有SKIPIF1<0，此時數(shù)列SKIPIF1<0為有窮數(shù)列；若SKIPIF1<0恒不為0，由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0就可以按照此遞推關(guān)系一直計算下去，所以此時SKIPIF1<0為無窮數(shù)列.（1）若SKIPIF1<0恒不為0，則SKIPIF1<0為無窮數(shù)列，由遞推關(guān)系式有SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時數(shù)列SKIPIF1<0不是單調(diào)數(shù)列；（2）當(dāng)數(shù)列SKIPIF1<0為有窮數(shù)列時，存在正整數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，此時數(shù)列SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，若數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0全為正或全為負(fù)，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0全為正，而SKIPIF1<0，這與SKIPIF1<0單調(diào)遞增矛盾，所以當(dāng)數(shù)列SKIPIF1<0為有窮數(shù)列時，數(shù)列不可能單調(diào)，所以當(dāng)數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)時，數(shù)列SKIPIF1<0一定有無窮多項．故選：B.2．（2021·哈爾濱市第一中學(xué)校高三三模（理））習(xí)近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預(yù)計該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個等差數(shù)列SKIPIF1<0（單位萬元，SKIPIF1<0），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金SKIPIF1<0的SKIPIF1<0倍，已知SKIPIF1<0．則預(yù)計該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為（）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元【答案】C【解析】本題可設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，然后根據(jù)題意得出五年累計總投入資金為SKIPIF1<0，最后通過基本不等式即可求出最值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由題意可知，五年累計總投入資金為：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號，故預(yù)計該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為120萬元，故選：C.3．（2021·四川遂寧市·高三其他模擬（理））定義函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)，例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的值域?yàn)镾KIPIF1<0.記集合SKIPIF1<0中元素的個數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】先根據(jù)條件分析出當(dāng)SKIPIF1<0時，集合SKIPIF1<0中的元素個數(shù)為SKIPIF1<0，進(jìn)而可得SKIPIF1<0，再結(jié)合裂項相消法進(jìn)行求和可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在各個區(qū)間中的元素個數(shù)分別為：SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的值域?yàn)镾KIPIF1<0，集合SKIPIF1<0中元素個數(shù)為：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D.4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為其前n項和，則SKIPIF1<0的最小值為___________.【答案】8【解析】利用SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的值，然后利用等差數(shù)列求和公式求得SKIPIF1<0，利用函數(shù)圖象得SKIPIF1<0的最小值可能為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，分別求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得出最小值.【詳解】由于SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,作函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，故SKIPIF1<0的最小值可能為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：8.5．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0…，其中在第SKIPIF1<0個1與第SKIPIF1<0個1之間插入SKIPIF1<0個SKIPIF1<0若該數(shù)列的前SKIPIF1<0項的和為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0___________.【答案】3【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時，若有n個1，由題知，數(shù)列共有SKIPIF1<0項，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則在第63個1后面跟第2個x就是第2018項，所以前SKIPIF1<0項中含63個1，其余均為x，從而根據(jù)前SKIPIF1<0項的和為SKIPIF1<0求得x.【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時，若有n個1，由題知，數(shù)列共有SKIPIF1<0項，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則在第63個1后面跟第2個x就是第2018項，所以前SKIPIF1<0項中含63個1，其余均為x，故該數(shù)列的前SKIPIF1<0項的和為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：36．（2021·廣東揭陽市·高三其他模擬）已知正項等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）若SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，兩式相減可得SKIPIF1<0，從而可求出SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，進(jìn)而可出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，從而可求出SKIPIF1<0【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0相減得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0舍去)由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.7．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，進(jìn)而求得數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）由（1）得到SKIPIF1<0，利用累加法，求得SKIPIF1<0，進(jìn)而求得SKIPIF1<0，利用裂項法求和，即可求解.【詳解】（1）由題意，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)楫?dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，符合上式，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，滿足上式，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.8．（2021·全國高三其他模擬（理））已知各項均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；（2）數(shù)列SKIPIF1<0的前項SKIPIF1<0和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）將已知遞推關(guān)系移項配方整理可得SKIPIF1<0，進(jìn)而利用等差中項法證明數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；（2）利用裂項求和法求和化簡后即得證.【詳解】解：（1）由SKIPIF1<0結(jié)合數(shù)列各項均為正數(shù)得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；（2）SKIPIF1<0，則公差SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.9．（2021·山東泰安市·高三其他模擬）設(shè)各項均為正的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項的和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的值，當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系推導(dǎo)出數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項與公差，可求得SKIPIF1<0的通項公式；（2）計算出SKIPIF1<0，然后利用等差數(shù)列的求和公式可求得SKIPIF1<0.【詳解】（1）令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由數(shù)列SKIPIF1<0的各項為正，可得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列．即數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.10．（2019·浙江高三期末）在數(shù)列、中，設(shè)是數(shù)列的前項和，已知，，，.（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若時，恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】（1），（2）整數(shù)的最小值是11.【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，即，所以是等差?shù)列，又，所以，從而.（Ⅱ）因?yàn)?，所以，?dāng)時，①②①-②可得，，即，而也滿足，故.令，則，即，因?yàn)?，，依?jù)指數(shù)增長性質(zhì)，整數(shù)的最小值是11.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2020·浙江省高考真題）我國古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列SKIPIF1<0就是二階等差數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0SKIPIF1<0的前3項和是________．【答案】SKIPIF1<