2023年數(shù)學(xué)二真題+答案解析

2023年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二PAGEPAGE132023年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題:18小題,每題4分,共32分.以下每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)當(dāng)時，假設(shè)，均是比高階的無窮小，那么的取值范圍是()(A)(B)(C)(D)(2)以下曲線中有漸近線的是()(A)(B)(C)(D)(3)設(shè)函數(shù)具有2階導(dǎo)數(shù)，，那么在區(qū)間上〔〕(A)當(dāng)時， (B)當(dāng)時，(C)當(dāng)時， (D)當(dāng)時，(4)曲線上對應(yīng)于的點處的曲率半徑是〔〕(A) (B) (C) (D)(5)設(shè)函數(shù)，假設(shè)，那么〔〕(A) (B) (C) (D)(6)設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，在的內(nèi)部具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足及，那么〔〕(A)的最大值和最小值都在的邊界上取得(B)的最大值和最小值都在的內(nèi)部上取得(C)的最大值在的內(nèi)部取得，最小值在的邊界上取得(D)的最小值在的內(nèi)部取得，最大值在的邊界上取得(7)行列式〔〕(A)(B)(C)(D)(8)設(shè)均為3維向量，那么對任意常數(shù)，向量組線性無關(guān)是向量組線性無關(guān)的〔〕(A)必要非充分條件 (B)充分非必要條件(C)充分必要條件 (D)既非充分也非必要條件二、填空題：914小題,每題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.((9)__________.(10)設(shè)是周期為的可導(dǎo)奇函數(shù)，且，那么__________.(11)設(shè)是由方程確定的函數(shù)，那么__________.(12)曲線的極坐標(biāo)方程是，那么在點處的切線的直角坐標(biāo)方程是__________.(13)一根長為1的細(xì)棒位于軸的區(qū)間上,假設(shè)其線密度,那么該細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo)__________.(14)設(shè)二次型的負(fù)慣性指數(shù)為1，那么的取值范圍為_______.三、解答題：15～23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(此題總分值10分)求極限(16)(此題總分值10分)函數(shù)滿足微分方程，且，求的極大值與極小值.(17)(此題總分值10分)設(shè)平面區(qū)域計算.(18)(此題總分值10分)設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足，假設(shè)，求的表達(dá)式.(19)(此題總分值10分)設(shè)函數(shù)的區(qū)間上連續(xù)，且單調(diào)增加，.證明：(I),(II).(20)(此題總分值11分)設(shè)函數(shù)，定義函數(shù)列，記是由曲線，直線及軸所圍成平面圖形的面積，求極限.(21)(此題總分值11分)函數(shù)滿足，且求曲線所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.(22)(此題總分值11分)設(shè)矩陣，為三階單位矩陣.(I)求方程組的一個根底解系；(II)求滿足的所有矩陣.(23)(此題總分值11分)證明階矩陣與相似.2023年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答案一、選擇題:18小題,每題4分,共32分.以下每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)當(dāng)時，假設(shè)，均是比高階的無窮小，那么的取值范圍是()(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】由定義所以，故.當(dāng)時，是比的高階無窮小，所以，即.應(yīng)選B(2)以下曲線中有漸近線的是()(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】關(guān)于C選項：.，所以存在斜漸近線.應(yīng)選C(3)設(shè)函數(shù)具有2階導(dǎo)數(shù)，，那么在區(qū)間上〔〕(A)當(dāng)時， (B)當(dāng)時，(C)當(dāng)時， (D)當(dāng)時，【答案】D【解析】令，那么,,.假設(shè)，那么，在上為凸的.又，所以當(dāng)時，，從而.應(yīng)選D.(4)曲線上對應(yīng)于的點處的曲率半徑是〔〕(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】應(yīng)選C(5)設(shè)函數(shù)，假設(shè)，那么〔〕(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】因為，所以應(yīng)選D.(6)設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，在的內(nèi)部具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足及，那么〔〕(A)的最大值和最小值都在的邊界上取得(B)的最大值和最小值都在的內(nèi)部上取得(C)的最大值在的內(nèi)部取得，最小值在的邊界上取得(D)的最小值在的內(nèi)部取得，最大值在的邊界上取得【答案】A【解析】記那么,所以在內(nèi)無極值，那么極值在邊界處取得.應(yīng)選A(7)行列式()(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】由行列式的展開定理展開第一列.(8)設(shè)均為三維向量，那么對任意常數(shù),向量組,線性無關(guān)是向量組線性無關(guān)的()(A)必要非充分條件 (B)充分非必要條件(C)充分必要條件 (D)既非充分也非必要條件【答案】A【解析】.記，，.假設(shè)線性無關(guān)，那么，故線性無關(guān).舉反例.令，那么線性無關(guān)，但此時卻線性相關(guān).綜上所述，對任意常數(shù)，向量線性無關(guān)是向量線性無關(guān)的必要非充分條件.應(yīng)選A二、填空題：914小題,每題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.(9)__________.【答案】【解析】(10)設(shè)是周期為的可導(dǎo)奇函數(shù)，且，那么__________.【答案】1【解析】且為偶函數(shù)那么又且為奇函數(shù)，故又的周期為4，(11)設(shè)是由方程確定的函數(shù)，那么__________.【答案】【解析】對方程兩邊同時對求偏導(dǎo)當(dāng)時,故故(12)曲線的極坐標(biāo)方程是，那么在點處的切線的直角坐標(biāo)方程是__________.【答案】【解析】由直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的關(guān)系，于是對應(yīng)于切線斜率所以切線方程為即(13)一根長為1的細(xì)棒位于軸的區(qū)間上,假設(shè)其線密度,那么該細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo)__________.【答案】【解析】質(zhì)心橫坐標(biāo)(13)設(shè)二次型的負(fù)慣性指數(shù)是1，那么的取值范圍_________.【答案】【解析】配方法：由于二次型負(fù)慣性指數(shù)為1，所以，故.三、解答題：15～23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(此題總分值10分)求極限【解析】.(16)(此題總分值10分)函數(shù)滿足微分方程，且，求的極大值與極小值.【解析】由，得………=1\*GB3①此時上面方程為變量可別離方程，解的通解為由得又由=1\*GB3①可得當(dāng)時，，且有：所以在處取得極小值，在處取得極大值即：的極大值為1，極小值為0.(17)(此題總分值10分)設(shè)平面區(qū)域計算.【解析】D關(guān)于對稱，滿足輪換對稱性，那么：(18)(此題總分值10分)設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足，假設(shè)，求的表達(dá)式.【解析】由，由，代入得，即，令得特征方程得齊次方程通解設(shè)特解，代入方程得，特解那么原方程通解為由，得,那么.(19)(此題總分值10分)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且單調(diào)增加，，證明：〔I〕,〔II〕.【解析】〔I〕由積分中值定理，〔II〕直接由，得到〔II〕令由〔I〕知又由于單增，所以單調(diào)不減，取，得，即〔II〕成立.(20)(此題總分值11分)設(shè)函數(shù)，定義函數(shù)列，記是由曲線，直線及軸所圍成平面圖形的面積，求極限.【解析】(21)(此題總分值11分)函數(shù)滿足，且求曲線所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.【解析】因為,所以其中為待定函數(shù).又因為那么，從而.令可得，當(dāng)時，或，從而所求的體積為(22)(此題總分值11分)設(shè)矩陣，為三階單位矩陣.(I)求方程組的一個根底解系；(II