§1.2 中值定理 洛必達(dá)法則

4.求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)6.求下列各函數(shù)的微分1第三章中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用§1中值定理§2洛必達(dá)法則§3函數(shù)的單調(diào)性與極值2(一)、羅爾定理(二)、拉格朗日中值定理§1中值定理3第二章我們討論了微分法，解決了曲線(xiàn)的切線(xiàn)、法線(xiàn)及有關(guān)變化率問(wèn)題.這一章我們來(lái)討論導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題.我們知道，函數(shù)在區(qū)間上的增量可用它的微分來(lái)近似計(jì)算其誤差是比高階的無(wú)窮小是近似關(guān)系是極限關(guān)系,都不便應(yīng)用4我們的任務(wù)是尋求差商與導(dǎo)數(shù)的直接關(guān)系，既不是極限關(guān)系，也不是近似關(guān)系.對(duì)此，拉格朗日（Lagrange）中值定理給出了圓滿(mǎn)的解答：——導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)5定理(Rolle)若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等f(wàn)(a)=f(b)例如,(一)、羅爾(Rolle)定理6幾何解釋:若連續(xù)曲線(xiàn)弧的兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，且除去兩個(gè)端點(diǎn)外處處有不垂直于橫軸的切線(xiàn)，物理解釋:變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)在折返點(diǎn)處,瞬時(shí)速度等于零.作用：7注意：①Rolle定理有三個(gè)條件：閉區(qū)間連續(xù)；開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)；區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等；這三個(gè)條件只是充分條件，而非必要條件如：y=x2在[-1,2]上滿(mǎn)足(1),(2)，不滿(mǎn)足(3)卻在(-1,2)內(nèi)有一點(diǎn)x=0使但定理的條件又都是必須的，即為了保證結(jié)論成立三個(gè)條件缺一不可.例如,8又例如,在[0,1]上除去x=0不連續(xù)外，滿(mǎn)足羅爾定理的一切條件再例如在[0,1]上除去端點(diǎn)的函數(shù)值不相等外，滿(mǎn)足羅爾定理的一切條件②羅爾定理的結(jié)論是在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一使導(dǎo)數(shù)等0的點(diǎn).有的函數(shù)這樣的點(diǎn)可能不止一個(gè)；9另外還要注意點(diǎn)ξ并未具體指出，即使對(duì)于給定的具體函數(shù)，點(diǎn)ξ也不一定能指出是哪一點(diǎn)，如在[-1，0]上滿(mǎn)足羅爾定理的全部條件，而但卻不易找到使但根據(jù)定理，這樣的點(diǎn)是存在的.即便如此，我們將會(huì)看到，這絲毫不影響這一重要定理的應(yīng)用10例1解：由于是一初等函數(shù)，所以區(qū)間[

0,8]包含在它的定義域內(nèi)，且f(0)=f(8)=0,因此f(x)在[0,8]上滿(mǎn)足羅爾定理的條件.由于11例2不求導(dǎo)數(shù)，判斷f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的導(dǎo)數(shù)有幾個(gè)根，以及所在的區(qū)間.12例3證由介值定理即為方程的小于1的正實(shí)根.矛盾,13(二)、拉格朗日(Lagrange)中值定理14幾何解釋:b-af(b)-f(a)注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.15例4解：由于是一初等函數(shù)，所以區(qū)間[

0,3]包含在它的定義域內(nèi)，因此f(x)在[0,3]上滿(mǎn)足拉氏定理的條件.由于16推論1推論217例5證18例6證：由上式得19例7證明：證：20故所以由拉氏定理的推論2知，應(yīng)當(dāng)有：其中C0為一固定常數(shù)，為求出C0，可將x=0代入上式得：C0=0.21例8證明：證：先對(duì)上式變形，可得：為此我們引入函數(shù)在區(qū)間[b,a]內(nèi)應(yīng)用拉氏定理，有：22對(duì)，有：23注意：一般來(lái)說(shuō)，用中值定理證明一些不等式時(shí)，可以考慮由以下三步來(lái)完成：（1）由題設(shè)確定一個(gè)函數(shù)f(x);（2）選擇與之對(duì)應(yīng)的區(qū)間；（2）將f’(x0)適當(dāng)進(jìn)行放大或縮小.24(三)、柯西(Cauchy)中值定理25第三章中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用§1中值定理§2洛必達(dá)法則§3函數(shù)的單調(diào)性與極值26我們已經(jīng)，當(dāng)分子分母都是無(wú)窮小或都是無(wú)窮大時(shí)，兩個(gè)函數(shù)之比的極限可能存在也可能不存在，即使極限存在也不能用“商的極限等于極限的商”這一運(yùn)算法則.如何解決？本節(jié)我們就利用柯西中值定理來(lái)建立求這種形式極限的洛必達(dá)法則，利用這一法則，可以直接求這兩種基本形式的極限，也可間接求出等其它類(lèi)型的極限§2洛必達(dá)法則27定義例如,28定理（洛必達(dá)法則I,II）：29注①定理的條件：分子分母都是無(wú)窮小或無(wú)窮大；分子分母都可導(dǎo)，且分母的導(dǎo)數(shù)不等于0；導(dǎo)數(shù)之比的極限存在或?yàn)椤蔻诙ɡ淼慕Y(jié)論：函數(shù)之比的極限等于導(dǎo)數(shù)之比的極限③30④仍有類(lèi)似的結(jié)論例1解31例2解32例3注在反復(fù)使用法則時(shí)，要時(shí)刻注意檢查是否為未定式，若不是未定式，不可使用法則.解33例4解直接應(yīng)用法則比較麻煩，先變形，再用法則34解先用無(wú)窮小替換35例6分母→1，分子振蕩而沒(méi)有極限洛必達(dá)法則“失效”注分子分母中出現(xiàn)不可使用洛必達(dá)法則36----極限不存在說(shuō)明此處不能用洛必達(dá)法則但此題可這樣解出：=037關(guān)鍵:通過(guò)適當(dāng)?shù)暮愕茸冃螌⑵渌?lèi)型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類(lèi)型.仍可使用洛必達(dá)法則來(lái)求極限步驟:即將其中之一個(gè)因子下放至分母就可轉(zhuǎn)化為38例8注意：對(duì)數(shù)因子不下放，要放在分子上解例9解39步驟:(通分或有理化)例10解40步驟:41例11解例12解42例13解43幾點(diǎn)說(shuō)明①洛必達(dá)法則只是求未定式極限的一種有效方法，是充分條件，當(dāng)定理的條件滿(mǎn)足時(shí)，所求的極限存在或?yàn)椤?，?dāng)定理的條件不滿(mǎn)足時(shí)，主要是指（3）不成立，即導(dǎo)數(shù)之比的極限不易求出，或不存在但不∞，函數(shù)之比的極限未必不存在，此時(shí)洛必達(dá)法則：“失效”；不宜使用洛必達(dá)法則；②洛必達(dá)法則只能對(duì)這兩種基本未定式才可直接應(yīng)用，其它類(lèi)型的未定式必須先轉(zhuǎn)化；44③洛必達(dá)法則與等價(jià)無(wú)窮小的代換結(jié)合使用效果會(huì)更好；