高等代數(shù)（1）（2） 課程教學(xué)大綱

高等代數(shù)（1）（2）課程教學(xué)大綱一、課程的基本信息適應(yīng)對(duì)象：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)課程代碼：14E00411,14E00512學(xué)時(shí)分配：78+102賦予學(xué)分：4+6先修課程：中學(xué)數(shù)學(xué)后續(xù)課程：抽象代數(shù)，常微分方程，高等代數(shù)方法選講二、課程性質(zhì)與任務(wù)高等代數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要的必修基礎(chǔ)課，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)后繼課程的必備基礎(chǔ)，在科學(xué)技術(shù)的許多領(lǐng)域如物理、化學(xué)、生物、計(jì)算機(jī)科學(xué)、通訊、信息工程中都有著重要的應(yīng)用，一直都是數(shù)學(xué)及其它科學(xué)研究的重要工具。本課程主要介紹多項(xiàng)式理論及線性代數(shù)理論，其中以線性代數(shù)為主。多項(xiàng)式理論以帶余除法為基礎(chǔ)，主要介紹了有關(guān)多項(xiàng)式的整除性理論；線性代數(shù)部分則較為系統(tǒng)地介紹了線性方程組，行列式，矩陣，線性空間、線性變換和歐幾里得空間理論等。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，能為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程奠定基礎(chǔ)，有利于形成數(shù)學(xué)思想，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作具有重要的理論指導(dǎo)作用，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，是輸送更高層次優(yōu)秀人才的專業(yè)知識(shí)保證。三、教學(xué)目的與要求通過(guò)本課程的教學(xué)，要求學(xué)生掌握多項(xiàng)式、行列式、矩陣的基本運(yùn)算和技巧，線性空間與歐幾里得空間的基本性質(zhì)，線性變換的基本概念和方法，掌握為進(jìn)一步提高專業(yè)知識(shí)水平所必需的代數(shù)基本理論和基本方法；要求學(xué)生理解多項(xiàng)式理論、線性代數(shù)理論的基礎(chǔ)知識(shí)和基本理論，所涉及的現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要思想方法；要求學(xué)生了解高等代數(shù)各概念產(chǎn)生的實(shí)際背景、發(fā)展過(guò)程及原則，了解高等代數(shù)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w系，體會(huì)建立這種體系的抽象的代數(shù)方法，加深對(duì)初等代數(shù)內(nèi)容的了解。培養(yǎng)學(xué)生抽象與科學(xué)思維、邏輯推理、以及觀察、分析和解決問(wèn)題的能力，逐步培養(yǎng)學(xué)生的對(duì)真理知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新和利用線性代數(shù)工具解決實(shí)際問(wèn)題的能力。培養(yǎng)從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的能力，使學(xué)生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容從理論上有更深刻的認(rèn)識(shí)，以便能很好地掌握和處理高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教材，進(jìn)一步提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。四、教學(xué)內(nèi)容與安排第一章多項(xiàng)式(30課時(shí))1.1數(shù)域數(shù)域的概念。1.2一元多項(xiàng)式多項(xiàng)式的有關(guān)概念，多項(xiàng)式的運(yùn)算和運(yùn)算律，多項(xiàng)式代數(shù)性質(zhì)。1.3整除的概念整除的概念和基本性質(zhì)，帶余除法，不可約多項(xiàng)式。1.4最大公因式最大公因式的定義及唯一性，存在性及求法，輾轉(zhuǎn)相除法。最大公因式的重要表達(dá)式，互素的定義和重要性質(zhì)。1.5因式分解定理不可約多項(xiàng)式的定義和基本性質(zhì)，因式唯一分解定理，利用典型分解式求最大公因式。1.6重因式重因式、單因式的定義，多項(xiàng)式的重因式與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，重因式的判別與求法，多項(xiàng)式無(wú)重因式的充要條件，去掉因式重?cái)?shù)的方法。1.7多項(xiàng)式的函數(shù)余數(shù)定理，多項(xiàng)式的根，因式定理，重根，非零多項(xiàng)式的根的最多個(gè)數(shù)。1.8復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解代數(shù)基本定理，復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解，根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的根的定理，關(guān)于實(shí)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式的定理，實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解。1.9有理系數(shù)多項(xiàng)式本原多項(xiàng)式及Gauss引理，整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的可約性定理，Eisenstein判別法，有理數(shù)域上的多項(xiàng)式的有理根。第二章行列式(18課時(shí))2.1引言2.2排列排列及其逆序數(shù)，偶排列和奇排列，對(duì)換及其對(duì)排列的作用。2.3n級(jí)行列式n級(jí)行列式的定義。2.4n級(jí)行列式的性質(zhì)2.5行列式的計(jì)算矩陣的初等行(列)變換，方矩陣的行列式及利用矩陣的初等變換計(jì)算行列式。2.6行列式按一行(列)展開(kāi)余子式，代數(shù)余子式，行列式按一行(列)展開(kāi)定理，范德蒙行列式。2.7克拉默（Cramer）法則克拉默（Cramer）法則。2.8拉普拉斯（Laplace）定理·行列式的乘法規(guī)則k級(jí)子式，拉普拉斯定理，行列式的乘法定理。第三章線性方程組(20課時(shí))3.1消元法線性方程組的初等變換，方程的有解判別。3.2n維向量空間n為維向量空間的定義及其運(yùn)算。3.3線性相關(guān)性向量組的線性組合及其性質(zhì)，向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的定義及性質(zhì)，極大無(wú)關(guān)組，向量組的等價(jià)，秩的概念及其性質(zhì)。3.4矩陣的秩矩陣的子式和秩的定義，矩陣的秩的求法。3.5線性方程組有解判別定理線性方程組有解判別定理，線性方程組解的求法。3.6線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)，非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，基礎(chǔ)解系，導(dǎo)出組。第四章矩陣(20課時(shí))4.1矩陣概念的一些背景4.2矩陣的運(yùn)算矩陣的有關(guān)概念，矩陣的運(yùn)算和運(yùn)算律，矩陣的轉(zhuǎn)置及其性質(zhì)。4.3矩陣乘積的行列式與秩矩陣乘積的秩與每個(gè)因子的秩的關(guān)系。4.4矩陣的逆可逆矩陣的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)，伴隨矩陣，矩陣可逆的充要條件，用公式法求可逆矩陣。4.5矩陣的分塊矩陣分塊的含義及分塊矩陣的數(shù)乘及乘法運(yùn)算，準(zhǔn)對(duì)角矩陣，分塊矩陣的應(yīng)用。4.6初等矩陣初等矩陣與初等變換的定義，初等矩陣與初等變換的關(guān)系，矩陣等價(jià)的定義，矩陣可逆的充要條件，用初等變換求可逆矩陣的方法。4.7分塊乘法的初等變換及應(yīng)用舉例第五章二次型(18學(xué)時(shí))5.1二次型及其矩陣表示二次型的定義，二次型的矩陣和秩，二次型與對(duì)稱矩陣的一一對(duì)應(yīng)，非退化的線性替換，二次型的等價(jià)，矩陣的合同。5.2標(biāo)準(zhǔn)形用配方法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。5.3唯一性復(fù)（實(shí)）二次型的規(guī)范性及其唯一性，實(shí)二次型的慣性指數(shù)和符號(hào)差。5.4正定二次型正定矩陣；正定二次型的定義，正定矩陣及正定二次型的判別方法。第六章線性空間(28學(xué)時(shí))6.1集合·映射映射的一些基本概念。6.2線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)線性空間的定義及例子，簡(jiǎn)單性質(zhì)。6.3維數(shù)·基與坐標(biāo)線性組合、線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)及幾個(gè)結(jié)論，維數(shù)、基與坐標(biāo)。6.4基變換與坐標(biāo)變換基變換與坐標(biāo)變換，坐標(biāo)變換公式，過(guò)渡矩陣的求法。6.5線性子空間線性子空間的定義及判定，生成子空間，基的擴(kuò)充定理。6.6子空間的交與和子空間的交與和的定義，維數(shù)公式，子空間的交與和的求法。6.7子空間的直和直和的定義，子空間的和是直和的充要條件。6.8線性空間的同構(gòu)同構(gòu)的定義和性質(zhì)，有限維向量空間同構(gòu)的充要條件。第七章線性變換（24學(xué)時(shí)）7.1線性變換的定義線性變換的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)。7.2線性變換的運(yùn)算線性變換的相等，線性變換的加法、純量乘法與乘法及其運(yùn)算律，可逆線性變換的定義，線性變換的多項(xiàng)式。7.3線性變換的矩陣線性變換關(guān)于一個(gè)基的矩陣，線性變換與矩陣的同構(gòu)對(duì)應(yīng)，線性變換關(guān)于不同基的矩陣，矩陣的相似的定義與性質(zhì)。7.4特征值與特征向量線性變換與矩陣的特征值、特征向量及其求法、特征多項(xiàng)式的概念，特征多項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，特征子空間，Hamilton-Caylay定理。7.5對(duì)角矩陣矩陣(線性變換)可對(duì)角化的定義，屬于不同特征根的特征向量的線性無(wú)關(guān)性，線性變換與矩陣可對(duì)角化的條件，化為對(duì)角形的方法。7.6線性變換的值域與核線性變換的值域、核、秩、零度的概念及求法，有限維線性空間的線性變換的秩與零度的關(guān)系。7.7不變子空間不變子空間的定義，依Hamilton-Caylay定理將空間按特征值分解成不變子空間的直和。7.8若爾當(dāng)（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)形介紹Jordan塊，Jordan形矩陣，Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。7.9最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式的概念、性質(zhì)及求法。第九章歐幾里得空間(22學(xué)時(shí))9.1定義與基本性質(zhì)歐幾里得空間內(nèi)積的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)，柯西-布涅苛夫斯基不等式，向量的長(zhǎng)度、夾角、距離及正交的定義，度量矩陣、歐氏空間的定義。9.2標(biāo)準(zhǔn)正交基正交向量組，標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義、存在性及求法，Schimidt正交化過(guò)程，正交矩陣。9.3同構(gòu)歐氏空間同構(gòu)的定義與性質(zhì)，有限維歐氏空間同構(gòu)的充要條件。9.4正交變換正交變換的定義，歐氏空間的變換是正交變換的充要條件。9.5子空間子空間的正交，正交補(bǔ)。9.6對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)對(duì)稱矩陣與對(duì)稱變換的性質(zhì)，用正交矩陣化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角線，二次型的化簡(jiǎn)。9.7向量到子空間的距離·最小二乘法最小二乘法，最小二乘解。9.8酉空間介紹酉空間、酉變換、酉矩陣、Hermite矩陣的概念。五、附錄教學(xué)參考文獻(xiàn)目錄1．北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)研究室前代數(shù)小組編，王萼芳,石生明修訂.高等代數(shù)（第四版）.北京：高等教育出版社，20132．張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)（第五版）.北京：高等教育出版社，20073．楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題解修訂版（上、下冊(cè)）.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，20064．王品超.高等代數(shù)新方法（上、下冊(cè)）.濟(jì)南：山東教育出版社，2003教學(xué)網(wǎng)絡(luò)提示1．高等代數(shù)資源網(wǎng)：/2．湖南理工學(xué)院高等代數(shù)精品課程網(wǎng)址:38:8392/G2S/Templ