(江蘇專版)2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-專題2.9-函數(shù)模型及其應(yīng)用(講)

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對(duì)知識(shí)的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個(gè)層次（在表中分別用A、B、C表示）.了解：要求對(duì)所列知識(shí)的含義有最基本的認(rèn)識(shí)，并能解決相關(guān)的簡單問題.理解：要求對(duì)所列知識(shí)有較深刻的認(rèn)識(shí)，并能解決有一定綜合性的問題.掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強(qiáng)的或較為困難的問題.【直擊教材】1．已知某種動(dòng)物繁殖量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog3(x＋1)，設(shè)這種動(dòng)物第2年有100只，到第8年它們發(fā)展到________只．答案：2002．用18m的材料圍成一塊矩形場(chǎng)地，中間有兩道隔墻．若使矩形面積最大，則能圍成的最大面積是________m2.解析：設(shè)隔墻長為xm，則面積S＝x·eq\f(18－4x,2)＝－2x2＋9x＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9,4)))2＋eq\f(81,8).所以當(dāng)x＝eq\f(9,4)時(shí)，能圍成的面積最大，為eq\f(81,8)m2.答案：eq\f(81,8)【知識(shí)清單】1．幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠0)2．三種函數(shù)模型性質(zhì)比較y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增長速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖像的變化隨x值增大，圖像與y軸接近平行隨x值增大，圖像與x軸接近平行隨n值變化而不同【考點(diǎn)深度剖析】解答應(yīng)用問題的程序概括為“四步八字”，即①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；②建模：把自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；③求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；④還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義．【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1一次函數(shù)與二次函數(shù)模型某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時(shí)間t(分鐘)與電話費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)通話150分鐘時(shí)，這兩種方式電話費(fèi)相差_________元．【答案】10【1-2】將進(jìn)貨單價(jià)為80元的商品按90元出售時(shí)，能賣出400個(gè)．若該商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少20個(gè)，為了賺取最大的利潤，售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)_________元．【答案】95【解析】設(shè)售價(jià)定為(90＋x)元，賣出商品后獲得利潤為：y＝(90＋x－80)(400－20x)＝20(10＋x)(20－x)＝20(－x2＋10x＋200)＝－20(x2－10x－200)＝－20[(x－5)2－225]，∴當(dāng)x＝5時(shí)，y取得最大值，即售價(jià)應(yīng)定為：90＋5＝95(元).【思想方法】(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)；(2)確定一次函數(shù)模型時(shí)，一般是借助兩個(gè)點(diǎn)來確定，常用待定系數(shù)法；(3)解決函數(shù)應(yīng)用問題時(shí)，最后要還原到實(shí)際問題．【溫馨提醒】1．易忽視實(shí)際問題的自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域．2．注意問題反饋．在解決函數(shù)模型后，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問題的合理性．考點(diǎn)2分段函數(shù)模型【2-1】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0千米/小時(shí)；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式．(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時(shí))．【答案】(1)v(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60，0≤x≤20，,\f(200－x,3)，20<x≤200.))(2)當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間(20,200]上取得最大值．【2-2】某公司研制出了一種新產(chǎn)品，試制了一批樣品分別在國內(nèi)和國外上市銷售，并且價(jià)格根據(jù)銷售情況不斷進(jìn)行調(diào)整，結(jié)果40天內(nèi)全部銷完．公司對(duì)銷售及銷售利潤進(jìn)行了調(diào)研，結(jié)果如圖所示，其中圖①(一條折線)、圖②(一條拋物線段)分別是國外和國內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系，圖③是每件樣品的銷售利潤與上市時(shí)間的關(guān)系．(1)分別寫出國外市場(chǎng)的日銷售量f(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系及國內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量g(t)與上市時(shí)間t的關(guān)系；(2)國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和有沒有可能恰好等于6300萬元？若有，請(qǐng)說明是上市后的第幾天；若沒有，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2t，0≤t≤30，,－6t＋240，30<t≤40.))g(t)＝－eq\f(3,20)t2＋6t(0≤t≤40)．(2)上市后的第30天．∴F(t)在[0,20]上是增函數(shù)，∴F(t)在此區(qū)間上的最大值為F(20)＝6000<6300.當(dāng)20<t≤30時(shí)，F(xiàn)(t)＝60eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,20)t2＋8t)).由F(t)＝6300，得3t2－160t＋2100＝0，解得t＝eq\f(70,3)(舍去)或t＝30.當(dāng)30<t≤40時(shí)，F(xiàn)(t)＝60eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,20)t2＋240)).由F(t)在(30,40]上是減函數(shù)，得F(t)<F(30)＝6300.故國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和可以恰好等于6300萬元，為上市后的第30天．【思想方法】(1)實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解．(2)分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)．【溫馨提醒】構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡潔，做到分段合理、不重不漏．考點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)模型【3-1】一片森林原來面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3)今后最多還能砍伐多少年？【答案】(1)x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))(2)5．(3)15.【3-2】某位股民購進(jìn)某支股票，在接下來的交易時(shí)間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%)，判定該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費(fèi)用).【答案】略有虧損【思想方法】(1)指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問題中有人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來解決．(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型，再將已知有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型．(3)y＝a(1＋x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【溫馨提醒】解指數(shù)不等式時(shí)，一定要化為同底，且注意對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二函數(shù)y＝x＋\f(a,x)模型的應(yīng)用)為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．解：(1)由已知條件得C(0)＝8，則k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋eq\f(800,3x＋5)(0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x＋10＋eq\f(800,3x＋5)－10≥2eq\r(6x＋10·\f(800,3x＋5))－10＝70(萬元)，當(dāng)且僅當(dāng)6x＋10＝eq\f(800,3x＋5)，即x＝5時(shí)等號(hào)成立．所以當(dāng)隔熱層厚度為5cm時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小值，最小值為70萬元．[由題悟法]應(yīng)用函數(shù)y＝x＋eq\f(a,x)模型的關(guān)鍵點(diǎn)(1)明確對(duì)勾函數(shù)是正比例函數(shù)f(x)＝ax與反比例函數(shù)f(x)＝eq\f(b,x)疊加而成的．(2)解決實(shí)際問題時(shí)一般可以直接建立f(x)＝ax＋eq\f(b,x)的模型，有時(shí)可以將所列函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為f(x)＝ax＋eq\f(b,x)的形式．(3)利用模型f(x)＝ax＋eq\f(b,x)求解最值時(shí)，要注意自變量的取值范圍，及取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件．[即時(shí)應(yīng)用]“水資源與永恒發(fā)展”是2015年聯(lián)合國世界水資源日主題，近年來，某企業(yè)每年需要向自來水廠所繳納水費(fèi)約4萬元，為了緩解供水壓力，決定安裝一個(gè)可使用4年的自動(dòng)污水凈化設(shè)備，安裝這種凈水設(shè)備的成本費(fèi)(單位：萬元)與管線、主體裝置的占地面積(單位：平方米)成正比，比例系數(shù)約為0.2.為了保證正常用水，安裝后采用凈水裝置凈水和自來水廠供水互補(bǔ)的用水模式．假設(shè)在此模式下，安裝后該企業(yè)每年向自來水廠繳納的水費(fèi)C(單位：萬元)與安裝的這種凈水設(shè)備的占地面積x(單位：平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是C(x)＝eq\f(k,50x＋250)(x≥0，k為常數(shù))．記y為該企業(yè)安裝這種凈水設(shè)備的費(fèi)用與該企業(yè)4年共將消耗的水費(fèi)之和．(1)試解釋C(0)的實(shí)際意義，并建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并化簡；(2)當(dāng)x為多少平方米時(shí)，y取得最小值，最小值是多少萬元？【易錯(cuò)試題常警惕】 數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問題，一定要正確理解題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型；合理確定實(shí)際問題中自變量的取值范圍；必須驗(yàn)證答案對(duì)實(shí)際問題的合理性．如：如圖所示，在矩形中，已知，（）．在、、、上分別截取、、、都等于，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最大？求出這個(gè)最大面積．【分析】設(shè)四邊形的面積為，則，，，由圖形知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，若?/p>