用假設(shè)法解決問題一

用假設(shè)法解決問題（一）①河北省平鄉(xiāng)縣大劉莊小學(xué)李光明先舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：甲班有學(xué)生45人，乙班比甲班多3人。兩班共有學(xué)生多少人解此題的一般方法是，先求出乙班人數(shù)，再修業(yè)生總數(shù)。若是列式為45×2+3就是用了假設(shè)法——假設(shè)乙班也是45人，則兩班共有45×2=90(人)。但乙班實(shí)質(zhì)人數(shù)比45人多3人，因此兩班的實(shí)質(zhì)總?cè)藬?shù)比90人多3人。有些數(shù)學(xué)題的數(shù)量關(guān)系不明顯，不簡(jiǎn)單找到解題的方法。若是我們做一些合適、合理的假設(shè)，就有可能使數(shù)量關(guān)系明顯，進(jìn)而找到解題的方法。這類解題方法叫做假想法。假設(shè)的方法有多種，要靈便運(yùn)用。一、把“缺少”的條件假設(shè)為已知例1.甲、乙、丙三人出了同樣多的錢在糧店買了若干千克大米?；丶液?，乙要的大米比甲、丙都少6千克，因此，甲、丙都又退給乙6元錢。每千克大米多少元、解析：不知道三人共買了多少千克大米，也不知道三人各要多少千克，求大米的單價(jià)憂如很難?？墒?，我們能夠假設(shè)大米的數(shù)量。假設(shè)乙要了1千克大米，則甲、丙都要了7千克，三人共買了7+7+1=15（千克）每人平均15÷3=5（千克）。在糧店，他們平均出錢，每人出的都是5千克大米的錢?；丶液?，甲、丙要的大米都比平均數(shù)多7－5=2（千克），因此甲或丙退給乙的6元錢就是多要的2千克大米的價(jià)錢。乙要的大米比平均數(shù)少5－1=4（千克），因此甲和丙退給他的12元錢就是少要的這4千克大米的價(jià)錢。這樣，即可求出大米的單價(jià)。解法÷[7－(7＋7＋1)÷3]=3（元）解法×2÷[(7＋7＋1)÷3－1]=3（元）此題還可以夠用下面的方法解（這里只畫出線段圖，解析略）①此文原題目為《用假設(shè)法解應(yīng)用題》，底稿完成于1993年11月，1994年12月第一次更正，1997年8月第二次更正。解法÷（6－6×2÷3）=3（元）解法×2÷（6×2÷3）=3（元）例2.小王去火站。他劃以每小15千米的速度行，才能正好追上火。可是，前一半行程他的速度是每小12千米。下一半行程他以多快的速度行，才能追上火解析與解答：中只有兩個(gè)速度，沒有行程怎算能夠假行程。假行程是30千米，小王按劃行，需要的是30÷15=2（小）。前一半行程他已用了30÷2÷12=（?。?；下一半行程他用的是2－=（小），用的速度是每小30÷2÷=20（千米）。30÷2÷（30÷15－30÷2÷12）=20(千米)答：（略）自然，把行程假3千米、6千米、10千米??果都是一的。把行程假“1”看作工程來解，也很便。例3.甲數(shù)的3等于乙數(shù)的5，甲數(shù)比乙數(shù)大幾分之幾58解析與解法1.假甲數(shù)是25，甲數(shù)的3是25×3。即乙數(shù)的5也是15，乙55=158數(shù)是15÷5。8（25－24）÷24=124解法2.假乙數(shù)是1，甲數(shù)是1×5÷3=25。8524（25－1）÷1=12424解析與解法3.假設(shè)甲數(shù)的3與乙數(shù)的5都等于1，則甲數(shù)是1÷3=5，乙數(shù)是1÷58535=8。85（3－8）÷8=155524例4.一次考試，某班學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為87分。其中90%的學(xué)生達(dá)到了80分，他們的平均分?jǐn)?shù)為89分。80分以下的學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)是多少解析與解答：假設(shè)全班有40人，則達(dá)到80分的學(xué)生數(shù)是40×90%=36（人），80分以下的學(xué)生數(shù)為40－36=4（人）。全班學(xué)生總分為87×40=3480（分）；達(dá)到80分的學(xué)生總分為89×36=3204（分）；80分以下的學(xué)生的總分為3480－3204=276（分），平均分是276÷4=69（分）。綜合算式：（87×40－89×40×90%）÷（40－40×90%）=69（分）注：若是假設(shè)全班有4人，則解法更簡(jiǎn)略。這類問題，憂如都缺少一個(gè)重要條件，但問題的答案卻與這個(gè)“重要條件”沒關(guān)。因此，無論把這個(gè)“重要條件”假設(shè)為多少，都不影響計(jì)算結(jié)果，但假設(shè)的數(shù)據(jù)應(yīng)便于計(jì)算。近似問題；1.甲乙二人走同一段路，甲所用的時(shí)間比乙短1，甲的速度比乙快幾分之幾112.一艘輪船?？吭诖a頭，計(jì)劃

12小時(shí)把貨卸完。實(shí)質(zhì)卸貨的速度提高了

1。實(shí)質(zhì)5幾小時(shí)能夠卸完3.植樹節(jié)這天，同學(xué)們?nèi)シN樹，平均每人應(yīng)該種2棵。若是只讓男同學(xué)去種，平均每人應(yīng)該種3棵。若是只讓女同學(xué)去種，平均每人應(yīng)該種幾棵二、把一般條件假設(shè)為特別條件例5.一個(gè)正方形的面積是20平方分米。在這個(gè)正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓，求這個(gè)圓的面積。解析：求圓的面積，一般要先求出圓的半徑。在此題中，若是知道了正方形的邊長，即可求出圓的半徑，但題中只給了正方形的面積。依照正方形的面積求邊長，要用開方。于小學(xué)生來，只有正方形的面是4、9、16、25??，才有可能推想出它的。用小學(xué)知能不能夠解道呢解法1.假個(gè)正方形的面是25平方分米，它的是5分米。因此，假的個(gè)正方形內(nèi)的最大的的直徑是5分米，面是5）2×=（平方分米）2而原正方形面是假的個(gè)正方形面的20,所求的的面也是假的25個(gè)面的20。2520=（平方分米）25解法2.假正方形的是20分米，它里面最大的的直徑也是20分米，面是(20220分米，2)×=314（平方分米）。把面20平方分米的正方形假面就大了20倍，它里面最大的的面也就大了20倍。因此，所求的的面是314÷20=（平方分米）注：此不用假法也能夠解。如，把正方形平均分成4個(gè)小正方形，每個(gè)小正方形的面都是20÷4=5（平方分米），即r2=5.因此的面是S=πr2=×5=（平方分米）。似：1.把一個(gè)面是平方分米的形片剪成一個(gè)最大的正方形。求個(gè)正方形片的面。2.一個(gè)正方體的體是9立方分米，另一個(gè)正方體的棱是它的2倍。求另一個(gè)正方體的體。三、把帶“鈴鐺”的分率（倍數(shù)）假設(shè)為不帶“鈴鐺”有些問題，給出的兩個(gè)數(shù)量間的倍數(shù)關(guān)系后邊帶著詳盡數(shù)量，我們稱之為分率（倍數(shù)）帶“鈴鐺”。能夠假設(shè)法（自然，也能夠用用畫圖的方法）把數(shù)量進(jìn)行調(diào)整，使分率（倍數(shù)）不帶“鈴鐺”。例6.工人師傅加工一批零件，第一天加工了全部零件的1多4個(gè)，第二天加工了3全部零件的1少1個(gè)，還剩16個(gè)每加工。這批零件共多少個(gè)2解析與解答：假設(shè)第一天正好完成了全部零件的1，那么剩下的（沒加工的）零3件就會(huì)多4個(gè)；假設(shè)第二天正好完成了全部零件的1，那么剩下的就會(huì)少1個(gè)。于2是，原題的條件就變成了“第一天加工了全部零件的1，第二天加工了全部零件的31，還剩（16+44－1）個(gè)沒加工”。2（16+4－1）÷（1―1―1）=114（個(gè)）32答：（略）例7.甲、乙、丙．丁四個(gè)數(shù)的和是202，乙數(shù)比甲數(shù)多1，丙數(shù)比甲數(shù)的2倍少2，丁數(shù)比甲數(shù)的一半多1.求這四個(gè)數(shù)。2解析與解：假設(shè)乙數(shù)等于甲數(shù)，丙數(shù)正好是甲數(shù)的2倍，丁數(shù)正好是甲數(shù)的一半，則四個(gè)數(shù)的和將是（202－1+2―1）。由此可求出甲數(shù)，進(jìn)而求出別的三數(shù)。2甲數(shù)（202－1+2―1）÷（1＋1＋2＋1）=4522乙數(shù)45+1=46丙數(shù)45×2－2=88丁數(shù)45÷（1＋1＋2＋1）＋1=232例8.學(xué)校買來三種新書共100本，其中文藝書是科技書的3倍，畫冊(cè)比科技書的一半少8本。這三種書各買來多少本解（解析略）：（100+8）÷（3＋1＋1）=24（本）（科技書）224×3=72（本）（文藝書）24÷2－8=4（本）（畫冊(cè)）解法2（解析略）：（100+8）÷（2＋1＋2×3）=4（本）（畫冊(cè)）（4+8）×2=24（本）（文藝書）24×3=72（本）（文藝書）例9.水果店有535千克橘子，第一天賣出8筐又17千克，第二天賣出5筐又11千克，還剩195千克。每筐橘子的重量相等。第一天賣出多少千克解（解析略）：每筐橘子有多重(535―195―17―11)÷（8＋5）=24（千克）第一天賣出多少千克24×8＋17=209（千克）近似習(xí)題：1.師徒二人加工一批零件。徒弟加工了92個(gè)，超額15%完成了自己的任務(wù)。他的任務(wù)比師傅任務(wù)的3多32個(gè)。師傅加工零件的任務(wù)是多少個(gè)42.車站庫房里原有煤若干噸。第一次運(yùn)出的比存煤的一半少350噸，第二次運(yùn)出現(xiàn)有煤的一半有50噸，結(jié)果還剩500噸。庫房里原有煤多少噸3.小明有人民幣若干元。買書用去其中的一半又5角，買文具用去剩下的一半又5角，買本又用去第二次剩下的一半又5角，最后還剩5角。小明原有多少元四、虛假、改編情節(jié)例10.一個(gè)班有48人。班主任在班會(huì)上問：誰做完語文作業(yè)請(qǐng)舉手。有37人舉手。又問：誰做完數(shù)學(xué)作業(yè)請(qǐng)舉手。有42人舉手。最后問：誰語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒做完沒有人舉手。你想想看：這個(gè)班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有多少人解析與解法1.全班做完語文數(shù)學(xué)作業(yè)的分別有37人和42人，沒有兩種作業(yè)都沒做完的。假設(shè)全班學(xué)生都正好做完了一種作業(yè)，那么全班應(yīng)該有79人（37+42=79）。但實(shí)質(zhì)上全班只有48人，假設(shè)的人數(shù)比實(shí)質(zhì)人數(shù)多31人（79－48=31）。為什么會(huì)多出31人是由于這31人都舉了兩次手。37+42－48=31（人）解析與解法2.已知有37人做完了語文作業(yè)。假設(shè)全班48人都做完了數(shù)學(xué)作業(yè)，那么做完語文作業(yè)的37人就是兩種作業(yè)都做完的人數(shù)?？墒牵瑢?shí)質(zhì)做完數(shù)學(xué)作業(yè)的只有42人，比假設(shè)的48人少6人。因此，兩種作業(yè)都做完的也應(yīng)該比37人少6人。37―（48―37）=31（人）解析與解法3.有37人做完了語文作業(yè)。假設(shè)全班48人都正好做完了一種作業(yè)，沒有人做完兩種作業(yè)，則做完數(shù)學(xué)作業(yè)的應(yīng)該是11人（48－37=11）。但實(shí)質(zhì)做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有42人，比假設(shè)的11人多31人（42－11=31）。這31人既做完了數(shù)學(xué)作業(yè)，又做完了語文作業(yè)。42―（48―37）=31（人）解析4.假設(shè)班主任不是讓學(xué)生舉手，而是讓做完作業(yè)的學(xué)生交作業(yè)本——把語文、數(shù)學(xué)作業(yè)本各擺一行，并且同一學(xué)生的兩個(gè)作業(yè)本的兩個(gè)作業(yè)本上下對(duì)齊擺放（以以下圖）。這樣，只要數(shù)一數(shù)作業(yè)本數(shù)，就可以知道做完作業(yè)的人數(shù)?？墒牵瑑煞N作業(yè)的總本數(shù)比全班人數(shù)多，由于兩種作業(yè)都做完的學(xué)生都交了兩個(gè)本。若是再讓全班每個(gè)學(xué)生都拿回去一個(gè)本（共拿回去48本），就只剩下兩種作業(yè)都做完的人的作業(yè)本了（兩種作業(yè)都做完的人，每人剩一本擺在那處）。這樣即可獲取解法1。從上圖中也能夠獲取解法2、解法3，還可以夠獲取解法4。解法4.48―（48―37）―（48―37）=31（人）注：上面的四種解法都能夠用其他思慮方法獲取。例11.一人騎摩托車從A城去B城。若以每小時(shí)30千米的速度行駛，他將遲到2小時(shí)；若以每小時(shí)48千米的速度行駛，他將早到1小時(shí)。AB兩城相距多少千米要準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，每小時(shí)該行多少千米解析1.從A城出發(fā)，以每小時(shí)30千米的速度行駛，要遲到2小時(shí)，即到既準(zhǔn)時(shí)刻離B城還有60千米的行程（30×2=60）；以每小時(shí)48千米的速度行駛，將早到1小時(shí)。假設(shè)他以每小時(shí)48千米的速度行駛到B城后沒有停下，而是又向前行了1小時(shí)，到既準(zhǔn)時(shí)刻才停下。用同樣的時(shí)間，用兩種速度行駛的行程相差108千米（60+48=108）。由此可求出行駛的時(shí)間，進(jìn)而即可求出兩地距離和應(yīng)有的速度。解法1.①從出發(fā)到既準(zhǔn)時(shí)刻是幾小時(shí)30×2＋48×1）÷(48－30)=6(小時(shí))②AB兩城相距多少千米30×（6＋2）=240（千米）或48×（6－1）=240（千米）③要準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，每小時(shí)該行多少千米240÷6=40（千米）解析2.假設(shè)有兩個(gè)人分別以每小時(shí)30千米和每小時(shí)48千米的速度，同時(shí)從A城出發(fā)駛向B城。當(dāng)快車提前1小時(shí)到達(dá)B城時(shí)，慢車距B城還有2+1=3小時(shí)的行程，即快車比慢車多行了30×3=90千米。由此可求出快車到達(dá)B城所用的時(shí)間。解法2.①每小時(shí)行駛48千米，幾小時(shí)可到達(dá)30×（2+1）÷(48－30)=5(小時(shí))②AB兩城相距多少千米48×5=240（千米）③要準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，每小時(shí)該行多少千米240÷（5+1）=40（千米）解法3（解析略）.①每小時(shí)行駛30千米，幾小時(shí)可到達(dá)48×（2+1）÷(48－30)=8(小時(shí))②AB兩城相距多少千米30×8=240（千米）③要準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，每小時(shí)該行多少千米240÷（8－2）=40（千米）例12.一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)做40天能夠完成，乙單獨(dú)做60天能夠完成。二人合作，甲因病休息了幾天，他們共用了27天才完成。問：甲中途休息了幾天解析：甲乙合作，每天可完成這項(xiàng)工作的1+1=1.假設(shè)甲中途沒有休息，甲406024乙合作27天，可完成這項(xiàng)工作的1×27=9,高出任務(wù)的1。甲幾天能夠完成這項(xiàng)工2488作的1呢8解：[(111（天）40+)×27－1]÷=56040答：（略）。此題的別的幾種解法：（1）27―(1―27)÷1=5（天）6040(2)把甲的工效設(shè)為“1”:27―(1×40―40×27)÷1=5（天）60（3）把乙的工效設(shè)為“1”：27―(1×60―1×27)÷60=5（天）4040（4）[（1+）×27―1×40]÷1=5（天）60）×27―1×60]÷60（天）(5)[（1+40=540例13.食堂有面粉和大米共168千克。一天用去了面粉的1和大米的1，一共用43去48千克。面粉和大米原來各有多少千克解析

1.一天用去了面粉的

1

和大米的

1（共

48千克）。假設(shè)連用

3天，則大米4

3將正好用完，面粉應(yīng)該還剩

1―

1

×3=1

。連用

3天，共用去面粉和大米

48×3=1444

4（千克）。還剩168―144=24（千克）。這24千克都是面粉（是原來面粉重量的）。解法

1.（168―48×3）÷（1―

1

×3）=96（千克）

（面粉）4168―96=72（千克）

（大米）解析

2.假設(shè)連用

4天，則面粉將正好用完，面粉就會(huì)缺

1×4―1=1。連用

43

3天，共應(yīng)該用面粉和大米48×4=192（千克），比總數(shù)還多13

192―168=24（千克）。解法

2.（48×4―168）÷（

13

×4―1）=72（千克）

（大米）168―72=96（千克）

（面粉）注：此題還有其他假設(shè)解法。例14.一個(gè)化肥廠計(jì)劃14天完成一項(xiàng)任務(wù)。由于每天多生產(chǎn)噸，結(jié)果成了任務(wù)。原計(jì)劃每天生產(chǎn)多少噸

9天就完解析1.假設(shè)有甲乙兩個(gè)廠分別按這個(gè)廠計(jì)劃的效率和實(shí)質(zhì)的效率進(jìn)行生產(chǎn)。則當(dāng)按實(shí)質(zhì)的效率（每天比甲廠多生產(chǎn)噸）生產(chǎn)9天完成任務(wù)時(shí)，乙廠比甲廠共多生產(chǎn)噸（×9=）。這時(shí),甲廠還需再生產(chǎn)5天才能完成任務(wù)。由此可求出甲廠每天生產(chǎn)多少噸(計(jì)劃每天生產(chǎn)多少噸).解法1.×9÷（14―9）=（噸）解法2（解析略）.×14÷（14―9）―=（噸）例15.雞和兔共43只，它們共有120條腿。雞和兔各有多少只解析與解法1.假設(shè)把雞和兔都砍掉2條腿，則43只雞和兔就會(huì)被砍掉86條腿(243=86),只剩下34條（120―86=34）。這34條都是兔腿，由于雞都沒了腿。每只兔只剩2條腿，因此有17只兔。兔（120－2×43）÷(4―2)=17(只)雞43―17=26(只)解析與解法2.假設(shè)每只雞也都有了4條腿（都又“長”出來2條），則43只雞和兔一共應(yīng)該有172條腿（43×4=172）。全部的雞一共“長”出了52條腿（172―120=52）。每只雞都“長”出來了2條腿，是多少只雞“長”出來52條腿呢雞（4×43－120）÷(4―2)=26(只)兔43―26=17(只)解析與解法3.假設(shè)把每只雞和兔都砍掉一多數(shù)量的腿（每只雞只剩一條腿，每只兔剩2條腿，則43只雞和兔一共剩下60條腿（120÷2=60）。每只雞和兔都有一個(gè)頭。把每只雞和兔都砍掉一多數(shù)量的腿后，雞的腿數(shù)和頭數(shù)同樣多，而每只兔的腿數(shù)都比頭數(shù)多1?，F(xiàn)在，43只雞和兔共有43個(gè)頭、60