條件期望的性質(zhì)及應(yīng)用

.PAGE.>--.--考試資料.條件期望的性質(zhì)和應(yīng)用摘要：條件數(shù)學(xué)期望〔以下簡稱條件期望〕是隨機(jī)分析理論中十分重要的概念，在理論實際上都有很重要的應(yīng)用。本文首先分析了條件期望的幾種定義和性質(zhì)，進(jìn)而研究了條件期望的求法，最后舉例分析條件期望在實際問題中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：條件期望；定義；性質(zhì)；應(yīng)用條件期望是現(xiàn)代概率體系中的一個重要概念。近年來，隨著人們對隨機(jī)現(xiàn)象的不斷觀察和研究，條件期望已經(jīng)被廣泛的利用到日常生活中，尤其值得注意的是條件期望在最優(yōu)預(yù)測中的應(yīng)用?，F(xiàn)代概率論總是從講述條件期望開場的。鑒于此，在分析條件期望的幾種定義時，通過比較它們的優(yōu)缺點，使初學(xué)者在充分認(rèn)識條件期望的根底上，由非條件期望的性質(zhì)學(xué)習(xí)順利過渡到條件期望性質(zhì)的學(xué)習(xí)，實現(xiàn)知識的遷移。通過研究條件期望的求法，從而提高計算能力與解題技巧。條件期望不僅在數(shù)學(xué)上有重要的價值與意義，還在生物、統(tǒng)計、運(yùn)籌和經(jīng)濟(jì)管理等方面有著重要的作用與奉獻(xiàn)?？傊?，研究條件期望的性質(zhì)和應(yīng)用不僅有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，而且還有利于進(jìn)一步探索科學(xué)的其它領(lǐng)域。1條件期望的幾種定義1.1條件分布角度出發(fā)的條件期望定義從條件分布的角度出發(fā)，條件分布的數(shù)學(xué)期望稱為條件期望。由離散隨機(jī)變量和連續(xù)隨機(jī)變量條件分布的定義，引出條件期望的定義。定義1離散隨機(jī)變量的條件期望設(shè)二維離散隨機(jī)變量(*,Y)的聯(lián)合分布列為，，對一切使的，稱為給定條件下*的條件分布列。此時條件分布函數(shù)為；同理，對一切使的，稱為給定條件下Y的條件分布列。此時條件分布函數(shù)為。故條件分布的數(shù)學(xué)期望〔假設(shè)存在〕稱為條件期望，定義如下或。定義2連續(xù)隨機(jī)變量的條件期望設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量〔*,Y〕的聯(lián)合密度函數(shù)為，邊際密度函數(shù)為和。對一切使>0的，給定條件下*的條件分布函數(shù)和條件密度函數(shù)分別為，；同理對一切使>0的，給定*=*條件下Y的條件分布函數(shù)和條件密度函數(shù)分別為，。故條件分布的數(shù)學(xué)期望〔假設(shè)存在〕稱為條件期望，定義如下或。1.2測度論角度出發(fā)的條件期望定義借助測度論這一數(shù)學(xué)工具，給出了隨機(jī)變量在給定子代數(shù)下條件期望的一般性定義——公理化定義，通過討論，還可同時發(fā)現(xiàn)它的兩條等價性定義。引理1假設(shè)是可積(或積分存在)隨機(jī)變量，則必存在惟一的(不計幾乎處處相等的差異)可積(相應(yīng)地，積分存在)的可測隨機(jī)變量，它滿足(1)定義3(公理化定義)設(shè)是概率空間上的可積(或積分存在)隨機(jī)變量，是的子代數(shù)，則關(guān)于的條件期望是滿足以下兩條件的隨機(jī)變量：(i)是可測的；(ii)。特別地，當(dāng)時，也稱為關(guān)于隨機(jī)變量的條件期望，記為。由引理1，條件期望=就是由(1)式定義的符號測度關(guān)于的Radon導(dǎo)數(shù)。由定義3看出，條件期望是通過積分等式(1)確定的，根據(jù)積分性質(zhì)易知，兩個幾乎處處相等的函數(shù)的積分是相等的。因此，條件期望確實定以及許多有關(guān)條件期望的論斷都是不計幾乎處處相等的差異的，從而涉及的關(guān)系式都是幾乎處處相等意義下的。由上面的討論，我們有如下的等價定義：定義4設(shè)是概率空間上的可積(或積分存在)隨機(jī)變量，是的子代數(shù)，則關(guān)于的條件期望是滿足以下兩條件的隨機(jī)變量(i)是可測的；(ii)。定義5設(shè)是概率空間上的可積(或積分存在)隨機(jī)變量，是的子代數(shù)，則關(guān)于的條件期望是滿足以下兩條件的隨機(jī)變量：(i)是可測的；(ii)。上述三個定義雖然表達(dá)式有所不同，但其本質(zhì)是一樣的，且都是以公理化的形式給出的，顯得比較抽象，增加了定義的理解難度。1.3幾何角度出發(fā)的條件期望定義從幾何的角度，利用投影定理這一數(shù)學(xué)工具，給出條件期望的幾何定義。引理2(投影定理)如果是Hilbert空間的一個閉線性子空間,且,則(i)存在惟一元素,使得,(ii)且成立的充分必要條件是,,其中是Hilbert空間上的范數(shù),是的正交補(bǔ)。稱為在上的正交投影,記為。實Hilbert空間內(nèi)積定義為。引理3記；，則是的子空間。于是,特別地,是的閉子空間。定義6(幾何定義)以表示到中的正交投影，則任給,稱為給定時的條件期望。2條件期望的性質(zhì)2.1一般性質(zhì)因為條件數(shù)學(xué)期望是數(shù)學(xué)期望的一種特殊形式，所以它具有一般的非條件數(shù)學(xué)期望的所有性質(zhì)。性質(zhì)1假設(shè)c是常數(shù)，則；性質(zhì)2對任意常數(shù)，有；性質(zhì)3對任意的兩個函數(shù)和，有；性質(zhì)4假設(shè)、相互獨立，則。根據(jù)此定理，運(yùn)用歸納法，易得以下推論：推論1，其中均是常數(shù)時，特別有。推論2假設(shè)相互獨立，則。注意：對于"和〞，不要求相互獨立，對于"積〞，則要求相互獨立。特殊性質(zhì)從條件期望的這幾種定義出發(fā)還可得到以下性質(zhì)。性質(zhì)1,其中，且假定存在；證明：根據(jù)條件期望的定義5，由于都可測，所以也可測；其次，令，則，所以這說明是關(guān)于G的條件期望，從而證得。性質(zhì)2如果關(guān)于為可積時，如果，則；證明：令,，則。由于關(guān)于為可積，所以，,,因而于是，從而。這說明性質(zhì)3如果關(guān)于為可積時，；證明：因為關(guān)于為也可積，且，所以由條件期望的特殊性質(zhì)2可知，，又由條件期望的特殊性質(zhì)1可知，所以，。性質(zhì)4〔全數(shù)學(xué)期望公式〕；證明：假設(shè)為離散型的隨機(jī)變量時，假設(shè)為連續(xù)型的隨機(jī)變量時，性質(zhì)5如果為G可測，則；證明：這是條件期望的定義5的顯然推論。特別當(dāng)〔常數(shù)〕時，。性質(zhì)6如果與代數(shù)G獨立，則；

證明：設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，由獨立性有，其中，，分別是的密度函數(shù)和邊際密度函數(shù)，這時條件密度函數(shù)，于是當(dāng)時，，上式對一切成立，所以。在此僅就連續(xù)型的情況進(jìn)展證明，而離散型的可類似證明。性質(zhì)7假設(shè)關(guān)于為可積，為可測且有限時，則.證明：為了證明有意義，首先須證關(guān)于為可積。由于關(guān)于為可積，所以。由于為可測且有限，所以令時且。令，則，，并且因此，關(guān)于為可積。于是存在唯一的可測隨機(jī)變量，使得，這里，于是，。又因為可測，所以由上式知，是關(guān)于的條件期望。于是由于，，為可測，所以。對于，由于它關(guān)于為可積，所以同樣可以得到，于是，。綜上所證，得，令，則由上式得。性質(zhì)8如果是代數(shù)G的子代數(shù)，則；證明：顯然，關(guān)于也可積。為了證明有意義須證關(guān)于為可積。由于關(guān)于為可積，所以，。又因，這里，并注意到，所以 。這說明關(guān)于為可積。既然，所以由條件期望的特殊性質(zhì)4可知，因為可測，所以由條件期望的特殊性質(zhì)7，令，則由上式得引理4隨機(jī)變量和的相關(guān)系數(shù)在坐標(biāo)平移變換中保持不變。證明：設(shè)平移變換，〔為常數(shù)〕由期望和方差的性質(zhì)易知性質(zhì)9〔增減性〕設(shè)和是隨機(jī)變量，(i)當(dāng)是的減函數(shù)時，則；(ii)當(dāng)是的增函數(shù)時，則；(iii)當(dāng)是常數(shù)時，則。證明：由引理知相關(guān)系數(shù)在平移變換中保持不變，故不妨設(shè)。因為，故的符號只決定于的符號。(i)假設(shè)是的減函數(shù)，任取非零實數(shù)，如果，有(2)如果，有(3)假設(shè)(2)式成立，當(dāng)，則有故也有。又當(dāng)，即，則有；，則有。故也有。使用Lebesgue-Stieltges積分表示則有故當(dāng)不等式(3)成立時，用類似的方法同樣可證。為節(jié)省篇幅，不再贅述。(ii)假設(shè)是的增函數(shù)，任取非零實數(shù)，如果，有假設(shè)是的減函數(shù)，任取非零實數(shù)。如果，有(4)如果，有(5)假設(shè)(4)式成立，當(dāng)，則有故也有 。又當(dāng)，即，則有；，則有。故也有。使用Lebesgue-Stieltges積分表示則有故當(dāng)不等式(5)成立時，用類似的方法同樣可證。(iii)當(dāng)故。綜上所述，可知條件期望關(guān)于變量的增減性，決定了相關(guān)系數(shù)的符號。3條件期望的重要定理定理1〔單調(diào)收斂定理〕假設(shè)，則在上，有；證明：顯然，關(guān)于為可積。由條件期望的特殊性質(zhì)2可知，，所以存在。在極限不存在的上補(bǔ)定義為，這樣就得倒一個可測的隨機(jī)變量,令，由積分單調(diào)收斂定理，，這說明是關(guān)于的條件期望，因而定理2〔控制收斂定理〕假設(shè)，，可積，且，或，則；證明：顯然，關(guān)于為可積。令，，則且由條件期望的單調(diào)收斂定理可知且因而由條件期望的特殊性質(zhì)1可知且又由條件期望的特殊性質(zhì)2可知所以，故定理3〔均方誤差最小定理〕設(shè)是上的任一隨機(jī)變量，，是的一個子代數(shù)，則對每個上可測函數(shù)有〔6〕式中等號當(dāng)且僅當(dāng)，時成立。證明：因為，是可測的，故有故得這也證明了〔6〕式成立的充要條件是，即，說明：在最小二乘〔均方〕意義下，的條件下，，是的最正確預(yù)測。通常當(dāng)觀察到時，是一切對的估計值中均方誤差最小的一個，則稱之為關(guān)于的回歸。特別當(dāng)，則在的一切可測函數(shù)中，在最小二乘意義下，是的最正確預(yù)測。4條件期望的求法在現(xiàn)代概率論體系中，條件期望的概念只是一種理論上的工具，在其定義中沒有包含算法，所以求條件期望概率往往很難，需要技巧。本文對幾種不同情形下的條件期望的求法做出討論。方法一：利用問題本身所具有的*種對稱性求解例1設(shè)是獨立同分布隨機(jī)變量，,記，求。解：首先證。關(guān)于可測，關(guān)于可測，為此只需證,即可。由 ，可知時，幾乎處處成立。從而，即。方法二：利用線性變換將隨機(jī)變量分解為關(guān)于作為條件的域可測或獨立的隨機(jī)變量之和,利用條件期望的性質(zhì)求和。例2設(shè)有正態(tài)樣本，統(tǒng)計量，求。解：令，則。作正交變換：，其中C為正交陣，第一行為，則有，，即與獨立，，從而。關(guān)于可測，所以方法三：通過猜想，再利用公理化定義證明。例3設(shè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率函數(shù)，求。解：設(shè),則是一個類。令,則。下面先證是一個類，〔i〕假設(shè)，則，即?！瞚i〕假設(shè)，，且，則即?！瞚ii〕假設(shè)，且，則即。綜合〔i〕、〔ii〕、〔iii〕可知是一個類，由定理可知，.從而，，又關(guān)于可測，即從以上例題可以看出，條件期望的求法是一個復(fù)雜的問題，在具體的情形下我們必須從問題本身出發(fā)去尋求解決問題的方法，通過化簡，將其轉(zhuǎn)化為可測或獨立于代數(shù)的隨機(jī)變量，然后運(yùn)用條件期望的性質(zhì)求解。以上從三個方面給出了求解條件期望的三種途徑，也是較多時候可以采用的三種途徑。5條件期望的應(yīng)用利用條件期望計算數(shù)學(xué)期望由條件期望的定義1可知，要計算，可取在條件下，的條件期望的加權(quán)平均，加在每一項的權(quán)重等于作為條件的那個事件的概率，這是一個極為有用的結(jié)果，采用這種對適當(dāng)?shù)碾S機(jī)值先"條件化〞的方法，往往能夠較容易地把數(shù)學(xué)期望計算出來。下面舉例說明其用法。例4假設(shè)一天內(nèi)進(jìn)入*景點的游客人數(shù)均值為50的隨機(jī)變量，進(jìn)一步假設(shè)每個游客消費(fèi)的錢數(shù)為6元的獨立的隨機(jī)變量，且每個顧客消費(fèi)的錢數(shù)與一天內(nèi)進(jìn)入景點的游客數(shù)也是獨立的，求*天游客總消費(fèi)錢數(shù)的期望值。解：令表示進(jìn)入這個景點的游客人數(shù)，令表示第個游客在這個景點消費(fèi)的錢數(shù)，則所有游客消費(fèi)的錢數(shù)為，現(xiàn)在有而(由與的獨立性知)其中。這意味著，因此故由上面的結(jié)果可知，*天有課總消費(fèi)錢數(shù)的期望值為300元。例5一礦工被困在有三個門的礦井中，第一個門通過一坑道，沿此坑道走3小時可使他到達(dá)平安地點；第二個門通到使他走5小時后又轉(zhuǎn)回原地的坑道；第三個門通到使他走7小時后回原地的坑道。如設(shè)這礦工在任何時刻都等可能地選定其中一個門，試問他到達(dá)平安地點平均要花多長時間？解：令表示該礦工到達(dá)平安地點所需時間〔單位：小時〕，表示他最初選定的門，應(yīng)用全數(shù)學(xué)期望公式，有，易知；現(xiàn)在考慮計算。設(shè)該礦工選擇第二個門，他沿地道走5小時后又轉(zhuǎn)回原地，而一旦他返回原地，問題就與當(dāng)初他還沒有進(jìn)第二個門之前一樣。因此，他要到達(dá)平安地點平均還需要小時，故；類似地，有，從而。解得。所以他到達(dá)平安地點平均要花15小時。此類問題同游客在旅途中平安脫險所用時間的解決方法類似，不再一一做一說明。例6箱內(nèi)有個白球和個黑球，每次從中隨機(jī)地取出一球，直到首次取得白球為止，求被取出的黑球的平均數(shù)。解：設(shè)表示被取出的黑球數(shù)，記，定義，如第一個被抽出的球是白色；，如第一個被抽出的球是黑色。則。但是，，于是，,。用歸納法易證。5.2利用條件期望求隨機(jī)變量的方差因為對任一隨機(jī)變量，有公式，因此可用條件期望來計算方差。例7假設(shè)保單持有人在一年保險期內(nèi)發(fā)生意外事故死亡，賠付額為100000元；假設(shè)屬于非意外死亡，賠付額為50000元；假設(shè)不發(fā)生死亡則不賠付。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)記錄，發(fā)生意外和非意外死亡的概率分別是0.0005和0.0020，試討論第張保單理賠的概率分布。解：用表示理賠次數(shù)，表示有死亡事故發(fā)生需要賠付；則表示事故發(fā)生不需要賠付。假設(shè)用表示需要賠付的數(shù)額，不再是一個常數(shù)，而是一個與有關(guān)的隨機(jī)變量，依題意有，而且令，則，。因此，記，其中的條件分布概率為，且有則例8接連做一獨立重復(fù)試驗，每次試驗成功的概率為。設(shè)表示出現(xiàn)首次成功所需的試驗次數(shù)，求。解：設(shè)，如第一次實驗結(jié)果成功；，如第一次實驗結(jié)果失敗。因為因此或故在實際生活中條件數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用也比較廣泛，這需要仔細(xì)觀察。條件期望在商業(yè)決策中的應(yīng)用在商業(yè)競爭中，商家必須對*種商品未來一段時間內(nèi)的銷售狀況作出合理的預(yù)測，才能使自己獲得最大利潤，或使得損失最小。這就要求決策者們根據(jù)以往的銷售情況及最新的信息資料進(jìn)展綜合分析作出決策。利用貝葉斯公計算條件數(shù)學(xué)期望，就是商業(yè)決策中的一種方法，下面以具體實例來介紹此方法的運(yùn)用。例9三部自動的機(jī)器生產(chǎn)同樣的汽車零件，其中機(jī)器甲生產(chǎn)的占，機(jī)器乙生產(chǎn)的占，機(jī)器丙生產(chǎn)的占。平均說來，機(jī)器甲生產(chǎn)的零件有不合格，對于機(jī)器乙和丙，相應(yīng)的百分?jǐn)?shù)分別是和。如果從總產(chǎn)品中任意的抽取一個零件，發(fā)現(xiàn)為不合格，試問：〔1〕它是由機(jī)器甲生產(chǎn)出來的概率是多少"〔2〕它是由哪一部機(jī)器生產(chǎn)出來的可能性最大"分析：本例是在"取得的零件為不合格品〞已經(jīng)發(fā)生的條件下，計算該零件由機(jī)器甲、乙、丙生產(chǎn)的概率，即由"結(jié)果〞"推斷〞"原因〞發(fā)生的概率?？紤]用貝葉斯公式，令"取得的零件為不合格品〞，"取得的零件由機(jī)器甲生產(chǎn)的〞，"取得的零件由機(jī)器乙生產(chǎn)的〞，"取得的零件由機(jī)器丙生產(chǎn)的〞，則,,,,,?！?〕根據(jù)題意指的是計算,由貝葉斯公式，有?！?〕類似〔1〕的計算，可得，?？梢姡瑱C(jī)器甲生產(chǎn)的可能性最大。例10*服裝商場根據(jù)以往的資料，預(yù)測服裝在未來一段時間內(nèi)暢銷的概率為，滯銷的概率為，現(xiàn)有兩種銷售方案〔1〕打折處理：預(yù)計在商品暢銷時可獲利6萬元，在商品滯銷時可獲利2萬元；〔2〕對商品重新包裝，做廣告宣傳，仍按原價銷售，預(yù)計在商品暢銷時可獲利10萬元，在商品滯銷時將損失4萬元。為了做出正確決策，先進(jìn)展了一段時間的試銷，發(fā)現(xiàn)原來認(rèn)為暢銷的商品實際暢銷的概率為，實際滯銷的概率為；原來認(rèn)為滯銷的商品實際暢銷的概率為，實際滯銷的概率為，根據(jù)這些資料我們來分析一下，采用哪種銷售方案最正確。分析：我們用表示預(yù)測商品暢銷，表示預(yù)測商品滯銷，表示實際商品暢銷，表示實際商品滯銷，表示采取第一方案所取得的利潤，表示采取第二方案所取得的利潤。則取值為6，2，取值為10，-4。且與表示預(yù)測商品暢銷，即事件；與表示預(yù)測商品滯銷，即事件。于是，，,,,,由貝葉斯公式知，，，。因此，實際暢銷商品采取第一方案的利潤均值為，實際滯銷商品采取第一方案的利潤均值為，實際暢銷商品采取第二方案的利潤均值為,實際滯銷商品采取第二方案的利潤均值為。由此可以看出，不管是實際暢銷還是實際滯銷的商品，采取第一銷售方案的利潤均值〔條件期望〕都大于第二方案，故應(yīng)采取第一方案進(jìn)展銷售。條件期望在預(yù)測中的應(yīng)用條件期望在預(yù)測問題中有重要作用，主要是通過"均方誤差最小〞解決一類最優(yōu)預(yù)測問題。例11設(shè)身高為的男子其成年兒子的身高服從均值為，方差為10的正態(tài)分布，問身高為175的男子，其成年兒子的身高的最正確預(yù)測值是多少"分析：令表示父親身高，表示兒子身高，則，其中，與獨立，由條件期望的"均方誤差最小〞定理可知，的最正確預(yù)測是例12設(shè)到達(dá)*車站的顧客數(shù)為參數(shù)是的泊松流，求在時間間隔中，所有到達(dá)顧客等待的時間和的平均值。如果每分鐘有5個顧客到達(dá)該車站，每20分鐘有一列車通過該車站，求一天〔24小時〕在該車站由于等待乘車而浪費(fèi)的平均時間和。分析：設(shè)在中到的顧客數(shù)為，為第個顧客到達(dá)的時刻，為第個顧客的等車時間，則為參數(shù)是的泊松流，，所有到達(dá)顧客到時刻的等待時間和的平均值為因為對任意，有，。由上式可知，在下，就相當(dāng)于個獨立同服從區(qū)間上的均勻分布隨機(jī)變量的第個順序統(tǒng)計量。設(shè)為獨立同分布隨機(jī)變量，且并設(shè)為的順序統(tǒng)計量，則由于且所以從而因為人/分，所以一天〔24小時〕顧客由于等車而浪費(fèi)的平均時間和為：〔分鐘〕〔小時〕由上可知，如果增加車次，顧客浪費(fèi)的時間少。例如，假設(shè)每10分鐘有一列車通過該站，即〔分鐘〕，則一天顧客由于等車?yán)速M(fèi)的平均時間和為600〔小時〕，但是車次增加，滿載率將減少也會造成浪費(fèi)，即錢的浪費(fèi)。而如何確定車次，使時間、金錢的浪費(fèi)最小，這是運(yùn)籌學(xué)所要研究的優(yōu)化問題。小結(jié)：通過"均方誤差最小〞可以解決一系列的預(yù)測問題，在當(dāng)前的社會，經(jīng)濟(jì)開展是重要問題。通過條件期望可以預(yù)測小至一個公司的日常運(yùn)作，大至世界經(jīng)濟(jì)的開展方向，并且可以根據(jù)它所做出的預(yù)測作出相應(yīng)的決策。所以，條件期望的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用將會越來越為人們所關(guān)注。完畢語通過本文的討論可以看出，條件期望定義和性質(zhì)的學(xué)習(xí)是有一定難度的，但是它在數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。如果我們能對其進(jìn)展系統(tǒng)的學(xué)習(xí)和總結(jié)，而且在適當(dāng)時候應(yīng)用上述定理對問題加以分析，那我們就可以對問題有更加深入更加廣泛的了解。【參考文獻(xiàn)】[1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].：高等教育出版社，2004.[2]朱福國.條件期望的兩種定義及其等價性討論[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011.[3]魏艷華，李艷穎，王丙參.條件期望的性質(zhì)及求法[J].牡丹江大學(xué)學(xué)報，2009.[4]楊麗云.條件期望和相關(guān)系數(shù)[J].河北理工學(xué)院學(xué)報，1996.[5]趙志文，楊豐凱.關(guān)于條件期望求法的討論[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報〔自然科學(xué)版〕，2005.[6]鄭慶玉.條件數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用[J].臨沂師專學(xué)報，199