高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)大題專練《立體幾何中的體積（一）》突破解析

一輪復(fù)習(xí)大題專練43—立體幾何（體積2）1．如圖，已知四棱錐中，，，分別是，的中點，底面，且．（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積．（1）證明：在四棱錐中，是的中點，是的中點，所以是的中位線，即，又平面，平面，所以平面，因為且，所以四邊形是平行四邊形，有，因為平面，平面，所以平面，而，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）解：連接，，如圖所示：由，所以的面積為，又，所以三棱錐的體積為，三棱錐的體積為，所以三棱錐的體積為．2．如圖，在四棱錐中，四邊形是梯形，平面，，，，，．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．（1）證明：四邊形是梯形且，又，，又，，可得是等腰直角三角形．，，如圖，連接交于點，連接．，在中，由余弦定理得，解得，則，故，又點在棱上，且，，又平面，平面，故平面；（2）解：由（1）知，在中，，故，則，即．3．已知四棱錐，其中，，，，平面平面，點是上一點，．（1）求證：平面；（2）若是等邊三角形，當(dāng)點到直線距離最大時，求四棱錐的體積．（1）證明：因為，，則，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，則平面；（2）解：因為點到直線的距離為，當(dāng)時，點到直線的距離最大，此時，由（1）可知，平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又為等邊三角形，所以，在中，，，則，故，所以，因為，故，所以四棱錐的體積為1．4．如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，，分別為，上的點，且，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求四棱錐體積最大時的長．證明：，，，，．又平面，平面，平面．解：，和為底邊相同的兩個等腰三角形．取的中點為，連接，，則，，且．平面，由題得當(dāng)平面平面時，三棱錐的體積最大，即四棱錐的體積最大．，，令，則，，．令，，則，令，得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，四棱錐體積的最大值為，此時．5．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為中點，連接，交于點，為的重心．（1）證明：平面；（2）若平面底面，平面底面，，，，求四棱錐的體積．解：（1）證明：延長，交于點，連接是的重心，是的中點，且，，，，，又平面，平面，平面．（2）平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，同理，，，，平面，平面，為的中點，則到平面的距離，又為的重心，點到平面的距離滿足，解得．四邊形的面積，四棱錐的體積．6．如圖，面，四邊形是邊長為1的為正方形；點在線段上，．（1）若面，求值；（2）若面，棱錐體積取得最大值，求四棱錐的高．解：（1）設(shè)．面，面面，面，，．（2）解法一：以為坐標(biāo)原點，，，所成直線分別為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，0，，有，1，，設(shè)，則，，，面，，，得：，因為的底面不變，故即到面的距離取最大值．到面的距離，當(dāng)僅當(dāng)，即時取最大值．故四棱錐的高為．解法二：設(shè)．中，作，交于．面，面，就是到面的距離，