高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成性考核冊及答案

..>高等數(shù)學(xué)根底第一次作業(yè)第1章函數(shù)第2章極限與連續(xù)〔一〕單項選擇題⒈以下各函數(shù)對中，〔C〕中的兩個函數(shù)相等．A.，B.，C.，D.，⒉設(shè)函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的圖形關(guān)于〔C〕對稱．A.坐標(biāo)原點B.軸C.軸D.⒊以下函數(shù)中為奇函數(shù)是〔B〕．A.B.C.D.⒋以下函數(shù)中為根本初等函數(shù)是〔C〕．A.B.C.D.⒌以下極限存計算不正確的選項是〔D〕．A.B.C.D.⒍當(dāng)時，變量〔C〕是無窮小量．A.B.C.D.⒎假設(shè)函數(shù)在點滿足〔A〕，則在點連續(xù)。A.B.在點的*個鄰域內(nèi)有定義C.D.〔二〕填空題⒈函數(shù)的定義域是〔3，+∞)．⒉函數(shù)，則*2-*．⒊e1/2．⒋假設(shè)函數(shù)，在處連續(xù)，則e．⒌函數(shù)的連續(xù)點是*=0．⒍假設(shè)，則當(dāng)時，稱為無窮小量．〔三〕計算題⒈設(shè)函數(shù)求：．解：f(-2)=-2，f(0)=0，f(1)=e⒉求函數(shù)的定義域．解：由解得*<0或*>1/2，函數(shù)定義域為(-∞，0)∪(1/2，+∞)⒊在半徑為的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個端點在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數(shù)．解：如圖梯形面積A=(R+b)h，其中∴⒋求⒌求⒍求⒎求．⒏求⒐求⒑設(shè)函數(shù)討論的連續(xù)性，并寫出其連續(xù)區(qū)間．解：∴函數(shù)在*=1處連續(xù)不存在，∴函數(shù)在*=-1處不連續(xù)高等數(shù)學(xué)根底第二次作業(yè)第3章導(dǎo)數(shù)與微分〔一〕單項選擇題⒈設(shè)且極限存在，則〔B〕．A.B.C.D.⒉設(shè)在可導(dǎo)，則〔D〕．A.B.C.D.⒊設(shè)，則〔A〕．A.B.C.D.⒋設(shè)，則〔D〕．A.B.C.D.⒌以下結(jié)論中正確的選項是〔C〕．A.假設(shè)在點有極限，則在點可導(dǎo)．B.假設(shè)在點連續(xù)，則在點可導(dǎo)．C.假設(shè)在點可導(dǎo)，則在點有極限．D.假設(shè)在點有極限，則在點連續(xù)．〔二〕填空題⒈設(shè)函數(shù)，則0．⒉設(shè)，則(2/*)ln*+5/*．⒊曲線在處的切線斜率是1/2．⒋曲線在處的切線方程是y=1．⒌設(shè)，則2*2*(ln*+1)．⒍設(shè)，則1/*．〔三〕計算題⒈求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：⑴y=(*3/2+3)e*，y＇=3/2*1/2e*+(*3/2+3)e*=(3/2*1/2+*3/2+3)e*⑵y＇=-csc2*+2*ln*+*⑶y＇=(2*ln*-*)/ln2*⑷y＇=[(-sin*+2*ln2)*3-3*2(cos*+2*)]/*6⑸=⑹y＇=4*3-cos*ln*-sin*/*⑺y＇=[(cos*+2*)3*-(sin*+*2)3*ln3]/32*=[cos*+2*-(sin*+*2)ln3]/3*⑻y＇=e*tan*+e*sec2*+1/*=e*(tan*+sec2*)+1/*⒉求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：⑴⑵⑶y=*7/8y＇=(7/8)*-1/8⑷⑸⑹⑺y＇=nsinn-1*cos*cosn*-nsinn*sinn*⑻⑼⑽⑾⒊在以下方程中，是由方程確定的函數(shù)，求：⑴方程對*求導(dǎo)：y＇cos*-ysin*=2y＇e2yy＇=ysin*/(cos*-2e2y)⑵方程對*求導(dǎo)：y＇=y＇(-siny)ln*+(1/*)cosyy＇=[(1/*)cosy]/(1+sinyln*)⑶方程對*求導(dǎo)：2siny+y＇2*cosy=(2*y-*2y＇)/y2y＇=2(*y–y2siny)/(*2+2*y2cosy)⑷方程對*求導(dǎo)：y＇=1+y＇/y，y＇=y/(y-1)⑸方程對*求導(dǎo)：1/*+y＇ey=2yy＇，y＇=1/*(2y-ey)⑹方程對*求導(dǎo)：2yy＇=e*siny+y＇e*cosyy＇=e*siny/(2y-e*cosy)⑺方程對*求導(dǎo)：y＇ey=e*-3y2y＇，y＇=e*/ey+3y2⑻方程對*求導(dǎo)：y＇=5*ln5+y＇2yln2，y＇=5*ln5/(1-2yln2)⒋求以下函數(shù)的微分：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⒌求以下函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：⑴⑵⑶⑷〔四〕證明題設(shè)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證是偶函數(shù)．證明：由f(*)=-f(-*)求導(dǎo)f＇(*)=-f＇(-*)(-*)＇f＇(*)=f＇(-*)，∴f＇(*)是偶函數(shù)高等數(shù)學(xué)根底第三次作業(yè)第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用〔一〕單項選擇題⒈假設(shè)函數(shù)滿足條件〔D〕，則存在，使得．A.在內(nèi)連續(xù)B.在內(nèi)可導(dǎo)C.在內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)D.在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)⒉函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是〔D〕．A.B.C.D.⒊函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足〔A〕．A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升B.單調(diào)下降C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降D.單調(diào)上升⒋函數(shù)滿足的點，一定是的〔C〕．A.連續(xù)點B.極值點C.駐點D.拐點⒌設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，，假設(shè)滿足〔C〕，則在取到極小值．A.B.C.D.⒍設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，則在此區(qū)間內(nèi)是〔A〕．A.單調(diào)減少且是凸的B.單調(diào)減少且是凹的C.單調(diào)增加且是凸的D.單調(diào)增加且是凹的⒎設(shè)函數(shù)在點處取得極大值，則〔〕．A.B.C.D.〔二〕填空題⒈設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，，且當(dāng)時，當(dāng)時，則是的極小值點．⒉假設(shè)函數(shù)在點可導(dǎo)，且是的極值點，則0．⒊函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是(-∞，0)．⒋函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是(0，+∞)．⒌假設(shè)函數(shù)在內(nèi)恒有，則在上的最大值是f(a)．⒍函數(shù)的拐點是*=0．⒎假設(shè)點是函數(shù)的拐點，則，．〔三〕計算題⒈求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．解：y＇=(*-5)2+2(*+1)(*-5)=3(*-1)(*-5)由y＇=0求得駐點*=1，5.列表*(-∞，1)1(1，5)5(5，+∞)y＇+0—0+y↑Yma*=32↓Ymin=0↑(-∞，1)和(5，+∞)為單調(diào)增區(qū)間，(1，5)為單調(diào)減區(qū)間，極值為Yma*=32，Ymin=0。⒉求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值點，并求最大值和最小值．解：y＇=2*-2，駐點*=1是極小值點，在區(qū)間[0，3]上最大值為y(3)=6，最小值為y(1)=2。*0(0，1)1(1，3)3y＇--0+y3↓2↑6⒊試確定函數(shù)中的，使函數(shù)圖形過點和點，且是駐點，是拐點．⒋求曲線上的點，使其到點的距離最短．解：曲線y2=2*上的點(*，y)到點A(2，0)的距離d2=*2-2*+4，(d2)＇=2*-2，由(d2)＇=0求得*=1，由此得所求點有兩個：⒌圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為，問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時，圓柱體的體積最大？解右圖為圓柱體的截面，由圖可得R2=L2-H2圓柱體的體積V=πR2H=π(L2-H2)HV＇=π(L2-3H2)，由V＇=0解得，此時，圓柱體的體積最大。⒍一體積為V的圓柱體，問底半徑與高各為多少時外表積最??？解：圓柱體的外表積S=2πR2+2πRH由體積V=πR2H解得H=V/πR2∴S=2πR2+2V/RS＇=4πR-2V/R2=2(2πR3-V)/R2由S＇=0解得，此時答：當(dāng)高與底面直徑相等時圓柱體外表積最小。⒎欲做一個底為正方形，容積為62.5立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最?。拷猓涸O(shè)長方體底面邊長為a高為h外表積S=a2+4ah∵a2h=62.5，∴h/a2S=a2+250/a，S＇=2a-250/a2=(2a3–250)/a由S＇=0解得a=5m，h=，此時S=75m2最小，即用料最省。⒏從面積為的所有矩形中，求其周長最小者．⒐從周長為的所有矩形中，求其面積最大者．〔四〕證明題⒈當(dāng)時，證明不等式．證明：令f(*)=*-ln(1+*)，f(*)=1-1/(1+*)=*/(1+*)當(dāng)*＞0時有f＇(*)＞0，f(*)為增函數(shù)，又f(0)=0∴當(dāng)*＞0時f(*)＞0，即*＞ln(1+*)⒉當(dāng)時，證明不等式．證明：令f(*)=e*/(*+1)，f＇(*)=[e*(*+1)-e*]/(*+1)2=*e*/(*+1)2當(dāng)*＞0時有f＇(*)＞0，f(*)為增函數(shù)，又f(0)=1∴當(dāng)*＞0時f(*)＞1，即e*＞*+1高等數(shù)學(xué)根底第四次作業(yè)第5章不定積分第6章定積分及其應(yīng)用〔一〕單項選擇題⒈假設(shè)的一個原函數(shù)是，則〔D〕．A.B.C.D.⒉以下等式成立的是〔D〕．A.B.C.D.⒊假設(shè)，則〔B〕．A.B.C.D.⒋〔D〕．A.B.C.D.⒌假設(shè)，則〔B〕．A.B.C.D.⒍由區(qū)間上的兩條光滑曲線和以及兩條直線和所圍成的平面區(qū)域的面積是〔〕．A.B.C.D.⒎以下無窮限積分收斂的是〔D〕．A.B