條件概率全概公式課件

第四節(jié)條件概率全概率公式、條件概率乘法公式事件的相互獨立性1、條件概率的定義設A、B是兩個事件，且P(B)>0,則稱為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率。第四節(jié)條件概率全概率公式、條件概率乘法公式1、若事件B已發(fā)生，則為使A也發(fā)生,試驗結果必須是既在B中又在A中的樣本點,即此點必屬于AB。由于我們已經知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是有(1)式。若事件B已發(fā)生，則為使A也發(fā)生,試驗結果必須是既在B擲骰子已知事件B發(fā)生，此時試驗所有可能結果構成的集合就是B，于是P(A|B)=1/3.B中共有3個元素，它們的出現是等可能的，其中只有1個在集A中，P(A

)=1/6，B={擲出偶數點}，P(A|B)=？例如，擲一顆均勻骰子A＝{擲出2點}，容易看到：擲骰子已知事件B發(fā)生，此時試驗所有可能結果構成的集合例1設某種動物由出生算起活到20歲以上的概率為0.8，活到25歲以上的概率為0.4。如果現在有一個20歲的這種動物，問它能活到25歲以上的概率是多少？解設A表示“能活到20歲以上”，B表示“能活到25歲以上”。則由已知從而所求的概率為例1設某種動物由出生算起活到20歲以上的概率為0.由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)2、乘法公式若已知P(B),P(A|B)時,可以反求P(AB).將A、B的位置對調，有故P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P例2在100件產品中有5件是次品，從中連續(xù)無放回地抽取3次，問第三次才取得次品的概率。解：設表示“第i次取得次品”（i=1，2，3）,B表示“第三次才取到次品”，則例2在100件產品中有5件是次品，從中連續(xù)無放回地3、事件的相互獨立性對乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)，有的問題中事件B發(fā)生的概率與事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率是相等的，即相當于無條件概率，B是否發(fā)生與A無關，從而此時稱A與B是相互獨立的。3、事件的相互獨立性對乘法公式P(AB)=P(A我們也稱A，B，C是相互獨立的事件。對三個事件A，B，C，如果成立：定理若事件A與B是相互獨立的，則,與都是相互獨立的。與我們也稱A，B，C是相互獨立的事件。對三個事件A，B，C

例3一個均勻的正四面體,將第一面染成紅色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四面同時染上紅、白、黑三種顏色，如果以A、B、C分別表示投擲一次正四面體時紅、白、黑顏色著地的事件，由于在四個面中兩面上著紅色，故同理可知

例3一個均勻的正四面體,將第一面染成紅色,第二面對以上三事件A、B、C，成立:對于多個隨機事件，若是相互獨立的，則n個事件中至少有一個發(fā)生的概率為但所以A、B、C三事件不是相互獨立的,但它們是兩兩獨立的。對以上三事件A、B、C，成立:對于多個隨機事件，若例4若每個人的呼吸道中有感冒病毒的概率為0.002,求在有1500人看電影的劇場中有感冒病毒的概率。解以表示事件“第i個人帶有感冒病毒”（i=1,2,…，1500），假定每個人是否帶有感冒病毒是相互獨立的，則所求概率為例4若每個人的呼吸道中有感冒病毒的概率為0.002

從這個例子可見，雖然每個帶有感冒病毒的可能性很小，但許多聚集在一起時空氣中含有感冒病毒的概率可能會很大，這種現象稱為小概率事件的效應。衛(wèi)生常識中,不讓嬰兒到人多的公共場所去就是這個道理。從這個例子可見，雖然每個帶有感冒病毒的它們下方的數是它們各自正常工作的概率。求電路正常工作的概率。例5下面是一個串并聯電路示意圖.A、B、C、D、E、F、G、H都是電路中的元件.它們下方的數是它們各自正常工作的概率。求電路正常工作的概解將電路正常工作記為W，由于各元件獨立工作，有代入得解將電路正常工作記為W，由于各元件獨立工作，有代入二、全概率公式貝葉斯公式

全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜事件的概率,它們實質上是加法公式和乘法公式的綜合運用.綜合運用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0二、全概率公式貝葉斯公式全概率公式和貝1、全概率公式:在一些教材中，常將全概率公式敘述為：之一同時發(fā)生，則是兩兩互斥的事件，且設另有一事件B,它總是與設為隨機試驗的樣本空間，是兩兩互斥的事件，且全概率公式:1、全概率公式:在一些教材中，常將全概率公式敘述為：之一同時例6甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機必定被擊落,求飛機被擊落的概率。則對任一事件B，有稱滿足上述條件的為完備事件組。例6甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊,三人擊中設B={飛機被擊落}Ai={飛機被i人擊中},i=1,2,3，則B=A1B+A2B+A3B求解如下:由全概率公式為求P(Ai),設Hi={飛機被第i人擊中}i=1,2,3可求得:依題意，設B={飛機被擊落}Ai={飛機被i人擊中},i將數據代入計算得:于是即飛機被擊落的概率為0.458。將數據代入計算得:于是即飛機被擊落的概率為0.458。

例7有一批產品是由甲、乙、丙三廠同時生產的.其中甲廠產品占50%,乙廠產品占30%,丙廠產品占20%,甲廠產品中正品率為95%,乙廠產品正品率為90%,丙廠產品正品率為85%,如果從這批產品中隨機抽取一件,試計算該產品是正品的概率多大?解設A、B、C分別表示抽得產品是甲廠、乙廠、丙廠生產的，D表示抽得產品為正品，例7有一批產品是由甲、乙、丙三廠同時生從而任取一件產品為正品的概率可由全概率公式得到：則由已知，從而任取一件產品為正品的概率可由全概率公式得到：則由已知，該球取自哪號箱的可能性最大?實際中還有下面一類問題，是“已知結果求原因”。某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現是紅球,求該球是取自1號箱的概率.1231紅4白或者問:該球取自哪號箱的可能性最大?實際中還有下面一類問題，接下來我們介紹為解決這類問題而引出的貝葉斯公式這一類問題在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小。是兩兩互斥的事件，且設另有一事件B,它總是之一同時發(fā)生，則與接下來我們介紹為解決這類問題而引出的貝葉斯公式這一類該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導致B發(fā)生的每個原因的概率.在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為原因的驗前概率和驗后概率.P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對諸事件該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它當有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計。貝葉斯公式從數量上刻劃了這種變化。例8同一種產品由甲、乙、丙三個廠供應。由長期的經驗知，三家的正品率分別為0.95、0.90、0.80，三家產品數所占比例為2:3:5，混合在一起。（1）從中任取一件，求此產品為正品的概率；（2）現取到一件產品為正品，問它是由甲、發(fā)生可能性大小的認識。當有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對諸事件發(fā)生可能性乙、丙三個廠中哪個廠生產的可能性大？解設事件A表示“取到的產品為品”，分別表示“產品由甲、乙、丙廠生產”由已知（1）由全概率公式得：乙、丙三個廠中哪個廠生產的可能性大？解設事件A表示“取到由貝葉斯公式得由以上3個數作比較，可知這件產品由丙廠生產的可能性最大，由甲廠生產的可能性最小。由貝葉斯公式得由以上3個數作比較，可知這件產品由丙廠生產的可

例9假定具有癥狀中一個或數個的疾病為其中

S1=食欲不振

S2=胸痛

S3=呼吸急促

S4=發(fā)熱現從20000份患有疾病的病歷卡中統計得到下列數字：疾病人數出現S中一個或幾個癥狀人數775075005250420070003500例9假定具有癥狀試問當一個具有S中癥狀的病人前來要求診斷時，他患有疾病的可能性是多少？在沒有別的可資依據的診斷手段情