第6節(jié)-正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用(41)課件

第6節(jié)正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用第6節(jié)正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.考綱展示2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾知識(shí)梳理自測(cè)考點(diǎn)專項(xiàng)突破解題規(guī)范夯實(shí)知識(shí)梳理自測(cè)考點(diǎn)專項(xiàng)突破解題規(guī)范夯實(shí)知識(shí)梳理自測(cè)把散落的知識(shí)連起來(lái)【教材導(dǎo)讀】1.已知△ABC中的三邊,如何判斷三角形是銳角、鈍角、直角三角形?提示:利用余弦定理可判斷出最大邊所對(duì)的角的余弦值的正負(fù),從而判斷出三角形是銳角、鈍角、直角三角形.2.在三角形ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的什么條件?“A>B”是“cosA<cosB”的什么條件?提示:在三角形ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要條件,“A>B”是“cosA<cosB”的充要條件.3.在三角形ABC中,“a2+b2<c2”是“△ABC為鈍角三角形”的什么條件?“a2+b2>c2”是“△ABC為銳角三角形”的什么條件?提示:“a2+b2<c2”是“△ABC為鈍角三角形”的充分不必要條件,“a2+b2>c2”是“△ABC為銳角三角形”的必要不充分條件.知識(shí)梳理自測(cè)知識(shí)梳理1.正弦定理和余弦定理2RsinB2RsinCsinB知識(shí)梳理1.正弦定理和余弦定理2RsinB2Rsin2.三角形常用面積公式3.解三角形在測(cè)量中的常見(jiàn)題型(1)利用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型有測(cè)量距離問(wèn)題、測(cè)量高度問(wèn)題、測(cè)量角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等.2.三角形常用面積公式3.解三角形在測(cè)量中的常見(jiàn)題型(2)有關(guān)測(cè)量中的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)①仰角和俯角:與目標(biāo)視線同在一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫

,目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫

.(如圖(1)所示)②方位角:一般指從正北方向順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角,如方位角45°,是指北偏東45°,即東北方向.③坡角:坡面與水平面的夾角.仰角俯角④坡比:坡面的鉛直高度與水平寬度之比,即i==tanα(i為坡比,α為坡角).(如圖(2)所示)(2)有關(guān)測(cè)量中的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)仰角俯角④坡比:坡面的鉛直高度與水【重要結(jié)論】在△ABC中,常有以下結(jié)論:(1)∠A+∠B+∠C=π.(2)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.(4)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.(5)∠A>∠B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.【重要結(jié)論】(4)tanA+tanB+tanC=tan雙基自測(cè)B

雙基自測(cè)BB2.(2018·石家莊質(zhì)檢)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,sinA,sinB,sinC成等比數(shù)列,且c=2a,則cosB的值為(

)B2.(2018·石家莊質(zhì)檢)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)CC4.(2017·遼寧五校聯(lián)考)在△ABC中,a2+b2+c2=2absinC,則△ABC的形狀是(

)(A)直角三角形 (B)銳角三角形(C)鈍角三角形 (D)正三角形D4.(2017·遼寧五校聯(lián)考)在△ABC中,a2+b2+c25.導(dǎo)學(xué)號(hào)94626155

下列說(shuō)法正確的是

.

①三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比;②在△ABC中,若sinA>sinB,則A>B;③在△ABC的六個(gè)元素中,已知任意三個(gè)元素可求其他元素;⑤在△ABC中,若b2+c2>a2,則此三角形是銳角三角形.5.導(dǎo)學(xué)號(hào)94626155下列說(shuō)法正確的是.

③錯(cuò)誤.當(dāng)已知三個(gè)角時(shí)不能求三邊.⑤錯(cuò)誤.滿足b2+c2>a2,還可能滿足b2≥a2+c2或c2≥a2+b2,則三角形不是銳角三角形.答案:②④③錯(cuò)誤.當(dāng)已知三個(gè)角時(shí)不能求三邊.⑤錯(cuò)誤.滿足b2+c2>a考點(diǎn)專項(xiàng)突破在講練中理解知識(shí)考點(diǎn)一正、余弦定理的應(yīng)用★★★★考查角度1:利用正、余弦定理解三角形考點(diǎn)專項(xiàng)突破(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=2,cosC=-,3sinA=2sinB,則c=

.

答案:(2)4(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a反思?xì)w納利用正、余弦定理解三角形關(guān)鍵是根據(jù)已知條件及所求結(jié)論確定三角形及所需應(yīng)用的定理,有時(shí)需結(jié)合圖形分析求解,有時(shí)需根據(jù)三角函數(shù)值的有界性、三角形中大邊對(duì)大角等確定解的個(gè)數(shù).反思?xì)w納利用正、余弦定理解三角形關(guān)鍵是根據(jù)已知條件及所考查角度2:與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題(A)24 (B)16 (C)12 (D)8考查角度2:與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題(A)24 (B)16(2)(2017·潮州模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a2+b2-c2-ab=0.若△ABC的面積為c,則ab的最小值為(

)(A)24 (B)12 (C)6 (D)4(2)(2017·潮州模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊反思?xì)w納(2)與面積有關(guān)的問(wèn)題,一般是用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)化,得到兩邊乘積,再整體代入.反思?xì)w納(2)與面積有關(guān)的問(wèn)題,一般是用正弦定理或余弦定理進(jìn)考點(diǎn)二利用正、余弦定理判定三角形的形狀【例3】

導(dǎo)學(xué)號(hào)94626157

在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且2a·sinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.(1)求角A的大小;考點(diǎn)二利用正、余弦定理判定三角形的形狀【例3】導(dǎo)學(xué)號(hào)(2)若sinB+sinC=,試判斷△ABC的形狀.(2)若sinB+sinC=,試判斷△ABC的形狀反思?xì)w納判定三角形形狀的兩種常用途徑(1)通過(guò)正弦定理和余弦定理,化邊為角,利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.(2)利用正弦定理、余弦定理,化角為邊,通過(guò)代數(shù)恒等變換,求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.反思?xì)w納判定三角形形狀的兩種常用途徑跟蹤訓(xùn)練1:(1)導(dǎo)學(xué)號(hào)49612120

在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若b=2ccosA,c=2bcosA,則△ABC的形狀為(

)(A)直角三角形 (B)銳角三角形(C)等邊三角形 (D)等腰直角三角形解析:(1)由正弦定理,得sinB=2sinCcosA,sinC=2sinBcosA,即sin(A+C)=2sinCcosA=sinAcosC+cosAsinC,即sinAcosC-cosAsinC=0,所以sin(A-C)=0,A=C,同理可得A=B,所以三角形為等邊三角形.故選C.跟蹤訓(xùn)練1:(1)導(dǎo)學(xué)號(hào)49612120在△ABC中,(A)等邊三角形(B)直角三角形(C)等腰三角形或直角三角形(D)等腰直角三角形(A)等邊三角形考點(diǎn)三利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題【例4】

導(dǎo)學(xué)號(hào)94626158(1)(2016·廣州七區(qū)聯(lián)考)某觀察站C與兩燈塔A,B的距離分別為300米和500米,測(cè)得燈塔A在觀察站C北偏東30°處,燈塔B在觀察站C南偏東30°處,則兩燈塔A,B間的距離為

.

解析:(1)由題意可知,如圖,在△ABC中,AC=300米,BC=500米,∠ACB=120°,利用余弦定理可得AB2=3002+5002-2×300×500×cos120°,AB=700(米).答案:(1)700米考點(diǎn)三利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題【例4】導(dǎo)學(xué)號(hào)946(2)(2017·黑龍江雙鴨山期末)如圖,跳傘塔CD高4,在塔頂測(cè)得地面上兩點(diǎn)A,B的俯角分別是30°,45,又測(cè)得∠ADB=30°,則AB兩地的距離為

.

答案:(2)4(2)(2017·黑龍江雙鴨山期末)如圖,跳傘塔CD高4,在反思?xì)w納

利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟(1)分析——理解題意,分清已知與未知,畫出示意圖;(2)建?！鶕?jù)已知條件與求解目標(biāo),把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中,建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型;(3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得數(shù)學(xué)模型的解;(4)檢驗(yàn)——檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義,從而得出實(shí)際問(wèn)題的解.反思?xì)w納利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟跟蹤訓(xùn)練2:(1)如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援,則cosθ等于(

)跟蹤訓(xùn)練2:(1)如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東答案:(1)B答案:(1)B(2)某臺(tái)風(fēng)中心最大風(fēng)力達(dá)到12級(jí)以上,大風(fēng)降雨給災(zāi)區(qū)帶來(lái)嚴(yán)重的災(zāi)害,不少大樹(shù)被大風(fēng)折斷.某路邊一樹(shù)干被臺(tái)風(fēng)吹斷后,折成與地面成45°角,樹(shù)干也傾斜為與地面成75°角,樹(shù)干底部與樹(shù)尖著地處相距20米,則折斷點(diǎn)與樹(shù)干底部的距離是

米.

(2)某臺(tái)風(fēng)中心最大風(fēng)力達(dá)到12級(jí)以上,大風(fēng)降雨給災(zāi)區(qū)帶來(lái)嚴(yán)備選例題【例1】

(2018·湖南十三校聯(lián)考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足sinA+sinB=[cosA-cos(π-B)]·sinC.(1)試判斷△ABC的形狀,并說(shuō)明理由;備選例題【例1】(2018·湖南十三校聯(lián)考)設(shè)△ABC第6節(jié)-正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用(41)課件【例2】

(2018·泉州檢測(cè))△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且cosA·cosC-cos(A+C)=sin2B.(1)證明:a,b,c成等比數(shù)列;(1)證明:因?yàn)閏osA·cosC-cos(A+C)=sin2B,所以cosA·cosC-(cosAcosC-sinAsinC)=sin2B,化簡(jiǎn)可得sinAsinC=sin2B,由正弦定理得,b2=ac,故a,b,c成等比數(shù)列.【例2】(2018·泉州檢測(cè))△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)(2)若角B的平分線BD交AC于點(diǎn)D,且b=6,S△BAD=2S△BCD,求BD.(2)若角B的平分線BD交AC于點(diǎn)D,且b=6,S△BAD=【例3】

在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中,紅方一艘偵察艇在A處發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向,相距12nmile的B處水面上,有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn),若偵察艇以每小時(shí)14nmi